Notions de thermodynamique relativiste/Distribution de Maxwell–Jüttner

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La distribution de Maxwell–Jüttner est une distribution des vitesses des particules dans un gaz idéal de particules relativistes qui sont diluées , sans interactions entre elles et sans effets quantiques.

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Dans cette distribution, on prend en compte l'influence de la relativité restreinte. Cette distribution a été proposée par Ferencz Jüttner en 1911.

À basse température, i.e. quand kT << mc² , cette distribution tend vers la distribution de Maxwell–Boltzmann.

m = masse , c = vitesse de la lumière et k = constante de Boltzmann.

La fonction de distribution

La distribution de Maxwell–Jüttner en fonction du facteur de Lorentz $\gamma$ pour un gaz d'électrons à différentes températures. La vitesse est exprimée par le facteur de Lorentz.

Quand la température du gaz augmente ( kT voisin ou supérieur à mc² ), la probabilité de distribution pour $\gamma =1/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}$ dans ce gaz de Maxwell relativiste est donné par la distribution de Maxwell–Jüttner $f(\gamma )$ telle que:

$f(\gamma )={\frac {\gamma ^{2}.\beta }{\theta .K_{2}(1/\theta )}}\exp \left(-{\frac {\gamma }{\theta }}\right)$

avec

$\beta ={\frac {v}{c}}={\sqrt {1-1/\gamma ^{2}}}$

$\theta ={\frac {kT}{mc^{2}}}$

$K_{2}$ est la fonction de Bessel modifiée de seconde espèce.

$\gamma$ est le facteur de Lorentz.

On peut aussi écrire pour la quantité de mouvement $p$ :

$f(\mathbf {p} )={\frac {1}{4\pi m^{3}c^{3}\theta K_{2}(1/\theta )}}\exp \left(-{\frac {\gamma (p)}{\theta }}\right)$

avec

$\gamma (p)={\sqrt {1+\left({\frac {p}{mc}}\right)^{2}}}$.

Cette fonction correspond au régime relativiste de Juttner (distribution relativiste qui caractérise par exemple l' équilibre thermodynamique d'un plasma relativiste).

Références

• Ferencz Jüttner, Das Maxwellsche Gesetz der Geschwindigkeitsverteilung in der Relativtheorie, Ann. Physik und Chemie, 34, 856-882 (1911)
• J.L Synge, The Relativistic Gas, Series in physics, North-Holland (1957)
• Slimen Belghit and Abdelaziz Sid, Stabilization effect of Weibel modes in relativistic laser fusion plasma, PHYSICS OF PLASMAS, 23, 063104 (2016)
• Slimen Bleghit et Abdelaziz Sid, Étude relativiste de l’instabilité de Weibel dans le contexte de la fusion inertielle, Edilivre,(2017)