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Ondes électromagnétiques : Propagation Ondes électromagnétiques/Propagation », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Propagation des potentiels
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On va établir les équations de propagation des potentiels dans un milieu linéaire homogène isotrope , de perméabilité magnétique μ et de permittivité diélectrique ε.
Propagation du potentiel vecteur
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Une des équations de Maxwell est r o t → ( B → ) = μ j → + ϵ μ ∂ E → ∂ t {\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {rot} }}({\vec {B}})=\mu {\vec {j}}+\epsilon \mu {\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}}
De plus, E → = − ∇ → V − ∂ A → ∂ t {\displaystyle {\vec {E}}=-{\vec {\nabla }}V-{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}}}
On remplace :
r o t → ( B → ) = μ j → + ϵ μ ∂ ∂ t ( − ∇ → V − ∂ A → ∂ t ) = μ j → + ∇ → ( − ϵ μ ∂ V ∂ t ) − ϵ μ ∂ 2 A → ∂ t 2 = μ j → + ∇ → ( d i v ( A → ) ) − ϵ μ ∂ 2 A → ∂ t 2 ~(jauge~de~Lorenz) {\displaystyle {\begin{aligned}{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}({\vec {B}})&=\mu {\vec {j}}+\epsilon \mu {\frac {\partial }{\partial t}}\left(-{\vec {\nabla }}V-{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}}\right)\\&=\mu {\vec {j}}+{\vec {\nabla }}\left(-\epsilon \mu {\frac {\partial V}{\partial t}}\right)-\epsilon \mu {\frac {\partial ^{2}{\vec {A}}}{\partial t^{2}}}\\&=\mu {\vec {j}}+{\vec {\nabla }}(\mathrm {div} ({\vec {A}}))-\epsilon \mu {\frac {\partial ^{2}{\vec {A}}}{\partial t^{2}}}{\textrm {~(jauge~de~Lorenz)}}\\\end{aligned}}} Or, B → = r o t → ( A → ) {\displaystyle {\vec {B}}={\overrightarrow {\mathrm {rot} }}({\vec {A}})}
Donc
r o t → ( r o t → ( A → ) ) = ∇ → ( d i v ( A → ) ) − Δ → A → = μ j → + ∇ → ( d i v ( A → ) ) − ϵ μ ∂ 2 A → ∂ t 2 {\displaystyle {\begin{aligned}{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}({\overrightarrow {\mathrm {rot} }}({\vec {A}}))&={\vec {\nabla }}(\mathrm {div} ({\vec {A}}))-{\vec {\Delta }}{\vec {A}}\\&=\mu {\vec {j}}+{\vec {\nabla }}(\mathrm {div} ({\vec {A}}))-\epsilon \mu {\frac {\partial ^{2}{\vec {A}}}{\partial t^{2}}}\end{aligned}}}
Propagation du potentiel vecteur
Δ → A → − ϵ μ ∂ 2 A → ∂ t 2 = − μ j → {\displaystyle {\vec {\Delta }}{\vec {A}}-\epsilon \mu {\frac {\partial ^{2}{\vec {A}}}{\partial t^{2}}}=-\mu {\vec {j}}}
Propagation du potentiel
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On sait que E → = − ∇ → V − ∂ A → ∂ t {\displaystyle {\vec {E}}=-{\vec {\nabla }}V-{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}}}
On prend la divergence :
d i v ( E → ) = − d i v ( ∇ → V ) − d i v ( ∂ A → ∂ t ) = − Δ V − ∂ ∂ t ( d i v ( A → ) ) = − Δ V + ∂ ∂ t ( ϵ μ ∂ V ∂ t ) ~(jauge~de~Lorenz) = − Δ V + ϵ μ ∂ 2 V ∂ t 2 {\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {div} ({\vec {E}})&=-\mathrm {div} ({\vec {\nabla }}V)-\mathrm {div} \left({\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}}\right)\\&=-\Delta V-{\frac {\partial }{\partial t}}(\mathrm {div} ({\vec {A}}))\\&=-\Delta V+{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\epsilon \mu {\frac {\partial V}{\partial t}}\right){\textrm {~(jauge~de~Lorenz)}}\\&=-\Delta V+\epsilon \mu {\frac {\partial ^{2}V}{\partial t^{2}}}\end{aligned}}} De plus, une équation de Maxwell assure que d i v ( E → ) = ρ ϵ 0 {\displaystyle \mathrm {div} ({\vec {E}})={\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}} .
Propagation du potentiel
Δ V − ϵ μ ∂ 2 V ∂ t 2 = − ρ ϵ 0 {\displaystyle \Delta V-\epsilon \mu {\frac {\partial ^{2}V}{\partial t^{2}}}=-{\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}}
Propagation des champs dans un milieu sans charges ni courants
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À partir des potentiels
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D'après la jauge de Coulomb, dans un milieu LHI sans charges ni courants, V = 0 donc E → = − ∂ A → ∂ t {\displaystyle {\vec {E}}=-{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}}} .
De plus, on a montré que la propagation du potentiel vecteur vérifie, dans un milieu sans charges ni courants, Δ → A → − ϵ μ ∂ 2 A → ∂ t 2 = 0 {\displaystyle {\vec {\Delta }}{\vec {A}}-\epsilon \mu {\frac {\partial ^{2}{\vec {A}}}{\partial t^{2}}}=0}
Donc, en dérivant par rapport au temps, ∂ ∂ t ( Δ → A → ) − ϵ μ ∂ 3 A → ∂ t 3 = 0 {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\left({\vec {\Delta }}{\vec {A}}\right)-\epsilon \mu {\frac {\partial ^{3}{\vec {A}}}{\partial t^{3}}}=0}
ie − Δ → ( − ∂ A → ∂ t ) + ϵ μ ∂ 2 ∂ t 2 ( − ∂ A ∂ t ) = 0 {\displaystyle -{\vec {\Delta }}\left(-{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}}\right)+\epsilon \mu {\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\left(-{\frac {\partial A}{\partial t}}\right)=0}
ie − Δ → E → + ϵ μ ∂ 2 E → ∂ t 2 = 0 {\displaystyle -{\vec {\Delta }}{\vec {E}}+\epsilon \mu {\frac {\partial ^{2}{\vec {E}}}{\partial t^{2}}}=0}
Propagation du champ électrique dans un milieu sans charges ni courants
Δ → E → = ϵ μ ∂ 2 E → ∂ t 2 {\displaystyle {\vec {\Delta }}{\vec {E}}=\epsilon \mu {\frac {\partial ^{2}{\vec {E}}}{\partial t^{2}}}}
On peut également trouver l'équation de propagation du champ magnétique :
Propagation du champ magnétique dans un milieu sans charges ni courants
Δ → B → = ϵ μ ∂ 2 B → ∂ t 2 {\displaystyle {\vec {\Delta }}{\vec {B}}=\epsilon \mu {\frac {\partial ^{2}{\vec {B}}}{\partial t^{2}}}}
Manipulation générale
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D'après les équations de Maxwell, r o t → ( B → ) = ϵ μ ∂ E → ∂ t {\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {rot} }}({\vec {B}})=\epsilon \mu {\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}}
On prend le rotationnel :
r o t → ( r o t → ( B → ) ) = r o t → ( ϵ μ ∂ E → ∂ t ) = ϵ μ ∂ ∂ t ( r o t → ( E → ) ) = ϵ μ ∂ ∂ t ( − ∂ B ∂ t ) = − ϵ μ ∂ 2 B → ∂ t 2 {\displaystyle {\begin{aligned}{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}({\overrightarrow {\mathrm {rot} }}({\vec {B}}))&={\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\left(\epsilon \mu {\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}\right)\\&=\epsilon \mu {\frac {\partial }{\partial t}}\left({\overrightarrow {\mathrm {rot} }}({\vec {E}})\right)\\&=\epsilon \mu {\frac {\partial }{\partial t}}\left(-{\frac {\partial B}{\partial t}}\right)\\&=-\epsilon \mu {\frac {\partial ^{2}{\vec {B}}}{\partial t^{2}}}\\\end{aligned}}} De plus :
r o t → ( r o t → ( B → ) ) = ∇ → ( d i v ( B → ) ) − Δ → B → = − Δ → B → car d i v ( B → ) = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}({\overrightarrow {\mathrm {rot} }}({\vec {B}}))&={\vec {\nabla }}(\mathrm {div} ({\vec {B}}))-{\vec {\Delta }}{\vec {B}}\\&=-{\vec {\Delta }}{\vec {B}}~{\textrm {car}}~\mathrm {div} ({\vec {B}})=0\end{aligned}}}
On retombe bien sur Δ → B → = ϵ μ ∂ 2 B → ∂ t 2 {\displaystyle {\vec {\Delta }}{\vec {B}}=\epsilon \mu {\frac {\partial ^{2}{\vec {B}}}{\partial t^{2}}}}
D'après les équations de Maxwell, r o t → ( E → ) = − ∂ B → ∂ t {\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {rot} }}({\vec {E}})=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}}
On prend le rotationnel :
r o t → ( r o t → ( E → ) ) = r o t → ( − ∂ B → ∂ t ) = − ∂ ∂ t ( r o t → ( B → ) ) = − ∂ ∂ t ( ϵ μ ∂ E → ∂ t ) = − ϵ μ ∂ 2 E → ∂ t 2 {\displaystyle {\begin{aligned}{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}({\overrightarrow {\mathrm {rot} }}({\vec {E}}))&={\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\left(-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}\right)\\&=-{\frac {\partial }{\partial t}}\left({\overrightarrow {\mathrm {rot} }}({\vec {B}})\right)\\&=-{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\epsilon \mu {\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}\right)\\&=-\epsilon \mu {\frac {\partial ^{2}{\vec {E}}}{\partial t^{2}}}\\\end{aligned}}} De plus :
r o t → ( r o t → ( E → ) ) = ∇ → ( d i v ( E → ) ) − Δ → E → = − Δ → E → ~(milieu~sans~charges) {\displaystyle {\begin{aligned}{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}({\overrightarrow {\mathrm {rot} }}({\vec {E}}))&={\vec {\nabla }}(\mathrm {div} ({\vec {E}}))-{\vec {\Delta }}{\vec {E}}\\&=-{\vec {\Delta }}{\vec {E}}{\textrm {~(milieu~sans~charges)}}\end{aligned}}}
On retombe bien sur Δ → E → = ϵ μ ∂ 2 E → ∂ t 2 {\displaystyle {\vec {\Delta }}{\vec {E}}=\epsilon \mu {\frac {\partial ^{2}{\vec {E}}}{\partial t^{2}}}}
Équations de propagation
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Toutes les équations que l’on a démontrées dans ce chapitre sont des équations de propagation , puisqu'elles établissent une relation entre les dérivées secondes d'espace et la dérivée seconde du temps .
Ce type d'expression est à opposer aux équations de diffusion qui régissent par exemple les phénomènes thermiques, qui relient les dérivées secondes d'espace à la dérivée première du temps.
Nous allons à présent chercher à résoudre ces équations aux dérivées partielles dans quelques cas simples.