Ondes électromagnétiques guidées/Exercices/Fonctions génératrices en coordonnées cylindriques

Le cours établit les expressions des champs électromagnétiques transverses ($E_{x},\,E_{y},\,B_{x},\,B_{y}$) à partir des fonctions génératrices $E_{z}$ et $B_{z}$ en coordonnées cartésiennes.

Établissez l’expression des champs électromagnétiques transverses $E_{r},\,E_{\theta },\,B_{r},{\rm {~et~}}B_{\theta }$ en coordonnées cylindriques en fonction de ces mêmes fonctions génératrices.

Solution

Les deux équations de Maxwell aux rotationnels sont :

${\overrightarrow {\rm {rot}}}({\vec {B}})={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}$

${\overrightarrow {\rm {rot}}}({\vec {E}})=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}$

La première équation donne :

${\rm {(1)}}~:~{\frac {1}{r}}{\frac {\partial B_{z}}{\partial \theta }}+jkB_{\theta }={\frac {j\omega }{c^{2}}}E_{r}$

${\rm {(2)}}~:~-jkH_{r}-{\frac {\partial B_{z}}{\partial r}}={\frac {j\omega }{c^{2}}}E_{\theta }$

La deuxième équation donne :

${\rm {(3)}}~:~{\frac {1}{r}}{\frac {\partial E_{z}}{\partial \theta }}+jkE_{\theta }=-j\omega B_{r}$

${\rm {(4)}}~:~-jkE_{r}-{\frac {\partial E_{z}}{\partial r}}=-j\omega B_{\theta }$

Réorganisées, ces 4 équations nous donnent deux systèmes à 2 inconnues. Regroupons (1) et (4) ainsi que (2) et (3) :

${\begin{cases}\displaystyle {{\frac {j\omega }{c^{2}}}E_{r}-jkB_{\theta }={\frac {1}{r}}{\frac {\partial B_{z}}{\partial \theta }}}\\\displaystyle {-jkE_{r}+j\omega B_{\theta }={\frac {\partial E_{z}}{\partial r}}}\end{cases}}$

${\begin{cases}\displaystyle {-jkB_{r}-{\frac {j\omega }{c^{2}}}E_{\theta }={\frac {\partial B_{z}}{\partial r}}}\\\displaystyle {j\omega B_{r}+jkE_{\theta }=-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial E_{z}}{\partial \theta }}}\end{cases}}$

Le déterminant de ces deux systèmes vaut $k^{2}-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}=-k_{\perp }^{2}$.

On détermine donc les solutions suivantes :

${\begin{cases}\displaystyle {E_{r}=-{\frac {1}{k_{\perp }^{2}}}\left(j\omega {\frac {1}{r}}{\frac {\partial B_{z}}{\partial \theta }}+jk{\frac {\partial E_{z}}{\partial r}}\right)}\\\displaystyle {E_{\theta }=-{\frac {1}{k_{\perp }^{2}}}\left(-j\omega {\frac {\partial B_{z}}{\partial r}}+jk{\frac {1}{r}}{\frac {\partial E_{z}}{\partial \theta }}\right)}\\\displaystyle {B_{r}=-{\frac {1}{k_{\perp }^{2}}}\left(jk{\frac {\partial B_{z}}{\partial r}}-{\frac {j\omega }{c^{2}}}{\frac {1}{r}}{\frac {\partial E_{z}}{\partial \theta }}\right)}\\\displaystyle {B_{\theta }=-{\frac {1}{k_{\perp }^{2}}}\left({\frac {j\omega }{c^{2}}}{\frac {\partial E_{z}}{\partial r}}+jk{\frac {1}{r}}{\frac {\partial B_{z}}{\partial \theta }}\right)}\\\end{cases}}$