Ondes électromagnétiques guidées/Généralités

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Ondes électromagnétiques guidées/Généralités
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Présentation modifier

Guide d'ondes modifier

 
Un guide d'ondes pour radar

Soit   un cylindre métallique creux supposé :

  • parfaitement conducteur
  • infini d'axe (Oz)
  • de section droite  , courbe fermée quelconque

On cherche à propager à l'intérieur de   une onde électromagnétique.   sera par la suite appelé un guide d'ondes.

  peut être un guide d'ondes :

  • simplement connexe : guide rectangulaire, circulaire… Le guide d'ondes en photo à droite est simplement connexe.
  • multiplement connexe : câble coaxial

Structure du champ électromagnétique propagé modifier

On cherche à propager une onde électromagnétique de pulsation   imposée par une source à l'intérieur de   suivant la direction  , direction du guide d'ondes. Cette onde électromagnétique est, dans le cas général, composée :

  • d'un champ électrique  , où :
    •   est la composante transversale du champ électrique  
    • l'amplitude suivant   du champ électrique est représentée par  
  • d'un champ magnétique  , où :
    •   est la composante transversale du champ magnétique  
    • l'amplitude suivant   du champ magnétique est représentée par  

Nous allons montrer dans cette leçon que :

  •   n'autorise la propagation que pour certaines valeurs de k quantifiées, appelées modes de propagation.
  • Cette quantification est la cause des conditions aux limites vérifiées par le champ électromagnétique.

Propriétés générales modifier

Champ propagé modifier

Pour étudier la structure du champ électromagnétique à l'intérieur de  , il faut disposer de relations.

  • À partir de l'équation de propagation du champ électrique dans le vide  , on peut obtenir une relation entre   et   et entre   et  .
 
Le laplacien vecteur   est obtenu à partir du laplacien des coordonnées :
 
 
 
Par ailleurs,  
Le laplacien de Ez est  
Enfin, le laplacien vecteur de   est :
Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/ » :): {\displaystyle \begin{align} \vec \Delta\vec E_t &= \Delta E_x \vec u_x+\Delta E_y \vec u_y\\ &= \left(\frac{\partial^2 E_x}{\partial x^2}(x,y)+\frac{\partial^2E_x}{\partial y^2}(x,y)\right)\vec u_x + \left(\frac{\partial^2 E_y}{\partial x^2}(x,y)+\frac{\partial^2E_y}{\partial y^2}(x,y)\right)\vec u_y \end{align}}
Exploitons la relation de propagation :
 


Finalement:

 


  • L'équation de propagation du champ magnétique dans le vide   étant identique, on peut obtenir par le même calcul la relation suivante entre   et   et entre   et  .

 


Fonctions génératrices modifier

Nous allons à présent montrer qu'on peut exprimer les coordonnées transversales des champs   et   à partir uniquement des composantes suivant la direction de propagation Ez et Bz. Ceci se fait en exploitant les deux équations de Maxwell aux rotationnels :

 
 



Nous ferons ici le calcul dans le cas des coordonnées cartésiennes. le cas d'autres systèmes de coordonnées sera laissé en exercice.

La première équation donne :

 
 

La deuxième équation donne :

 
 

Réorganisées, ces 4 équations nous donnent deux systèmes à 2 inconnues. Regroupons (1) et (4) ainsi que (2) et (3) :

 
 

Le déterminant de ces deux systèmes vaut  .

On détermine donc les solutions suivantes :

 


Conditions aux limites modifier

La propagation d'un champ électromagnétique à l'intérieur du guide étant conditionnée par les conditions aux limites, on s'intéresse maintenant à ce qui se passe au niveau de la paroi de  . On rappelle que les équations de passage du champ électromagnétique sont :

 

Ce qui nous intéresse plus précisément pour remonter aux conditions aux limites sur Ez et Bz est la propriété suivante :

 
  • Le champ électrique le long de   est :
 
  donc Ez est nul sur  
  • Le champ magnétique le long de la paroi est :
 
La propriété   implique  .
Par ailleurs,  
On sait aussi que  
Or,   et  
Donc  
Finalement, le long du guide, la dérivée normale de Bz vérifie  
Début d’un théorème
Fin du théorème


Modes transverses modifier

TE et TM modifier


  • Pour un mode TE,  
  • Pour un mode TM,  

On a ainsi les relations suivantes entre   et la vitesse de phase   dans le guide d'ondes :

 

TEM modifier


 

  • La relation de dispersion est Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikiversity.org/v1/ » :): {\displaystyle k=\frac \omega c}
  • La vitesse de phase est  
  • La vitesse de groupe est  

On peut remarquer qu'on retrouve les mêmes expressions que dans le cas de la progression de l'onde plane monochromatique progressive dans le vide. En particulier, la relation de dispersion est linéaire, ce qui rend le guide non dispersif pour un tel mode.

Dans l'hypothèse d'un guide simplement connexe, à l'intérieur du guide, on a donc un potentiel ψ uniforme, ce qui conduit à   et  .