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On considère ici des particules qui se déplacent avec une très grande vitesse sans interactions. On est donc en présence d'un gaz parfait relativiste.
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En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Notions de thermodynamique relativiste : Gaz parfait relativiste Notions de thermodynamique relativiste/Gaz parfait relativiste », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
dans le référentiel du laboratoire , (i.e. celui par rapport auquel la particule est animée de la vitesse
v
→
{\displaystyle {\vec {v}}}
E
=
m
c
2
1
−
(
v
2
/
c
2
)
=
1
1
−
β
2
.
m
c
2
=
γ
.
m
c
2
{\displaystyle E={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-(v^{2}/c^{2})}}}={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}.mc^{2}=\gamma .{mc^{2}}}
L'énergie totale d'une particule est égale à la somme de l'énergie au repos mc2 contenue dans sa masse et de l'énergie cinétique
E
c
i
n
{\displaystyle E_{cin}}
E
´
n
e
r
g
i
e
c
i
n
e
´
t
i
q
u
e
=
E
c
i
n
=
E
−
m
c
2
=
m
c
2
(
1
1
−
(
v
2
/
c
2
)
−
1
)
=
m
c
2
(
1
1
−
β
2
−
1
)
=
m
c
2
(
γ
−
1
)
{\displaystyle \mathrm {{\acute {E}}nergie~cin{\acute {e}}tique} =E_{cin}=E-mc^{2}=mc^{2}\left({\frac {1}{\sqrt {1-(v^{2}/c^{2})}}}-1\right)=mc^{2}\left({\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}-1\right)=mc^{2}\left(\gamma -1\right)}
dans le référentiel du laboratoire est:
p
→
=
m
v
→
1
−
(
v
2
/
c
2
)
=
1
1
−
β
2
.
m
.
v
→
=
γ
.
m
.
v
→
{\displaystyle {\vec {p}}={\frac {m{\vec {v}}}{\sqrt {1-(v^{2}/c^{2})}}}={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}.m.{\vec {v}}=\gamma .m.{\vec {v}}}
La relation PV = NkT ou PV = nRT reste valable pour le gaz parfait relativiste.
où : T est la température ; N le nombre de particules du gaz ; V le volume occupé par le gaz ; k la constante de Boltzman ; n le nombre de moles et R la constante des gaz parfaits.
Fonction de Bessel modifiée de seconde espèce K2 (X) : - • - • - • -
Fonction de partition Z du gaz parfait relativiste monoatomique
modifier
Outre l'énergie correspondant à la masse m, dans un gaz parfait monoatomique, l'énergie de translation et l'énergie interne (i.e. énergie nucléaire et énergie électronique) vont intervenir. La fonction de partition d'une espèce sera alors de la forme:
Z
(
T
,
V
,
1
)
=
Z
t
r
a
n
s
l
×
Z
e
l
e
c
t
×
Z
n
u
c
l
=
Z
t
r
a
n
s
l
×
Z
i
n
t
{\displaystyle Z(T,V,1)={\mathfrak {Z}}_{transl}\times {\mathfrak {Z}}_{elect}\times {\mathfrak {Z}}_{nucl}={\mathfrak {Z}}_{transl}\times {\mathfrak {Z}}_{int}}
La fonction de partition d'une particule relativiste est[ 1]
Z
(
T
,
V
,
1
)
=
4
π
V
(
m
c
h
)
3
exp
(
u
)
K
2
(
u
)
u
×
Z
i
n
t
{\displaystyle Z(T,V,1)=4\pi V\left({\frac {mc}{h}}\right)^{3}\exp(u){\frac {K_{2}(u)}{u}}\times {\mathfrak {Z}}_{int}}
où : m est la masse de chaque particule ; c la vitesse de la lumière ; h la constante de Planck ;
u
=
m
c
2
k
T
=
β
m
c
2
{\displaystyle u={\frac {\,mc^{2}}{kT}}=\beta mc^{2}}
K
n
(
x
)
=
{\displaystyle K_{n}(x)=}
Fonction de Bessel modifiée sur Wikipédia )
Z
(
T
,
V
,
N
)
=
1
N
!
{
Z
(
T
,
V
,
1
)
}
N
{\displaystyle Z(T,V,N)={\frac {1}{N!}}\left\{~Z(T,V,1)~\right\}^{N}}
modifier
L'énergie libre F se calcule à partir de la relation F(T,V,N) = - kT Ln Z(T,V,N). La contribution de la translation à énergie libre Ftrans est alors:
F
t
r
a
n
s
=
−
N
k
T
{
L
n
[
4
π
V
N
(
m
c
h
)
3
K
2
(
u
)
u
]
+
1
}
−
N
m
c
2
{\displaystyle F_{trans}~=~-NkT\left\{\mathrm {Ln} \left[{\frac {4\pi V}{N}}\left({\frac {mc}{h}}\right)^{3}{\frac {K_{2}(u)}{u}}\right]+1\right\}-Nmc^{2}}
F = U - TS
G = U - TS + PV = F + PV = F + NkT donc La contribution de la translation à enthalpie libre Gtrans est alors:
G
t
r
a
n
s
=
−
N
k
T
{
L
n
[
4
π
V
N
(
m
c
h
)
3
K
2
(
u
)
u
]
}
−
N
m
c
2
{\displaystyle G_{trans}~=~-NkT\left\{\mathrm {Ln} \left[{\frac {4\pi V}{N}}\left({\frac {mc}{h}}\right)^{3}{\frac {K_{2}(u)}{u}}\right]\right\}-Nmc^{2}}
D'autre part, G = μ.N
donc,
μ
t
r
a
n
s
=
−
k
T
{
L
n
[
4
π
V
N
(
m
c
h
)
3
K
2
(
u
)
u
]
}
−
m
c
2
{\displaystyle \mu _{trans}~=~-kT\left\{\mathrm {Ln} \left[{\frac {4\pi V}{N}}\left({\frac {mc}{h}}\right)^{3}{\frac {K_{2}(u)}{u}}\right]\right\}-mc^{2}}
S
=
−
(
∂
F
∂
T
)
V
,
N
{\textstyle S=-\left({\frac {\partial F}{\partial T}}\right)_{V,N}}
S
t
r
a
n
s
=
N
k
{
log
[
4
π
V
N
(
m
c
h
)
3
K
2
(
u
)
u
]
+
4
+
K
1
(
u
)
K
2
(
u
)
}
{\displaystyle S_{trans}~=~Nk\left\{\log \left[{\frac {4\pi V}{N}}\left({\frac {mc}{h}}\right)^{3}{\frac {K_{2}(u)}{u}}\right]+4+{\frac {K_{1}(u)}{K_{2}(u)}}\right\}}
Comme U = F + T.S , alors:
U
t
r
a
n
s
=
N
m
c
2
[
K
1
(
u
)
K
2
(
u
)
+
3
u
−
1
]
{\displaystyle U_{trans}~=~Nmc^{2}\left[{\frac {K_{1}(u)}{K_{2}(u)}}+{\frac {3}{u}}-1\right]}
Le gaz parfait non relativiste (classique ) correspond à
u
⟶
∞
{\textstyle u\longrightarrow \ \infty }
U
=
3
2
N
k
T
{\displaystyle U={\frac {3}{2}}NkT}
Pour le gaz parfait ultrarelativiste, alors
u
⟶
0
e
t
K
1
(
u
)
K
2
(
u
)
⟶
u
/
2
,
s
o
i
t
:
{\textstyle u\longrightarrow \ 0\qquad \qquad \mathrm {et} \qquad \qquad {\frac {K_{1}(u)}{K_{2}(u)}}\longrightarrow \ u/2\qquad \qquad ,\quad \mathrm {soit:} }
U
=
3
N
k
T
{\displaystyle U=3NkT\,}
L'enthalpie H se calcule à partir de H = U + PV = U + NkT , soit:
H
t
r
a
n
s
l
=
N
m
c
2
[
K
1
(
u
)
K
2
(
u
)
+
4
u
−
1
]
{\displaystyle H_{transl}=Nmc^{2}\left[{\frac {K_{1}(u)}{K_{2}(u)}}+{\frac {4}{u}}-1\right]}
Pour le gaz parfait classique:
H
t
r
a
n
s
l
=
5
2
N
k
T
{\displaystyle H_{transl}={\frac {5}{2}}NkT}
Pour le gaz parfait ultrarelativiste:
H
t
r
a
n
s
l
=
4
N
k
T
{\displaystyle H_{transl}=4NkT\,}
Les capacités calorifiques sont:
C
v
=
(
∂
U
∂
T
)
V
,
N
=
−
u
T
×
(
∂
U
∂
u
)
V
,
N
{\displaystyle C_{v}=\left({\frac {\partial U}{\partial T}}\right)_{V,N}=-{\frac {u}{T}}\times \left({\frac {\partial U}{\partial u}}\right)_{V,N}}
C
v
=
N
k
u
{
u
+
3
u
−
K
1
(
u
)
K
2
(
u
)
[
3
+
u
K
1
(
u
)
K
2
(
u
)
]
}
{\displaystyle C_{v}=Nku\left\{u+{\frac {3}{u}}-{\frac {K_{1}(u)}{K_{2}(u)}}\left[3+u{\frac {K_{1}(u)}{K_{2}(u)}}\right]\right\}}
Dans les conditions non relativistes (classiques), on aura:
C
v
=
3
2
N
k
{\displaystyle C_{v}={\frac {3}{2}}Nk}
et pour des conditions ultrarelativistes,
C
v
=
3
N
k
{\displaystyle C_{v}=3Nk\,}
P , on aura:
C
P
=
N
k
u
{
u
+
4
u
−
K
1
(
u
)
K
2
(
u
)
[
3
+
u
K
1
(
u
)
K
2
(
u
)
]
}
{\displaystyle C_{P}=Nku\left\{u+{\frac {4}{u}}-{\frac {K_{1}(u)}{K_{2}(u)}}\left[3+u{\frac {K_{1}(u)}{K_{2}(u)}}\right]\right\}}
Dans les conditions non relativistes (classiques), on aura:
C
P
=
5
2
N
k
{\displaystyle C_{P}={\frac {5}{2}}Nk}
et pour des conditions ultrarelativistes,
C
P
=
4
N
k
{\displaystyle C_{P}=4Nk\,}
Cas des gaz parfaits multiatomiques
modifier
Ici, outre l'énergie correspondant à la masse m, dans un gaz parfait multiatomique, les contributions à l'énergie seront: la translation, la rotation, la vibration et l'énergie interne (électronique et nucléaire). La fonction de partition d'une espèce sera alors de la forme:
Z
(
T
,
V
,
1
)
=
Z
t
r
a
n
s
l
×
Z
r
o
t
×
Z
v
i
b
×
Z
e
l
e
c
t
×
Z
n
u
c
l
{\displaystyle Z(T,V,1)={\mathfrak {Z}}_{transl}\times {\mathfrak {Z}}_{rot}\times {\mathfrak {Z}}_{vib}\times {\mathfrak {Z}}_{elect}\times {\mathfrak {Z}}_{nucl}}
Z
(
T
,
V
,
1
)
=
Z
t
r
a
n
s
l
×
Z
r
o
t
×
Z
v
i
b
×
Z
i
n
t
{\displaystyle Z(T,V,1)={\mathfrak {Z}}_{transl}\times {\mathfrak {Z}}_{rot}\times {\mathfrak {Z}}_{vib}\times {\mathfrak {Z}}_{int}}
K
n
(
x
)
=
2
n
x
n
Γ
(
n
+
1
/
2
)
π
∫
0
+
∞
cos
ζ
d
ζ
(
ζ
2
+
x
2
)
n
+
1
/
2
{\displaystyle K_{n}(x)={\frac {2^{n}x^{n}\Gamma (n+1/2)}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{+\infty }{\frac {\cos \zeta \,{\text{d}}\zeta }{(\zeta ^{2}+x^{2})^{n+1/2}}}}
w:Fonction de Bessel modifiée de seconde espèce)
k
=
k
B
=
1,380
648
52
×
10
−
23
J
⋅
K
−
1
{\displaystyle {\displaystyle k=k_{B}=\quad 1{,}380\,648\,52\times 10^{-23}\;\mathrm {J\cdot K^{-1}} }}
c
=
299
792
458
m
.
s
−
1
{\displaystyle c\quad =\quad 299~792~458~\;\mathrm {m.s^{-1}} }
Le nombre d'Avogadro
N
{\displaystyle {\mathcal {N}}}
N A 23 mol−1
R
=
N
⋅
k
B
{\displaystyle R={\mathcal {N}}\cdot \ k_{B}}
R
=
8,314
459
8
J
⋅
m
o
l
−
1
⋅
K
−
1
{\displaystyle R=8{,}314~\,459\,~8\;\mathrm {J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}} }
↑ Greiner Walter, Neise Ludwig et Stöcker Horst, Thermodynamique et mécanique statistique , Springer (1999) - p.269-274
![{\displaystyle F_{trans}~=~-NkT\left\{\mathrm {Ln} \left[{\frac {4\pi V}{N}}\left({\frac {mc}{h}}\right)^{3}{\frac {K_{2}(u)}{u}}\right]+1\right\}-Nmc^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a423425f3f3bb265c70c7b8a92803b0ad2753b80)
![{\displaystyle G_{trans}~=~-NkT\left\{\mathrm {Ln} \left[{\frac {4\pi V}{N}}\left({\frac {mc}{h}}\right)^{3}{\frac {K_{2}(u)}{u}}\right]\right\}-Nmc^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cda3afbc6254199a955c310579cf64b547dbb9a3)
![{\displaystyle \mu _{trans}~=~-kT\left\{\mathrm {Ln} \left[{\frac {4\pi V}{N}}\left({\frac {mc}{h}}\right)^{3}{\frac {K_{2}(u)}{u}}\right]\right\}-mc^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3723a9d5ca5e2e7ab53f50b1b0a9506b1dc72269)
![{\displaystyle S_{trans}~=~Nk\left\{\log \left[{\frac {4\pi V}{N}}\left({\frac {mc}{h}}\right)^{3}{\frac {K_{2}(u)}{u}}\right]+4+{\frac {K_{1}(u)}{K_{2}(u)}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a52708c350c4aa271bfa83fe236616ed4376cd1)
![{\displaystyle U_{trans}~=~Nmc^{2}\left[{\frac {K_{1}(u)}{K_{2}(u)}}+{\frac {3}{u}}-1\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96f31f4ce7856f2c4d1cbbc0c5af6f0a91d15027)
![{\displaystyle H_{transl}=Nmc^{2}\left[{\frac {K_{1}(u)}{K_{2}(u)}}+{\frac {4}{u}}-1\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f5b9b4f3caed16d8e73ee1bfcefaf095d18baf0)
![{\displaystyle C_{v}=Nku\left\{u+{\frac {3}{u}}-{\frac {K_{1}(u)}{K_{2}(u)}}\left[3+u{\frac {K_{1}(u)}{K_{2}(u)}}\right]\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/930e96c9514470706cee809590fcc218245ab99b)
![{\displaystyle C_{P}=Nku\left\{u+{\frac {4}{u}}-{\frac {K_{1}(u)}{K_{2}(u)}}\left[3+u{\frac {K_{1}(u)}{K_{2}(u)}}\right]\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f24643bddcde04102087541eb8a23aa01ad12b3)
