On étudie ici l'opérateur moment cinétique orbital . Cette étude est particulièrement intéressante car elle s'applique à toutes les molécules, nous en verrons une application aux particules dans un potentiel central, et en particulier au potentiel coulombien pour l'électron dans la molécule d'hydrogène.
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Moment cinétique en mécanique quantique : Le moment cinétique orbital, l'atome d'hydrogène Moment cinétique en mécanique quantique/Le moment cinétique orbital, l'atome d'hydrogène », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
On montre qu'en coordonnées sphériques (choix naturel vu l’application à l'étude des potentiels centraux), les opérateurs ne font pas intervenir la variable . On va donc chercher les fonctions propres de et sous la forme suivante :
Les fonctions sont appelées harmoniques sphériques (où l’on note pour le moment cinétique orbital), et est une fonction quelconque.
Par définition, est fonction propre de et , donc les harmoniques sphériques sont solutions des équations différentielles :
On a d’abord
Or doit être invariante par rotation de par rapport à la variable (ici le choix des axes est arbitraire), on en déduit directement :
Propriété
et sont toujours entiers.
En utilisant les opérateurs , on montre que les vérifient les équations :
On en déduit (pour ) :
Propriété
où les sont les fonctions de Legendre définies par .
Dans ce cas, , et on montre qu'alors et commutent. Les fonctions d'ondes stationnaires (solutions de l'équation de Schrödinger et donc fonctions propres de ) sont donc aussi fonctions propres de , c'est-à-dire de la forme . L'étude précédente nous permet donc réduire le problème à la recherche de la fonction d'une seule variable.
En coordonnées sphériques, on a , l'équation de Schrödinger stationnaire s'écrit donc :
On remarque qu'on a une équation pour chaque valeur de , on note donc l'énergie associée à la fonction radiale ( désigne un indice en cas de dégénérescence). On pose , on a alors :