Mouvement à force centrale et potentiel newtonien/Obtention de la trajectoire

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Obtention de la trajectoire
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Chapitre no 3
Leçon : Mouvement à force centrale et potentiel newtonien
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Méthode 1 : formules de BinetModifier

En utilisant la seconde loi de Newton, on a dans le cas d'une force attractive :

 .

En insérant l’expression de l'accélération et en remplaçant 1/r par u, puis enfin en projetant selon er, on a :

 , soit encore :
 .

La solution de cette équation différentielle est celle d'un oscillateur harmonique à laquelle on ajoute une solution particulière. On obtient :

 .

En revenant à l’expression de r, on a :

 
 

On note :

  et   et on choisit  

Et donc :


 


C'est l’expression d'une conique en coordonnées polaires dont la nature exacte dépend des conditions initiales.

Méthode 2 : vecteur excentricitéModifier

Méthode 3 : conservation de l'énergie mécaniqueModifier