Début de la boite de navigation du chapitre
On travaille dans un milieu LHI de perméabilité magnétique μ et de permittivité diélectrique ε sans charges ni courants.
fin de la boite de navigation du chapitre
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Ondes électromagnétiques : Onde plane Ondes électromagnétiques/Onde plane », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
On a vu que, pour toute composante de
A
→
,
E
→
{\displaystyle {\vec {A}},{\vec {E}}}
ou
B
→
{\displaystyle {\vec {B}}}
, les équations de propagation sont de la forme
ϵ
μ
∂
2
s
∂
t
2
=
Δ
s
{\displaystyle \epsilon \mu {\frac {\partial ^{2}s}{\partial t^{2}}}=\Delta s}
.
On ne sait pas trouver toutes les solutions de cette équation aux dérivées partielles. On va donc en chercher sous une forme particulière.
Dans la suite, on pose
v
=
1
ϵ
μ
{\displaystyle v={\frac {1}{\sqrt {\epsilon \mu }}}}
. Ainsi,
ϵ
μ
=
1
v
2
{\displaystyle \epsilon \mu ={\frac {1}{v^{2}}}}
. On expliquera plus loin dans cette page le pourquoi de cette notation.
Début d’un principe
Recherche d'onde plane solution de l'équation de propagation
On se met à la recherche d'une solution de la forme
s
=
s
(
x
,
t
)
{\displaystyle s=s(x,t)}
.
L'équation aux dérivées partielles de propagation devient alors
1
v
2
∂
2
s
∂
t
2
=
Δ
s
=
∂
2
s
∂
x
2
{\displaystyle {\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}s}{\partial t^{2}}}=\Delta s={\frac {\partial ^{2}s}{\partial x^{2}}}}
.
Fin du principe
On pourrait tout aussi bien choisir de rechercher les ondes sphériques solution de cette équation de propagation. Ce cas est laissé en exercice.
À présent, on s'interroge sur la forme de s. Comme on sait que l'équation vérifiée par s est une équation de propagation suivant
x
→
{\displaystyle {\vec {x}}}
, on a l'idée, au lieu de paramétrer s par
(
x
,
t
)
{\displaystyle (x,t)}
, de changer de variables. On pose ainsi deux nouvelles variables :
u
=
t
−
x
v
{\displaystyle u=t-{\frac {x}{v}}}
w
=
t
+
x
v
{\displaystyle w=t+{\frac {x}{v}}}
Étudions ce que devient l'équation de propagation
1
v
2
∂
2
s
∂
t
2
=
∂
2
s
∂
x
2
{\displaystyle {\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}s}{\partial t^{2}}}={\frac {\partial ^{2}s}{\partial x^{2}}}}
avec ces nouvelles variables :
D'après la règle de la chaîne :
∂
s
∂
x
=
∂
s
∂
u
∂
u
∂
x
+
∂
s
∂
w
∂
w
∂
x
(
E
)
{\displaystyle {\frac {\partial s}{\partial x}}={\frac {\partial s}{\partial u}}{\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial s}{\partial w}}{\frac {\partial w}{\partial x}}\qquad (E)}
∂
u
∂
x
=
∂
∂
x
(
t
−
x
v
)
=
−
1
v
{\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial }{\partial x}}\left(t-{\frac {x}{v}}\right)=-{\frac {1}{v}}}
∂
w
∂
x
=
∂
∂
x
(
t
+
x
v
)
=
1
v
{\displaystyle {\frac {\partial w}{\partial x}}={\frac {\partial }{\partial x}}\left(t+{\frac {x}{v}}\right)={\frac {1}{v}}}
On obtient:
∂
s
∂
x
=
1
v
(
∂
s
∂
w
−
∂
s
∂
u
)
{\displaystyle {\frac {\partial s}{\partial x}}={\frac {1}{v}}\left({\frac {\partial s}{\partial w}}-{\frac {\partial s}{\partial u}}\right)}
On redérive
(
E
)
{\displaystyle (E)}
par rapport à x :
∂
2
s
∂
x
2
=
[
∂
∂
u
(
∂
s
∂
x
)
∂
u
∂
x
+
∂
∂
w
(
∂
s
∂
x
)
∂
w
∂
x
]
=
1
v
2
(
∂
2
s
∂
u
2
−
2
∂
2
s
∂
u
∂
w
+
∂
2
s
∂
w
2
)
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial ^{2}s}{\partial x^{2}}}&=\left[{\frac {\partial }{\partial u}}\left({\frac {\partial s}{\partial x}}\right){\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial }{\partial w}}\left({\frac {\partial s}{\partial x}}\right){\frac {\partial w}{\partial x}}\right]\\&={\frac {1}{v^{2}}}\left({\frac {\partial ^{2}s}{\partial u^{2}}}-2{\frac {\partial ^{2}s}{\partial u\partial w}}+{\frac {\partial ^{2}s}{\partial w^{2}}}\right)\end{aligned}}}
On s'attaque maintenant à la dérivée par rapport au temps :
On applique la règle de la chaîne :
∂
s
∂
t
=
∂
s
∂
u
∂
u
∂
t
+
∂
s
∂
w
∂
w
∂
t
(
E
′
)
{\displaystyle {\frac {\partial s}{\partial t}}={\frac {\partial s}{\partial u}}{\frac {\partial u}{\partial t}}+{\frac {\partial s}{\partial w}}{\frac {\partial w}{\partial t}}\qquad (E')}
∂
u
∂
t
=
∂
∂
t
(
t
−
x
v
)
=
1
{\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial t}}\left(t-{\frac {x}{v}}\right)=1}
∂
w
∂
t
=
∂
∂
t
(
t
+
x
v
)
=
1
{\displaystyle {\frac {\partial w}{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial t}}\left(t+{\frac {x}{v}}\right)=1}
Donc
∂
s
∂
t
=
(
∂
s
∂
w
+
∂
s
∂
u
)
{\displaystyle {\frac {\partial s}{\partial t}}=\left({\frac {\partial s}{\partial w}}+{\frac {\partial s}{\partial u}}\right)}
On redérive
(
E
′
)
{\displaystyle (E')}
par rapport au temps :
∂
2
s
∂
t
2
=
[
∂
∂
u
(
∂
s
∂
t
)
∂
u
∂
t
+
∂
∂
w
(
∂
s
∂
t
)
∂
w
∂
t
]
=
[
∂
2
s
∂
u
2
+
2
∂
2
s
∂
u
∂
w
+
∂
2
s
∂
w
2
]
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial ^{2}s}{\partial t^{2}}}&=\left[{\frac {\partial }{\partial u}}\left({\frac {\partial s}{\partial t}}\right){\frac {\partial u}{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial w}}\left({\frac {\partial s}{\partial t}}\right){\frac {\partial w}{\partial t}}\right]\\&=\left[{\frac {\partial ^{2}s}{\partial u^{2}}}+2{\frac {\partial ^{2}s}{\partial u\partial w}}+{\frac {\partial ^{2}s}{\partial w^{2}}}\right]\end{aligned}}}
L'équation de propagation
Δ
s
=
1
v
2
∂
2
s
∂
t
2
{\displaystyle \Delta s={\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}s}{\partial t^{2}}}}
devient alors (après simplification)
1
v
2
(
∂
2
s
∂
u
2
−
2
∂
2
s
∂
u
∂
w
+
∂
2
s
∂
w
2
)
=
1
v
2
(
∂
2
s
∂
u
2
+
2
∂
2
s
∂
u
∂
w
+
∂
2
s
∂
w
2
)
{\displaystyle {\frac {1}{v^{2}}}\left({\frac {\partial ^{2}s}{\partial u^{2}}}-2{\frac {\partial ^{2}s}{\partial u\partial w}}+{\frac {\partial ^{2}s}{\partial w^{2}}}\right)={\frac {1}{v^{2}}}\left({\frac {\partial ^{2}s}{\partial u^{2}}}+2{\frac {\partial ^{2}s}{\partial u\partial w}}+{\frac {\partial ^{2}s}{\partial w^{2}}}\right)}
Cela implique
∂
2
s
∂
u
∂
w
=
0
{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}s}{\partial u\partial w}}=0}
, c'est-à-dire
s
=
f
(
u
)
+
g
(
w
)
{\displaystyle s=f(u)+g(w)}
Au bout du compte, on trouve :
s
(
x
,
t
)
=
f
(
t
−
x
v
)
+
g
(
t
+
x
v
)
{\displaystyle ~s(x,t)=f\left(t-{\frac {x}{v}}\right)+g\left(t+{\frac {x}{v}}\right)}
Étudions le cas du terme
f
(
t
−
x
v
)
{\displaystyle f\left(t-{\frac {x}{v}}\right)}
, l'étude de l'autre terme se menant de manière parfaitement identique.
À l'instant t 0 et à l'abscisse x 0 , ce terme prend la valeur
f
(
t
0
−
x
0
v
)
=
α
{\displaystyle f\left(t_{0}-{\frac {x_{0}}{v}}\right)=\alpha }
.
À l'instant
t
0
+
Δ
t
{\displaystyle t_{0}+\Delta t}
, donc un peu plus tard, l'onde s'est propagée. On cherche à quelle abscisse
x
+
Δ
x
{\displaystyle x+\Delta x}
on a
f
(
(
t
0
+
Δ
t
)
−
x
0
+
Δ
x
v
)
=
α
{\displaystyle f\left((t_{0}+\Delta t)-{\frac {x_{0}+\Delta x}{v}}\right)=\alpha }
.
Cette égalité est vérifiée tout à fait logiquement lorsque
t
0
−
x
0
v
=
(
t
0
+
Δ
t
)
−
x
0
+
Δ
x
v
{\displaystyle t_{0}-{\frac {x_{0}}{v}}=(t_{0}+\Delta t)-{\frac {x_{0}+\Delta x}{v}}}
(la fonction ƒ appliquée au même nombre va donner le même résultat).
Après développement et simplification, on aboutit à la relation
v
=
Δ
x
Δ
t
{\displaystyle v={\frac {\Delta x}{\Delta t}}}
. v est donc la vitesse de propagation de l'onde dans le milieu étudié.
Propriété
Dans le vide :
ϵ
0
μ
0
c
2
=
1
{\displaystyle \epsilon _{0}\,\mu _{0}\,c^{2}=1}
Dans un milieu LHI de permittivité diélectrique ε et de
perméabilité magnétique μ :
ϵ
μ
v
2
=
1
{\displaystyle \epsilon \mu v^{2}=1}
v étant définie positive, cette onde se propage dans le sens des x croissants.
La solution trouvée plus haut peut alors s'interpréter comme suit :
Le terme en
f
(
t
−
x
v
)
{\displaystyle f\left(t-{\frac {x}{v}}\right)}
correspond à une onde se propageant vers les x croissants à la vitesse v
Le terme en
g
(
t
+
x
v
)
{\displaystyle g\left(t+{\frac {x}{v}}\right)}
correspond à une onde se propageant vers les x décroissants à la vitesse v
Définition
Un champ est dit transverse lorsqu’il n'admet pas de composante suivant la direction de propagation de l'onde.
Transversalité du champ électrique
modifier
On se place dans la jauge de Coulomb.
Comme
E
→
{\displaystyle {\vec {E}}}
est seule fonction de x et t, sa divergence se réduit à
d
i
v
(
E
→
)
=
∂
E
x
∂
x
{\displaystyle \mathrm {div} ({\vec {E}})={\frac {\partial E_{x}}{\partial x}}}
.
Or, dans un milieu sans charges,
d
i
v
(
E
→
)
=
0
{\displaystyle \mathrm {div} ({\vec {E}})=0}
, donc Ex ne dépend pas de x.
Le champ électrique est également défini par
E
→
=
−
∇
→
V
−
∂
A
→
∂
t
=
−
∂
A
→
∂
t
{\displaystyle {\vec {E}}=-{\vec {\nabla }}V-{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}}=-{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}}}
.
On projette suivant x :
E
x
=
−
∂
A
x
∂
t
{\displaystyle E_{x}=-{\frac {\partial A_{x}}{\partial t}}}
.
On dérive par rapport à t :
∂
E
x
∂
t
=
−
∂
2
A
x
∂
t
2
{\displaystyle {\frac {\partial E_{x}}{\partial t}}=-{\frac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial t^{2}}}}
.
L'équation de propagation du potentiel vecteur dans un milieu sans courants permet d'obtenir
ϵ
μ
∂
E
x
∂
t
=
−
Δ
A
x
{\displaystyle \epsilon \mu {\frac {\partial E_{x}}{\partial t}}=-\Delta A_{x}}
.
Comme le potentiel vecteur n'est lui aussi fonction que de x et t,
ϵ
μ
∂
E
x
∂
t
=
−
∂
2
A
x
∂
x
2
{\displaystyle \epsilon \mu {\frac {\partial E_{x}}{\partial t}}=-{\frac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial x^{2}}}}
.
Comme, dans la jauge de Coulomb,
d
i
v
(
A
→
)
=
∂
A
x
∂
x
=
0
{\displaystyle \mathrm {div} ({\vec {A}})={\frac {\partial A_{x}}{\partial x}}=0}
, on a finalement
∂
E
x
∂
t
=
0
{\displaystyle {\frac {\partial E_{x}}{\partial t}}=0}
, soit Ex indépendant de t.
Finalement, Ex est une constante dans le temps et dans l'espace. Le cas des composantes continues étant traité dans le cours d'électrostatique , on ne s'intéressera qu'aux régimes variables.
On aboutit alors à Ex =0.
Transversalité du champ électrique
E
→
{\displaystyle {\vec {E}}}
est transverse.
Transversalité du champ magnétique
modifier
Comme
B
→
{\displaystyle {\vec {B}}}
est seul fonction de x et t, sa divergence se réduit à
d
i
v
(
B
→
)
=
∂
B
x
∂
x
{\displaystyle \mathrm {div} ({\vec {B}})={\frac {\partial B_{x}}{\partial x}}}
.
Or,
d
i
v
(
B
→
)
=
0
{\displaystyle \mathrm {div} ({\vec {B}})=0}
, donc Bx ne dépend pas de x.
De plus,
r
o
t
→
(
E
→
)
=
−
∂
B
→
∂
t
{\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {rot} }}({\vec {E}})=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}}
On projette suivant x :
∂
B
x
∂
t
=
∂
E
y
∂
z
−
∂
E
z
∂
y
=
0
{\displaystyle {\frac {\partial B_{x}}{\partial t}}={\frac {\partial E_{y}}{\partial z}}-{\frac {\partial E_{z}}{\partial y}}=0}
, donc Bx ne dépend pas de t non plus.
Finalement, Bx est une constante dans le temps et dans l'espace. Le cas des composantes continues étant traité dans le cours de magnétostatique , on ne s'intéressera qu'aux régimes variables.
On a abouti alors à Bx =0.
Transversalité du champ magnétique
B
→
{\displaystyle {\vec {B}}}
est transverse.
Transversalité du potentiel vecteur
modifier
Comme
A
→
{\displaystyle {\vec {A}}}
est seul fonction de x et t, sa divergence se réduit dans la jauge de Coulomb à
d
i
v
(
A
→
)
=
∂
A
x
∂
x
{\displaystyle \mathrm {div} ({\vec {A}})={\frac {\partial A_{x}}{\partial x}}}
.
Or,
d
i
v
(
A
→
)
=
0
{\displaystyle \mathrm {div} ({\vec {A}})=0}
, donc Ax ne dépend pas de x.
De plus,
E
→
=
−
∂
A
→
∂
t
{\displaystyle {\vec {E}}=-{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}}}
On projette suivant x :
∂
A
x
∂
t
=
−
E
x
=
0
{\displaystyle {\frac {\partial A_{x}}{\partial t}}=-E_{x}=0}
, donc Ax ne dépend pas de t non plus.
Finalement, Ax est une constante dans le temps et dans l'espace, et pour les mêmes arguments que précédemment on choisit Ax =0.
Transversalité du potentiel vecteur
A
→
{\displaystyle {\vec {A}}}
est transverse.
On suppose désormais travailler avec une onde plane se propageant suivant les
x
→
{\displaystyle {\vec {x}}}
croissants.
On part de l’expression des coordonnées du potentiel vecteur :
{
A
x
=
0
A
y
=
f
(
t
−
x
v
)
A
z
=
g
(
t
−
x
v
)
{\displaystyle {\begin{cases}A_{x}=0\\A_{y}=f\left(t-{\frac {x}{v}}\right)\\A_{z}=g\left(t-{\frac {x}{v}}\right)\\\end{cases}}}
On obtient alors
E
→
{\displaystyle {\vec {E}}}
et
B
→
{\displaystyle {\vec {B}}}
grâce aux relations
E
→
=
−
∂
A
→
∂
t
{\displaystyle {\vec {E}}=-{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}}}
et
B
→
=
r
o
t
→
(
A
→
)
{\displaystyle {\vec {B}}={\overrightarrow {\rm {rot}}}({\vec {A}})}
{
E
x
=
0
E
y
=
−
f
′
(
t
−
x
v
)
E
z
=
−
g
′
(
t
−
x
v
)
{\displaystyle {\begin{cases}E_{x}=0\\E_{y}=-f'\left(t-{\frac {x}{v}}\right)\\E_{z}=-g'\left(t-{\frac {x}{v}}\right)\\\end{cases}}}
{
B
x
=
0
B
y
=
1
v
g
′
(
t
−
x
v
)
B
z
=
−
1
v
f
′
(
t
−
x
v
)
{\displaystyle {\begin{cases}B_{x}=0\\B_{y}={\frac {1}{v}}g'\left(t-{\frac {x}{v}}\right)\\B_{z}=-{\frac {1}{v}}f'\left(t-{\frac {x}{v}}\right)\\\end{cases}}}
On arrive alors à la relation suivante :
Relation entre les champs
Pour une onde plane progressive
B
→
=
1
v
x
→
∧
E
→
{\displaystyle {\vec {B}}={\frac {1}{v}}{\vec {x}}\wedge {\vec {E}}}