Matrice/Exercices/Déterminant

Déterminant
Image logo représentative de la faculté
Exercices no2
Leçon : Matrice
Chapitre du cours : Déterminant et Inverse

Exercices de niveau 14.

Exo préc. :Produit matriciel
Exo suiv. :Matrice d'une application linéaire
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Déterminant
Matrice/Exercices/Déterminant
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.



Exercice 2-1

modifier

Soient   telles que  . Montrer que  .

Exercice 2-2

modifier

Soient  . On suppose que les entiers   et   sont premiers entre eux. Montrer qu’il existe   telles que  .

Exercice 2-3

modifier
 
Wikipedia-logo-v2.svg
Wikipédia possède un article à propos de « Matrice compagnon ».

À tout polynôme unitaire   on associe sa « matrice compagnon » :

 .

Démontrer que le polynôme minimal de   est  , et (sans utiliser le théorème de Cayley-Hamilton) que  .

Exercice 2-4

modifier
 
Wikipedia-logo-v2.svg
Wikipédia possède un article à propos de « Matrice de Vandermonde ».

Soit

 .

Démontrer que  .

Quel est le rang de   ?

Utiliser la méthode de Cramer pour résoudre le système linéaire

 

avec   deux à deux distincts et  .

Exercice 2-5

modifier

À l'aide de l'exercice précédent, déterminer (en fonction de   et  ) pour quelle valeur de   le déterminant suivant est nul :

 .

Exercice 2-6

modifier

Soient   et  . Si  , montrer que  .

Exercice 2-7

modifier

Montrer que la matrice suivante de   est inversible lorsque   est pair :

 .

Indication : calculer son déterminant modulo 2.

Exercice 2-8

modifier

Soient les matrices par blocs

 .

Montrer que

  •  ,
  •   et
  •   (si   est inversible).

Que donne cette dernière formule lorsque   ?

Exercice 2-9

modifier

Déterminer pour quelles valeurs de   les polynômes  ,   et   forment une base de  .

Exercice 2-10

modifier

Calculer les dix déterminants suivants.

 

 

  1. Calculer l'aire du parallélogramme défini par les vecteurs   et  .
  2. Calculer le volume du parallélépipède défini par les vecteurs  ,   et  .

Exercice 2-11

modifier

Soit l'application  . Calculer le déterminant de   dans la base canonique.

Exercice 2-12

modifier

Calculer le déterminant des matrices   et   et préciser pour quelles valeurs des paramètres elles sont inversibles.

Exercice 2-13

modifier

Montrer les formules suivantes où les déterminants sont d'ordre   :

 

On pourra développer   suivant la première ligne puis, par un développement supplémentaire, trouver une expression de   en fonction de   et  .

Pour  , on pourra effectuer les transformations élémentaires   pour  .

Soient  . Notons   le déterminant de la matrice tridiagonale d'ordre   :

 .

Calculer  , puis   pour tout   (on distinguera les cas pair et impair).

Exercice 2-14

modifier
 
Wikipedia-logo-v2.svg
Wikipédia possède un article à propos de « Déterminant de Cauchy ».

Démontrer que

 ,

  (voir supra).

Exercice 2-15

modifier

Soit  . On considère la matrice d'ordre   :

  (en particulier,  ).
  1. Montrer que  .
  2. En déduire (par récurrence) que  .
  3. Montrer que   s'annule pour   valeurs distinctes de   et les déterminer (on rappelle que  ).
  4. Soient   et   son polynôme caractéristique. Calculer   et déduire de ce qui précède les valeurs propres de  .

Exercice 2-16

modifier

Calculer les déterminants des matrices suivantes :

 ,
 .

Lien externe

modifier

« Calculateur en ligne de déterminants », sur dcode.fr