1. Dans ce plasma, les équations de Maxwell sont :
car l’ensemble est électriquement neutre
![{\displaystyle \mathrm {div} ({\vec {B}})=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e282be6468a05f060752d58925331672646e715)
![{\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {rot} }}({\vec {E}})=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ec7660158d4192fedfefb29b9a3fca2660ad05f)
![{\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {rot} }}({\vec {B}})=\mu _{0}{\vec {j}}+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7e4b56bf11e15a5468a07ad2997194b2fcded35)
Pour obtenir la relation de dispersion, on calcule :
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}({\overrightarrow {\mathrm {rot} }}({\vec {E}}))&={\vec {\nabla }}(\mathrm {div} ({\vec {E}}))-{\vec {\Delta }}{\vec {E}}=-{\vec {\Delta }}{\vec {E}}\\&={\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\left(-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}\right)=-{\frac {\partial ({\overrightarrow {\mathrm {rot} }}({\vec {B}}))}{\partial t}}=-\mu _{0}{\frac {\partial {\vec {j}}}{\partial t}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{\vec {E}}}{\partial t^{2}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df9d5e96b3d9298d26d9b061890db89f4af9cff4)
De plus, en notation complexe,
.
On calcule le laplacien de
:
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {\Delta }}{\underline {\vec {E}}}&=\Delta {\underline {E}}_{x}{\vec {u}}_{x}+\Delta {\underline {E}}_{y}{\vec {u}}_{y}+\Delta {\underline {E}}_{z}{\vec {u}}_{z}\\&={\frac {\partial }{\partial x^{2}}}\left({\underline {E}}_{0y}e^{i(\omega t-kx)}\right){\vec {u}}_{y}+{\frac {\partial }{\partial x^{2}}}\left({\underline {E}}_{0z}e^{i(\omega t-kx)}\right){\vec {u}}_{z}\\&=-k^{2}{\underline {\vec {E}}}_{0}e^{i(\omega t-kx)}\\&=-k^{2}{\underline {\vec {E}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25a5010f8a1e8ee94cc6805f27152cf33ae303a5)
En outre,
L'égalité
devient
Il nous reste à expliciter
. Par définition,
. Il faut maintenant le relier à
. Comme on ne peut pas être certain a priori que la loi d'Ohm puisse s'appliquer, on revient aux bases en appliquant le principe fondamental de la dynamique à un électron du plasma dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen :
Ceci aboutit à
, c'est-à-dire
On remplace
par son expression :
La relation de dispersion est finalement
|
Cette relation de dispersion fait apparaître une fréquence de coupure caractéristique ωc qui vérifie
.
La fréquence de coupure du plasma est . La relation de dispersion devient alors
|
2. De la relation de dispersion
on tire
D'où
|
3. Toujours en partant de la relation de dispersion,
.
On prend la différentielle :
Donc
|
4. L'application numérique pour la fréquence de coupure donne fc=9,02 MHz