En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) : Dérivées successives d'une fonction scalaire d'une variable réelle Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Dérivées successives d'une fonction scalaire d'une variable réelle », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
la fonction est dite dérivable sur un domaine de dérivabilité si son nombre dérivé existe pour toutes les valeurs du domaine.
Propriétés du nombre dérivé : Le nombre dérivé est le cœfficient directeur ou pente de la tangente du graphe de en fonction de au point d'abscisse , l'équation de la tangente s'écrivant , Propriétés du nombre dérivé : c'est encore la tangente de l'angle orienté que fait la tangente du graphe de en fonction de au point d'abscisse , avec l'axe des abscisses soit, .
Si la fonction scalaire est dérivable sur un domaine de dérivabilité, « ses nombres dérivés définis pour chaque valeur » sont les « images de par une fonction », cette fonction définie par «» est appelée « dérivée de la fonction ».
À partir d'une « 1ère fonction scalaire continue sur un intervalle et à valeurs dans l'intervalle » et une « 2ème fonction scalaire continue sur l'intervalle », nous définissons la « fonction composée continue sur l'intervalle » ; « si la fonction est dérivable en » et « la fonction dérivable en », « la fonction composée est dérivable en » et son nombre dérivé se détermine par
«».
Fin du théorème
Démonstration : la fonction étant dérivable en «» ou notant «» «»,
Démonstration : la fonction étant continue en soit, en remplaçant par , «» ou, compte-tenu de quand , «» que nous pouvons finalement réécrire «» ;
Démonstration : pour terminer transformons le taux de variation de la fonction composée selon «» dans lequel Démonstration : pour terminer le « 1er facteur du 2ème membre a pour limite quand » résultat établi ci-dessus et Démonstration : pour terminer le « 2ème facteur du 2ème membre pour limite quand » définition du nombre dérivé de en d'où
À partir de la « fonction scalaire dérivable en et telle que soit », on définit le « nombre dérivé logarithmique de en » selon
«» dans lequel est le nombre dérivé de en ;
Justification du nom « dérivée logarithmique » : la fonction scalaire « logarithme népérien» [2] est « continue et dérivable sur » de « dérivée 1ère, pour , » Justification du nom « dérivée logarithmique » : et la « fonction scalaire est dérivable en » de « nombre dérivé » avec «» d'où Justification du nom « dérivée logarithmique » : le nombre dérivé logarithmique de en «» se réécrivant selon «» Justification du nom « dérivée logarithmique » : le nombre dérivé logarithmique de en s'identifie au « nombre dérivé de la fonction composée en » soit Justification du nom « dérivée logarithmique » : le nombre dérivé logarithmique de en «» ;
Justification du nom « dérivée logarithmique » : la fonction scalaire composée « logarithme népérien de valeur absolue » [2] est « continue et dérivable sur » [3] de « dérivée 1ère Justification du nom « dérivée logarithmique » : la fonction scalaire composée « logarithme népérien de valeur absolue » est « pour , » [4] Justification du nom « dérivée logarithmique » : et la « fonction scalaire est dérivable en » de « nombre dérivé » avec «» d'où Justification du nom « dérivée logarithmique » : le nombre dérivé logarithmique de en «» se réécrivant selon «» Justification du nom « dérivée logarithmique » : le nombre dérivé logarithmique de en s'identifie au « nombre dérivé de la fonction composée en » soit Justification du nom « dérivée logarithmique » : le nombre dérivé logarithmique de en «».
Justification du nom « dérivée logarithmique » : En conclusion, à partir de la « fonction scalaire dérivable en de nombre dérivé et telle que soit », Justification du nom « dérivée logarithmique » : En conclusion, le « nombre dérivé logarithmique de en » à savoir «» est aussi le « nombre dérivé de en » c.-à-d. Justification du nom « dérivée logarithmique » : En conclusion, le « nombre dérivé logarithmique de en » à savoir «» d'où le nom.
Fonction dérivée logarithmique d'une fonction scalaire : Si la fonction scalaire est dérivable sur un domaine de dérivabilité, la fonction dérivée de est définie selon «» et Fonction dérivée logarithmique d'une fonction scalaire : si l'image de par ne contient pas [5] c.-à-d. «» [5] ou «» [5], Fonction dérivée logarithmique d'une fonction scalaire : « ses nombres dérivés logarithmiques définis pour chaque valeur » [5] sont les « images de par une fonction » [6], Fonction dérivée logarithmique d'une fonction scalaire : cette fonction définie par «» [5] est appelée « dérivée logarithmique de la fonction » Fonction dérivée logarithmique d'une fonction scalaire : c'est aussi la « dérivée de la fonction composée ».
La valeur du nombre dérivé du 2nd ordre traduit la façon dont la dérivée 1ère varie avec la variable, une valeur positive correspondra à une « de la dérivée 1ère » [8] alors que La valeur du nombre dérivé du 2nd ordre traduit la façon dont la dérivée 1ère varie avec la variable, une valeur négative correspondra à une « » [9].
↑ En fait continue et dérivable sur «» mais l'étude sur « où la fonction composée s'identifie à » ayant déjà été traitée, nous n'y revenons pas.
↑ En effet se réécrit, « pour , » la « réécriture de la fonction composée appliquée sur selon » avec symbole de multiplication sur d'où l'application du théorème de dérivation d'une fonction composée conduit à «».
↑ 5,05,15,25,3 et 5,4 Et si s'annule pour des valeurs de il convient de « restreindre au plus grand tel que ».
↑ Notation personnelle car il n'y a aucune réglementation pour noter cette fonction.
![{\displaystyle \;y-f(x_{0})=f'(x_{0})\left[x-x_{0}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9687c01901869b911f30dc3149cc8dcfb9b9ae1b)
![{\displaystyle \;\left\lbrace g\circ f\right\rbrace '(x_{0})=g'\left[f(x_{0})\right]\;f'(x_{0})\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f6973176bf2beaa1ac50fab42839cee691cd2f2)
![{\displaystyle \;\lim \limits _{y\rightarrow f(x_{0})}{\dfrac {g\left[y\right]-g\left[f(x_{0})\right]}{y-f(x_{0})}}=g'\left[f(x_{0})\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/707c2f9be9ebaf39ec795929af5b1ffc1195ada5)
![{\displaystyle \;u(y)={\dfrac {g\left[y\right]-g\left[f(x_{0})\right]}{y-f(x_{0})}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb13d845258163843606121219b7b68d8e3d49c7)
![{\displaystyle \;\lim \limits _{y\rightarrow f(x_{0})}u(y)=g'\left[f(x_{0})\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82f4a0bdfcf3f64422a6f411bb98d4972b6af37f)
![{\displaystyle \;\lim \limits _{f(x)\rightarrow f(x_{0})}u\left[f(x)\right]=g'\left[f(x_{0})\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4421b9a680389049971f8e1a92ce150c9c116538)
![{\displaystyle \;\lim \limits _{x\rightarrow x_{0}}u\left[f(x)\right]=g'\left[f(x_{0})\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b5e97431d3b15ca62f341b97f1d23061b515e70)
![{\displaystyle \;\lim \limits _{x\rightarrow x_{0}}{\dfrac {g\left[f(x)\right]-g\left[f(x_{0})\right]}{f(x)-f(x_{0})}}=g'\left[f(x_{0})\right]\;:\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4825367e1edcd609db6e3116652da9d696dad75e)
![{\displaystyle \;{\dfrac {g\left[f(x)\right]-g\left[f(x_{0})\right]}{x-x_{0}}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cece2fa6949bcfe413b831d27a38b4589ce968e)
![{\displaystyle \;{\dfrac {g\left[f(x)\right]-g\left[f(x_{0})\right]}{x-x_{0}}}={\dfrac {g\left[f(x)\right]-g\left[f(x_{0})\right]}{f(x)-f(x_{0})}}\;{\dfrac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5358da918bea1a0fdc4051e47a24aa56389aa89)
![{\displaystyle \;g'\left[f(x_{0})\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13b62c7de3a19e1b54f01f546ae215482489e53f)
![{\displaystyle \;\lim \limits _{x\rightarrow x_{0}}{\dfrac {g\left[f(x)\right]-g\left[f(x_{0})\right]}{x-x_{0}}}=\left\lbrace \lim \limits _{x\rightarrow x_{0}}{\dfrac {g\left[f(x)\right]-g\left[f(x_{0})\right]}{f(x)-f(x_{0})}}\right\rbrace \left\lbrace \lim \limits _{x\rightarrow x_{0}}{\dfrac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}\right\rbrace =g'\left[f(x_{0})\right]\;f'(x_{0})\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1661123dd2e8726c234332fd6895b98e250f56c)
![{\displaystyle \;{\dfrac {1}{f(x_{0})}}\;f'(x_{0})=\left\lbrace \ln '\left[f(x_{0})\right]\right\rbrace \;f'(x_{0})\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b7ec6911ea1f7e897ac8f7d4c486e73f6302ef4)
![{\displaystyle \;{\dfrac {f'(x_{0})}{f(x_{0})}}=\left\lbrace \ln \circ f\right\rbrace '(x_{0})=\left\lbrace \ln \left[f\right]\right\rbrace '(x_{0})\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a4d0365bd0a36ef86c11fac98316dbbdb7217d5)
![{\displaystyle \;{\dfrac {1}{f(x_{0})}}\;f'(x_{0})=\left\lbrace \left[\ln \,\circ \;{\big \vert }\;{\big \vert }\right]'\left[f(x_{0})\right]\right\rbrace \;f'(x_{0})\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1ebf6fb7054cc87a77136ea1b70eed3230c0525)
![{\displaystyle \;\left[\ln \,\circ \;{\big \vert }\;{\big \vert }\right]\circ f\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/093215be841c58cda88a72e046bacf53fcabea31)
![{\displaystyle \;{\dfrac {f'(x_{0})}{f(x_{0})}}=\left\lbrace \left[\ln \,\circ \;{\big \vert }\;{\big \vert }\right]\circ f\right\rbrace '(x_{0})=\left\lbrace \ln \left[{\big \vert }\,f\,{\big \vert }\right]\right\rbrace '(x_{0})\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7f6e0b9b345dffccd19888598dee8d02f871062)
![{\displaystyle \;\ln \left[{\big \vert }\,f\,{\big \vert }\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f96fe6f7a35766019136cf0d11e1aa7f682f292c)
![{\displaystyle \;{\dfrac {f'(x_{0})}{f(x_{0})}}=\left\lbrace \ln \left[{\big \vert }\,f\,{\big \vert }\right]\right\rbrace '(x_{0})\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d6ce685de23a888fca74088b2e73ea808be5b8f)
![{\displaystyle \;\left[\ln \,\circ \;{\big \vert }\;{\big \vert }\right]\circ f=\ln \left[{\big \vert }\,f\,{\big \vert }\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/785c3ad426bfd5609c71a5e74e558180d0d40a01)
![{\displaystyle \;\left\lbrace \ln \,\circ \,\left[-1\times \right]\right\rbrace \left(\;\right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a30fd3fb274bec029531b1727f70360fc4b3cc40)
![{\displaystyle \;\left\lbrace \ln \,\circ \,\left[-1\times \right]\right\rbrace '\left(u\right)=\ln '\left(-u\right)\;\left[-1\times \right]'\left(u\right)={\dfrac {1}{-u}}\;\left[-1\right]={\dfrac {1}{u}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5007a2341e0808fd9cc49da57d1f844be9e2973)
