Début de la boite de navigation du chapitre
fin de la boite de navigation du chapitre
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Oscillateurs : Oscillateur harmonique Oscillateurs/Oscillateur harmonique », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Oscillateur harmonique
modifier
Masse-ressort : mouvement horizontal
modifier
Mouvement horizontal On considère un mobile auto porteur relié à un mur par un ressort de raideur k.
Bilan des forces :
Une force de rappel F → R {\displaystyle {\vec {F}}_{R}} due au ressort et proportionnelle au déplacement du mobile
Le poids P → {\displaystyle {\vec {P}}}
La réaction du support R → {\displaystyle {\vec {R}}} On applique le principe fondamental de la dynamique au mobile :
m a → = F → R + P → + R → {\displaystyle m\,{\vec {a}}={\vec {F}}_{R}+{\vec {P}}+{\vec {R}}} On projette sur l'axe (Ox) :
m x ¨ ( t ) = − k x ( t ) {\displaystyle m{\ddot {x}}(t)=-kx(t)} On définit la pulsation propre de l'oscillateur : ω 0 2 = k m {\displaystyle \omega _{0}^{2}={\frac {k}{m}}}
On obtient une équation différentielle du second degré :
x ¨ + ω 0 2 x = 0 {\displaystyle {\ddot {x}}+\omega _{0}^{2}x=0}
Système Masse suspendue à un ressort
modifier
Bilan des forces :
Poids : P → = m g → {\displaystyle {\vec {P}}=m{\vec {g}}}
Force de rappel du ressort : F → R = − k ( l − l 0 ) u → x {\displaystyle {\vec {F}}_{R}=-k(l-l_{0}){\vec {u}}_{x}} Principe fondamental de la dynamique :
m a → = m g → − k ( l − l 0 ) u → x {\displaystyle m{\vec {a}}=m{\vec {g}}-k(l-l_{0}){\vec {u}}_{x}} On projette sur l'axe à l'équilibre :
0 = m g − k ( l e − l 0 ) {\displaystyle 0=mg-k(l_{e}-l_{0})}
k l e = m g + k l 0 {\displaystyle kl_{e}=mg+kl_{0}}
l e = l 0 + m g k {\displaystyle l_{e}=l_{0}+{mg \over k}} On introduit x l'écart par rapport à la position d'équilibre :
l = l e + x {\displaystyle l=l_{e}+x}
m x ¨ = m g − k ( l − l 0 ) {\displaystyle m{\ddot {x}}=mg-k(l-l_{0})}
m x ¨ = m g − k ( l e + x − l 0 ) {\displaystyle m{\ddot {x}}=mg-k(l_{e}+x-l_{0})}
m x ¨ = m g − k ( l 0 + m g k + x − l 0 ) {\displaystyle m{\ddot {x}}=mg-k(l_{0}+{mg \over k}+x-l_{0})}
m x ¨ = m g − k l 0 − m g − k x + k l 0 {\displaystyle m{\ddot {x}}=mg-kl_{0}-mg-kx+kl_{0}}
m x ¨ = − k x {\displaystyle m{\ddot {x}}=-kx}
x ¨ + k m x = 0 {\displaystyle {\ddot {x}}+{k \over m}x=0} Équation caractéristique
modifier
On cherche si une solution de la forme x ( t ) = A sin ( ω 0 t + ϕ ) {\displaystyle x(t)=A\sin(\omega _{0}t+\phi )} peut convenir. Calculons ses dérivées par rapport au temps :
x ˙ ( t ) = d x ( t ) d t = A ω 0 c o s ( ω 0 t + ϕ ) {\displaystyle {\dot {x}}(t)={\frac {dx(t)}{dt}}=A\omega _{0}cos(\omega _{0}t+\phi )}
x ¨ ( t ) = d 2 x ( t ) d t 2 = − A ω 0 2 sin ( ω 0 t + ϕ ) = − ω 0 2 x ( t ) {\displaystyle {\ddot {x}}(t)={\frac {d^{2}x(t)}{dt^{2}}}=-A\omega _{0}^{2}\sin(\omega _{0}t+\phi )=-\omega _{0}^{2}x(t)} Introduisons ces expressions dans la partie gauche de l'équation caractéristique :
x ¨ ( t ) + ω 0 2 x ( t ) = − ω 0 2 x ( t ) + ω 0 2 x ( t ) = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}{\ddot {x}}(t)+\omega _{0}^{2}x(t)&=-\omega _{0}^{2}x(t)+\omega _{0}^{2}x(t)\\&=0\end{aligned}}} A est l'amplitude (en mètre) et ϕ {\displaystyle \phi } la phase (en radian). Ces constantes sont déterminées grâce aux conditions initiales (Exemple).
La période propre T 0 {\displaystyle T_{0}} du mouvement est la durée entre 2 passages consécutifs dans le même sens pour une position donnée. Une telle durée correspond à une augmentation de 2 π {\displaystyle 2\pi } de l'argument de la fonction sinusoïdale et donc à ω 0 T 0 = 2 π {\displaystyle \omega _{0}T_{0}=2\pi }
Ainsi :
T 0 = 2 π ω 0 = 2 π m k {\displaystyle T_{0}={2\pi \over \omega _{0}}=2\pi {\sqrt {m \over k}}}
La période est indépendante de l'amplitude du mouvement. Un tel système est dit isochrone .
Aspect énergétique
modifier
La vitesse est :
v = x ˙ ( t ) = A ω c o s ( ω 0 t + ϕ ) {\displaystyle v={\dot {x}}(t)=A\omega cos(\omega _{0}t+\phi )} L'énergie cinétique est :
E c = 1 2 m v 2 = 1 2 m A 2 ω 0 2 c o s 2 ( ω 0 t + ϕ ) = 1 2 k A 2 c o s 2 ( ω 0 t + ϕ ) {\displaystyle E_{c}={1 \over 2}mv^{2}={1 \over 2}mA^{2}\omega _{0}^{2}cos^{2}(\omega _{0}t+\phi )={1 \over 2}kA^{2}cos^{2}(\omega _{0}t+\phi )} L'énergie potentielle est :
E p = 1 2 k x 2 = 1 2 k A 2 s i n 2 ( ω 0 t + ϕ ) {\displaystyle E_{p}={1 \over 2}kx^{2}={1 \over 2}kA^{2}sin^{2}(\omega _{0}t+\phi )} L'énergie mécanique est :
E m = E c + E p = 1 2 k A 2 ( c o s 2 ( ω 0 t + ϕ ) + s i n 2 ( ω 0 t + ϕ ) ) = 1 2 k A 2 {\displaystyle E_{m}=E_{c}+E_{p}={1 \over 2}kA^{2}(cos^{2}(\omega _{0}t+\phi )+sin^{2}(\omega _{0}t+\phi ))={1 \over 2}kA^{2}} L'énergie mécanique est constante au cours du temps et proportionnelle au carré de l'amplitude.
θ ¨ + ω 0 2 θ = 0 {\displaystyle {\ddot {\theta }}+\omega _{0}^{2}\theta =0} avec ω 0 2 = g l {\displaystyle \omega _{0}^{2}={\frac {g}{l}}}