Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Équations différentielles

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Définition d'une équation différentielle ordinaire

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     On se propose de définir une équation différentielle ordinaire concernant une fonction réelle de la variable réelle .

Équation différentielle non linéaire

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     La fonction ou ses dérivées peuvent intervenir :

  • élevées à une certaine puissance c.-à-d. , avec ou
  • multipliées entre elles c.-à-d. , ,

     Si tel est le cas, l'équation différentielle est dite non linéaire.

Équation différentielle linéaire

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     Si la fonction et ses dérivées interviennent sans être élevées à une certaine puissance et si elles ne sont pas multipliées entre elles, l'équation différentielle est linéaire et se présente sous la forme :

sont des fonctions de , l'équation différentielle étant d'ordre deux si dans ce cas, usuellement, on divise les deux membres de l'équation différentielle par de façon à ce que le cœfficient de la dérivée seconde soit , l'équation différentielle étant alors dite « normalisée »

      est l'excitation de l'équation différentielle, celle-ci est dite :

  • hétérogène dans la mesure où et
  • homogène si .

     Remarques : Si , le plus haut ordre n'est pas deux, mais un si  ;

     Remarques : si avec , il s'agit d'une équation différentielle linéaire d'ordre deux en mais on peut également considérer que cette équation différentielle est d'ordre un en dans la mesure où puisque s'écrivant [2].

Équation différentielle linéaire à coefficients constants

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     Une équation différentielle de ce type doit être linéaire et telle que les coefficients de sont des constantes et non des fonctions de  ; elle se présente sous la forme :

est encore une fonction de , étant des constantes réelles, l'équation différentielle linéaire à coefficients constants étant :

  • d'ordre deux en dans la mesure où ,
  • homogène si  » et
  • sinon, hétérogène.

     Normalisation de l'équation différentielle :
          La forme normalisée de l'équation différentielle du 2ème ordre en obtenue après avoir divisé les deux membres de l'équation différentielle par s'écrit :


 en posant , ainsi que et

          la forme normalisée de l'équation différentielle du 1er ordre en obtenue en supposant et après avoir divisé les deux membres de l'équation différentielle par s'écrit :


 en posant ainsi que .

Méthode de résolution d'une équation différentielle linéaire à coefficients constants homogène

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Préliminaire : notion d'espace vectoriel à une ou deux dimensions sur l'exemple des vecteurs géométriques

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     Tous les vecteurs d'une droite forment un espace vectoriel à une dimension c.-à-d. qu'il suffit d'un vecteur de base pour obtenir tous les vecteurs possibles de la droite comme « multiple » du vecteur de base ; quand un ensemble peut être engendré complètement de la même façon à partir d'un élément de l'ensemble, il constitue un « espace vectoriel à une dimension » et « l'élément particulier définit la base de l'ensemble » [3] ;

     tous les vecteurs d'un plan forment un espace vectoriel à deux dimensions c.-à-d. qu'il suffit de deux vecteurs de base [4] pour obtenir tous les vecteurs possibles du plan comme C.L. [5] des deux vecteurs de base ; quand un ensemble peut être engendré complètement de la même façon à partir de deux éléments indépendants [6] de l'ensemble, il constitue un « espace vectoriel à deux dimensions » et « ces deux éléments indépendants particuliers définissent la base de l'ensemble » [7].

Propriété (admise) de l'ensemble des solutions d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du premier ou deuxième ordre homogène

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     L'ensemble des solutions d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du premier ordre homogène est un « espace vectoriel à une dimension » et
     celui des solutions d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du deuxième ordre homogène, un « espace vectoriel à deux dimensions » [8] ;

          il suffit donc de déterminer une base de l'ensemble cherché pour obtenir tout l'ensemble c.-à-d. de trouver :

  • une solution particulière d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1er ordre homogène pour obtenir toutes les solutions possibles de l'équation c.-à-d. les multiples de la solution particulière ou,
  • deux solutions particulières indépendantes d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2ème ordre homogène pour obtenir toutes les solutions possibles de l'équation c.-à-d. les C.L. [5] des deux solutions particulières indépendantes.

Méthode de recherche d'une (ou de deux indépendantes) solution(s) particulière(s) d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du premier (ou deuxième) ordre homogène

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     On cherche une solution du type car ses dérivées première et seconde lui étant proportionnelles, l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants homogène du 1er ou 2ème ordre en se transforme en équation algébrique du 1er ou 2ème degré en après simplification par [9] ; l'équation algébrique ainsi obtenue est appelée « équation caractéristique de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants homogène ».

Résolution d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du premier ordre homogène

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     Soit , l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1er ordre homogène, l'équation caractéristique correspondante s'écrivant et
     Soit , l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1er ordre homogène, l'équation caractéristique correspondante se résolvant en , on en déduit

la solution particulière c.-à-d. la base de l'ensemble des solutions
et par suite la « solution générale de l'équation différentielle » est une constante réelle arbitraire.

Résolution d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du deuxième ordre homogène sans terme du premier ordre

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     Soit avec , l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2ème ordre homogène sans terme du 1er ordre ;
     Soit avec , la recherche de deux solutions particulières indépendantes sous la forme exponentielle nécessite que de telles solutions existent et, en faisant cette hypothèse
     Soit avec , la recherche de deux solutions particulières indépendantes sous la forme exponentielle nous obtenons l'équation caractéristique qui admet
     Soit avec , la recherche de deux solutions particulières indépendantes sous la forme exponentielle nous obtenons deux racines réelles distincts si est  ;
     Soit avec , aussi nous allons discuter de la forme des solutions particulières indépendantes de l'équation différentielle suivant le signe de  :

Cas où le cœfficient du terme d'ordre zéro est strictement négatif

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     Avec , l'équation caractéristique «» admettant comme racines réelles distinctes , on en déduit :

les deux solutions indépendantes de l'équation différentielle base de l'ensemble des solutions «»
et la solution générale de l'équation différentielle «»
avec deux constantes réelles arbitraires.

Cas où le cœfficient du terme d'ordre zéro est nul

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     Avec , l'équation caractéristique «» admettant comme racine réelle double , on en déduit :

une seule solution particulière de l'équation différentielle sous forme exponentielle «» [10],
ce qui est insuffisant pour en déduire la solution générale de l'équation différentielle ;
il faudrait donc trouver une 2ème solution particulière indépendante de la 1ère c.-à-d. non constante mais

     Avec , Dans le cas présent il y a plus simple, l'équation différentielle s'écrivant , il suffit d'intégrer deux fois successivement et on obtient
     Avec , Dans le cas présent il y a plus simple, avec constante réelle arbitraire puis
     Avec , Dans le cas présent il y a plus simple, avec 2ème constante réelle arbitraire ;

     Avec , la solution générale de l'équation différentielle est donc «» avec deux constantes réelles arbitraires, montrant que cette solution est construite à partir

des deux solutions particulières indépendantes «» [11] base de l'ensemble des solutions.

Cas où le cœfficient du terme d'ordre zéro est strictement positif

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     Avec , l'équation caractéristique n'admettant aucune racine réelle, il n'y a pas de solutions particulières ayant une forme exponentielle de l'équation différentielle.

     Avec , Toutefois si on résout l'équation différentielle sur au lieu de résoudre sur [12], l'ensemble des solutions complexes formant alors un espace vectoriel de dimension deux sur [13],
     Avec , Toutefois si on résout l'équation différentielle sur la recherche de solutions complexes particulières indépendantes de forme exponentielle l'équation caractéristique
      Avec , Toutefois si on résout l'équation différentielle sur la recherche de solutions complexes particulières indépendantes de forme exponentielle l'équation caractéristique et
     Avec , Toutefois si on résout l'équation différentielle sur l'équation caractéristique y admettant deux racines imaginaires conjuguées , on en déduit
     Avec , Toutefois si on résout l'équation différentielle sur les deux solutions complexes particulières et indépendantes de l'équation différentielle «» et
     Avec , Toutefois si on résout l'équation différentielle sur la solution générale complexe de l'équation différentielle s'écrit selon «»
     Avec , Toutefois si on résout l'équation différentielle sur la solution générale complexe de l'équation différentielle s'écrit avec deux constantes complexes arbitraires ;
     Avec , Toutefois si on résout l'équation différentielle sur on peut alors en déduire la solution générale réelle de l'équation différentielle en imposant des relations de liaison entre
     Avec , Toutefois si on résout l'équation différentielle sur on peut alors en déduire la solution générale réelle de façon à ce que soit réelle [14].

     Avec , Compte-tenu de ce qui précède, à partir des deux solutions particulières complexes indépendantes de l'équation différentielle,
     Avec , Compte-tenu de ce qui précède, il est possible de trouver, par C.L. [5] à cœfficients complexes, deux solutions particulières réelles indépendantes, « et » [15], [16]
         Avec , Compte-tenu de ce qui précède, il est possible de trouver, par C.L. à cœfficients complexes, deux solutions particulières réelles indépendantes, base de l'ensemble des solutions [17]
     Avec , Compte-tenu de ce qui précède, et la solution générale réelle de l'équation différentielle s'écrit «»
     Avec , Compte-tenu de ce qui précède, et la solution générale réelle de l'équation différentielle s'écrit avec deux constantes réelles arbitraires.

     Remarques : On établit que «» avec dépendant de  ;
     Remarques : en effet, posant [18] ;
     Remarques : en effet, du système d'équations on en déduit «» permettant de choisir la détermination de suivant les signes de [19] :

     Remarques : en effet si sont tous deux , , d'où «» [20],

     Remarques : en effet si sont tous deux , , d'où «» [20],

     Remarques : en effet si , , d'où «» [20],

     Remarques : en effet si , , d'où «» [20].

Méthode de résolution d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants hétérogène

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But recherché pour résoudre une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du premier ou du deuxième ordre hétérogène

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     Trouver une solution particulière de cette équation différentielle hétérogène dans le but d'effectuer un changement de fonction permettant d'obtenir la même équation différentielle mais homogène.

     Justification [21] : soient respectivement et la solution générale et une solution particulière de l'équation hétérogène c.-à-d.
          Justification : , nous pouvons vérifier aisément en formant la différence «» que
          Justification : la fonction est solution de la même équation différentielle mais homogène [22] soit
          Justification : [23] ;

     ainsi la solution générale de l'équation hétérogène est la somme de la solution générale de l'équation homogène [24] et d'une solution particulière de l'équation hétérogène c.-à-d.

«» ;

     dans quasiment tous les cas on peut trouver une solution particulière de l'équation différentielle hétérogène de même forme que l'excitation [25] et alors, on peut écrire

«»
où «[26] est la solution générale de l'équation homogène » et
«[27] la solution particulière de l'équation hétérogène de même forme que l'excitation » [28].

Recherche de la solution forcée (quand celle-ci existe)

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     La solution forcée est la solution particulière d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1er ou du 2ème ordre hétérogène de même forme que l'excitation ;
     les principaux cas se présentant sont «», recherche sous la forme est une constante réelle à déterminer ;
     les principaux cas se présentant sont «», recherche sous la forme et sont des constantes réelles à déterminer ;
     les principaux cas se présentant sont «», recherche sous la forme est une constante réelle à déterminer ;
     les principaux cas se présentant sont «», recherche sous la forme et sont des constantes réelles à déterminer ;

     dans ce qui suit nous privilégions le cas d'une excitation constante, la démarche pour les autres formes d'excitation étant identique.

Premier ordre à excitation constante

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     Soit « est l'excitation constante » ;

     dans la mesure où [29] il existe toujours une solution forcée c.-à-d. une solution particulière de l'équation hétérogène de même forme que l'excitation c.-à-d. de forme constante
          dans la mesure où il existe toujours une solution forcée car la dérivée étant identiquement nulle on obtient soit et par suite

la solution générale de l'équation différentielle hétérogène s'écrit ou,
connaissant la solution libre de l'équation différentielle [30] avec constante arbitraire,
la solution générale de l'équation hétérogène se réécrit «».

Deuxième ordre sans terme du premier ordre à excitation constante

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     Soit « est l'excitation constante » ;

     dans la mesure où [31] il existe toujours une solution forcée c.-à-d. une solution particulière de l'équation hétérogène de même forme que l'excitation c.-à-d. de forme constante
          dans la mesure où il existe toujours une solution forcée car la dérivée 2nde étant identiquement nulle on obtient soit et par suite

la solution générale de l'équation différentielle hétérogène s'écrit ou,
connaissant la solution libre de l'équation différentielle [30] avec constantes arbitraires,
la solution générale de l'équation hétérogène se réécrit «».

Retour sur la résolution d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du second ordre avec terme du premier ordre

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Rappel de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du second ordre avec terme du premier ordre en f(x) sous forme normalisée

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     La forme normalisée d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2nd ordre avec terme du 1er ordre en correspondant au cœfficient de la dérivée 2nde égal à s'écrit

«» où
« et sont des réels non nuls » [32] et
« une fonction réelle » appelée « excitation ».

     Si l'équation est dite homogène et

     si tel que l'équation est dite hétérogène.

Rappel de la forme de la solution générale de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du second ordre hétérogène avec terme du premier ordre en f(x)

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     Nous avons établi dans le paragraphe intitulé « but recherché pour résoudre une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1er ou 2ème ordre hétérogène » plus haut dans ce chapitre que

     la solution générale de l'équation hétérogène est la somme de la solution générale de l'équation homogène [24] et d'une solution particulière de l'équation hétérogène c.-à-d.

«» ;

     dans quasiment tous les cas il existe une solution particulière de l'équation différentielle hétérogène de même forme que l'excitation [25] et alors, la solution générale de l'équation hétérogène se réécrit

«»
où «[26] est la solution générale de l'équation homogène » et
«[27] la solution particulière de l'équation hétérogène de même forme que l'excitation » [28].

Recherche de la solution générale de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du second ordre homogène avec terme du premier ordre en f(x)

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     On cherche donc à résoudre avec et des constantes réelles non nulles, pour cela on applique la méthode exposée dans le paragraphe « méthode de recherche d'une (ou de deux indépendantes) solution(s) particulière(s) d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1er (ou 2ème) ordre homogène » plus haut dans ce chapitre à savoir

     chercher des solutions du type car ses dérivées 1ère et 2nde lui étant , l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants homogène du 2ème ordre en se transforme en équation algébrique du 2ème degré en après simplification par [9], l'équation algébrique ainsi obtenue étant appelée « équation caractéristique de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants homogène ».

Équation caractéristique de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du second ordre homogène avec terme du premier ordre en f(x)

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     Appliquant la méthode précédemment rappelée on obtient l'équation caractéristique du 2ème degré en la variable algébrique réelle suivante

«».

Résolution de l'équation caractéristique de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du second ordre homogène avec terme du premier ordre en f(x) et forme de la solution libre réelle de cette équation différentielle

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     La résolution de l'équation caractéristique passe par l'évaluation de son « discriminant » et
     La résolution de l'équation caractéristique passe par l'étude de son signe :

Cas où le discriminant Δ est positif, solution libre apériodique
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     « Si est » [33], l'équation caractéristique admet deux solutions réelles distinctes «» et

            « Si est » la solution générale libre étant générée par la base constituée des deux solutions particulières exponentielles [34] s'écrit

«» [35],
et étant deux constantes réelles arbitraires.
Cas où le discriminant Δ est nul, solution libre apériodique critique
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     « Si est » [36], l'équation caractéristique admet une solution réelle double «» et
            « Si est » on en déduit une seule solution particulière de forme exponentielle , il faut donc chercher une 2ème solution particulière d'une autre forme,
            « Si est » on en déduit une seule solution particulière de forme exponentielle , on vérifie ci-dessous que convient ;

            « Si est » vérification : si , la dérivée 1ère vaut et
                « Si est » vérification : si , la dérivée 2nde vaut ,
            « Si est » vérification : formant alors la C.L. [5] du 1er membre de l'équation différentielle, on trouve [37]
            « Si est » vérification : ce qui prouve que est bien solution particulière de l'équation différentielle homogène ;

     la solution générale libre étant générée par la base constituée des deux solutions particulières « et » [34] s'écrit

«» [36],
et étant deux constantes réelles arbitraires.
Cas où le discriminant Δ est négatif, solution libre pseudo-périodique
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     « Si est » [38], l'équation caractéristique n'admet aucune solution réelle, il n'y a alors pas de solution libre particulière réelle de forme exponentielle à l'équation différentielle,
            « Si est » il faudrait donc chercher deux solutions particulières sous une autre forme mais
            « Si est » nous allons procéder autrement de façon à utiliser l'équation caractéristique déjà écrite :

            « Si est » si cette équation caractéristique n'a pas de solutions réelles, elle a néanmoins deux solutions complexes conjuguées distinctes, et par suite
            « Si est » il y a deux solutions libres particulières complexes de forme exponentielle à cette équation différentielle
            « Si est » il y a deux solutions libres particulières complexes servant de base à l'espace vectoriel de ses solutions libres complexes,
            « Si est » il y a deux solutions libres particulières complexes les deux cœfficients générateurs étant complexes et correspondant à quatre cœfficients générateurs réels ;
            « Si est » à partir de la solution générale libre complexe nous obtiendrons la solution générale libre réelle en écrivant que
            « Si est » à partir de la solution générale libre complexe nous obtiendrons la partie imaginaire de la solution générale libre complexe est identiquement nulle,
            « Si est » à partir de la solution générale libre complexe nous obtiendrons ce qui, donnant deux relations de liaison entre les quatre cœfficients générateurs réels,
            « Si est » à partir de la solution générale libre complexe nous obtiendrons ce qui, laissera uniquement deux cœfficients générateurs réels

     Résolution de l'équation caractéristique en complexe et solution générale libre complexe de l'équation différentielle homogène :
     Résolution de l'équation caractéristique en complexe l'équation caractéristique ayant deux solutions complexes conjuguées distinctes «» [39],
     Résolution de l'équation caractéristique en complexe la solution générale libre complexe de l'équation différentielle homogène s'écrit
     Résolution de l'équation caractéristique en complexe «»,
     Résolution de l'équation caractéristique en complexe « et étant deux constantes complexes arbitraires [40].

     Détermination de la solution générale libre réelle de l'équation différentielle homogène à partir de la solution générale libre complexe :
     Détermination de la solution générale libre réelle il faut écrire que la partie imaginaire de est identiquement nulle et pour cela
     Détermination de la solution générale libre réelle nous définissons les cœfficients générateurs complexes sous leur forme trigonométrique [41] et
     Détermination de la solution générale libre réelle réécriture de selon «»
     Détermination de la solution générale libre réelle de partie imaginaire  ;
     Détermination de la solution générale libre réelle la nullité du terme imaginaire est réalisé pour tout si la nullité du terme entre crochets l'est et pour cela on décompose les sinus
     Détermination de la solution générale libre réelle à l'aide des formules de trigonométrie [42] d'où
     Détermination de la solution générale libre réelle la réécriture du terme entre crochets
     Détermination de la solution générale libre réelle la réécriture du terme entre crochets dont
     Détermination de la solution générale libre réelle la nullité la nullité simultanée des cœfficients de et de «» soit
     Détermination de la solution générale libre réelle en faisant la somme membre à membre des carrés ou, les modules étant nécessairement positifs, «»,
     Détermination de la solution générale libre réelle «» les arguments et suivent réalisés pour «» [43] ;

     Détermination de la solution générale libre réelle la solution générale libre complexe est réelle ssi les cœfficients générateurs et sont conjugués l'un de l'autre «» [39], d'où
     Détermination de la solution générale libre réelle la solution générale libre réelle à la partie réelle de la solution générale libre complexe soit
     Détermination de la solution générale libre réelle «» ou encore,
     Détermination de la solution générale libre réelle avec , «» [44].

     Forme de la solution générale libre réelle de l'équation différentielle siest : «» [45] avec « et constantes réelles arbitraires » [46].

     Autre formemoins utiliséede la solution générale libre réelle de l'équation différentielle siest : «» [47]
     Autre formemoins utiliséede la solution générale libre réelle de l'équation différentielle si est : « avec « et constantes réelles arbitraires ».

     Remarque : On retrouve les deux formes de « solution libre de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants homogène du 2ème ordre en f(x) sans terme du 1er ordre » dans les deux formes de solution libre pseudo-périodique ci-dessus en faisant tendre le cœfficient du terme d'ordre un vers zéro c.-à-d. d'où .

Solution forcée de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du second ordre hétérogène avec terme du premier ordre en f(x), dans le cas d'une excitation constante

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     Soit « est l'excitation constante » ;

     dans la mesure où [48], il existe toujours une solution forcée c.-à-d. une solution particulière de l'équation hétérogène de même forme que l'excitation c.-à-d. de forme constante
           dans la mesure où il existe toujours une solution forcée car les dérivées 2nde et 1ère étant identiquement nulles on obtient soit «».

Solution générale de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du second ordre hétérogène avec terme du premier ordre en f(x), dans le cas d'une excitation constante

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     Dans la mesure où [49], nous avons vu au paragraphe « solution forcée de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2nd ordre hétérogène avec terme du 1er ordre en f(x), dans le cas d'une excitation constante » plus haut dans ce chapitre, qu'il existe toujours une solution forcée égale à et par suite
          Dans la mesure où la solution générale de l'équation différentielle hétérogène s'écrit «» dans laquelle est
          Dans la mesure où la solution libre de l'équation différentielle [30] prenant, suivant le signe du discriminant de l'équation caractéristique [50],
                Dans la mesure où la solution libre de l'équation différentielle prenant, la forme apériodique [51],
                Dans la mesure où la solution libre de l'équation différentielle prenant, la forme apériodique critique [52] ou
                Dans la mesure où la solution libre de l'équation différentielle prenant, la forme pseudo-périodique [53]
          Dans la mesure où

Méthode « des complexes » de détermination de la solution forcée sinusoïdale (quand elle existe) d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants réels hétérogène à excitation sinusoïdale

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Exposé de la recherche de la solution forcée sinusoïdale (quand elle existe) d'une équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants hétérogène à excitation sinusoïdale

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     On cherche la solution forcée sinusoïdale quand elle existe de l'équation différentielle linéaire normalisée à cœfficients réels constants hétérogène du 1er ou du 2ème ordre en
     On cherche la solution forcée sinusoïdale quand elle existe de l'équation différentielle linéaire normalisée à cœfficients réels constants hétérogène d'excitation sinusoïdale [54] c.-à-d.
     On cherche la solution forcée sinusoïdale quand elle existe de l'équation différentielle en suivante , [55] ou
     On cherche la solution forcée sinusoïdale quand elle existe de l'équation différentielle en suivante , et [56],
     On cherche la solution forcée sinusoïdale quand elle existe de l'équation différentielle en étant l'excitation sinusoïdale de fréquence et d'amplitude , toutes deux fixées, et
     On cherche la solution forcée sinusoïdale quand elle existe de l'équation différentielle en on cherche, dans le cas où elle existe, la solution forcée sinusoïdale de même fréquence .

Les deux faces identiques de la recherche de la solution forcée sinusoïdale (quand elle existe) d'une équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants hétérogène à excitation sinusoïdale suivant que celle-ci est sous la forme d'un cosinus ou d'un sinus

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     Supposons que l'excitation s'écrive , nous cherchons la solution forcée sinusoïdale quand elle existe sous la forme
     Supposons que l'excitation s'écrive , nous cherchons dans laquelle et sont à déterminer en fonction des cœfficients caractérisant l'équation différentielle,
     Supposons que l'excitation s'écrive , nous cherchons de la fréquence commune , de l'amplitude et de la phase à l'origine de l'excitation,
     Supposons que l'excitation s'écrive , nous cherchons ce 1er problème étant noté  ;

     supposons maintenant que l'excitation s'écrive [57], nous cherchons la solution forcée sinusoïdale quand elle existe selon
          Supposons maintenant que l'excitation s'écrive , nous cherchons avec les mêmes valeurs et que dans le 1er problème précédent [58],
          Supposons maintenant que l'excitation s'écrive , nous cherchons ce 2ème problème étant noté  ;

     ainsi les deux faces de la recherche de la solution forcée sinusoïdale quand elle existe d'une équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants hétérogène à excitation sinusoïdale
     ainsi les deux faces de la recherche de la solution forcée sinusoïdale suivant que celle-ci est sous la forme d'un cosinus ou d'un sinus sont :
     ainsi les deux faces de la recherche de la solution forcée sinusoïdale pour une équation du 1er ordre
     ainsi les deux faces de la recherche de la solution forcée sinusoïdale avec recherche de solution forcée selon et
     ainsi les deux faces de la recherche de la solution forcée sinusoïdale pour une équation du 2ème ordre
     ainsi les deux faces de la recherche de la solution forcée sinusoïdale avec recherche de solution forcée selon .

Exposé de la méthode « des complexes » pour trouver la solution forcée sinusoïdale (quand elle existe) d'une équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants hétérogène à excitation sinusoïdale suivant que celle-ci est sous la forme d'un cosinus ou d'un sinus

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     Formant l'« équation différentielle » et introduisant l'« excitation instantanée complexe par même C.L. [5] » ainsi que
     Formant l'« équation différentielle » et introduisant la « réponse forcée instantanée complexe selon même C.L. [5] »,
     Formant l'« équation différentielle » nous obtenons une équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants hétérogène en fonction complexe et
     Formant l'« équation différentielle » nous obtenons une équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants hétérogène d'excitation complexe
     Formant l'« équation différentielle » nous obtenons une équation différentielle s'avérant nettement plus simple pour déterminer la solution forcée  et dont
     Formant l'« équation différentielle » nous obtenons une équation différentielle la partie réelle est l'équation différentielle d'excitation ,
     Formant l'« équation différentielle » nous obtenons une équation différentielle de solution forcée sinusoïdale dans la mesure où elle existe et
     Formant l'« équation différentielle » nous obtenons une équation différentielle la partie imaginaire est l'équation différentielle d'excitation ,
     Formant l'« équation différentielle » nous obtenons une équation différentielle de solution forcée sinusoïdale dans la mesure où elle existe .

     Remarque : une fois obtenue la solution forcée complexe quand celle-ci existe à partir de l'équation différentielle , nous pourrions en déduire la solution sinusoïdale forcée à l'un ou l'autre des problèmes envisagés en en prenant la partie réelle pour le problème et la partie imaginaire pour le problème mais nous n'utiliserons pas cette méthode, en préférant une encore plus simple ne nécessitant pas la prise de partie réelle ou imaginaire.

Grandeurs instantanées complexes et amplitudes complexes associées

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     La « grandeur instantanée complexe » associée à la fonction est la fonction à valeurs complexes de la variable dont
     La « grandeur instantanée complexe » associée à la fonction « est la partie réelle » ou
     La « grandeur instantanée complexe » associée à la fonction « est la partie imaginaire » ; ainsi
     La « grandeur instantanée complexe » « est telle que ».

     On définit l'« amplitude complexe » comme la grandeur telle que la grandeur instantanée complexe associée s'écrive  ;
     On définit l'« amplitude complexe » est donc égale à «»,
     On définit son module étant égal à l'amplitude de la fonction sinusoïdale c.-à-d. «» et
     On définit son argument étant égal à la phase à l'origine de la fonction sinusoïdale c.-à-d. «» ;

     conséquence : la connaissance de l'amplitude complexe est donc équivalente à celle de la grandeur instantanée complexe et par suite
     conséquence : la connaissance de l'amplitude complexe est donc équivalente à celle de la fonction sinusoïdale de la variable à condition de connaître la forme de cette dernière « cosinusoïdale » ou
     conséquence : la connaissance de l'amplitude complexe est donc équivalente à celle de la fonction sinusoïdale de la variable à condition de connaître la forme de cette dernière « sinusoïdale ».

Dérivation première ou seconde des grandeurs instantanées complexes par rapport à la variable x

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     La simplification de la recherche de solution sinusoïdale forcée d'une équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants hétérogène à excitation sinusoïdale par la méthode des complexes
     La simplification provient du fait que la dérivation 1ère par rapport à de est équivalente à une « multiplication de par » et
     La simplification provient du fait que la dérivation 2ème par rapport à de est équivalente à une « multiplication de par »

Recherche de la solution forcée complexe de l'équation différentielle (1')

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Solution forcée complexe de l'équation différentielle (1') du 1er ordre
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     L'équation différentielle s'écrivant «» avec «» ou,
       L'équation différentielle s'écrivant «» avec «» en introduisant la pulsation spatiale [59] de l'excitation,
       L'équation différentielle s'écrivant «» avec la solution forcée complexe étant cherchée sous la forme ,
         L'équation l'équation de recherche de cette solution se réécrit «» ou, en explicitant ,
         L'équation l'équation de recherche de cette solution se réécrit «» soit, en simplifiant par ,
         L'équation l'équation de recherche de cette solution se réécrit «» indépendante de la variable établissant l'existence de la solution forcée complexe
         L'équation l'équation de recherche de cette solution se réécrit «» indépendante de la variable établissant dans la mesure où ne peut pas s'annuler
         L'équation l'équation de recherche de cette solution correspondant à une amplitude complexe «» et
         L'équation l'équation de recherche de cette solution correspondant à la solution forcée complexe «».

Solution forcée complexe de l'équation différentielle (1') du 2ème ordre
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     L'équation différentielle s'écrivant «» avec «» ou,
       L'équation différentielle s'écrivant «» avec «» en introduisant la pulsation spatiale de l'excitation,
       L'équation différentielle s'écrivant «» avec la solution forcée complexe étant cherchée sous la forme ,
         L'équation l'équation de recherche de cette solution «» ou, en explicitant ,
         L'équation l'équation de recherche de cette solution «» soit, en simplifiant par ,
         L'équation l'équation de recherche de cette solution «» indépendante de la variable établissant l'inexistence de solution forcée complexe
         L'équation l'équation de recherche de cette solution «» indépendante de la variable établissant l'inexistence « si et » pour
         L'équation l'équation de recherche de cette solution «» indépendante de la variable établissant l'inexistence une pulsation spatiale
         L'équation l'équation de recherche de cette solution «» indépendante de la variable établissant l'inexistence y serait de module mais
         L'équation l'équation de recherche de cette solution «» indépendante de la variable établissant l'existence de la solution forcée complexe
         L'équation l'équation de recherche de cette solution «» indépendante de la variable établissant l'existence « si » [60] ou
         L'équation l'équation de recherche de cette solution «» indépendante de la variable établissant l'existence « si et » [60] ou encore
         L'équation l'équation de recherche de cette solution «» indépendante de la variable établissant l'existence « si et » pour une
         L'équation l'équation de recherche de cette solution «» indépendante de la variable établissant l'existence pulsation spatiale [60],
         L'équation l'équation de recherche de cette solution correspondant à une amplitude complexe «» et
         L'équation l'équation de recherche de cette solution correspondant à la solution forcée complexe «».

Solution forcée complexe de l'équation différentielle (1') du nème ordre avec n entier naturel non nul
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     L'équation différentielle s'écrivant «» avec «» ou,
          L'équation différentielle s'écrivant «» avec «» en introduisant la pulsation spatiale
         L'équation différentielle s'écrivant «» avec «» de l'excitation,
          L'équation différentielle s'écrivant «» avec la solution forcée complexe étant cherchée sous la forme
         L'équation différentielle s'écrivant «» avec la solution forcée complexe étant cherchée ,
         L'équation l'équation de recherche de cette solution se réécrit, en « remplaçant par » et en factorisant le 1er membre par ,
         L'équation l'équation de recherche de cette solution se réécrit, «» ou, en explicitant ,
         L'équation l'équation de recherche de cette solution se réécrit, «» soit,
         L'équation l'équation de recherche de cette solution se réécrit en simplifiant par , «»
         L'équation l'équation de recherche de cette solution se réécrit en simplifiant par , indépendante de la variable ou encore,
         L'équation l'équation de recherche de cette solution définissant le « polynôme caractéristique de cette équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants d'ordre » [61] selon
         L'équation l'équation de recherche de cette solution définissant le «», l'équation de recherche de se réécrit,
         L'équation l'équation de recherche de cette solution se réécrit, «» indépendante de la variable établissant l'inexistence de solution forcée complexe pour
          L'équation l'équation de recherche de cette solution se réécrit «» indépendante de la variable établissant l'inexistence les valeurs de pulsation spatiale
          L'équation l'équation de recherche de cette solution se réécrit «» indépendante de la variable établissant l'inexistence telles que y serait de
                                   L'équation l'équation de recherche de cette solution se réécrit «» indépendante de la variable établissant l'inexistence module mais
          L'équation l'équation de recherche de cette solution se réécrit «» indépendante de la variable établissant l'existence de la solution forcée complexe pour
          L'équation l'équation de recherche de cette solution se réécrit «» indépendante de la variable établissant l'existence les valeurs de pulsation spatiale
          L'équation l'équation de recherche de cette solution se réécrit «» indépendante de la variable établissant l'existence telles que
          L'équation l'équation de recherche de cette solution correspondant à une amplitude complexe «» et
          L'équation l'équation de recherche de cette solution correspondant à la solution forcée complexe «».

Détermination de l'amplitude et de la phase à l'origine de la réponse forcée sinusoïdale (quand celle-ci existe) à partir de l'amplitude complexe de la réponse forcée complexe

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     Compte-tenu de la définition de l'amplitude complexe on en déduit «».

Amplitude et phase à l'origine de la solution sinusoïdale forcée de l'équation différentielle (1) ou (2) du 1er ordre
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     Ayant introduit la pulsation spatiale [59] et
     Ayant trouvé, pour toutes valeurs de celle-ci, une valeur d'amplitude complexe «»
     on en déduit, pour la réponse forcée sinusoïdale, son amplitude «» [62] et
     on en déduit, pour la réponse forcée sinusoïdale, sa phase à l'origine «» [63].

Amplitude et phase à l'origine de la solution sinusoïdale forcée de l'équation différentielle (1) ou (2) du 2ème ordre
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     Ayant introduit la pulsation spatiale et
     Ayant trouvé, pour toutes valeurs de celle-ci quand , une valeur d'amplitude complexe «»
     on en déduit, pour la réponse forcée sinusoïdale, son amplitude «» [62] et
     on en déduit, pour la réponse forcée sinusoïdale, sa phase à l'origine «[63], [64] soit encore
     on en déduit, pour la réponse forcée sinusoïdale, sa phase à l'origine «» [63].

Expression de la réponse forcée sinusoïdale (quand celle-ci existe) de l'équation différentielle (1) ou (2) à l'excitation sinusoïdale

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     Dans l'équation différentielle l'excitation ayant la forme , la réponse forcée sinusoïdale de à l'excitation s'écrit et

     dans l'équation différentielle l'excitation ayant la forme , la réponse forcée sinusoïdale de à l'excitation s'écrit .

Cas de l'échec de la méthode de recherche de la solution forcée sinusoïdale d'une équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants hétérogène à excitation sinusoïdale, le polynôme caractéristique s'annulant pour la pulsation (spatiale) envisagée

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     Nous avons vu qu'il n'y avait jamais échec dans le cas d'une équation différentielle du 1er ordre [65] ni
     Nous avons vu qu'il n'y avait jamais échec dans le cas d'une équation différentielle du 2ème ordre si [66] ;

     Nous avons vu qu'il n'y a pas échec dans le cas d'une équation différentielle du 2ème ordre où et [66] ainsi que
     Nous avons vu qu'il n'y a pas échec dans le cas d'une équation différentielle du 2ème ordre où et pour les pulsations spatiales de l'excitation [66] mais
     Nous avons vu qu'il y a échec dans le cas d'une équation différentielle du 2ème ordre où et pour la pulsation spatiale de l'excitation valant [66]
     Nous avons vu qu'il y a échec dans le cas d'une équation différentielle du 2ème ordre où et à laquelle correspond le polynôme caractéristique de l'équation différentielle s'annulant ;

     nous nous plaçons donc dans le cas d'une équation différentielle du 2ème ordre où et , la pulsation spatiale de l'excitation valant [66] ;

      nous nous plaçons donc dans le cas soit l'équation différentielle « avec et » ou encore
      nous nous plaçons donc dans le cas soit l'équation différentielle « avec » en éliminant au profit de  ;
      nous nous plaçons donc dans le cas comme il n'existe pas de solution particulière de l'équation différentielle linéaire hétérogène de même forme que l'excitation [66],
      nous nous plaçons donc dans le cas comme il n'existe pas il convient donc d'en chercher une sous une autre forme et nous le ferons
      nous nous plaçons donc dans le cas comme il n'existe pas il convient donc d'en chercher une sous la forme «».

Détermination directe de α et ψ

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     Nous cherchons une solution particulière de l'équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 2ème ordre «»
     Nous cherchons une solution particulière sous la forme «» et
     Nous cherchons une solution particulière pour cela nous évaluons «» et
     Nous cherchons une solution particulière pour cela nous évaluons «» d'où, par report dans le 1er membre de
       Nous cherchons une solution particulière « d'où, par report l'équation différentielle,
     Nous cherchons une solution particulière «
       Nous cherchons une solution particulière « » à identifier à «» ou, l'identification suivante
       Nous cherchons une solution particulière « «» [67] d'où
       Nous cherchons la solution particulière de l'équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 2ème ordre «»
       Nous cherchons la solution particulière «» [68].

Détermination de α et ψ par prolongement de la méthode « des complexes »

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     Nous cherchons une solution particulière de l'équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 2ème ordre «»
     Nous cherchons une solution particulière sous la forme «» par prolongement de la méthode « des complexes » c.-à-d.
     Nous cherchons une solution particulière en introduisant l'excitation complexe associée à l'excitation sinusoïdale ,
     Nous cherchons une solution particulière en introduisant l'amplitude complexe étant et
          en cherchant la solution particulière complexe de l'équation différentielle «» [69] sous la forme «», avec
                 en cherchant la solution particulière complexe de l'équation différentielle «» « cœfficient multiplicateur de dans la pseudo-amplitude
                 en cherchant la solution particulière complexe de l'équation différentielle «» « est le cœfficient complexe de »,
          en cherchant la solution particulière de l'équation différentielle [69] étant « partie réelle de » ;

          en cherchant la solution particulière pour cela nous évaluons «» [70] et
          en cherchant la solution particulière pour cela nous évaluons «» [70] d'où, par report dans le 1er membre de
                    en cherchant la solution particulière pour cela nous évaluons « d'où, par report l'équation différentielle ,
          en cherchant la solution particulière «
           en cherchant la solution particulière « » à identifier à «» «» d'où
          en cherchant la solution particulière le cœfficient multiplicateur de dans la pseudo-amplitude complexe de , «» dont on tire
          en cherchant la solution particulière le cœfficient multiplicateur de dans la pseudo-amplitude complexe de , «» ainsi que
          en cherchant la solution particulière le cœfficient multiplicateur de dans la pseudo-amplitude complexe de , «» et par suite

          en cherchant la solution particulière de l'équation différentielle [69] «» s'écrit selon
          en cherchant la solution particulière «» [68].

     Remarque : La méthode directe de détermination de la solution particulière de l'équation différentielle étant relativement simple [71],
     Remarque : l'utilisation de la généralisation de la méthode « des complexes » ne se justifie absolument pas

Résolution d'une équation différentielle linéaire à cœfficients non constants du 1er ordre

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Cas d'une équation différentielle linéaire à cœfficients non constants du 1er ordre homogène

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     Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 1er ordre en [72] homogène «» avec « fonction réelle connue de la variable réelle » ;
     ci-après nous indiquons deux méthodes pour résoudre cette équation différentielle :

  • une 1ère n'utilisant pas le caractère « linéaire » de l'équation différentielle, « méthode de séparation des variables » [73] : l'équation différentielle se réécrivant, après « adoption de la notation différentielle de la dérivée [74] », selon «» dont nous déduisons, par séparation des variables, «» dans la mesure où n'est pas la fonction nulle étant une solution triviale de l'équation différentielle, la supprimer pour poursuivre la résolution ne restreindra pas l'ensemble des solutions ;
    une 1ère n'utilisant pas le caractère « linéaire » notant une primitive de la fonction ,
    une 1ère n'utilisant pas le caractère « linéaire » « s'intègre en avec constante d'intégration » ou
     une 1ère n'utilisant pas le caractère « linéaire » « s'intègre en « avec telle que »
     une 1ère n'utilisant pas le caractère « linéaire » « s'intègre en « qui s'inverse en « avec constante d'intégration » ;
    une 1ère n'utilisant pas le caractère « linéaire » finalement en ajoutant la solution triviale à la solution précédente, nous en déduisons que
    une 1ère n'utilisant pas le caractère « linéaire » finalement la solution générale de l'équation différentielle linéaire normalisée du 1er ordre en [72] homogène «» avec fonction réelle connue de la variable réelle s'écrit « avec constante d'intégration », « étant une primitive de » ;
  • une 2ème utilisant le caractère « linéaire » de l'équation différentielle et le qualificatif « homogène » de celle-ci, ce qui permet d'utiliser la « propriété (admise) de l'ensemble des solutions d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1er ou 2ème ordre homogène » énoncée plus haut dans ce chapitre [8] ;
    une 2ème utilisant le caractère « linéaire » l'ensemble des solutions de l'équation différentielle linéaire du 1er ordre en [72] homogène «»
         une 2ème utilisant le caractère « linéaire » l'ensemble des solutions de l'équation différentielle linéaire du 1er ordre en homogène étant un espace vectoriel à une dimension, il suffit de
    une 2ème utilisant le caractère « linéaire » déterminer une base de l'ensemble cherché pour obtenir tout l'ensemble c.-à-d. de
    une 2ème utilisant le caractère « linéaire » trouver une solution particulière de cette équation différentielle linéaire du 1er ordre homogène pour obtenir toutes les solutions possibles de cette équation
    une 2ème utilisant le caractère « linéaire » trouver une solution particulière de cette équation différentielle linéaire du 1er ordre homogène pour obtenir c.-à-d. les multiples de la solution particulière d'où
    une 2ème utilisant le caractère « linéaire » la recherche d'une « solution particulière de forme exponentielle » car sa « dérivée 1ère étant à » et
    une 2ème utilisant le caractère « linéaire » la recherche d'une « solution particulière de forme exponentielle » car l'« équation différentielle étant homogène »,
    une 2ème utilisant le caractère « linéaire » la recherche d'une « solution particulière de forme exponentielle » nous pouvons « simplifier par » d'où
    une 2ème utilisant le caractère « linéaire » la réécriture de l'équation différentielle après simplification «» qui s'intègre en «» et par suite
    une 2ème utilisant le caractère « linéaire » la solution particulière de l'équation différentielle linéaire du 1er ordre en [72] homogène «», s'écrit
    une 2ème utilisant le caractère « linéaire » la solution particulière avec primitive de  ;
    une 2ème utilisant le caractère « linéaire » finalement la solution générale de l'équation différentielle linéaire du 1er ordre en [72] homogène «» avec fonction réelle connue de la variable réelle s'écrit « avec constante d'intégration », « étant une primitive de ».

     Remarque : Bien que la 2ème méthode soit la plus directe [75] donc la plus rapide, ce n'est celle qui est utilisée préférentiellement par les physiciens [76].

Cas d'une équation différentielle linéaire à cœfficients non constants du 1er ordre hétérogène

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     Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 1er ordre en [72] hétérogène «» avec « et fonctions réelles connues de la variable réelle »,
          Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 1er ordre en hétérogène «» avec « étant l'excitation de l'équation différentielle »,
          Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 1er ordre en hétérogène nous utiliserons la méthode de résolution d'une équation différentielle linéaire du 1er ou 2ème ordre hétérogène
          Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 1er ordre en hétérogène nous utiliserons la méthode exposée dans le cas de cœfficients constants plus haut dans ce chapitre [77] mais
          Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 1er ordre en hétérogène nous utiliserons la méthode restant applicable dans le cas de cœfficients non constants [78],
          Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 1er ordre en hétérogène nous utiliserons la méthode fondée sur la propriété suivante
          Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 1er ordre en hétérogène « la solution générale d'une équation différentielle linéaire hétérogène est
          Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 1er ordre en hétérogène « la somme de la solution générale de l'équation homogène correspondante et
          Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 1er ordre en hétérogène « la somme d'une solution particulière de l'équation hétérogène » c.-à-d.
          Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 1er ordre en hétérogène «» ;

          Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 1er ordre en hétérogène or la solution générale de l'équation différentielle linéaire normalisée du 1er ordre en [72] homogène
          Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 1er ordre en hétérogène or la solution générale de «» étant «
          Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 1er ordre en hétérogène or la solution générale de «» étant « avec constante d'intégration et
          Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 1er ordre en hétérogène or la solution générale de «» étant « avec une primitive de » [79],

          Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 1er ordre en hétérogène pour fixer la solution générale de l'équation différentielle linéaire normalisée du 1er ordre en [72] hétérogène
          Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 1er ordre en hétérogène pour fixer la solution générale de «» il reste à en déterminer une solution particulière et,
          Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 1er ordre en hétérogène pour cela, nous appliquons la « méthode de variation des constantes » [80] inventée par Pierre-Simon Laplace [81]
          Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 1er ordre en hétérogène pour cela, nous appliquons la « applicable à des équations différentielles linéaires hétérogènes d'ordre quelconque
          Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 1er ordre en hétérogène pour d'où, recherche d'une solution particulière sous la forme «
          Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 1er ordre en hétérogène pour d'où, recherche d'une solution particulière sous la forme « avec fonction à déterminer et
          Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 1er ordre en hétérogène pour d'où, recherche d'une solution particulière sous la forme avec «  une primitive de »,
          Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 1er ordre en hétérogène pour cela, «
          Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 1er ordre en hétérogène pour cela, « », le report des
          Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 1er ordre en hétérogène pour cela, expressions de la fonction et de sa dérivée dans l'équation différentielle linéaire hétérogène donnant
          Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 1er ordre en hétérogène pour cela, «» soit,
          Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 1er ordre en hétérogène pour cela, après simplification, «» «»
          Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 1er ordre en hétérogène pour cela, « est une primitive de » c.-à-d. «» [82],

          Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 1er ordre en hétérogène pour d'où «»
          Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 1er ordre en hétérogène «»
          Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 1er ordre en hétérogène « avec constante d'intégration soit, « étant
          Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 1er ordre en hétérogène « avec constante d'intégration soit, « définie à une constante additive près »,
          Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 1er ordre en hétérogène «» avec « primitive quelconque de »,
          Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 1er ordre en hétérogène «» avec « étant une primitive quelconque de ».

     Exemple : soit à résoudre «» dans laquelle «»,

     Exemple : la solution générale de l'équation différentielle linéaire du 1er ordre homogène «» étant «[79], [83]
     Exemple : la solution générale de l'équation différentielle linéaire du 1er ordre homogène «» étant « avec constante d'intégration »

     Exemple : la solution générale de l'équation différentielle linéaire du 1er ordre hétérogène «» selon «
     Exemple : la solution générale de l'équation différentielle linéaire du 1er ordre hétérogène «» selon « avec une primitive de »
     Exemple : la solution générale de l'équation différentielle linéaire du 1er ordre hétérogène «» selon « c.-à-d. «»
     Exemple : la solution générale de l'équation différentielle linéaire du 1er ordre hétérogène «» selon « ou, après une intégration par parties [84] voir
     Exemple : la solution générale de l'équation différentielle linéaire du 1er ordre hétérogène «» selon « ou, la note « 85 » plus bas dans ce chapitre,
     Exemple : la solution générale de l'équation différentielle linéaire du 1er ordre hétérogène «» selon «»
     Exemple : la solution générale de l'équation différentielle linéaire du 1er ordre hétérogène «» selon « avec « la fonction d'erreur » et
     Exemple : la solution générale de l'équation différentielle linéaire du 1er ordre hétérogène «» selon « avec « une constante d'intégration » [85].

Résolution d'une équation différentielle linéaire à cœfficients non constants du 2ème ordre

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Cas d'une équation différentielle linéaire à cœfficients non constants du 2ème ordre homogène

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     Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 2ème ordre en [72] homogène «» avec « et fonctions réelles connues
          Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 2ème ordre en homogène «» avec « et de la variable réelle » ;
     ci-après une méthode de résolution de cette équation différentielle utilisant le caractère « linéaire » de cette dernière et
     ci-après une méthode de résolution de cette équation différentielle utilisant le qualificatif « homogène » de celle-ci,
     ci-après une méthode de résolution de cette équation différentielle utilisant le qualificatif « homogène » ce qui permet d'utiliser la « propriété (admise) de l'ensemble des solutions d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1er ou 2ème ordre homogène » énoncée plus haut dans ce chapitre [8] ;

     ci-après une méthode de résolution l'ensemble des solutions de l'équation différentielle linéaire du 2ème ordre en [72] homogène «»
          ci-après une méthode de résolution l'ensemble des solutions de l'équation différentielle linéaire du 2ème ordre en homogène étant un espace vectoriel à deux dimensions, il suffit de
     ci-après une méthode de résolution déterminer une base de l'ensemble cherché pour obtenir tout l'ensemble c.-à-d. de
     ci-après une méthode de résolution trouver deux solutions particulières de cette équation différentielle linéaire du 2ème ordre homogène pour obtenir toutes les solutions possibles de cette équation
     ci-après une méthode de résolution trouver deux solutions particulières de cette équation différentielle linéaire du 2ème ordre homogène pour obtenir c.-à-d. les C.L. [5] des deux solutions particulières
     ci-après une méthode de résolution mais il n'existe pas de méthode pour déterminer ces solutions particulières dans le cas général
     ci-après une méthode de résolution par contre dès lors qu'une solution particulière non nulle «» de l'équation différentielle linéaire du 2ème ordre homogène est connue, il existe une
     ci-après une méthode de résolution par contre méthode pour déterminer une 2ème solution particulière indépendante «» faisant intervenir le wronskien de ces deux solutions particulières [86]
     ci-après une méthode de résolution par contre défini selon «» [87] «», la dérivée de ce dernier par rapport à la variable étant
           ci-après une méthode de résolution par contre défini selon «» «» ou, après simplification,
           ci-après une méthode de résolution par contre défini selon «» «» et, avec « et solutions particulières de
           ci-après une méthode de résolution par contre défini selon «» l'équation différentielle linéaire du 2ème ordre homogène
           ci-après une méthode de résolution par contre défini selon «» », la réécriture de selon
           ci-après une méthode de résolution par contre défini selon «» «» ou
           ci-après une méthode de résolution par contre défini selon «» après simplification, «»
     ci-après une méthode de résolution par contre le wronskien de ces deux solutions particulières [86] «» [87] de l'équation différentielle linéaire du 2ème ordre en [72]
                                                                          ci-après une méthode de résolution par contre le wronskien de ces deux solutions particulières homogène «»
     ci-après une méthode de résolution par contre le wronskien est solution de l'équation différentielle linéaire du 1er ordre en homogène «» avec
           ci-après une méthode de résolution par contre le wronskien de ces deux solutions particulières « non nul car les deux solutions particulières et sont indépendantes » [88] ;
     ci-après une méthode de résolution par contre résolvant «» [79] nous en déduisons « avec constante d'intégration et
           ci-après une méthode de résolution par contre résolvant «» nous en déduisons « avec une primitive de » soit encore,
           ci-après une méthode de résolution par contre résolvant «» nous en déduisons « avec mêmes et » ;
     ci-après une méthode de résolution « connue », il reste à résoudre l'équation différentielle linéaire du 1er ordre en hétérogène «» [89]
     ci-après une méthode de résolution « connue », il reste à résoudre ou, sous forme normalisée, «» avec « constante d'intégration et
        ci-après une méthode de résolution « connue », il reste à résoudre sous forme normalisée, «» avec une primitive de » ;
     ci-après une méthode de résolution une base de l'ensemble des solutions de l'équation différentielle linéaire du 2ème ordre en [72] homogène «»
     ci-après une méthode de résolution une base étant , nous en déduisons la solution générale de cette équation différentielle selon «» avec
     ci-après une méthode de résolution une base étant , nous en déduisons la solution générale de cette équation différentielle selon « couple de constantes arbitraires ».

     Exemple : Soit à résoudre « sur » dans laquelle «»,
     Exemple : remarquant que « est une solution particulière » évidente car « c.-à-d. »,
     Exemple : remarquant que « est une solution particulière » nous formons son wronskien [86] avec une autre solution particulière à déterminer soit «» [87]
           Exemple : remarquant que « est une solution particulière » nous formons son wronskien avec une autre solution particulière à déterminer soit «»,
     Exemple : remarquant que « est une solution particulière » nous formons ce dernier étant solution non nulle pour que soit indépendante de [88]
      Exemple : remarquant que « est une solution particulière » nous formons ce dernier étant solution de l'équation différentielle linéaire du 1er ordre homogène «» [90]
Exemple : remarquant que « est une solution particulière » nous formons ce dernier étant solution soit « avec » [79], [91] ou, après simplification,
Exemple : remarquant que « est une solution particulière » nous formons ce dernier étant solution soit « avec » ;
     Exemple : remarquant que « est une solution particulière » «» étant une équation différentielle linéaire du 1er ordre en hétérogène, se réécrivant,
     Exemple : remarquant que « est une solution particulière » «» étant sous forme normalisée, selon «» ;

     Exemple : remarquant que « est une solution particulière » cette équation différentielle linéaire à coefficients non constants du 1er ordre en hétérogène «»
     Exemple : remarquant que « est une solution particulière » cette équation différentielle se résout en cherchant d'abord la solution générale de «» c.-à-d.
     Exemple : remarquant que « est une solution particulière » cette équation différentielle se résout en cherchant d'abord la solution générale de l'équation différentielle homogène associée [79]
     Exemple : remarquant que « est une solution particulière » cette équation différentielle se résout en cherchant d'abord la solution générale soit «» avec
     Exemple : remarquant que « est une solution particulière » cette équation différentielle se résout en cherchant d'abord la solution générale soit « » [92]
     Exemple : remarquant que « est une solution particulière » cette équation différentielle se résout en cherchant puis par utilisation de la « méthode de variation des constantes » c.-à-d.
     Exemple : remarquant que « est une solution particulière » cette équation différentielle se résout en cherchant la solution générale de «»
     Exemple : remarquant que « est une solution particulière » cette équation différentielle se résout en cherchant la solution générale sous la forme «[89] dans laquelle
     Exemple : remarquant que « est une solution particulière » cette équation différentielle se résout en cherchant la solution générale sous est une primitive quelconque de » [93] d'où    Exemple : remarquant que « est une solution particulière » cette équation différentielle se résout en cherchant la solution générale sous «» avec d'où
     Exemple : remarquant que « est une solution particulière » cette équation différentielle se résout en cherchant la solution générale sous la forme «» avec
     Exemple : remarquant que « est une solution particulière » cette équation différentielle se résout en cherchant la solution générale sous la forme « et » ;

     Exemple : remarquant que « est une solution particulière » la 2ème solution particulière de «» étant choisie selon «»
     Exemple : remarquant que « est une solution particulière » la 2ème solution particulière c.-à-d. choisie nulle et constante d'intégration de égale à ,
     Exemple : nous en déduisons la solution générale de l'équation différentielle linéaire du 2ème ordre en [72] homogène « sur »
     Exemple : nous en déduisons la solution générale égale à une C.L. [5] des deux solutions particulières indépendantes selon «» avec
          Exemple : nous en déduisons la solution générale égale à une C.L. des deux solutions particulières indépendantes selon « et deux constantes réelles d'intégration ».

Cas d'une équation différentielle linéaire à cœfficients non constants du 2ème ordre hétérogène

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     Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 2ème ordre en [72] hétérogène «» avec «, et fonctions réelles connues
          Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 2ème ordre en hétérogène «» avec «, et de la variable réelle »,
         Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 2ème ordre en hétérogène «« étant l'excitation de l'équation différentielle »,
          Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 2ème ordre en hétérogène nous utiliserons la méthode de résolution d'une équation différentielle linéaire du 1er ou 2ème ordre hétérogène
          Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 2ème ordre en hétérogène nous utiliserons la méthode exposée dans le cas de cœfficients constants plus haut dans ce chapitre [77] mais
          Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 2ème ordre en hétérogène nous utiliserons la méthode restant applicable dans le cas de cœfficients non constants [78],
          Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 2ème ordre en hétérogène nous utiliserons la méthode fondée sur la propriété suivante
          Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 1er ordre en hétérogène « la solution générale d'une équation différentielle linéaire hétérogène est
          Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 2ème ordre en hétérogène « la somme de la solution générale de l'équation homogène correspondante et
          Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 2ème ordre en hétérogène « la somme d'une solution particulière de l'équation hétérogène » c.-à-d.
          Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 2ème ordre en hétérogène «» ;

          Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 2ème ordre en hétérogène la solution générale de l'équation différentielle homogène associée «»
          Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 2ème ordre en hétérogène la solution générale étant supposée connue égale à « [94] avec
          Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 2ème ordre en hétérogène la solution générale étant supposée connue égale à constantes d'intégration et
          Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 2ème ordre en hétérogène la solution générale étant supposée connue égale à solutions particulières indépendantes de
          Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 2ème ordre en hétérogène la solution générale étant supposée connue égale à l'équation différentielle homogène » ;

          Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 2ème ordre en hétérogène pour fixer la solution générale de l'équation différentielle linéaire normalisée du 2ème ordre en [72] hétérogène
          Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 2ème ordre en hétérogène pour fixer la solution générale de «» il reste à en déterminer
          Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 2ème ordre en hétérogène pour fixer la solution générale de «» une solution particulière et,
          Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 2ème ordre en hétérogène pour cela, appliquons la « méthode de variation des constantes » [95] inventée par Pierre-Simon Laplace [81]
          Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 2ème ordre en hétérogène pour cela, appliquons la « applicable à des équations différentielles linéaires hétérogènes d'ordre quelconque
          Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 2ème ordre en hétérogène pour d'où, recherche d'une solution particulière selon «
          Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 2ème ordre en hétérogène pour d'où, recherche d'une solution particulière selon « avec couple de fonctions à déterminer et
          Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 2ème ordre en hétérogène pour d'où, recherche d'une solution particulière selon « avec solutions particulières non liées de
          Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 2ème ordre en hétérogène pour d'où, recherche d'une solution particulière selon « avec l'équation différentielle homogène ».

     Préalable à la recherche d'une solution particulière de l'équation différentielle linéaire à cœfficients non constants du 2ème ordre enhétérogène :
     Préalable transformer l'équation différentielle linéaire à cœfficients non constants du 2ème ordre en [72] hétérogène «»
     Préalable transformer en un système de deux équations différentielles linéaires à cœfficients non constants du 1er ordre en hétérogène [96]
          Préalable transformer l'équation différentielle linéaire à cœfficients non constants du 2ème ordre en hétérogène «»,
     Préalable transformer en un système qui peut se réécrire sous forme matricielle [97] selon «» dans laquelle
           Préalable transformer en un système qui peut se réécrire sous forme matricielle selon «» [98] c.-à-d. une matrice colonne de dimension ou taille
                                                                                  Préalable transformer en un système qui peut se réécrire sous forme matricielle selon appelée « matrice colonne des inconnues »,
           Préalable transformer en un système qui peut se réécrire sous forme matricielle selon «» [98] c.-à-d. une matrice colonne de dimension ou taille
                                                                                     Préalable transformer en un système qui peut se réécrire sous forme matricielle selon appelée « matrice colonne de la dérivée des inconnues » [99],
           Préalable transformer en un système qui peut se réécrire sous forme matricielle selon «» [100] c.-à-d. une matrice carrée de dimension ou taille
                                                                                                        Préalable transformer en un système qui peut se réécrire sous forme matricielle selon appelée « matrice des cœfficients du système » [101],
           Préalable transformer en un système qui peut se réécrire sous forme matricielle selon «» [98] c.-à-d. une matrice colonne de dimension ou taille
                                                                                  Préalable transformer en un système qui peut se réécrire sous forme matricielle selon appelée « matrice colonne des excitations » et enfin
           Préalable transformer en un système qui peut se réécrire sous forme matricielle selon «» l'opération « multiplication matricielle » [102] ;

     traduction matricielle deousolutions particulières de l'équation différentielle linéaire à cœfficients non constants du 2ème ordre enhomogène :
     traduction matricielle l'équation différentielle linéaire à cœfficients non constants du 2ème ordre en [72] homogène «» étant transformée
     traduction matricielle l'équation différentielle en le système de deux équations différentielles linéaires à cœfficients non constants du 1er ordre en homogène [103]
          traduction matricielle l'équation différentielle linéaire à cœfficients non constants du 2ème ordre en homogène «»,
     traduction matricielle l'équation différentielle en le système qui peut se réécrire sous forme matricielle [97] selon «», les matrices étant celles définies précédemment ;

     traduction matricielle à la solution particulière de l'équation différentielle «» on associe «» [98],
     traduction matricielle à la solution particulière de l'équation différentielle «» on associe « matrice colonne des inconnues »,
     traduction matricielle à la solution particulière « étant liée » [98] par «» avec «» [100],
     traduction matricielle à la solution particulière « étant liée « matrice colonne dérivée » [99]                                                                      « matrice des cœfficients du système » [101],

     traduction matricielle à la solution particulière de l'équation différentielle «» on associe «» [98],
     traduction matricielle à la solution particulière de l'équation différentielle «» on associe « matrice colonne des inconnues »,
     traduction matricielle à la solution particulière « étant liée » [98] par «» avec «» [100],
     traduction matricielle à la solution particulière « étant liée « matrice colonne dérivée » [99]                                                                      « matrice des cœfficients du système » [101],

     traduction matricielle de la recherche d'une solution particulièrede l'équation différentielle linéaire à cœfficients non constants du 2ème ordre enhétérogène :
     traduction matricielle à la solution particulière de l'équation différentielle «» recherchée sous la forme
     traduction matricielle à la solution particulière avec à déterminer, on associe «» [98] ou encore
     traduction matricielle à la solution particulière avec à déterminer, on associe «» [98],
     traduction matricielle à la solution particulière « devant être liée à » [98] par «» avec
                                                                           traduction matricielle à la solution particulière « devant être liée à » par ««» [100] et
                                                                                                  traduction matricielle à la solution particulière « devant être liée à » par ««» [98],

     traduction matricielle à la solution particulière explicitons «» [98] à l'aide de
     traduction matricielle à la solution particulière explicitons ««» d'une part et
     traduction matricielle à la solution particulière explicitons ««» d'autre part d'où
     traduction matricielle à la solution particulière explicitons «» [98] «» [104] ;

     traduction matricielle à la solution particulière de on déduit l'équation matricielle suivante
     traduction matricielle à la solution particulière de on déduit «»
     traduction matricielle à la solution particulière soit, en utilisant la distributivité de la multiplication matricielle à gauche relativement à l'addition matricielle [105],
     traduction matricielle à la solution particulière soit, «» ou,

     traduction matricielle à la solution particulière sachant que «», leur report dans l'équation matricielle «»
     traduction matricielle à la solution particulière si on revient au système d'équations traduisant l'équation matricielle on obtient «» ou
     traduction matricielle à la solution particulière si on revient au système d'équations traduisant l'équation matricielle on obtient «» ;

     traduction matricielle à la solution particulière ainsi « les deux inconnues et doivent être solutions du système hétérogène des deux équations algébriques linéaires [106]
     traduction matricielle à la solution particulière ainsi « les deux inconnues et doivent être solutions du système »,
     traduction matricielle à la solution particulière ainsi « les deux inconnues et doivent être solutions du système qui se réécrit sous forme matricielle «» avec
     traduction matricielle à la solution particulière ainsi « les deux inconnues et doivent être solutions du «» [100] de déterminant [87] égal
                                        traduction matricielle à la solution particulière ainsi « les deux inconnues et doivent être solutions du « au wronskien de [107],
     traduction matricielle à la solution particulière ainsi « les deux inconnues et doivent être solutions du «» [98] la matrice colonne des inconnues et
     traduction matricielle à la solution particulière ainsi « les deux inconnues et doivent être solutions du «» [98] la matrice colonne des excitations ;

     résolution du système des deux équations algébriques linéaires [106] enhétérogène :
     résolution du système le wronskien de «» [86] étant non nul et étant indépendantes[88], la résolution de ce système
     résolution du système peut être faite en utilisant la « règle de Cramer » [108], [109], [110] ce qui donne «[111] » et
                               résolution du système peut être faite en utilisant la « règle de Cramer » ce qui donne «[111] » ;

     détermination de la solution particulière cherchée sous la formede l'équation différentielle linéaire à cœfficients non constants du 2ème ordre en[72] hétérogène :
     détermination de la solution particulière de «» on déduit, par intégration, «»
     détermination de la solution particulière de «» on déduit, par intégration, « primitive quelconque de restant à choisir et
     détermination de la solution particulière de «» on déduit, par intégration, «»
     détermination de la solution particulière de «» on déduit, par intégration, « primitive quelconque de restant à choisir d'où
     détermination de la solution particulière «» [112] avec
     détermination de la solution particulière « « un couple de solutions particulières indépendantes de l'équation différentielle linéaire homogène associée » ;

     détermination de la solution générale de l'équation différentielle linéaire à cœfficients non constants du 2ème ordre en[72] hétérogène :
     détermination de la solution générale « la solution générale d'une équation différentielle linéaire hétérogène est la somme de la solution générale de l'équation homogène correspondante et
     détermination de la solution générale « la solution générale d'une équation différentielle linéaire hétérogène est la somme d'une solution particulière de l'équation hétérogène » c.-à-d.
     détermination de la solution générale «» avec
     détermination de la solution générale « «» dans laquelle quelconque et
     détermination de la solution générale « «» dans laquelle
     détermination de la solution générale « «» dans laquelle est une primitive à choisir et
     détermination de la solution générale « «» dans laquelle
     détermination de la solution générale « «» dans laquelle est une primitive à choisir ; finalement
     détermination de la solution générale «» dans laquelle
     détermination de la solution générale «» dans laquelle est une primitive quelconque et
     détermination de la solution générale «» dans laquelle
     détermination de la solution générale «» dans laquelle est une primitive quelconque, avec
     détermination de la solution générale « « couple de solutions particulières indépendantes de l'équation différentielle linéaire homogène associée ».

     Exemple : Soit à résoudre l'équation différentielle linéaire normalisée du 2ème ordre en [72] hétérogène « sur » où «»,
     Exemple : le couple de solutions particulières indépendantes de l'équation différentielle linéaire homogène associée « sur »
     Exemple : le couple de solutions particulières indépendantes étant «» « étant une solution particulière évidente et
     Exemple : le couple de solutions particulières indépendantes étant «» «» une autre solution particulière indépendante déterminée par
     Exemple : le couple de solutions particulières indépendantes étant «» résolution de l'équation différentielle linéaire homogène du 1er ordre
     Exemple : le couple de solutions particulières indépendantes étant «» en le « wronskien de » [86], [113], nous cherchons,

     Exemple : en utilisant la méthode de variation des constantes, une solution particulière de l'équation différentielle linéaire hétérogène «»
     Exemple : en utilisant la méthode de variation des constantes, une solution particulière sous la forme «» avec
     Exemple : en utilisant la méthode de variation des constantes, une solution particulière sous la forme « un couple de fonctions à déterminer,
     Exemple : en utilisant la méthode de variation des constantes, une solution particulière sous la forme « les dérivées 1ères par rapport à la variable de ces dernières étant
     Exemple : en utilisant la méthode de variation des constantes, une solution particulière sous la forme « solutions du système hétérogène des deux équations algébriques linéaires
     Exemple : en utilisant la méthode de variation des constantes, une solution particulière sous la forme « «[114] » [106]
     Exemple : en utilisant la méthode de variation des constantes, une solution particulière par la règle de Cramer [108] «» et
             Exemple : en utilisant la méthode de variation des constantes, une solution particulière par la règle de Cramer «» ;

     Exemple : en utilisant la méthode de variation des constantes, une solution particulière une primitive de « s'écrit [115] » [116] et
     Exemple : en utilisant la méthode de variation des constantes, une solution particulière une primitive de « s'écrit [117] » [116] ;

     Exemple : en utilisant la méthode de variation des constantes, une solution particulière si «», la primitive de « s'écrivant [115]
     Exemple : en utilisant la méthode de variation des constantes, une solution particulière si «», est convergente [118] et s'évalue par intégration par parties i.p.p.[84] selon
           Exemple : en utilisant la méthode de variation des constantes, une solution particulière si «», est convergente et s'évalue
           Exemple : en utilisant la méthode de variation des constantes, une solution particulière si «», est convergente et s'évalue [119] » et
     Exemple : en utilisant la méthode de variation des constantes, une solution particulière si «», la primitive de « s'écrivant », d'où
     Exemple : en utilisant la méthode de variation des constantes, une solution particulière si «», la solution générale de « sur » s'écrit
     Exemple : en utilisant la méthode de variation des constantes, une solution particulière si «», «
     Exemple : en utilisant la méthode de variation des constantes, une solution particulière si «», « [120] » avec
     Exemple : en utilisant la méthode de variation des constantes, une solution particulière si «», « constantes d'intégration quelconque.

Méthode pratique de résolution d'une équation différentielle non linéaire

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Il n'est en aucun cas question d'être exhaustif, le sujet étant beaucoup trop vaste, seul un exemple de chaque cas est présenté.

Exemple d'une équation différentielle non linéaire du 1er ordre

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     Soit à résoudre l'équation différentielle non linéaire du 1er ordre en « avec » :

     une méthode pratique de résolution consiste à « séparer les variables » après adoption de la notation différentielle de la dérivée [74] « avec »,
     une méthode pratique de résolution consistela « séparation des variables » regrouper les termes définis directement à partir de la variable dans le même membre que sa différentielle et
    une méthode pratique de résolution consiste la « séparation des variables » regrouper les termes définis directement à partir de la variable dans l'autre membre avec sa différentielle soit
     une méthode pratique de résolution consiste« » [121] ;

     une méthode pratique de résolution consisteon termine en intégrant membre à membre, le 1er membre relativement à la variable et
     une méthode pratique de résolution consiste on termine en intégrant membre à membre, le 2nd membre par rapport à la variable  :

     intégration du 1er membre[122] : la fonction rationnelle [123] de pôles [124] connus se décompose en éléments simples et c.-à-d.
                    intégration du 1er membre : la fonction rationnelle avec et constantes réelles à déterminer [125] d'où
             intégration du 1er membre : la réécriture de l'intégrale «
               intégration du 1er membre : la réécriture de l'intégrale « » et

     intégration du 2nd membre : ne pose aucune difficulté «» d'où

    une méthode pratique de résolution consiste l'expression implicite de la solution générale «» [126] à laquelle il faut ajouter
    une méthode pratique de résolution consiste l'expression implicite de les deux solutions particulières «» [121].

Exemple d'une équation différentielle non linéaire du 2ème ordre sans terme du 1er ordre

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     Soit à résoudre l'équation différentielle non linéaire du 2ème ordre en sans terme du 1er ordre « avec » :

     une méthode pratique de résolution consiste à « intégrer une 1ère fois » de façon à obtenir une équation différentielle [127] du 1er ordre en et pour cela,
     une méthode pratique de résolution consiste à multiplier les deux membres par «»
     une méthode pratique de résolution consiste à multiplier les deux membres par dans laquelle on reconnaît dans la dérivée de et
     une méthode pratique de résolution consiste à multiplier les deux membres par dans laquelle on reconnaît dans la dérivée de ,
     une méthode pratique de résolution consiste à intégrer une fois par rapport à «» [128] c.-à-d. une équation différentielle non linéaire du 1er ordre en  :
              une méthode pratique de résolution consiste à intégrer une fois par rapport à «» c.-à-d. «» ;

          une méthode pratique de résolution puis à « intégrer une 2ème fois, quand cela est possible », par utilisation de la méthode pratique de « séparation des variables »
          une méthode pratique de résolution puis à « intégrer une 2ème fois, quand cela est possible », après adoption de la notation différentielle de la dérivée [74] ce qui conduit à
          une méthode pratique de résolution puis à « intégrer une 2ème fois, quand cela est possible », chercher la solution de mais dans le cas présent,
          une méthode pratique de résolution puis à « intégrer une 2ème fois, quand cela est possible », la solution n'étant pas exprimable à l'aide des fonctions usuelles nous n'irons pas plus loin

Notes et références

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  1. Équation différentielle du premier ordre dans le cas où la dérivée de plus haut ordre est la dérivée première et du second ordre dans le cas où c'est la dérivée seconde 
  2. C'est ce que nous ferons par la suite ; une fois l'équation différentielle d'ordre un en résolue, on connaît alors et l'obtention de n'est qu'une simple prise de primitive.
  3. Il suffit donc de déterminer un élément particulier de l'ensemble élément non unique pour pouvoir générer tout élément de l'ensemble et cet élément particulier est appelé « base » de cet espace vectoriel à une dimension.
  4. Ces deux vecteurs doivent être indépendants c.-à-d. qu'ils ne doivent pas être colinéaires ou « multiples » l'un de l'autre.
  5. 5,0 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6 et 5,7 Combinaison(s) Linéaire(s).
  6. C.-à-d. qu'ils ne doivent pas être « multiples » l'un de l'autre.
  7. Il suffit donc de déterminer deux éléments particuliers indépendants de l'ensemble éléments non uniques pour pouvoir générer tout élément de l'ensemble et ces deux éléments particuliers indépendants constitue la « base » de cet espace vectoriel à deux dimensions.
  8. 8,0 8,1 et 8,2 La propriété reste vraie si l'équation différentielle linéaire homogène n'est pas à cœfficients constants, seul le caractère linéaire et l'homogénéité sont nécessaires.
  9. 9,0 et 9,1 La simplification est possible car l'équation différentielle est homogène.
  10. Cette fonction exponentielle particulière peut être qualifiée de « dégénérée ».
  11. En fait, quand on obtient une solution double de l'équation caractéristique associée à une équation différentielle, donnant une 1ère solution particulière à cette dernière , on établit que la solution est aussi solution particulière de l'équation différentielle et indépendante de la 1ère ; dans le cas présent, étant une 1ère solution particulière de l'équation différentielle correspondant à une racine double de l'équation caractéristique, est une 2nde solution particulière de l'équation différentielle, indépendante de la 1ère.
  12. On cherche donc les solutions à valeurs complexes, la variable restant quant à elle réelle.
  13. On admet la généralisation de la propriété du paragraphe « propriété (admise) de l'ensemble des solutions d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1er ou 2ème ordre homogène » énoncée plus haut dans ce chapitre aux fonctions complexes d'une variable réelle cette propriété serait encore vraie si la variables était complexe.
  14. Comme dépendent chacune de deux constantes réelles parties réelle et imaginaire donc au total de quatre constantes réelles, écrire la nullité de la partie imaginaire de pour tout imposera deux relations entre les quatre constantes réelles la partie imaginaire faisant intervenir une combinaison linéaire C.L. de et où les cœfficients dépendent des quatre constantes réelles, sa nullité nécessite que chacun des cœfficients de et de soit nul d'où deux relations de liaison, c.-à-d. qu'il ne restera que deux constantes réelles arbitraires.
  15. Les combinaisons linéaires C.L. étant et , ces deux formules constituant les formules d'Euler relatives aux définitions respectives des fonctions cosinus et sinus.
       Léonard Euler (1707 - 1783) mathématicien et physicien suisse, connu pour ses travaux en analyse mathématique ainsi qu'en mécanique des fluides, optique et astronomie, considéré comme l'un des plus grands et plus prolifiques mathématiciens de tous les temps.
  16. On peut vérifier directement que chaque solution particulière est solution de l'équation différentielle et qu'elles sont indépendantes l'une de l'autre :
        d'où , et
        d'où  ;
       de plus ces deux solutions réelles sont effectivement indépendantes car si l'une était à l'autre cela nécessiterait qu'elles s'annulent simultanément, ce qui n'est pas le cas.
  17. Les solutions particulières indépendantes étant réelles elles forment une base de l'ensemble des solutions réelles, de solution générale réelle une C.L. à cœfficients réels des éléments de la base et
       Les solutions particulières indépendantes étant réelles elles forment une base de l'ensemble des solutions complexes, de solution générale complexe une C.L. à cœfficients complexes des éléments de la base.
  18. Selon la formule d'addition de trigonométrie .
  19. Représenter le cercle trigonométrique pour justifier ce qui est énoncé ci-après.
  20. 20,0 20,1 20,2 et 20,3 Un angle ne peut être mis sous la forme d'un que s'il est compris entre , voir le paragraphe « fonction arctangente » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  21. Exposée dans le cas d'une équation différentielle du 2ème ordre, pour une équation différentielle du 1er ordre la justification très semblable n'est pas présentée.
  22. Le second membre étant le même dans les deux équations disparaît lors de la différence.
  23. Équation différentielle dont on connaît la solution générale.
  24. 24,0 et 24,1 La solution générale de l'équation homogène est appelée « solution libre » de l'équation différentielle.
  25. 25,0 et 25,1 On donne alors à cette solution particulière de même forme que l'excitation le nom de « solution forcée ».
  26. 26,0 et 26,1 Que l'on notera par la suite simplement .
  27. 27,0 et 27,1 Que l'on notera par la suite simplement .
  28. 28,0 et 28,1 Bien sûr cela nécessite que cette solution particulière de même forme que l'excitation existe ; dans les cas très peu nombreux où elle n'existe pas nous pouvons toujours trouver une solution particulière et écrire la relation .
  29. Si , l'équation différentielle s'écrivant se résout par simple prise de primitive la méthode de recherche de solution libre puis de solution particulière de l'équation hétérogène étant évidemment mal venue soit , étant une constante arbitraire d'intégration ;
       vérifions que la méthode par recherche de solution libre puis de solution particulière de l'équation hétérogène donnerait le même résultat :
       la solution libre s'obtient par équation caractéristique la base de l'ensemble des solutions de l'équation homogène est donc fonction exponentielle dégénérée d'où est une constante arbitraire,
       la solution particulière de l'équation hétérogène de même forme que l'excitation n'existant pas si sa dérivée est nulle et ne peut être égale à , le résultat obtenu par simple prise de primitive , montrant que lorsqu'il n'existe pas de solution forcée, c.-à-d. pas de solution particulière de même forme que l'excitation, on peut chercher une solution particulière de même forme que l'excitation multipliée par c.-à-d. de forme identifiée à et par suite
       la solution générale de l'équation hétérogène s'écrit bien «».
  30. 30,0 30,1 et 30,2 C.-à-d. la solution générale de l'équation différentielle homogène.
  31. Si , l'équation différentielle s'écrivant se résout par deux prises de primitive successives la méthode de recherche de solution libre puis de solution particulière de l'équation hétérogène étant évidemment mal venue soit , étant une 1ère constante arbitraire d'intégration puis , étant une 2nde constante arbitraire d'intégration ;
       vérifions que la méthode par recherche de solution libre puis de solution particulière de l'équation hétérogène donnerait le même résultat :
       la solution libre s'obtient par équation caractéristique la base de l'ensemble des solutions de l'équation homogène est donc composée de fonction exponentielle dégénérée et de voir le paragraphe « cas où le cœfficient du terme d'ordre zéro est nul (les deux solutions particulières indépendantes de l'équation homogène) » plus haut dans ce chapitre d'où sont des constantes arbitraires,
       la solution particulière de l'équation hétérogène de même forme que l'excitation n'existant pas si sa dérivée seconde est nulle et ne peut être égale à , le résultat obtenu par prises de primitive successives , montrant que lorsqu'il n'existe pas de solution forcée, c.-à-d. pas de solution particulière de même forme que l'excitation, on essaie une solution particulière de même forme que l'excitation multipliée par et si cette forme n'est toujours pas solution particulière ce qui est le cas ici car non identifiable à , on essaie une solution particulière de même forme que l'excitation multipliée par c.-à-d. de forme identifiée à et par suite
       la solution générale de l'équation hétérogène s'écrit bien «».
  32. avec conduisant à une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1er ordre en et
        avec ayant déjà été traité plus haut dans ce chapitre au paragraphe « résolution d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2ème ordre homogène sans terme du 1er ordre » pour la solution libre et au paragraphe « but recherché pour résoudre une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1er ou du 2ème ordre hétérogène » pour une solution forcée.
  33. Toujours réalisé si est , et nécessite, si est , que .
  34. 34,0 et 34,1 On rappelle que l'ensemble des solutions libres d'une équation différentielle linéaire du 2ème ordre homogène constitue un espace vectoriel de dimension deux et que pour générer une solution libre quelconque il suffit de déterminer deux solutions particulières indépendantes qui forment alors une base de l'ensemble des solutions libres.
  35. Seul type de solution libre pour , le cas pour ce type de solution libre nécessitant que .
  36. 36,0 et 36,1 Nécessite que soit et que .
  37. La C.L. du 1er membre doit être exprimée uniquement avec en tenant compte de soit d'où la réécriture de la C.L. du 1er membre .
  38. Nécessite que soit et que .
  39. 39,0 et 39,1 Tout nombre de est souligné comme sur l'exemple voir la note « 4 » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », une prise de conjugué précisé comme sur l'exemple voir le paragraphe « notion de complexe conjugué » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  40. Soit effectivement quatre constantes réelles arbitraires.
  41. Voir le paragraphe « forme trigonométrique d'un complexe, module et argument » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  42. On rappelle les formules d'addition de trigonométrie .
  43. En effet même cosinus angles égaux ou opposés,
       En effet sinus opposés angles opposés ou dont la différence est cercle trigonométrique à tracer pour valider ces affirmations,
       En effet l'association des deux angles opposés.
  44. Par la suite on notera et .
  45. La démarche de résolution quand on a constaté que le discriminant est est
    • de calculer les solutions complexes conjuguées de l'équation caractéristique et puis
    • d'écrire directement la forme précisée ici
      d'écrire directement sachant que le cœfficient multiplicateur de la variable dans l'argument de l'exponentiellela partie réelle commune de et et
      d'écrire directement sachant que celui de la variable dans l'argument du cosinus est la partiecommune des parties imaginaires de et .
  46. Usuellement on choisit et .
  47. En effet nous avons établi au paragraphe « cas où le cœfficient du terme d'ordre zéro est strictement positif (en absence de terme d'ordre un) » plus haut dans ce chapitre que
    • peut encore être écrit avec et tel que ou inversement que
    • peut s'écrire avec .
  48. Si , l'équation différentielle s'écrivant est une équation différentielle linéaire du 1er ordre en dans la mesure de , la recherche d'une solution particulière en de forme constante se résout selon la méthode exposée au paragraphe « 1er ordre à excitation constante » plus haut dans ce chapitre, elle donne et par prise de primitive comme il s'agit d'une solution particulière ajouter une constante d'intégration ne se justifierait pas ;
       si et , l'équation différentielle s'écrivant , sa résolution a déjà été exposée dans la note « 31 » plus haut dans ce chapitre.
  49. Si , l'équation différentielle s'écrivant est une équation différentielle linéaire du 1er ordre en dans la mesure de , la recherche d'une solution particulière en a déjà été exposée dans la note « 48 » plus haut dans ce chapitre, elle a donné ,
       Si , la solution libre nécessitant la résolution de l'équation caractéristique correspond aux deux racines distinctes et la base de l'ensemble des solutions de l'équation homogène est composée de fonction exponentielle dégénérée et de , la solution libre s'écrivant , et étant des constantes réelles génératrices et par suite
       Si , la solution générale de l'équation hétérogène s'en déduisant selon voir le paragraphe « but recherché pour résoudre une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1er ou du 2ème ordre hétérogène » plus haut dans ce chapitre se réécrit «» avec et constantes réelles d'intégration.
       Si et , l'équation différentielle s'écrivant , sa résolution a déjà été exposée dans la note « 31 » plus haut dans ce chapitre.
  50. Cette équation caractéristique étant associée à l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2nd ordre homogène avec terme du 1er ordre .
  51. Voir paragraphe « cas où le discriminant Δ est > 0, solution libre apériodique » plus haut dans ce chapitre.
  52. Voir paragraphe « cas où le discriminant Δ est = 0, solution libre apériodique critique » plus haut dans ce chapitre.
  53. Voir paragraphe « cas où le discriminant Δ est < 0, solution libre pseudo-périodique » plus haut dans ce chapitre.
  54. En fait l'équation différentielle linéaire normalisée à cœfficients réels constants hétérogène en à excitation sinusoïdale peut être de n'importe quel ordre , on se limite au 1er et 2ème ordre car ce sont ces ordres qui interviennent en pratique en physique les ordres supérieurs pouvant, par contre, intervenir en S.I. science de l'ingénieur.
  55. Le cas correspondant à une simple prise de primitive.
  56. Le cas correspondant à une équation différentielle linéaire normalisée à cœfficients réels constants hétérogène du 1er ordre en d'excitation sinusoïdale
  57. Cette expression est identique à celle du 1er problème précédent avec changement d'origine du repérage des car c.-à-d. de même forme d'excitation que celle du 1er problème précédent à condition de faire un décalage d'origine de repérage des de est la période de l'excitation.
  58. En effet l'excitation de ce 2ème problème s'identifiant à celle du 1er par changement d'origine du repérage des de est la période de l'excitation, il doit en être de même de la solution forcée sinusoïdale, c.-à-d. une même amplitude et une même phase à l'origine mais avec un même changement d'origine du repérage des de par rapport à la solution du 1er problème c.-à-d. y remplacer cosinus par sinus.
  59. 59,0 et 59,1 Usuellement la pulsation spatiale\; est notée mais ici est déjà pris comme cœfficient de dans les équations différentielles ou .
  60. 60,0 60,1 et 60,2 Car dans ces conditions ne peut jamais s'annuler.
  61. Polynôme de degré en la variable formé à partir de l'équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants de la même façon que l'équation caractéristique nécessaire à la détermination de la solution libre mais en remplaçant la variable par la variable , de plus on obtient un polynôme et non une équation
  62. 62,0 et 62,1 Voir le paragraphe « détermination du module (à partir de la forme algébrique d'un complexe) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  63. 63,0 63,1 et 63,2 Voir le paragraphe « détermination de l'argument (à partir de la forme algébrique d'un complexe) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  64. Pour déterminer l'argument de dans la mesure où le signe de sa partie réelle est conditionnel, on met la partie imaginaire en facteur pour que la partie imaginaire du complexe devienne dans l'autre facteur et qu'ainsi le signe de la partie réelle de cet autre facteur ne soit pas conditionnel et que son argument puisse s'écrire sous la forme d'un
  65. Voir le paragraphe « solution forcée complexe de l'équation différentielle (1') du 1er ordre » plus haut dans ce chapitre.
  66. 66,0 66,1 66,2 66,3 66,4 et 66,5 Voir le paragraphe « solution forcée complexe de l'équation différentielle (1') du 2ème ordre » plus haut dans ce chapitre.
  67. En utilisant la formule de trigonométrie .
  68. 68,0 et 68,1 On constate que la solution est pseudo-sinusoïdale avec une pseudo-amplitude qui croît linéairement jusqu'à devenir infinie.
  69. 69,0 69,1 et 69,2 L'équation en étant la partie réelle.
  70. 70,0 et 70,1 Les dérivées successives de par rapport à ne se limitant par à multiplier la fonction complexe par ou , l'utilisation de la généralisation de la méthode « des complexes » est nettement moins intéressante.
  71. Voir le paragraphe « détermination directe de α et ψ » plus haut dans ce chapitre.
  72. 72,00 72,01 72,02 72,03 72,04 72,05 72,06 72,07 72,08 72,09 72,10 72,11 72,12 72,13 72,14 72,15 72,16 72,17 72,18 et 72,19 La fonction à l'ensemble des fonctions réelles de la variable réelle .
  73. Voir le paragraphe « exemple d'une équation différentielle non linéaire du 1er ordre » plus loin dans ce chapitre.
  74. 74,0 74,1 et 74,2 Voir le sous-paragraphe « Remarque » du paragraphe « Différentielle d'une fonction scalaire d'une variable » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  75. En effet, dans cette 2ème méthode, il n'y a pas à éliminer le cas de la solution triviale identiquement nulle avant de poursuivre pour regrouper la solution générale obtenue avec la solution triviale identiquement nulle.
  76. Sans doute est-ce parce que la solution triviale identiquement nulle n'étant pas une solution intéressante en physique, les physiciens ne l'évoque même pas d'où une 1ère méthode devenant concurrentielle avec la 2nde
  77. 77,0 et 77,1 Voir le paragraphe « but recherché pour résoudre une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1er ou du 2ème ordre hétérogène » exposée plus haut dans ce chapitre.
  78. 78,0 et 78,1 La justification fournie au paragraphe « but recherché pour résoudre une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1er ou du 2ème ordre hétérogène » plus haut dans ce chapitre est intégralement transposable, sans aucune autre modification que le remplacement des cœfficients constants par des fonctions de .
  79. 79,0 79,1 79,2 79,3 et 79,4 Voir le paragraphe « cas d'une équation différentielle linéaire à cœfficients non constants du 1er ordre homogène » plus haut dans ce chapitre.
  80. Cette méthode de variation des constantes consiste à utiliser la solution générale de l'équation homogène dans laquelle la constante est remplacée par une fonction à déterminer pour trouver une solution particulière de l'équation hétérogène.
  81. 81,0 et 81,1 Pierre-Simon Laplace (1749 – 1827) mathématicien, astronome et physicien français, à qui on doit des contributions fondamentales dans différents champs des mathématiques, de l'astronomie il contribue de façon décisive à l’émergence de l’astronomie mathématique : il vérifie mathématiquement la stabilité du Système solaire et ébauche l’histoire de ce dernier à partir de l’hypothèse de la nébuleuse, il est aussi l’un des 1ers scientifiques à concevoir l’existence de trous noirs et la notion de « collapsus ou effondrement gravitationnel » et de la théorie des probabilités en il retrouve indépendamment le théorème de Bayes, lequel permet, pour un événement ayant seulement deux tirages possibles « succès ou insuccès », de déterminer la probabilité que le tirage suivant soit un succès quand on connaît le nombre total de succès observés sur le nombre total de tirage, il y utilise la transformation de Laplace qui porte son nom en son honneur, celle-ci ayant été découverte par Léonard Euler ;
       dans le domaine de la physique pratique on lui doit la théorie de l'attraction capillaire expliquant ce qui se passe dans les tubes capillaires ou dans les bulles d'air d'un liquide en statique des fluides, il est aussi le 1er à mettre en évidence la raison pour laquelle la théorie de Newton du mouvement oscillatoire purement mécanique fournit une valeur sous-estimée de la vitesse du son pour cela il introduit un traitement thermodynamique, le son se propageant de façon adiabatique et non isotherme comme le supposait Isaac Newton, sans doute est-ce à cette époque qu’il énonce les lois des adiabatiques quasi-statiques.
       Thomas Bayes (1702 - 1761) mathématicien et pasteur britannique qui fut le 1er à établir le théorème de Bayes en théorie des probabilités on rappelle que ce théorème permet, pour un événement ayant seulement deux tirages possibles « succès ou insuccès », de déterminer la probabilité que le tirage suivant soit un succès quand on connaît le nombre total de succès observés sur le nombre total de tirage.
       Léonard Euler (1707 - 1783) mathématicien et physicien suisse, connu pour ses travaux en analyse mathématique ainsi qu'en mécanique des fluides, optique et astronomie, considéré comme l'un des plus grands et plus prolifiques mathématiciens de tous les temps.
       Isaac Newton (1643 - 1727) philosophe, mathématicien, physicien, astronome, alchimiste et théologien anglais, connu essentiellement de nos jours pour avoir fondé la mécanique classique, pour sa théorie de la gravitation et aussi pour la création du calcul infinitésimal partagée de façon plus ou moins indépendante avec Gottfried Leibniz ; en optique il a développé une théorie de la couleur et a aussi inventé un télescope composé d'un miroir primaire concave et d'un miroir secondaire plan, télescope connu de nos jours sous le nom de télescope de Newton.
       Gottfried Leibniz (1646 - 1716) entre autres philosophe, scientifique, mathématicien allemand dont la contribution principale, dans le domaine mathématique, est l'invention du calcul infinitésimal calcul différentiel et calcul intégral dont la paternité doit être partagée avec Isaac Newton.
  82. Le plus souvent n'est pas exprimable à l'aide des fonctions usuelles ni à l'aide de fonctions tout simplement
  83. Une primitive de relativement à étant .
  84. 84,0 et 84,1 Évoqué au paragraphe « développement de quelques méthodes de calcul (d'intégrale ou de primitive) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » renvoyant à l'« intégration par parties » du chap. de la leçon « Initiation au calcul d'intégral » ou au paragraphe « intégration par parties » du chap. de la leçon « Intégration de Riemann »
       Bernhard Riemann (1826 - 1866) mathématicien allemand ayant apporté de nombreuses contributions à l'analyse partie des mathématiques traitant explicitement de la notion de limite, continuité, dérivation et intégration et à la géométrie différentielle partie des mathématiques utilisant les outils du calcul différentiel à l'étude de la géométrie, sa principale application physique s'étant retrouvée dans la théorie de la relativité générale pour modéliser une courbure de l'espace-temps.
  85. L'intégration par parties de nécessite la réécriture de l'intégrale selon soit finalement, en introduisant la « fonction d'erreur » fonction spéciale utilisée dans le domaine des probabilités et statistiques, « avec constante d'intégration » expression avec laquelle nous pouvons réécrire la solution générale de l'équation différentielle linéaire du 1er ordre hétérogène «» à savoir « » selon «».
  86. 86,0 86,1 86,2 86,3 et 86,4 Cet élément mathématique défini à partir de deux solutions particulières a été baptisé wronskien pour rendre hommage à Josef Hoëné-Wronski.
       Jósef Hoëné-Wroński (1776 - 1853) philosophe, mathématicien et scientifique polonais, naturalisé français vers  ; son 1er mémoire sur les bases des mathématiques édité à Paris en lui vaut des comptes-rendus assez réservés des mathématiciens français renommés de l'époque Sylvestre-François Lacroix, Joseph-Louis Lagrange et Pierre-Simon Laplace, ces deux derniers jugeant "incompréhensible" la philosophie des mathématiques de Wroński ; à partir de cette époque Wroński critiqua les travaux de Lagrange en particulier l'utilisation des séries infinies par ce dernier, introduisant sa propre idée du développement en série d'une fonction.
       Sylvestre-François Lacroix (1765 - 1843) mathématicien français à qui on doit un traité du calcul différentiel et du calcul intégral en trois volumes publiés en et ayant eu une très grande influence au XIXème siècle.
       Joseph-Louis Lagrange (1736 - 1813) mathématicien, mécanicien et astronome italien, a acquis la nationalité française vers la fin du XVIIIème siècle ; on lui doit, entre autres, d'avoir jeté en mathématiques les bases du calcul variationnel, calcul qu'il appliqua en mécanique pour résoudre quelques problèmes propagation du son, corde vibrante, librations de la Lune c.-à-d. petites variations de son orbite ; en , alors installé à Paris, il publia son livre de mécanique analytique dont le formalisme a permis, un siècle et demi plus tard, l'ébauche de la mécanique quantique, il est aussi l'un des pères du système métrique et de la division décimale des unités.
       Pierre-Simon Laplace (1749 – 1827) mathématicien, astronome et physicien français, à qui on doit des contributions fondamentales dans différents champs des mathématiques, de l'astronomie voir la note « 81 » pour plus de détails plus haut dans ce chapitre.
  87. 87,0 87,1 87,2 et 87,3 Voir le paragraphe « notion de déterminant d'une matrice carrée » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) ».
  88. 88,0 88,1 et 88,2 En effet si le déterminant d'une matrice carrée de dimension est nul, cela correspond à une relation de liaison entre les colonnes c.-à-d. que l'une est à l(autre, voir la propriété du paragraphe « énoncé et démonstration de quelques propriétés pratiques du déterminant d'une matrice carrée de dimension (ou taille) n » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) ».
  89. 89,0 et 89,1 Voir le paragraphe « cas d'une équation différentielle linéaire à cœfficients non constants du 1er ordre hétérogène » plus haut dans ce chapitre.
  90. En effet nous avons vu, plus haut dans ce paragraphe, que « est solution de ».
  91. En effet une primitive de étant sur et la solution de l'équation s'écrivant dans laquelle est une primitive de .
  92. L'équation différentielle linéaire du 1er ordre en homogène étant identique à celle en , la solution générale est de même forme la constante d'intégration n'étant pas, a priori, la même est notée ici .
  93. D'après le paragraphe « cas d'une équation différentielle linéaire à cœfficients non constants du 1er ordre hétérogène » plus haut dans ce chapitre, est une primitive de est l'excitation c.-à-d. ici et une primitive du cœfficient de la fonction dont on cherche la solution dans l'équation différentielle c.-à-d. ici une primitive de et et par suite son inverse d'où « est une primitive de ».
  94. Voir le paragraphe « cas d'une équation différentielle linéaire à cœfficients non constants du 2ème ordre homogène » plus haut dans ce chapitre, la méthode exposée nécessitant qu'une des solutions particulières, par exemple , soit déjà déterminée selon une méthode qui dépend de l'équation différentielle et qui ne peut donc être précisée dans le cas général.
  95. Cette méthode de variation des constantes consiste à utiliser la solution générale de l'équation homogène dans laquelle les constantes sont remplacées par des fonctions à déterminer pour trouver une solution particulière de l'équation hétérogène.
  96. Un système de deux équations différentielles linéaires du 1er ordre en est dit hétérogène s'il fait intervenir, dans au moins une équation, une fonction réelle connue autre que les cœfficients non constants des fonctions inconnues ou de leur dérivée 1ère.
  97. 97,0 et 97,1 Voir le paragraphe « introduction des matrices en mathématiques » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) ».
  98. 98,00 98,01 98,02 98,03 98,04 98,05 98,06 98,07 98,08 98,09 98,10 98,11 98,12 98,13 et 98,14 Voir le paragraphe « interprétation linéaire d'une matrice colonne de dimension (ou taille) m, matrice coordonnée d'un m-uplet dans une base de Rm » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) ».
  99. 99,0 99,1 et 99,2 Que l'on pourrait appeler « dérivée » de la matrice colonne des inconnues.
  100. 100,0 100,1 100,2 100,3 et 100,4 Voir le paragraphe « structure de l'ensemble des matrices carrées de dimension (ou taille) fixée » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) ».
  101. 101,0 101,1 et 101,2 Ou plus simplement « matrice du système ».
  102. Voir le paragraphe « définition et exemple de multiplication matricielle à droite (ou à gauche) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) ».
  103. Un système de deux équations différentielles linéaires du 1er ordre en est dit homogène s'il ne fait intervenir, dans aucune équation, de fonction réelle connue autre que les cœfficients non constants des fonctions inconnues ou de leur dérivée 1ère.
  104. Nous remarquons que la propriété de dérivation d'un produit de fonctions scalaires est encore applicable quand une fonction scalaire est remplacée par une matrice colonne de fonctions scalaires, la dérivée de cette dernière ayant pour éléments la dérivée des éléments de la matrice colonne initiale en effet nous avons établi que
       « ».
  105. Voir le paragraphe « particularité de la multiplication matricielle définie sur l'ensemble des matrices carrées de dimension (ou de taille) fixée (distributivité de la multiplication matricielle à gauche relativement à l'addition matricielle) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) », la propriété énoncée pour les matrices carrées est en fait applicable entre matrices non carrées de tailles telles que le produit de matrices soit défini par exemple
       la multiplication à gauche d'une matrice de taille nécessite l'intervention d'une matrice de taille et
       la multiplication à droite d'une matrice de taille nécessite l'intervention d'une matrice de taille .
  106. 106,0 106,1 et 106,2 Dans la mesure où et n'interviennent plus, les équations qui étaient initialement différentielles sont devenues algébriques
  107. Voir la notion de wronskien dans le paragraphe « cad d'une équation différentielle linéaire à cœfficients non constants du 2ème ordre homogène » plus haut dans ce chapitre.
  108. 108,0 et 108,1 Gabriel Cramer (1704 - 1752) mathématicien suisse ayant apporté des contributions dans le domaine de l'algèbre et de la géométrie en particulier par son traité sur les courbes algébriques mais de nos jours il reste essentiellement connu pour la règle portant son nom utilisable dans la résolution d'un système algébrique de Cramer c.-à-d. un système d'équations linéaires avec autant d'équations que d'inconnues et dont le déterminant de la matrice des cœfficients est non nul.
  109. La règle de Cramer est énoncée par Gabriel Cramer sans utiliser la notion de déterminant de matrice qui n'était pas encore connue.
  110. Voir le paragraphe de la « résolution d'un système hétérogène de deux équations algébriques linéaires à deux inconnues dans le cas où le déterminant de la matrice des cœfficients du système est non nul » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  111. 111,0 et 111,1 On rappelle que «».
  112. On rappelle que la solution particulière de l'équation différentielle linéaire à cœfficients non constants du 2ème ordre en hétérogène est cherchée sous la forme dans laquelle sont des solutions particulières indépendantes de l'équation différentielle linéaire homogène associée.
  113. Voir le paragraphe « cas d'une équation différentielle linéaire à cœfficients non constants du 2ème ordre homogène (exemple) » plus haut dans ce chapitre.
  114. La dérivée 1ère de étant et celle de étant .
  115. 115,0 et 115,1 Voir le paragraphe « intégrale généralisée d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle fermé à l'exception d'au moins une des bornes pour laquelle la fonction diverge » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  116. 116,0 et 116,1 Le plus souvent l'évaluation de l'intégrale quand celle-ci ne diverge pas n'est pas possible à l'aide des fonctions usuelles et quand c'est possible pour l'une par exemple , c'est le plus souvent impossible pour l'autre c.-à-d. .
  117. L'intégrale étant propre si ne diverge pas en ou impropre ou généralisée voir la note « 115 » plus haut dans ce chapitre si diverge en .
  118. La justification correspondant au fait que converge plus rapidement vers que ne diverge vers l'infini le comportement de l'emporte que celui de .
  119. En effet «» cela résulte de ou, en posant , «» dont on cherche la limite quand  ;
       or , le graphe de est entièrement situé au-dessous de sa tangente au point dont l'équation est , dont on déduit
       or , d'une part et d'autre part soit finalement «» avec «» d'où, par utilisation du théorème des gendarmes, le résultat cherché.
  120. Les termes «» et «» s'éliminant d'où cette simplification.
  121. 121,0 et 121,1 Dans la mesure où n'est pas identiquement nulle correspondant à une fonction constante égale à  ;
       on vérifie directement que les fonctions constantes égales à sont des solutions particulières validant «».
  122. Voir le paragraphe « développement de quelques méthodes de calcul (intégrer une fonction rationnelle par décomposition en éléments simples) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  123. Quotient irréductible de deux polynômes exprimés à l'aide d'une variable.
  124. C.-à-d. les racines du polynôme dénominateur les racines du polynôme numérateur définissant les racines de la fonction rationnelle.
  125. La façon la plus rapide étant de multiplier les deux membres par respectivement et d'y faire respectivement soit :
    • , on y fait d'où ,
    • ou, avec ,  ;
       soit finalement et  ; ce qui rend cette méthode rapide c'est qu'elle peut se faire en calcul mental
  126. Trouver une expression explicite de la solution générale sous la forme est possible mais sans intérêt, de plus elle nécessite une discussion, en effet la forme implicite se réécrivant  ;
    • si l'équation se réécrit «» on vérifie que cette forme effectivement à ,
    • si l'équation se réécrit «» on vérifie que cette forme effectivement à pour ,
    • si l'équation se réécrit «» on vérifie que cette forme effectivement à pour .
  127. Vraisemblablement non linéaire.
  128. La constante dépendant des conditions aux limites de la solution cherchée