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En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Ondes électromagnétiques guidées : Généralités Ondes électromagnétiques guidées/Généralités », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Un guide d'ondes pour radar Soit
G
{\displaystyle {\mathcal {G}}}
parfaitement conducteur
infini d'axe (Oz)
de section droite
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
On cherche à propager à l'intérieur de
G
{\displaystyle {\mathcal {G}}}
G
{\displaystyle {\mathcal {G}}}
guide d'ondes .
G
{\displaystyle {\mathcal {G}}}
simplement connexe : guide rectangulaire, circulaire… Le guide d'ondes en photo à droite est simplement connexe.multiplement connexe : câble coaxial
modifier
On cherche à propager une onde électromagnétique de pulsation
ω
=
2
π
ν
{\displaystyle \omega =2\pi \nu }
G
{\displaystyle {\mathcal {G}}}
u
→
z
{\displaystyle {\vec {u}}_{z}}
d'un champ électrique
E
→
=
[
E
→
t
(
x
,
y
)
+
E
z
(
x
,
y
)
u
→
z
]
e
j
(
k
z
−
ω
t
)
{\displaystyle {\vec {E}}=\left[{\vec {E}}_{t}(x,y)+E_{z}(x,y){\vec {u}}_{z}\right]e^{j(kz-\omega t)}}
E
→
t
{\displaystyle {\vec {E}}_{t}}
(
E
→
t
⋅
u
→
z
=
0
)
{\displaystyle ({\vec {E}}_{t}\cdot {\vec {u}}_{z}=0)}
l'amplitude suivant
u
→
z
{\displaystyle {\vec {u}}_{z}}
E
z
{\displaystyle E_{z}}
d'un champ magnétique
B
→
=
[
B
→
t
(
x
,
y
)
+
B
z
(
x
,
y
)
u
→
z
]
e
j
(
k
z
−
ω
t
)
{\displaystyle {\vec {B}}=\left[{\vec {B}}_{t}(x,y)+B_{z}(x,y){\vec {u}}_{z}\right]e^{j(kz-\omega t)}}
B
→
t
{\displaystyle {\vec {B}}_{t}}
(
B
→
t
⋅
u
→
z
=
0
)
{\displaystyle ({\vec {B}}_{t}\cdot {\vec {u}}_{z}=0)}
l'amplitude suivant
u
→
z
{\displaystyle {\vec {u}}_{z}}
B
z
{\displaystyle B_{z}}
Nous allons montrer dans cette leçon que :
G
{\displaystyle {\mathcal {G}}}
Cette quantification est la cause des conditions aux limites vérifiées par le champ électromagnétique.
Pour étudier la structure du champ électromagnétique à l'intérieur de
G
{\displaystyle {\mathcal {G}}}
À partir de l'équation de propagation du champ électrique dans le vide
Δ
→
E
→
=
1
c
2
∂
2
E
→
∂
t
2
{\displaystyle {\vec {\Delta }}{\vec {E}}={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{\vec {E}}}{\partial t^{2}}}}
E
z
{\displaystyle E_{z}}
Δ
E
z
{\displaystyle \Delta E_{z}}
E
→
t
{\displaystyle {\vec {E}}_{t}}
Δ
→
E
→
t
{\displaystyle {\vec {\Delta }}{\vec {E}}_{t}}
E
→
=
(
E
x
(
x
,
y
)
u
→
x
+
E
y
(
x
,
y
)
u
→
y
+
E
z
(
x
,
y
)
u
→
z
)
e
j
(
k
z
−
ω
t
)
{\displaystyle {\vec {E}}=(E_{x}(x,y){\vec {u}}_{x}+E_{y}(x,y){\vec {u}}_{y}+E_{z}(x,y){\vec {u}}_{z})e^{j(kz-\omega t)}}
Le laplacien vecteur
Δ
→
E
→
{\displaystyle {\vec {\Delta }}{\vec {E}}}
Δ
E
x
=
∂
2
E
x
∂
x
2
+
∂
2
E
x
∂
y
2
+
∂
2
E
x
∂
z
2
=
(
∂
2
E
x
∂
x
2
(
x
,
y
)
+
∂
2
E
x
∂
y
2
(
x
,
y
)
−
k
2
E
x
(
x
,
y
)
)
e
j
(
k
z
−
ω
t
)
{\displaystyle \Delta E_{x}={\frac {\partial ^{2}E_{x}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}E_{x}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}E_{x}}{\partial z^{2}}}=\left({\frac {\partial ^{2}E_{x}}{\partial x^{2}}}(x,y)+{\frac {\partial ^{2}E_{x}}{\partial y^{2}}}(x,y)-k^{2}E_{x}(x,y)\right)e^{j(kz-\omega t)}}
Δ
E
y
=
(
∂
2
E
y
∂
x
2
(
x
,
y
)
+
∂
2
E
y
∂
y
2
(
x
,
y
)
−
k
2
E
y
(
x
,
y
)
)
e
j
(
k
z
−
ω
t
)
{\displaystyle \Delta E_{y}=\left({\frac {\partial ^{2}E_{y}}{\partial x^{2}}}(x,y)+{\frac {\partial ^{2}E_{y}}{\partial y^{2}}}(x,y)-k^{2}E_{y}(x,y)\right)e^{j(kz-\omega t)}}
Δ
E
z
=
(
∂
2
E
z
∂
x
2
(
x
,
y
)
+
∂
2
E
z
∂
y
2
(
x
,
y
)
−
k
2
E
z
(
x
,
y
)
)
e
j
(
k
z
−
ω
t
)
{\displaystyle \Delta E_{z}=\left({\frac {\partial ^{2}E_{z}}{\partial x^{2}}}(x,y)+{\frac {\partial ^{2}E_{z}}{\partial y^{2}}}(x,y)-k^{2}E_{z}(x,y)\right)e^{j(kz-\omega t)}}
Par ailleurs,
1
c
2
∂
2
E
→
∂
t
2
=
−
ω
2
c
2
E
→
{\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{\vec {E}}}{\partial t^{2}}}=-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}{\vec {E}}}
Le laplacien de Ez est
Δ
E
z
=
∂
2
E
z
∂
x
2
(
x
,
y
)
+
∂
2
E
z
∂
y
2
(
x
,
y
)
{\displaystyle \Delta E_{z}={\frac {\partial ^{2}E_{z}}{\partial x^{2}}}(x,y)+{\frac {\partial ^{2}E_{z}}{\partial y^{2}}}(x,y)}
Enfin, le laplacien vecteur de
E
→
t
{\displaystyle {\vec {E}}_{t}}
Δ
→
E
→
t
=
Δ
E
x
u
→
x
+
Δ
E
y
u
→
y
=
(
∂
2
E
x
∂
x
2
(
x
,
y
)
+
∂
2
E
x
∂
y
2
(
x
,
y
)
)
u
→
x
+
(
∂
2
E
y
∂
x
2
(
x
,
y
)
+
∂
2
E
y
∂
y
2
(
x
,
y
)
)
u
→
y
{\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {\Delta }}{\vec {E}}_{t}&=\Delta E_{x}{\vec {u}}_{x}+\Delta E_{y}{\vec {u}}_{y}\\&=\left({\frac {\partial ^{2}E_{x}}{\partial x^{2}}}(x,y)+{\frac {\partial ^{2}E_{x}}{\partial y^{2}}}(x,y)\right){\vec {u}}_{x}+\left({\frac {\partial ^{2}E_{y}}{\partial x^{2}}}(x,y)+{\frac {\partial ^{2}E_{y}}{\partial y^{2}}}(x,y)\right){\vec {u}}_{y}\end{aligned}}}
Exploitons la relation de propagation :
Δ
→
E
→
=
−
ω
2
c
2
E
→
⇔
Δ
E
x
u
→
x
+
Δ
E
y
u
→
y
+
Δ
E
z
u
→
z
=
−
ω
2
c
2
E
→
⇔
Δ
→
E
→
t
e
j
(
k
z
−
ω
t
)
−
k
2
E
→
t
e
j
(
k
z
−
ω
t
)
+
Δ
E
z
e
j
(
k
z
−
ω
t
)
u
→
z
−
k
2
E
z
e
j
(
k
z
−
ω
t
)
u
→
z
=
(
−
ω
2
c
2
E
→
t
−
ω
2
c
2
E
z
u
→
z
)
e
j
(
k
z
−
ω
t
)
⇔
Δ
→
E
→
t
−
k
2
E
→
t
+
(
Δ
E
z
−
k
2
E
z
)
u
→
z
=
−
ω
2
c
2
E
→
t
−
ω
2
c
2
E
z
u
→
z
⇔
{
Δ
→
E
→
t
=
(
k
2
−
ω
2
c
2
)
E
→
t
Δ
E
z
=
(
k
2
−
ω
2
c
2
)
E
z
{\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {\Delta }}{\vec {E}}=-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}{\vec {E}}&\Leftrightarrow \Delta E_{x}{\vec {u}}_{x}+\Delta E_{y}{\vec {u}}_{y}+\Delta E_{z}{\vec {u}}_{z}=-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}{\vec {E}}\\&\Leftrightarrow {\vec {\Delta }}{\vec {E}}_{t}~e^{j(kz-\omega t)}-k^{2}~{\vec {E}}_{t}~e^{j(kz-\omega t)}+\Delta E_{z}~e^{j(kz-\omega t)}{\vec {u}}_{z}-k^{2}~E_{z}~e^{j(kz-\omega t)}{\vec {u}}_{z}=\left(-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}{\vec {E}}_{t}-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}E_{z}{\vec {u}}_{z}\right)e^{j(kz-\omega t)}\\&\Leftrightarrow {\vec {\Delta }}{\vec {E}}_{t}-k^{2}{\vec {E}}_{t}+(\Delta E_{z}-k^{2}E_{z}){\vec {u}}_{z}=-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}{\vec {E}}_{t}-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}E_{z}{\vec {u}}_{z}\\&\Leftrightarrow {\begin{cases}{\vec {\Delta }}{\vec {E}}_{t}=\left(k^{2}-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\right){\vec {E}}_{t}\\\Delta E_{z}=\left(k^{2}-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\right)E_{z}\end{cases}}\\\end{aligned}}}
Définition de k⊥
Dans le domaine des fréquences où cette relation a un sens, on pose :
k
⊥
2
=
ω
2
c
2
−
k
2
{\displaystyle k_{\perp }^{2}={\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}-k^{2}}
Le sens de cette notation sera expliqué dans les chapitres suivants.
{
Δ
→
E
→
t
+
k
⊥
2
E
→
t
=
0
→
Δ
E
z
+
k
⊥
2
E
z
=
0
{\displaystyle {\begin{cases}{\vec {\Delta }}{\vec {E}}_{t}+k_{\perp }^{2}{\vec {E}}_{t}={\vec {0}}\\\Delta E_{z}+k_{\perp }^{2}E_{z}=0\end{cases}}}
L'équation de propagation du champ magnétique dans le vide
Δ
→
B
→
=
1
c
2
∂
2
B
→
∂
t
2
{\displaystyle {\vec {\Delta }}{\vec {B}}={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{\vec {B}}}{\partial t^{2}}}}
B
z
{\displaystyle B_{z}}
Δ
B
z
{\displaystyle \Delta B_{z}}
B
→
t
{\displaystyle {\vec {B}}_{t}}
Δ
→
B
→
t
{\displaystyle {\vec {\Delta }}{\vec {B}}_{t}}
{
Δ
→
B
→
t
+
k
⊥
2
B
→
t
=
0
→
Δ
B
z
+
k
⊥
2
B
z
=
0
{\displaystyle {\begin{cases}{\vec {\Delta }}{\vec {B}}_{t}+k_{\perp }^{2}{\vec {B}}_{t}={\vec {0}}\\\Delta B_{z}+k_{\perp }^{2}B_{z}=0\end{cases}}}
Nous allons à présent montrer qu'on peut exprimer les coordonnées transversales des champs
E
→
{\displaystyle {\vec {E}}}
B
→
{\displaystyle {\vec {B}}}
Ez et Bz . Ceci se fait en exploitant les deux équations de Maxwell aux rotationnels :
r
o
t
→
(
B
→
)
=
1
c
2
∂
E
→
∂
t
{\displaystyle {\overrightarrow {\rm {rot}}}({\vec {B}})={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}}
r
o
t
→
(
E
→
)
=
−
∂
B
→
∂
t
{\displaystyle {\overrightarrow {\rm {rot}}}({\vec {E}})=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}}
Nous ferons ici le calcul dans le cas des coordonnées cartésiennes. le cas d'autres systèmes de coordonnées sera laissé en exercice.
La première équation donne :
(
1
)
:
∂
B
z
∂
y
+
j
k
B
y
=
j
ω
c
2
E
x
{\displaystyle {\rm {(1)}}~:~{\frac {\partial B_{z}}{\partial y}}+jkB_{y}={\frac {j\omega }{c^{2}}}E_{x}}
(
2
)
:
−
j
k
B
x
−
∂
B
z
∂
x
=
j
ω
c
2
E
y
{\displaystyle {\rm {(2)}}~:~-jkB_{x}-{\frac {\partial B_{z}}{\partial x}}={\frac {j\omega }{c^{2}}}E_{y}}
La deuxième équation donne :
(
3
)
:
∂
E
z
∂
y
+
j
k
E
y
=
−
j
ω
B
x
{\displaystyle {\rm {(3)}}~:~{\frac {\partial E_{z}}{\partial y}}+jkE_{y}=-j\omega B_{x}}
(
4
)
:
−
j
k
E
x
−
∂
E
z
∂
x
=
−
j
ω
B
y
{\displaystyle {\rm {(4)}}~:~-jkE_{x}-{\frac {\partial E_{z}}{\partial x}}=-j\omega B_{y}}
Réorganisées, ces 4 équations nous donnent deux systèmes à 2 inconnues. Regroupons (1) et (4) ainsi que (2) et (3) :
{
j
ω
c
2
E
x
−
j
k
B
y
=
∂
B
z
∂
y
−
j
k
E
x
+
j
ω
B
y
=
∂
E
z
∂
x
{\displaystyle {\begin{cases}\displaystyle {{\frac {j\omega }{c^{2}}}E_{x}-jkB_{y}={\frac {\partial B_{z}}{\partial y}}}\\\displaystyle {-jkE_{x}+j\omega B_{y}={\frac {\partial E_{z}}{\partial x}}}\end{cases}}}
{
−
j
k
B
x
−
j
ω
c
2
E
y
=
∂
B
z
∂
x
j
ω
B
x
+
j
k
E
y
=
−
∂
E
z
∂
y
{\displaystyle {\begin{cases}\displaystyle {-jkB_{x}-{\frac {j\omega }{c^{2}}}E_{y}={\frac {\partial B_{z}}{\partial x}}}\\\displaystyle {j\omega B_{x}+jkE_{y}=-{\frac {\partial E_{z}}{\partial y}}}\end{cases}}}
Le déterminant de ces deux systèmes vaut
k
2
−
ω
2
c
2
=
−
k
⊥
2
{\displaystyle k^{2}-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}=-k_{\perp }^{2}}
On détermine donc les solutions suivantes :
{
E
x
=
−
1
k
⊥
2
(
j
ω
∂
B
z
∂
y
+
j
k
∂
E
z
∂
x
)
E
y
=
−
1
k
⊥
2
(
−
j
ω
∂
B
z
∂
x
+
j
k
∂
E
z
∂
y
)
B
x
=
−
1
k
⊥
2
(
j
k
∂
B
z
∂
x
−
j
ω
c
2
∂
E
z
∂
y
)
B
y
=
−
1
k
⊥
2
(
j
ω
c
2
∂
E
z
∂
x
+
j
k
∂
B
z
∂
y
)
{\displaystyle {\begin{cases}\displaystyle {E_{x}=-{\frac {1}{k_{\perp }^{2}}}\left(j\omega {\frac {\partial B_{z}}{\partial y}}+jk{\frac {\partial E_{z}}{\partial x}}\right)}\\\displaystyle {E_{y}=-{\frac {1}{k_{\perp }^{2}}}\left(-j\omega {\frac {\partial B_{z}}{\partial x}}+jk{\frac {\partial E_{z}}{\partial y}}\right)}\\\displaystyle {B_{x}=-{\frac {1}{k_{\perp }^{2}}}\left(jk{\frac {\partial B_{z}}{\partial x}}-{\frac {j\omega }{c^{2}}}{\frac {\partial E_{z}}{\partial y}}\right)}\\\displaystyle {B_{y}=-{\frac {1}{k_{\perp }^{2}}}\left({\frac {j\omega }{c^{2}}}{\frac {\partial E_{z}}{\partial x}}+jk{\frac {\partial B_{z}}{\partial y}}\right)}\\\end{cases}}}
La propagation d'un champ électromagnétique à l'intérieur du guide étant conditionnée par les conditions aux limites, on s'intéresse maintenant à ce qui se passe au niveau de la paroi de
G
{\displaystyle {\mathcal {G}}}
{
E
→
=
−
σ
ϵ
0
n
→
B
→
=
−
μ
0
j
→
S
∧
n
→
{\displaystyle {\begin{cases}\displaystyle {{\vec {E}}=-{\frac {\sigma }{\epsilon _{0}}}{\vec {n}}}\\\displaystyle {{\vec {B}}=-\mu _{0}{\vec {j}}_{S}\wedge {\vec {n}}}\\\end{cases}}}
Ce qui nous intéresse plus précisément pour remonter aux conditions aux limites sur Ez et Bz est la propriété suivante :
{
E
→
C
∧
n
→
=
0
→
B
→
C
⋅
n
→
=
0
{\displaystyle {\begin{cases}{\vec {E}}_{\mathcal {C}}\wedge {\vec {n}}={\vec {0}}\\{\vec {B}}_{\mathcal {C}}\cdot {\vec {n}}=0\\\end{cases}}}
Le champ électrique le long de
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
E
→
G
=
(
E
→
t
(
x
C
,
y
C
)
+
E
z
(
x
C
,
y
C
)
u
→
z
)
e
j
(
k
z
−
ω
t
)
{\displaystyle {\vec {E}}_{\mathcal {G}}=\left({\vec {E}}_{t}(x_{\mathcal {C}},y_{\mathcal {C}})+E_{z}(x_{\mathcal {C}},y_{\mathcal {C}}){\vec {u}}_{z}\right)e^{j(kz-\omega t)}}
E
→
C
∧
n
→
⇒
E
z
(
x
C
,
y
C
)
=
0
{\displaystyle {\vec {E}}_{\mathcal {C}}\wedge {\vec {n}}\Rightarrow E_{z}(x_{\mathcal {C}},y_{\mathcal {C}})=0}
Ez est nul sur
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
Le champ magnétique le long de la paroi est :
B
→
C
⋅
n
→
=
(
B
→
t
(
x
C
,
y
C
)
⋅
n
→
+
B
z
(
x
C
,
y
C
)
u
→
z
⋅
n
→
)
e
j
(
k
z
−
ω
t
)
{\displaystyle {\vec {B}}_{\mathcal {C}}\cdot {\vec {n}}=({\vec {B}}_{t}(x_{\mathcal {C}},y_{\mathcal {C}})\cdot {\vec {n}}+B_{z}(x_{\mathcal {C}},y_{\mathcal {C}}){\vec {u}}_{z}\cdot {\vec {n}})e^{j(kz-\omega t)}}
La propriété
B
→
C
⋅
n
→
=
0
{\displaystyle {\vec {B}}_{\mathcal {C}}\cdot {\vec {n}}=0}
B
→
t
(
x
C
,
y
C
)
⋅
n
→
=
0
{\displaystyle {\vec {B}}_{t}(x_{\mathcal {C}},y_{\mathcal {C}})\cdot {\vec {n}}=0}
Par ailleurs,
∇
→
(
d
i
v
(
B
→
t
)
)
=
−
j
k
∇
→
B
z
{\displaystyle {\vec {\nabla }}({\rm {div}}({\vec {B}}_{t}))=-jk{\vec {\nabla }}B_{z}}
On sait aussi que
∇
→
(
d
i
v
(
B
→
t
)
)
=
r
o
t
→
(
r
o
t
→
(
B
→
t
)
)
+
Δ
→
B
→
t
{\displaystyle {\vec {\nabla }}({\rm {div}}({\vec {B}}_{t}))={\overrightarrow {\rm {rot}}}({\overrightarrow {\rm {rot}}}({\vec {B}}_{t}))+{\vec {\Delta }}{\vec {B}}_{t}}
Or,
r
o
t
→
(
r
o
t
→
(
B
→
t
)
)
=
0
→
{\displaystyle {\overrightarrow {\rm {rot}}}({\overrightarrow {\rm {rot}}}({\vec {B}}_{t}))={\vec {0}}}
Δ
→
B
→
t
=
−
k
⊥
2
B
→
t
{\displaystyle {\vec {\Delta }}{\vec {B}}_{t}=-k_{\perp }^{2}{\vec {B}}_{t}}
Donc
j
k
∇
→
B
z
=
k
⊥
2
B
→
t
{\displaystyle jk{\vec {\nabla }}B_{z}=k_{\perp }^{2}{\vec {B}}_{t}}
Finalement, le long du guide, la dérivée normale de Bz vérifie
∇
→
B
z
|
C
⋅
n
→
=
0
{\displaystyle {\vec {\nabla }}B_{z}|_{\mathcal {C}}\cdot {\vec {n}}=0}
Début d’un théorème
Conditions aux limites
Les grandeurs Ez et Bz vérifient les conditions aux limites suivantes :
{
E
z
|
C
=
0
∇
→
B
z
|
C
⋅
n
→
=
0
{\displaystyle {\begin{cases}E_{z}|_{\mathcal {C}}=0\\{\vec {\nabla }}B_{z}|_{\mathcal {C}}\cdot {\vec {n}}=0\end{cases}}}
Fin du théorème
Modes transverses
On appelle mode transverse électrique , ou mode TE un mode de propagation tel que
E
z
≡
0
{\displaystyle E_{z}\equiv 0}
On appelle mode transverse magnétique , ou mode TM un mode de propagation tel que
B
z
≡
0
{\displaystyle B_{z}\equiv 0}
Pour un mode TE,
ω
B
→
t
=
k
u
→
z
∧
E
→
t
⇒
B
→
t
⊥
E
→
t
{\displaystyle \omega {\vec {B}}_{t}=k{\vec {u}}_{z}\wedge {\vec {E}}_{t}\Rightarrow {\vec {B}}_{t}\perp {\vec {E}}_{t}}
Pour un mode TM,
−
ω
c
2
E
→
t
=
k
u
→
z
∧
B
→
t
⇒
E
→
t
⊥
B
→
t
{\displaystyle -{\frac {\omega }{c^{2}}}{\vec {E}}_{t}=k{\vec {u}}_{z}\wedge {\vec {B}}_{t}\Rightarrow {\vec {E}}_{t}\perp {\vec {B}}_{t}}
Orthogonalité des champs transverses
Pour un mode TE ou TM,
E
→
t
⋅
B
→
t
=
0
{\displaystyle {\vec {E}}_{t}\cdot {\vec {B}}_{t}=0}
On a ainsi les relations suivantes entre
E
→
t
,
B
→
t
{\displaystyle {\vec {E}}_{t},~{\vec {B}}_{t}}
v
φ
{\displaystyle v_{\varphi }}
Mode~TE
Mode~TM
B
→
t
=
k
ω
u
→
z
∧
E
→
t
−
ω
k
c
2
E
→
t
=
u
→
z
∧
B
→
t
E
t
B
t
=
ω
k
=
v
φ
E
t
B
t
=
c
2
k
ω
=
c
2
v
φ
{\displaystyle {\begin{array}{|c|c|}{\textrm {Mode~TE}}&{\textrm {Mode~TM}}\\\hline \displaystyle {{\vec {B}}_{t}={\frac {k}{\omega }}{\vec {u}}_{z}\wedge {\vec {E}}_{t}}&\displaystyle {-{\frac {\omega }{kc^{2}}}{\vec {E}}_{t}={\vec {u}}_{z}\wedge {\vec {B}}_{t}}\\\displaystyle {{\frac {E_{t}}{B_{t}}}={\frac {\omega }{k}}=v_{\varphi }}&\displaystyle {{\frac {E_{t}}{B_{t}}}=c^{2}{\frac {k}{\omega }}={\frac {c^{2}}{v_{\varphi }}}}\\\end{array}}}
Mode TEM
On appelle mode transverse électrique-magnétique , ou mode TEM un mode de propagation tel que
E
z
≡
0
{\displaystyle E_{z}\equiv 0}
B
z
≡
0
{\displaystyle B_{z}\equiv 0}
C'est donc à la fois un mode TE et TM.
E
t
B
t
=
v
φ
=
c
2
v
φ
⇔
v
φ
=
c
⇔
ω
k
=
c
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {E_{t}}{B_{t}}}=v_{\varphi }={\frac {c^{2}}{v_{\varphi }}}&\Leftrightarrow v_{\varphi }=c\\&\Leftrightarrow {\frac {\omega }{k}}=c\\\end{aligned}}}
La relation de dispersion est
k
=
ω
c
{\displaystyle k={\frac {\omega }{c}}}
La vitesse de phase est
v
φ
=
c
{\displaystyle v_{\varphi }=c}
La vitesse de groupe est
v
g
=
d
ω
d
k
=
c
{\displaystyle v_{g}={\frac {{\rm {d}}\omega }{{\rm {d}}k}}=c}
On peut remarquer qu'on retrouve les mêmes expressions que dans le cas de la progression de l'onde plane monochromatique progressive dans le vide. En particulier, la relation de dispersion est linéaire, ce qui rend le guide non dispersif pour un tel mode.
Dans l'hypothèse d'un guide simplement connexe, à l'intérieur du guide, on a donc un potentiel ψ uniforme, ce qui conduit à
E
→
t
(
x
,
y
)
≡
0
{\displaystyle {\vec {E}}_{t}(x,y)\equiv 0}
B
→
t
(
x
,
y
)
≡
0
{\displaystyle {\vec {B}}_{t}(x,y)\equiv 0}
Propriété
Un guide simplement connexe ne peut pas propager de modes TEM.
![{\displaystyle {\vec {E}}=\left[{\vec {E}}_{t}(x,y)+E_{z}(x,y){\vec {u}}_{z}\right]e^{j(kz-\omega t)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d08c3205bd57d7b9a3b294d940de63b4a265d40a)
![{\displaystyle {\vec {B}}=\left[{\vec {B}}_{t}(x,y)+B_{z}(x,y){\vec {u}}_{z}\right]e^{j(kz-\omega t)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7af861554b320e8aa6db2e2cdfe4b7e442369005)
Faites ces exercices : Fonctions génératrices en coordonnées cylindriques.
