Ondes électromagnétiques/Exercices/Onde sphérique

On considère l'équation de propagation d'une grandeur scalaire s : $\Delta s={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}s}{\partial t^{2}}}$.

Chercher les solutions correspondant à une onde sphérique de centre O, c'est-à-dire de la forme $s=s(r,t)$. On cherchera à déterminer s sous la forme $s(r,t)={\frac {1}{r}}\Psi (r,t)$.

Note : Le laplacien en coordonnées sphériques vaut : $\Delta s={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial s}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin(\theta )}}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin(\theta ){\frac {\partial s}{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}(\theta )}}{\frac {\partial ^{2}s}{\partial \varphi ^{2}}}$

Solution

Commençons par calculer le laplacien de s :

${\begin{aligned}r^{2}{\frac {\partial s}{\partial r}}&=r^{2}{\frac {\partial }{\partial r}}\left({\frac {1}{r}}\Psi (r,t)\right)\\&=r^{2}{\frac {\partial ({\frac {1}{r}})}{\partial r}}\Psi (r,t)+r{\frac {\partial \Psi }{\partial r}}\\&=-\Psi (r,t)+r{\frac {\partial \Psi }{\partial r}}\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial s}{\partial r}}\right)&={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(-\Psi (r,t)+r{\frac {\partial \Psi }{\partial r}}\right)\\&=-{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial \Psi }{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}}}\left({\frac {\partial \Psi }{\partial r}}+r{\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial r^{2}}}\right)\\&={\frac {1}{r}}{\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial r^{2}}}\end{aligned}}$

Les autres termes du laplacien sont nuls, donc $\Delta s={\frac {1}{r}}{\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial r^{2}}}$.

De plus, l'équation de propagation donne :

${\begin{aligned}\Delta s&={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}s}{\partial t^{2}}}\\&={\frac {1}{r}}{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial t^{2}}}\end{aligned}}$

On arrive finalement à l'équation de propagation suivante : ${\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial t^{2}}}={\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial r^{2}}}$.

On sait alors que $\Psi (r,t)=f\left(t-{\frac {r}{c}}\right)+g\left(t+{\frac {r}{c}}\right)$

Les solutions à l'équation de propagation sous les conditions de l'énoncé sont alors de la forme $s(r,t)={\frac {1}{r}}\left(f\left(t-{\frac {r}{c}}\right)+g\left(t+{\frac {r}{c}}\right)\right)$