Organisation de calculs/Rappels

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Différents nombres

• Fractions
• Entiers naturels
• Nombres décimaux (qui peuvent s'écrire avec une virgule, et une partie décimale finie)

${\frac {1}{3}}$ n’est pas un nombre décimal.

Vocabulaire

Somme et différence

Définition

$a+d=b$ ou bien $b-a=d$

• b est la somme des termes a et d.
• d est la différence des termes a et b.

Début de l'exemple

Exemple

$13,8+9,32=23,12$ ou bien $23,12-13,8=9,32$

Fin de l'exemple

Produit et quotient

Définition

$q\times b=a$ ou bien ${\frac {a}{b}}=q$

• a est le produit des facteurs b et q.
• q est le quotient de a par b.

Début de l'exemple

Exemple

$3,4\times 0,11=0,374$

$23\times 21=483$ ou bien ${\frac {483}{21}}=23$

Fin de l'exemple

Propriétés de "+" et " × "

Propriété

On peut changer l’ordre :

• des termes dans une somme;
• des facteurs dans un produit.

Cette propriété s’appelle la commutativité.

$a+b=b+a$

$a\times b=b\times a$

Début de l'exemple

Exemple

$2,5+1,2+3,8$

$=2,5+\left(1,2+3,8\right)$

$=2,5+5$

$=7,5$

ou

$\left(2,5+1,2\right)+3,8$

$=3,7+3,8$

$=7,5$

Fin de l'exemple

Début de l'exemple

Exemple

$0,25\times 24\times 0,5$

$=\left(0,25\times 24\right)\times 0,5$

$=6\times 0,5$

$=3$

ou

$0,25\times \left(24\times 0,5\right)$

$=0,25\times 12$

$=3$

Fin de l'exemple

Propriété

On peut faire ou enlever des regroupements :

• dans une série d'additions;
• dans une série de multiplications.

Cette propriété s’appelle l'associativité.

$a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)$

$a\times b\times c=(a\times b)\times c=a\times (b\times c)$

Début de l'exemple

Exemples de calculs astucieux

$A=17+21+84+39+16+23$

$=(84+16)+(39+21)+(17+23)$

$=100+60+40$

$=200$

Fin de l'exemple

Début de l'exemple

Exemple

$B=0,5\times 0,25\times 0,1\times 4\times 70\times 6$

$=(0,5\times 6)\times (0,25\times 4)\times (0,1\times 70)$

$=3\times 1\times 7$

$=21$

Fin de l'exemple

Début de l'exemple

Exemple

$C=2,2\times (0,5\times 2,7)$

$=(2,2\times 0,5)\times 2,7$

$=1,1\times 2,7$

$=2,97$

Fin de l'exemple

Début de l'exemple

Exemple

$D=0,8\times 14\times 1000\times 0,125$

$=(0,8\times 0,125)\times 14\times 1000$

$=0,1\times 14\times 1000$

$=1400$

Fin de l'exemple

Rappels de calcul mental :

Début d’un principe

Méthodes de calcul

$a\times 0,5={\frac {a}{2}}$

$a\times 0,25={\frac {a}{4}}$

$125\times 8=1000$

$a\times 10$ (on décale la virgule de 1 rang vers la droite)

$a\times 100$ (on décale la virgule de 2 rangs vers la droite)

$a\times 0,1={\frac {a}{10}}$ (on décale la virgule de 1 rang vers la gauche)

${\frac {a}{0,1}}=a\times 10$

Fin du principe

Remarque

Les propriétés précédentes sont fausses pour "-" et pour "/".

Début de l'exemple

Contre-exemples

$8-7=1$ mais $7-8\neq 1$

${\frac {8}{4}}=2$ mais ${\frac {4}{8}}=0,5$

Fin de l'exemple

Début de l'exemple

Exemple

$24-15-6$

$(24-15)-6=9-6=3$

$24-(15-6)=24-9=15$

$3\neq 15$

Fin de l'exemple

Début de l'exemple

Exemple

${\frac {32}{\frac {8}{4}}}$

${\frac {\left({\frac {32}{8}}\right)}{4}}={\frac {4}{4}}=1$

${\frac {32}{\left({\frac {8}{4}}\right)}}={\frac {32}{2}}=16$

$1\neq 16$

Fin de l'exemple

Propriété

Rôle de 0 :

$a+0=a$ (on dit que 0 est élément neutre pour l'addition)

$a\times 0=0$ (on dit que 0 est élément absorbant pour le produit)

Rôle de 1 :

$a\times 1=1\times a=a$ (on dit que 1 est élément neutre pour le produit)