Mouvement à force centrale et potentiel newtonien/Trajectoires

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Énergie mécanique

On exprime l'énergie cinétique en utilisant la formule de Binet pour la vitesse :

$E_{c}={1 \over 2}mv^{2}={1 \over 2}mC^{2}\left(\left({du \over d\theta }\right)^{2}+u^{2}\right)$

On rappelle :

$u(\theta )={1 \over r}={1+e\cos \theta \over p}\qquad p={C^{2} \over K}$

En dérivant :

${du \over d\theta }={-e\sin \theta \over p}$

Ce qui donne pour l'énergie cinétique :

$E_{c}={1 \over 2}{mC^{2} \over p^{2}}\left((e\sin \theta )^{2}+(1+e\cos \theta )^{2}\right)$

$E_{c}={1 \over 2}{mC^{2} \over p^{2}}\left(e^{2}+1+2e\cos \theta \right)$

$E_{c}={1 \over 2}{K^{2}m \over C^{2}}\left(e^{2}+1+2e\cos \theta \right)$

Et pour l'énergie potentielle, on a :

$E_{p}=-{Km \over r}=-Km\,u=-mK{1+e\cos \theta \over p}$

$E_{p}=-{mK^{2} \over C^{2}}\left(1+e\cos \theta \right)$

Et ainsi on peut écrire l'énergie mécanique :

$E_{m}={1 \over 2}{mK^{2} \over C^{2}}\left(e^{2}+1+2e\cos \theta \right)-{mK^{2} \over C^{2}}\left(1+e\cos \theta \right)$

$E_{m}={1 \over 2}{mK^{2} \over C^{2}}\left(e^{2}-1\right)$

Propriété

La nature de la trajectoire est relié au signe de l'énergie mécanique :

• Si E_m > 0 , alors e > 1 et la trajectoire est une hyperbole.
• Si E_m = 0 , alors e = 1 et la trajectoire est une parabole.
• Si E_m < 0 , alors e < 1 et la trajectoire est une ellipse.

Trajectoire hyperbolique

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Trajectoire parabolique

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Trajectoire elliptique

$r(\theta )={p \over 1+e\cos \theta }$

Aphélie et périhélie

La distance au foyer de l'ellipse est minimale quand $\cos \theta =1$ :

$r_{min}=r_{P}={p \over 1+e}$

La distance au foyer de l'ellipse est maximale quand $\cos \theta =-1$ :

$r_{max}=r_{A}={p \over 1-e}$

Demi grand axe a

$r_{min}+r_{max}=2a={p \over 1+e}+{p \over 1-e}={2p \over 1-e^{2}}$

$a={p \over 1-e^{2}}$

Distance focale c

$c=a-r_{min}={p \over 1-e^{2}}-{p \over 1+e}={p \over 1-e^{2}}-{p(1-e) \over (1+e)(1-e)}={p-p+pe \over 1-e^{2}}$

$c={pe \over 1-e^{2}}=a\,e$

Excentricité

$e={c \over a}$

$r_{P}=a-c=a-ae=a(1-e)$

$r_{A}=a+c=a+ae=a(1+e)$

Demi petit axe b

Pour une ellipse, on a :

$a^{2}=b^{2}+c^{2}$

$b^{2}=a^{2}-c^{2}={p^{2} \over (1-e^{2})^{2}}-{p^{2}e^{2} \over (1-e^{2})^{2}}={p^{2}(1-e^{2}) \over (1-e^{2})^{2}}={p^{2} \over (1-e^{2})}$

$b={p \over {\sqrt {(1-e^{2})}}}=p{\sqrt {a \over p}}={\sqrt {ap}}$

$b={\sqrt {ap}}$

Surface balayée pendant une période

Vitesse aréolaire

${dS \over dt}={C \over 2}$

Pendant une période T : $S=\pi \,a\,b={1 \over 2}C\,T$

$T^{2}={4\pi ^{2}a^{2}b^{2} \over C^{2}}={4\pi ^{2}a^{2}ap \over C^{2}}={4\pi ^{2}a^{3}m \over K}$

$T=2\pi {\sqrt {ma^{3} \over K}}$

Troisième loi de Kepler

${T^{2} \over a^{3}}={4\pi ^{2}m \over K}={4\pi ^{2}m \over K}$