Moment cinétique en mécanique quantique/Base des états propres

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D'après les postulats de la mécanique quantique, la mesure d'une grandeur physique correspond à une valeur propre de l'opérateur associé. On va donc chercher dans ce chapitre à déterminer la forme des valeurs propres d'un moment cinétique.

Base des états propres
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Chapitre no 2
Leçon : Moment cinétique en mécanique quantique
Chap. préc. :Définition et exemples
Chap. suiv. :Le moment cinétique orbital, l'atome d'hydrogène
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Moment cinétique en mécanique quantique/Base des états propres
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Notations

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Par convention, la composante   est étudiée préférentiellement, et on note ses valeurs propres  , où   est la constante de Planck réduite, et   est un nombre sans dimension (réel puisque   est hermitien).

D'autre part, on veut avoir des informations sur la norme du moment cinétique, on va donc aussi chercher à déterminer les valeurs propres de  , que l’on notera   (avec   réel positif et sans dimension).

Les opérateurs   et   commutent, ils sont donc diagonalisables dans la même base. On note alors   leurs kets propres communs (  désignant un indice - discret ou continu - en cas de dégénérescence d'un niveau caractérisé par  ) :


On utilisera aussi les opérateurs (non hermitiens a priori)   et   définis par :

 

 

Propriétés

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Les trois résultats suivants permettent de caractériser   et   :


On en déduit l'action de   et   sur les kets étudiés :

Conclusion

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Ces propriétés permettent de montrer (par un raisonnement assez simple) que le nombre   est nécessairement entier ou demi entier, ce qui justifie la notation utilisée. Selon les cas, sa valeur peut varier ou rester fixe. S'il s'agit d'un moment cinétique de spin, la valeur de   (souvent noté  ) est une caractéristique intrinsèque de la particule étudiée (on parle par exemple du spin 1/2 de l'électron), alors que s'il s'agit du moment cinétique orbital, la valeur de   (souvent noté  ) caractérise l'état de la particule, par exemple pour l'électron   est le deuxième nombre quantique, utilisé pour représenter la configuration électronique d'un atome (numéro de la sous couche dans laquelle se trouve l'électron).

En revanche, le nombre   varie et peut toujours prendre toutes les valeurs permises, c'est-à-dire comprises entre   et  , et variant par sauts d'une unité. Par exemple, si on étudie une particule de spin 1/2,   (pour un électron dans un atome il s'agit du troisième nombre quantique, dit de moment magnétique), et si on étudie une particule de spin 1 (photon),  .

On organise donc d’abord l'espace des états   en sous-espaces    et   sont fixés, et   peut varier a priori.

Ces sous-espaces sont de dimensions variables, et ne sont donc pas pratiques à manipuler en général, on préfère organiser l'espace total comme somme des sous-espaces    et   sont fixés, et   varie de   à  . Chacun de ces sous-espace est de dimension  . De plus,   se construit simplement par application des opérateurs   ou   à parti d'un ket   connu, grâce aux formules :