Oscillateurs/Oscillateur harmonique

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Oscillateur harmonique
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Chapitre no 1
Leçon : Oscillateurs
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Oscillateur harmonique modifier

Masse-ressort : mouvement horizontal modifier

 
Mouvement horizontal

On considère un mobile auto porteur relié à un mur par un ressort de raideur k.

Bilan des forces :

  • Une force de rappel   due au ressort et proportionnelle au déplacement du mobile
  • Le poids  
  • La réaction du support  

On applique le principe fondamental de la dynamique au mobile :

 

On projette sur l'axe (Ox) :

 

On définit la pulsation propre de l'oscillateur :  

On obtient une équation différentielle du second degré :

 


Système Masse suspendue à un ressort modifier

Bilan des forces :

  • Poids :  
  • Force de rappel du ressort :  

Principe fondamental de la dynamique :

 

On projette sur l'axe à l'équilibre :

 
 
 

On introduit x l'écart par rapport à la position d'équilibre :

 
 
 
 
 
 
 

Équation caractéristique modifier

Solution modifier

On cherche si une solution de la forme   peut convenir. Calculons ses dérivées par rapport au temps :

 
 

Introduisons ces expressions dans la partie gauche de l'équation caractéristique :

 

A est l'amplitude (en mètre) et   la phase (en radian). Ces constantes sont déterminées grâce aux conditions initiales (Exemple).

La période propre   du mouvement est la durée entre 2 passages consécutifs dans le même sens pour une position donnée. Une telle durée correspond à une augmentation de   de l'argument de la fonction sinusoïdale et donc à  

Ainsi :


 


La période est indépendante de l'amplitude du mouvement. Un tel système est dit isochrone.

Aspect énergétique modifier

La vitesse est :

 

L'énergie cinétique est :

 

L'énergie potentielle est :

 

L'énergie mécanique est :

 

L'énergie mécanique est constante au cours du temps et proportionnelle au carré de l'amplitude.

  avec