Moment cinétique en mécanique quantique/Le moment cinétique orbital, l'atome d'hydrogène

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On étudie ici l'opérateur moment cinétique orbital . Cette étude est particulièrement intéressante car elle s'applique à toutes les molécules, nous en verrons une application aux particules dans un potentiel central, et en particulier au potentiel coulombien pour l'électron dans la molécule d'hydrogène.

Le moment cinétique orbital, l'atome d'hydrogène
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Chapitre no 3
Leçon : Moment cinétique en mécanique quantique
Chap. préc. :Base des états propres
Chap. suiv. :Le spin ½
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Étude générale de , harmoniques sphériques

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On montre qu'en coordonnées sphériques   (choix naturel vu l’application à l'étude des potentiels centraux), les opérateurs   ne font pas intervenir la variable  . On va donc chercher les fonctions propres de   et   sous la forme suivante :

 

Les fonctions   sont appelées harmoniques sphériques (où l’on note   pour le moment cinétique orbital), et   est une fonction quelconque.

Par définition,   est fonction propre de   et   , donc les harmoniques sphériques sont solutions des équations différentielles :

 

 

  • On a d’abord  

Or   doit être invariante par rotation de   par rapport à la variable   (ici le choix des axes est arbitraire), on en déduit directement :

  • En utilisant les opérateurs  , on montre que les   vérifient les équations :

 

 

On en déduit (pour  ) :

où les   sont les fonctions de Legendre définies par  .

Particule dans un potentiel central

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Dans ce cas,  , et on montre qu'alors   et   commutent. Les fonctions d'ondes stationnaires (solutions de l'équation de Schrödinger et donc fonctions propres de  ) sont donc aussi fonctions propres de  , c'est-à-dire de la forme  . L'étude précédente nous permet donc réduire le problème à la recherche de la fonction   d'une seule variable.

En coordonnées sphériques, on a  , l'équation de Schrödinger stationnaire s'écrit donc :

 

 

 


On remarque qu'on a une équation pour chaque valeur de  , on note donc   l'énergie associée à la fonction radiale   (  désigne un indice en cas de dégénérescence). On pose  , on a alors :

L'atome d'hydrogène et hydrogénoïdes

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