Ondes électromagnétiques guidées/Guide circulaire

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Dans ce chapitre, est un guide d'ondes :

  • de section droite circulaire
  • supposé illimité dans la direction
  • parfaitement conducteur
  • creux
Guide circulaire
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Chapitre no 3
Leçon : Ondes électromagnétiques guidées
Chap. préc. :Guide rectangulaire
Chap. suiv. :Câble coaxial
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Ondes électromagnétiques guidées/Guide circulaire
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On souhaite propager dans ce guide une onde de pulsation ω. Son vecteur d'onde dans le vide a pour norme et sa longueur d'onde dans le vide est .


Étude des modes TE0n

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On en revient à l'étude de l'équation  . On ne s'intéresse dans un premier temps qu'aux solutions indépendantes de θ  

Quantification

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Posons  .

 

Cette équation différentielle a pour première condition aux limites  .

La solution de cette équation différentielle avec cette condition en 0 est bien connue. Il s'agit de la fonction de Bessel de première espèce d'ordre 0, notée J0 :  .

Premiers zéros de J'0
n z'0n
1 3,8317
2 7,0156
3 10,1735
4 13,3237
5 16,4706

 


 


L'onde propagée doit cependant satisfaire une autre condition aux limites :   en  , ce qui se ramène à  , soit  .

Début d’un théorème
Fin du théorème


Dispersion et coupure

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La quantification   donne, pour un entier   donné, la relation de dispersion  

Les modes propagés ont pour pulsation  

Début d’un théorème
Fin du théorème


Étude des modes TEmn

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À présent, considérons le cas où une dépendance en θ est possible.

 

On remarque alors une équation du type équation harmonique en θ. On pense alors à la méthode de séparation des variables pour proposer une solution de la forme  

Posons  .

 

Cette équation différentielle a pour première condition aux limites  .

De plus, il faut que Bz soit 2π-périodique pour que la solution soit physiquement cohérente. Cela implique :

 

Il est donc impératif que  .

La solution de cette équation différentielle avec cette condition en 0 et m entier est connue : il s'agit de la fonction de Bessel de première espèce d'ordre m, notée Jm :  .


 


Comme tout à l’heure, il faut que   en  , ce qui se ramène à  .

Début d’un théorème
Fin du théorème


Premiers zéros de J'm
n z'0n z'1n z'2n
1 3,8317 1,8412 3,0542
2 7,0156 5,3314 6,7061
3 10,1735 8,5363 9,9695
4 13,3237 11,7060 13,1704
5 16,4706 14,8636 16,3475

 

La quantification   donne, pour un couple (m, n) donné, la relation de dispersion  

Les modes propagés ont pour pulsation  

Début d’un théorème
Fin du théorème



Étude des modes TMmn

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L'étude des modes TM dans le guide circulaire se fait de manière tout à fait analogue, comme nous allons le voir. On en revient à l'étude de l'équation  .

 

De la même manière, on pense à la méthode de séparation des variables pour proposer une solution de la forme  

Posons  .

 

Cette équation différentielle a pour première condition aux limites  .

De plus, il faut que ε soit 2π-périodique pour que la solution soit physiquement cohérente. Cela implique :

 .

La solution de cette équation différentielle avec cette condition en 0 et m entier est la fonction de Bessel de première espèce d'ordre m, notée Jm :

 


Toutefois, la condition aux limites en   est différente des modes TE puisque la condition porte sur Ez et non sur Bz. Il faut que   en  , ce qui se ramène à  .

Début d’un théorème
Fin du théorème


Premiers zéros de Jm
n z0n z1n z2n
1 2,4048 3,8317 5,1356
2 5,5201 7,0156 8,4172
3 8,6537 10,1735 11,6198
4 11,7915 13,3237 14,7960
5 14,9309 16,4706 17,9598

 

La quantification   donne, pour un couple (m, n) donné, la relation de dispersion  

Les modes propagés ont pour pulsation  

Début d’un théorème
Fin du théorème