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En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Ondes électromagnétiques : Propagation Ondes électromagnétiques/Propagation », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
On va établir les équations de propagation des potentiels dans un milieu linéaire homogène isotrope , de perméabilité magnétique μ et de permittivité diélectrique ε.
Propagation du potentiel vecteur
modifier
Une des équations de Maxwell est
r
o
t
→
(
B
→
)
=
μ
j
→
+
ϵ
μ
∂
E
→
∂
t
{\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {rot} }}({\vec {B}})=\mu {\vec {j}}+\epsilon \mu {\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}}
De plus,
E
→
=
−
∇
→
V
−
∂
A
→
∂
t
{\displaystyle {\vec {E}}=-{\vec {\nabla }}V-{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}}}
On remplace :
r
o
t
→
(
B
→
)
=
μ
j
→
+
ϵ
μ
∂
∂
t
(
−
∇
→
V
−
∂
A
→
∂
t
)
=
μ
j
→
+
∇
→
(
−
ϵ
μ
∂
V
∂
t
)
−
ϵ
μ
∂
2
A
→
∂
t
2
=
μ
j
→
+
∇
→
(
d
i
v
(
A
→
)
)
−
ϵ
μ
∂
2
A
→
∂
t
2
~(jauge~de~Lorenz)
{\displaystyle {\begin{aligned}{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}({\vec {B}})&=\mu {\vec {j}}+\epsilon \mu {\frac {\partial }{\partial t}}\left(-{\vec {\nabla }}V-{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}}\right)\\&=\mu {\vec {j}}+{\vec {\nabla }}\left(-\epsilon \mu {\frac {\partial V}{\partial t}}\right)-\epsilon \mu {\frac {\partial ^{2}{\vec {A}}}{\partial t^{2}}}\\&=\mu {\vec {j}}+{\vec {\nabla }}(\mathrm {div} ({\vec {A}}))-\epsilon \mu {\frac {\partial ^{2}{\vec {A}}}{\partial t^{2}}}{\textrm {~(jauge~de~Lorenz)}}\\\end{aligned}}}
Or,
B
→
=
r
o
t
→
(
A
→
)
{\displaystyle {\vec {B}}={\overrightarrow {\mathrm {rot} }}({\vec {A}})}
Donc
r
o
t
→
(
r
o
t
→
(
A
→
)
)
=
∇
→
(
d
i
v
(
A
→
)
)
−
Δ
→
A
→
=
μ
j
→
+
∇
→
(
d
i
v
(
A
→
)
)
−
ϵ
μ
∂
2
A
→
∂
t
2
{\displaystyle {\begin{aligned}{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}({\overrightarrow {\mathrm {rot} }}({\vec {A}}))&={\vec {\nabla }}(\mathrm {div} ({\vec {A}}))-{\vec {\Delta }}{\vec {A}}\\&=\mu {\vec {j}}+{\vec {\nabla }}(\mathrm {div} ({\vec {A}}))-\epsilon \mu {\frac {\partial ^{2}{\vec {A}}}{\partial t^{2}}}\end{aligned}}}
Propagation du potentiel vecteur
Δ
→
A
→
−
ϵ
μ
∂
2
A
→
∂
t
2
=
−
μ
j
→
{\displaystyle {\vec {\Delta }}{\vec {A}}-\epsilon \mu {\frac {\partial ^{2}{\vec {A}}}{\partial t^{2}}}=-\mu {\vec {j}}}
On sait que
E
→
=
−
∇
→
V
−
∂
A
→
∂
t
{\displaystyle {\vec {E}}=-{\vec {\nabla }}V-{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}}}
On prend la divergence :
d
i
v
(
E
→
)
=
−
d
i
v
(
∇
→
V
)
−
d
i
v
(
∂
A
→
∂
t
)
=
−
Δ
V
−
∂
∂
t
(
d
i
v
(
A
→
)
)
=
−
Δ
V
+
∂
∂
t
(
ϵ
μ
∂
V
∂
t
)
~(jauge~de~Lorenz)
=
−
Δ
V
+
ϵ
μ
∂
2
V
∂
t
2
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {div} ({\vec {E}})&=-\mathrm {div} ({\vec {\nabla }}V)-\mathrm {div} \left({\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}}\right)\\&=-\Delta V-{\frac {\partial }{\partial t}}(\mathrm {div} ({\vec {A}}))\\&=-\Delta V+{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\epsilon \mu {\frac {\partial V}{\partial t}}\right){\textrm {~(jauge~de~Lorenz)}}\\&=-\Delta V+\epsilon \mu {\frac {\partial ^{2}V}{\partial t^{2}}}\end{aligned}}}
De plus, une équation de Maxwell assure que
d
i
v
(
E
→
)
=
ρ
ϵ
0
{\displaystyle \mathrm {div} ({\vec {E}})={\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}}
Propagation du potentiel
Δ
V
−
ϵ
μ
∂
2
V
∂
t
2
=
−
ρ
ϵ
0
{\displaystyle \Delta V-\epsilon \mu {\frac {\partial ^{2}V}{\partial t^{2}}}=-{\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}}
Propagation des champs dans un milieu sans charges ni courants
modifier
D'après la jauge de Coulomb, dans un milieu LHI sans charges ni courants, V = 0 donc
E
→
=
−
∂
A
→
∂
t
{\displaystyle {\vec {E}}=-{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}}}
De plus, on a montré que la propagation du potentiel vecteur vérifie, dans un milieu sans charges ni courants,
Δ
→
A
→
−
ϵ
μ
∂
2
A
→
∂
t
2
=
0
{\displaystyle {\vec {\Delta }}{\vec {A}}-\epsilon \mu {\frac {\partial ^{2}{\vec {A}}}{\partial t^{2}}}=0}
Donc, en dérivant par rapport au temps,
∂
∂
t
(
Δ
→
A
→
)
−
ϵ
μ
∂
3
A
→
∂
t
3
=
0
{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\left({\vec {\Delta }}{\vec {A}}\right)-\epsilon \mu {\frac {\partial ^{3}{\vec {A}}}{\partial t^{3}}}=0}
ie
−
Δ
→
(
−
∂
A
→
∂
t
)
+
ϵ
μ
∂
2
∂
t
2
(
−
∂
A
∂
t
)
=
0
{\displaystyle -{\vec {\Delta }}\left(-{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}}\right)+\epsilon \mu {\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\left(-{\frac {\partial A}{\partial t}}\right)=0}
ie
−
Δ
→
E
→
+
ϵ
μ
∂
2
E
→
∂
t
2
=
0
{\displaystyle -{\vec {\Delta }}{\vec {E}}+\epsilon \mu {\frac {\partial ^{2}{\vec {E}}}{\partial t^{2}}}=0}
Propagation du champ électrique dans un milieu sans charges ni courants
Δ
→
E
→
=
ϵ
μ
∂
2
E
→
∂
t
2
{\displaystyle {\vec {\Delta }}{\vec {E}}=\epsilon \mu {\frac {\partial ^{2}{\vec {E}}}{\partial t^{2}}}}
Propagation du champ magnétique dans un milieu sans charges ni courants
Δ
→
B
→
=
ϵ
μ
∂
2
B
→
∂
t
2
{\displaystyle {\vec {\Delta }}{\vec {B}}=\epsilon \mu {\frac {\partial ^{2}{\vec {B}}}{\partial t^{2}}}}
D'après les équations de Maxwell,
r
o
t
→
(
B
→
)
=
ϵ
μ
∂
E
→
∂
t
{\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {rot} }}({\vec {B}})=\epsilon \mu {\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}}
On prend le rotationnel :
r
o
t
→
(
r
o
t
→
(
B
→
)
)
=
r
o
t
→
(
ϵ
μ
∂
E
→
∂
t
)
=
ϵ
μ
∂
∂
t
(
r
o
t
→
(
E
→
)
)
=
ϵ
μ
∂
∂
t
(
−
∂
B
∂
t
)
=
−
ϵ
μ
∂
2
B
→
∂
t
2
{\displaystyle {\begin{aligned}{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}({\overrightarrow {\mathrm {rot} }}({\vec {B}}))&={\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\left(\epsilon \mu {\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}\right)\\&=\epsilon \mu {\frac {\partial }{\partial t}}\left({\overrightarrow {\mathrm {rot} }}({\vec {E}})\right)\\&=\epsilon \mu {\frac {\partial }{\partial t}}\left(-{\frac {\partial B}{\partial t}}\right)\\&=-\epsilon \mu {\frac {\partial ^{2}{\vec {B}}}{\partial t^{2}}}\\\end{aligned}}}
De plus :
r
o
t
→
(
r
o
t
→
(
B
→
)
)
=
∇
→
(
d
i
v
(
B
→
)
)
−
Δ
→
B
→
=
−
Δ
→
B
→
car
d
i
v
(
B
→
)
=
0
{\displaystyle {\begin{aligned}{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}({\overrightarrow {\mathrm {rot} }}({\vec {B}}))&={\vec {\nabla }}(\mathrm {div} ({\vec {B}}))-{\vec {\Delta }}{\vec {B}}\\&=-{\vec {\Delta }}{\vec {B}}~{\textrm {car}}~\mathrm {div} ({\vec {B}})=0\end{aligned}}}
On retombe bien sur
Δ
→
B
→
=
ϵ
μ
∂
2
B
→
∂
t
2
{\displaystyle {\vec {\Delta }}{\vec {B}}=\epsilon \mu {\frac {\partial ^{2}{\vec {B}}}{\partial t^{2}}}}
r
o
t
→
(
E
→
)
=
−
∂
B
→
∂
t
{\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {rot} }}({\vec {E}})=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}}
On prend le rotationnel :
r
o
t
→
(
r
o
t
→
(
E
→
)
)
=
r
o
t
→
(
−
∂
B
→
∂
t
)
=
−
∂
∂
t
(
r
o
t
→
(
B
→
)
)
=
−
∂
∂
t
(
ϵ
μ
∂
E
→
∂
t
)
=
−
ϵ
μ
∂
2
E
→
∂
t
2
{\displaystyle {\begin{aligned}{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}({\overrightarrow {\mathrm {rot} }}({\vec {E}}))&={\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\left(-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}\right)\\&=-{\frac {\partial }{\partial t}}\left({\overrightarrow {\mathrm {rot} }}({\vec {B}})\right)\\&=-{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\epsilon \mu {\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}\right)\\&=-\epsilon \mu {\frac {\partial ^{2}{\vec {E}}}{\partial t^{2}}}\\\end{aligned}}}
De plus :
r
o
t
→
(
r
o
t
→
(
E
→
)
)
=
∇
→
(
d
i
v
(
E
→
)
)
−
Δ
→
E
→
=
−
Δ
→
E
→
~(milieu~sans~charges)
{\displaystyle {\begin{aligned}{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}({\overrightarrow {\mathrm {rot} }}({\vec {E}}))&={\vec {\nabla }}(\mathrm {div} ({\vec {E}}))-{\vec {\Delta }}{\vec {E}}\\&=-{\vec {\Delta }}{\vec {E}}{\textrm {~(milieu~sans~charges)}}\end{aligned}}}
On retombe bien sur
Δ
→
E
→
=
ϵ
μ
∂
2
E
→
∂
t
2
{\displaystyle {\vec {\Delta }}{\vec {E}}=\epsilon \mu {\frac {\partial ^{2}{\vec {E}}}{\partial t^{2}}}}
Toutes les équations que l’on a démontrées dans ce chapitre sont des équations de propagation , puisqu'elles établissent une relation entre les dérivées secondes d'espace et la dérivée seconde du temps .
Ce type d'expression est à opposer aux équations de diffusion qui régissent par exemple les phénomènes thermiques, qui relient les dérivées secondes d'espace à la dérivée première du temps.
