Ondes électromagnétiques guidées/Exercices/Application des fonctions génératrices à l'étude du guide d'ondes rectangulaire

On s'intéresse dans cet exercice à un guide d'ondes ${\mathcal {G}}$ :

• de section droite rectangulaire $(0\leq a\leq x~,~0\leq y\leq b)$
• supposé illimité dans la direction ${\vec {u}}_{z}$
• parfaitement conducteur
• creux

Pour alléger le calcul, on omettra le terme propagatif en $e^{j(\omega t-kz)}$ dans tous les calculs.

1. L'objectif de cette question est de retrouver l’expression de la fonction génératrice B_z des modes TE_mn.
   1. En posant $B_{z}(x,y)=X(x)\cdot Y(y)$, à partir de l'équation de propagation de B_z, aboutir à deux équations différentielles indépendantes vérifiées par X et Y. On se souviendra que $k_{\perp }^{2}=k_{x}^{2}+k_{y}^{2}$
   2. Exprimer les conditions aux limites du champ électrique aux bords de ${\mathcal {G}}$. En déduire les conditions aux limites vérifiées par B_z aux bords de ${\mathcal {G}}$.
   3. Trouver l’expression de B_z.
2. En reproduisant une démarche analogue à la première question, trouver la fonction génératrice des modes TM_mn.

Solution

1) Modes TE_mn

On connaît l'équation de propagation de $B_{z}$ :

${\frac {\partial ^{2}B_{z}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}B_{z}}{\partial y^{2}}}+k_{\perp }^{2}B_{z}=0$

On cherche à résoudre ces équations par la méthode de séparation des variables : $B_{z}(x,y)=X(x)\cdot Y(y)$. L'équation différentielle précédente devient, en remplaçant :

${\frac {X''}{X}}+{\frac {Y''}{Y}}+k_{\perp }^{2}=0$ ie ${\frac {X''}{X}}+k_{x}^{2}=-\left({\frac {Y''}{Y}}+k_{y}^{2}\right)$

Nécessairement :

${\begin{cases}X''+k_{x}^{2}X=0\\Y''+k_{y}^{2}Y=0\\\end{cases}}$

X et Y sont alors des fonctions sinusoïdales. Les conditions aux limites de ce guide s'écrivent :

$\left.E_{x}\right|_{y=0}=0~;~\left.E_{x}\right|_{y=b}=0~;~\left.E_{y}\right|_{x=0}=0~;~\left.E_{y}\right|_{x=a}=0$

c'est-à-dire, en termes de conditions sur $B_{z}$ (un mode TE vérifie $E_{z}=0$) :

$\displaystyle {\left.{\frac {\partial B_{z}}{\partial y}}\right|_{x=0}=0~;~\left.{\frac {\partial B_{z}}{\partial y}}\right|_{x=a}=0~;~\left.{\frac {\partial B_{z}}{\partial x}}\right|_{y=0}=0~;~\left.{\frac {\partial B_{z}}{\partial x}}\right|_{y=b}=0}$

Il suffit de remplacer B_z dans ces conditions aux limites pour en déduire la quantification des vecteurs d'onde :

$k_{x}={\frac {\pi m}{a}}~,~k_{y}={\frac {\pi n}{b}}~,~(m,n)\in \mathbb {N} ^{2}$

Le mode TEmn est caractérisé par $B_{z}(x,y)=B_{z0}\cos \left({\frac {\pi m}{a}}x\right)\cos \left({\frac {\pi n}{b}}y\right)~,~(m,n)\in \mathbb {N} ^{2}$

À partir de cette expression de B_z et sachant que E_z est nul, on peut facilement remonter aux expressions de toutes les autres composantes du champ électromagnétique dans le guide.

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2) Modes TM_mn

Ce mode est caractérisé par $B_{z}=0$. Par le même raisonnement que dans le cas des modes TE, on arrive au résultat suivant.

Le mode TMmn est caractérisé par $E_{z}(x,y)=E_{z0}\sin \left({\frac {\pi m}{a}}x\right)\sin \left({\frac {\pi n}{b}}y\right)~,~(m,n)\in \mathbb {N} ^{2}$

À partir de cette expression de E_z et sachant que B_z est nul, on peut facilement remonter aux expressions de toutes les autres composantes du champ électromagnétique dans le guide.