Moment cinétique en mécanique quantique/Définition et exemples

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Chapitre no 1
Leçon : Moment cinétique en mécanique quantique
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Le moment cinétique orbital

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En mécanique classique, le moment cinétique est défini par  , on définit donc de même en mécanique quantique l'opérateur moment cinétique, dit orbital, par

 

Soit, composante par composante,

 
 
 

Remarque : On peut définir   ainsi, sans avoir à symetriser l'expression, c'est-à-dire à poser  , car les différentes composantes commutent (  pour  ). En effet, on peut se persuader après calcul que :   ( Attention au symbole × qui ne fait pas référence à une multiplication, mais à un produit vectoriel étendu à des observables )

De même qu'en mécanique classique, cet opérateur est très utile, en effet on peut parfois exprimer l'hamiltonnien en fonction de  , et par exemple trouver des méthodes de résolution de l'équation de Schrödinger.

Définition générale

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On remarque (par un calcul facile de commutateurs) que les composantes du moment cinétique orbital vérifient les relations de commutation suivantes :

 
 
 

On verra par la suite (cf. chapitre 2) que ces relations suffisent à déterminer la forme des valeurs propres des ces trois opérateurs. On définit donc un moment cinétique de manière générale :


On définit de plus l'opérateur norme au carré du moment cinétique par :

 

et on vérifie que cet opérateur commute avec les composantes de  

Le spin

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Lien avec les rotations spatiales

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