Oscillateurs/Oscillations amorties par un frottement fluide

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Équation du mouvement

En plus de la force de rappel, la particule est soumise à une force de frottement ${\vec {f}}=-b{\vec {v}}$.

On applique le principe fondamental de la dynamique et on projette sur l'axe horizontal :

$m{\ddot {x}}=-b{\dot {x}}-kx$

$m{\ddot {x}}+b{\dot {x}}+kx=0$

On réécrit cette équation sous la forme canonique suivante :

${\ddot {x}}+2\beta {\dot {x}}+\omega _{0}^{2}x=0$

avec $\omega _{0}^{2}={k \over m}$ et $2\beta ={b \over m}$.

C'est une équation différentielle linéaire d'ordre 2 à coefficients constants.

Régimes de fonctionnement

L'équation caractéristique de l'équation différentielle est :

$r^{2}+2\beta r+\omega _{0}^{2}=0$

Le discriminant Δ est :

$\Delta =4\beta ^{2}-4\omega _{0}^{2}=4(\beta ^{2}-\omega _{0}^{2})$

Son signe détermine la nature du régime de fonctionnement.

Amortissement fort

Considérons le cas Δ > 0, l'équation caractéristique admet alors deux racines réelles négatives :

$r_{1}={-2\beta -2{\sqrt {\Delta }} \over 2}=-\beta -{\sqrt {\beta ^{2}-\omega _{0}^{2}}}$

$r_{2}={-2\beta +2{\sqrt {\Delta }} \over 2}=-\beta +{\sqrt {\beta ^{2}-\omega _{0}^{2}}}$

La solution générale est de la forme :

$x(t)=Ae^{r_{1}t}+Be^{r_{2}t}$

On détermine les constantes A et B à l'aide des conditions initiales. Le régime est apériodique et consiste en un retour vers la position d'équilibre sans oscillation.

Début de l'exemple

Exemple de mouvements apériodiques

Conditions initiales : x(0) = x₀ et V(0) = 0

Conditions initiales : x(0) = 0 et V(0) = V₀

Fin de l'exemple

Amortissement faible

Considérons le cas Δ < 0, les racines de l'équation caractéristique sont alors complexes et conjuguées :

${\begin{cases}r_{1}=-\beta -i\omega \\r_{2}=-\beta +i\omega \end{cases}}$avec $\omega ={\sqrt {\omega _{0}^{2}-\beta ^{2}}}$

La solution générale est de la forme :

$x(t)=A_{1}e^{r_{1}t}+A_{1}e^{r_{2}t}=Ae^{-\beta t}\cos(\omega t+\phi )$

On détermine les constantes A et φ à l'aide des conditions initiales. Le régime est pseudo-périodique et consiste en une oscillation sinusoïdale dont l'amplitude décroît exponentiellement avec le temps.

La pseudo période est :

$T={2\pi \over \omega }={2\pi \over {\sqrt {\omega _{0}^{2}-\beta ^{2}}}}={2\pi \over \omega _{0}{\sqrt {1-{\beta ^{2} \over \omega _{0}^{2}}}}}=$

La période est toujours supérieure à la pseudo période T₀ : T > T₀

Si l'amortissement est très faible ${\beta \over \omega _{0}}\ll 1$ et alors $T\simeq T_{0}$

Amortissement critique

Le cas intermediaire est le cas où Δ = 0, ce qui correspond à β = ω₀. L'équation caractéristique admet alors une racine double r = ω₀ . La solution générale de l'équation différentielle est :

$x(t)=(At+B)e^{-\omega _{0}t}$

Cette situation correspond au retour à l'équilibre sans oscillations le plus rapide.