Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Équations différentielles

Début de la boite de navigation du chapitre

fin de la boite de navigation du chapitre

Définition d'une équation différentielle ordinaire

     On se propose de définir une équation différentielle ordinaire concernant une fonction réelle $\;f\;$ de la variable réelle $\;x$.

Définition

     Une équation différentielle du 1^er ou du 2^ème ordre est une relation liant une fonction $\;f(x)\;$ et ses dérivées $\;f'(x)$, $\;f''(x)\;$.

Équation différentielle non linéaire

     La fonction ou ses dérivées peuvent intervenir :

• élevées à une certaine puissance c.-à-d. $\;\left[f(x)\right]^{p_{0}}$, $\;\left[f'(x)\right]^{p_{1}}$, $\;\left[f''(x)\right]^{p_{2}}\;$ avec $\;p_{0},\;p_{1},\;p_{2}\in \mathbb {Q} \;$ ou
• multipliées entre elles c.-à-d. $\;\left[f(x)\right]\left[f'(x)\right]$, $\;\left[f(x)\right]\left[f''(x)\right]$, $\;\left[f'(x)\right]\left[f''(x)\right]\;$ $\ldots$

     Si tel est le cas, l'équation différentielle est dite non linéaire.

Équation différentielle linéaire

     Si la fonction et ses dérivées interviennent sans être élevées à une certaine puissance et si elles ne sont pas multipliées entre elles, l'équation différentielle est dite linéaire et elle se présente sous la forme :

$\;a_{2}(x)\,f''(x)+a_{1}(x)\,f'(x)+a_{0}(x)\,f(x)=d(x)\;$

où $\;d,\;a_{0},\;a_{1}\;{\text{et}}\;a_{2}\;$ sont des fonctions de $\;x$, l'équation différentielle étant d'ordre deux si $\;a_{2}\neq 0\;$ ${\big [}$dans ce cas, usuellement, on divise les deux membres de l'équation différentielle par $\;a_{2}(x)\;$ de façon à ce que le cœfficient de la dérivée seconde soit $\;1$, l'équation différentielle étant alors dite « normalisée »${\big ]}$. 

     $\;d(x)\;$ est l'excitation de l'équation différentielle, celle-ci est dite :

• hétérogène dans la mesure où $\;d(x)\neq 0\;$ et
• homogène si $\;d(x)=0$.

     Remarques : Si $\;a_{2}=0$, le plus haut ordre n'est pas deux, mais un si $\;a_{1}\neq 0$ ;

     Remarques : si $\;a_{2}\neq 0\;$ avec $\;a_{0}=0$, il s'agit d'une équation différentielle linéaire d'ordre deux en $\;f\;$ mais on peut également considérer que cette équation différentielle est d'ordre un en $\;f'\;$ dans la mesure où $\;a_{1}\neq 0\;$ puisque s'écrivant $\;a_{2}(x)\,f''(x)+a_{1}(x)\,f'(x)=d(x)\;$.

Équation différentielle linéaire à coefficients constants

     Une équation différentielle de ce type doit être linéaire et telle que les coefficients de $\;f(x),\;f'(x),\;f''(x)\;$ sont des constantes et non des fonctions de $\;x$ ; elle se présente sous la forme :

$\;a_{2}\,f''(x)+a_{1}\,f'(x)+a_{0}\,f(x)=d(x)\;$

où $\;d(x)\;$ est encore une fonction de $\;x$, $\;a_{0},\;a_{1}\;{\text{et}}\;a_{2}\;$ étant des constantes réelles, l'équation différentielle linéaire à coefficients constants étant :

• d'ordre deux en $\;f\;$ dans la mesure où $\;a_{2}\neq 0$,
• homogène si $\;d(x)=0\;$ » et
• sinon, hétérogène.

     Normalisation de l'équation différentielle :

          La forme normalisée de l'équation différentielle du 2^ème ordre en $\;f\;$ ${\big [}$obtenue après avoir divisé les deux membres de l'équation différentielle par $\;a_{2}\neq 0{\big ]}\;$ s'écrit :

$\;f''(x)+b\,f'(x)+c\,f(x)=e(x)\;$
 en posant $\;b={\dfrac {a_{1}}{a_{2}}}$, $\;c={\dfrac {a_{0}}{a_{2}}}\;$ ainsi que $\;e(x)={\dfrac {d(x)}{a_{2}}}\;$ et

          la forme normalisée de l'équation différentielle du 1^er ordre en $\;f\;$ ${\big [}$obtenue en supposant $\;a_{2}=0\;$ et après avoir divisé les deux membres de l'équation différentielle par $\;a_{1}\neq 0{\big ]}$ s'écrit :

$\;f'(x)+k\,f(x)=e(x)\;$
 en posant $\;k={\dfrac {a_{0}}{a_{1}}}\;$ ainsi que $\;e(x)={\dfrac {d(x)}{a_{1}}}$.

Méthode de résolution d'une équation différentielle linéaire à coefficients constants homogène

Préliminaire : notion d'espace vectoriel à une ou deux dimensions sur l'exemple des vecteurs géométriques

     Tous les vecteurs d'une droite forment un espace vectoriel à une dimension c.-à-d. qu'il suffit d'un vecteur de base pour obtenir tous les vecteurs possibles de la droite comme « multiple » du vecteur de base ; quand un ensemble peut être engendré complètement de la même façon à partir d'un élément de l'ensemble, il constitue un « espace vectoriel à une dimension » et « l'élément particulier définit la base de l'ensemble »  ;

     tous les vecteurs d'un plan forment un espace vectoriel à deux dimensions c.-à-d. qu'il suffit de deux vecteurs de base  pour obtenir tous les vecteurs possibles du plan comme C.L. des deux vecteurs de base ; quand un ensemble peut être engendré complètement de la même façon à partir de deux éléments indépendants  de l'ensemble, il constitue un « espace vectoriel à deux dimensions » et « ces deux éléments indépendants particuliers définissent la base de l'ensemble » .

Propriété (admise) de l'ensemble des solutions d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du premier ou deuxième ordre homogène

     L'ensemble des solutions d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du premier ordre homogène est un « espace vectoriel à une dimension » et
     celui des solutions d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du deuxième ordre homogène, un « espace vectoriel à deux dimensions »  ;

          il suffit donc de déterminer une base de l'ensemble cherché pour obtenir tout l'ensemble c.-à-d. de trouver :

• une solution particulière d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ordre homogène pour obtenir toutes les solutions possibles de l'équation $\;{\big [}$c.-à-d. les multiples de la solution particulière${\big ]}\;$ ou,
• deux solutions particulières indépendantes d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre homogène pour obtenir toutes les solutions possibles de l'équation $\;{\big [}$c.-à-d. les C.L. des deux solutions particulières indépendantes${\big ]}$.

Méthode de recherche d'une (ou de deux indépendantes) solution(s) particulière(s) d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du premier (ou deuxième) ordre homogène

     On cherche une solution du type $\;\exp(s\,x)\;$ car ses dérivées première $\;s\,\exp(s\,x)\;$ et seconde $\;s^{2}\,\exp(s\,x)\;$ lui étant proportionnelles, l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants homogène du 1^er ou 2^ème ordre en $\;f(x)\;$ se transforme en équation algébrique du 1^er ou 2^ème degré en $\;s\;$ après simplification par $\;\exp(s\,x)\;$ ; l'équation algébrique ainsi obtenue est appelée « équation caractéristique de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants homogène ».

Résolution d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du premier ordre homogène

     Soit $\;f'(x)+k\,f(x)=0$, l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du premier ordre homogène, l'équation caractéristique correspondante s'écrivant $\;s+k=0\;$ et se résolvant en $\;s=-k$, on en déduit

la solution particulière $\;{\big (}$c.-à-d. la base de l'ensemble des solutions${\big )}$ $\;\exp(-k\,x)\;$
et par suite la « solution générale de l'équation différentielle » $\;f(x)=A\,\exp(-k\,x)\;$ où $\;A\;$ est une constante réelle arbitraire.

Résolution d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du deuxième ordre homogène sans terme du premier ordre

     Soit $\;f''(x)+c\,f(x)=0\;$ avec $\;c\in \mathbb {R}$, l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du deuxième ordre homogène sans terme du premier ordre ; la recherche de deux solutions particulières indépendantes sous la forme exponentielle nécessite bien sûr que de telles solutions existent et, en faisant cette hypothèse nous obtenons l'équation caractéristique $\;s^{2}+c=0\;$

qui n'admet deux racines réelles distincts que si $\;c\;$ est $\;<0$ ;

......aussi nous allons discuter de la forme des solutions particulières indépendantes de l'équation différentielle suivant le signe de $\;c$ :

Cas où le cœfficient du terme d'ordre zéro est strictement négatif

     Avec $\;c<0$, l'équation caractéristique $\;s^{2}+c=0\;$ admettant comme racines réelles distinctes $\;s_{\pm }=\pm {\sqrt {-c}}$, on en déduit :

les deux solutions indépendantes de l'équation différentielle $\;{\big (}$base de l'ensemble des solutions${\big )}$ $\;\exp(s_{\pm }\,x)=\exp \!\left(\pm {\sqrt {-c}}\,x\right)\;$
et la solution générale de l'équation différentielle $\;f(x)=A_{+}\,\exp \!\left({\sqrt {-c}}\,x\right)+A_{-}\,\exp \!\left(-{\sqrt {-c}}\,x\right)\;$
avec $\;A_{+}\,{\text{et}}\,A_{-}\;$ deux constantes réelles arbitraires.

Cas où le cœfficient du terme d'ordre zéro est nul

     Avec $\;c=0$, l'équation caractéristique $\;s^{2}=0\;$ admettant comme racine réelle double $\;s_{d}=0$, on en déduit une seule solution particulière de l'équation différentielle sous forme exponentielle $\;{\big (}$d'ailleurs dégénérée${\big )}$ $\;\exp(s_{d}\,x)=\exp \!\left(0\,x\right)=1$, ce qui est insuffisant pour en déduire la solution générale de l'équation différentielle ; il faudrait donc trouver une deuxième solution particulière indépendante de la première c.-à-d. non constante mais dans le cas présent il y a plus simple :

     L'équation différentielle s'écrivant $\;f''(x)=0$, il suffit d'intégrer deux fois successivement et on obtient $\;f'(x)=A\;$ avec $\;A\;$ constante réelle arbitraire puis $\;f(x)=A\,x+B\;$ avec $\;B\;$ deuxième constante réelle arbitraire ;

     la solution générale de l'équation différentielle est donc $\;f(x)=A\,x+B\;$ avec $\;A\;{\text{et}}\;B\;$ deux constantes réelles arbitraires, montrant que cette solution est construite à partir

des deux solutions particulières indépendantes $\;1\,{\text{et}}\,x\;$ constituant une base de l'ensemble des solutions de l'équation différentielle.

Cas où le cœfficient du terme d'ordre zéro est strictement positif

     Avec $\;c>0$, l'équation caractéristique $\;s^{2}+c=0\;$ n'admettant aucune racine réelle, il n'y a pas de solutions particulières ayant une forme exponentielle $\;{\big (}$même dégénérée${\big )}\;$ de l'équation différentielle.

     Toutefois si on résout l'équation différentielle sur $\;\mathbb {C} \;$ au lieu de résoudre sur $\;\mathbb {R} \;$, sachant que l'ensemble des solutions complexes forme un espace vectoriel de dimension deux sur $\;\mathbb {C} \;$, la recherche de deux solutions complexes particulières indépendantes de forme exponentielle conduisant toujours à l'équation caractéristique $\;s^{2}+c=0$, et celle-ci admettant deux racines imaginaires conjuguées $\;s_{\pm }=$ $\pm i\,{\sqrt {c}}$, on en déduit les deux solutions complexes particulières et indépendantes de l'équation différentielle $\;\exp(s_{\pm }\,x)=\exp \!\left(\pm i\,{\sqrt {c}}\,x\right)\;$ et la solution générale complexe de l'équation différentielle s'écrit selon $\;f(x)=$ $\lambda _{+}\,\exp \!\left(i\,{\sqrt {c}}\,x\right)+\lambda _{-}\,\exp \!\left(-i\,{\sqrt {c}}\,x\right)\;$ avec $\;\lambda _{+}\,{\text{et}}\,\lambda _{-}\;$ deux constantes complexes arbitraires ; on peut alors en déduire la solution générale réelle de l'équation différentielle en imposant des relations de liaison entre $\;\lambda _{+}\,{\text{et}}\,\lambda _{-}\;$ de façon à ce que $\;\lambda _{+}\,\exp \!\left(i\,{\sqrt {c}}\,x\right)+\lambda _{-}\,\exp \!\left(-i\,{\sqrt {c}}\,x\right)\;$ soit réelle .

     Compte-tenu de ce qui précède, à partir des deux solutions particulières complexes indépendantes $\;\exp(s_{\pm }\,x)=\exp \!\left(\pm i\,{\sqrt {c}}\,x\right)\;$ de l'équation différentielle, il est possible de trouver, par C.L. à cœfficients complexes,

deux solutions particulières réelles indépendantes, $\;\cos({\sqrt {c}}\,x)\;$ et $\;\sin({\sqrt {c}}\,x)\;$ constituant une base de l'ensemble des solutions réelles , et
la solution générale (réelle) de l'équation différentielle $\;f(x)=A\,\cos \!\left({\sqrt {c}}\,x\right)+B\,\sin \!\left({\sqrt {c}}\,x\right)\;$
avec $\;A\,{\text{et}}\,B\;$ deux constantes réelles arbitraires.

     Remarques : On établit que $\;A\,\cos \!\left({\sqrt {c}}\,x\right)+B\,\sin \!\left({\sqrt {c}}\,x\right)=C\,\cos \!\left({\sqrt {c}}\,x+\varphi \right)\forall \,x\;$ avec $\;C\,{\text{et}}\,\varphi \;$ dépendant de $\;A\,{\text{et}}\,B\;$ ;

     Remarques : en effet, posant $\;A=C\,\cos(\varphi )\;$ ainsi que $\;B=-C\,\sin(\varphi )\;$ dans le but de réécrire $\;A\,\cos \!\left({\sqrt {c}}\,x\right)+B\,\sin \!\left({\sqrt {c}}\,x\right)\;$ selon $\;C\,\cos(\varphi )\,\cos \!\left({\sqrt {c}}\,x\right)-C\,\sin(\varphi )\,\sin \!\left({\sqrt {c}}\,x\right)$, expression dans laquelle on reconnaît le développement de $\;C\,\cos \!\left({\sqrt {c}}\,x+\varphi \right)$ ; du système d'équations $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}A=C\,\cos(\varphi )\\B=-C\,\sin(\varphi )\end{array}}\right.\;$ on en déduit

$\;C={\sqrt {A^{2}+B^{2}}}\;$ et
$\;\tan(\varphi )=-{\dfrac {B}{A}}\;$ permettant de choisir la détermination de $\;\varphi \;$ suivant le signe de $\;A\,{\text{et}}\,B\;$ :

     Remarques : si $\;A\,{\text{et}}\,B\;$ sont tous deux positifs, $\;\varphi \in \left]-{\dfrac {\pi }{2}},0\right[$, d'où $\;\varphi =-\arctan \!\left({\dfrac {B}{A}}\right)\;$,

     Remarques : si $\;A\,{\text{et}}\,B\;$ sont tous deux négatifs, $\;\varphi \in \left]{\dfrac {\pi }{2}},\pi \right[$, d'où $\;\varphi =-\arctan \!\left({\dfrac {B}{A}}\right)+\pi \;$,

     Remarques : si $\;A>0\,{\text{et}}\,B<0$, $\;\varphi \in \left]0,{\dfrac {\pi }{2}}\right[$, d'où $\;\varphi =-\arctan \!\left({\dfrac {B}{A}}\right)\;$,

     Remarques : si $\;A<0\,{\text{et}}\,B>0$, $\;\varphi \in \left]-\pi ,-{\dfrac {\pi }{2}}\right[$, d'où $\;\varphi =-\arctan \!\left({\dfrac {B}{A}}\right)-\pi \;$.

Méthode de résolution d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants hétérogène

But recherché pour résoudre une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du premier ou du deuxième ordre hétérogène

     Trouver une solution particulière de cette équation différentielle hétérogène dans le but d'effectuer un changement de fonction permettant d'obtenir la même équation différentielle mais homogène.

     Justification  : soient respectivement $\;f_{\text{géné de l'équa hétéro}}(x)\;$ et $\;f_{\text{part de l'équa hétéro}}(x)\;$ la solution générale et une solution particulière de l'équation hétérogène c.-à-d. $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{f''}_{\text{géné de l'équa hétéro}}(x)+b\,f'_{\text{géné de l'équa hétéro}}(x)+c\,f_{\text{géné de l'équa hétéro}}(x)=e(x)\;\;({\mathfrak {1}})\\{f''}_{\text{part de l'équa hétéro}}(x)+b\,f'_{\text{part de l'équa hétéro}}(x)+c\,f_{\text{part de l'équa hétéro}}(x)=e(x)\;\;({\mathfrak {2}})\end{array}}\right.$, nous pouvons vérifier aisément en formant la différence «$\;({\mathfrak {1}})-({\mathfrak {2}})\;$» que la fonction $\;f(x)=$ $f_{\text{géné de l'équa hétéro}}(x)-f_{\text{part de l'équa hétéro}}(x)\;$ est solution de la même équation différentielle mais homogène soit $\;({\mathfrak {1}})-({\mathfrak {2}})\;\;f''(x)+b\,f'(x)+c\,f(x)=0\;$ ;

     ainsi la solution générale de l'équation hétérogène est la somme de la solution générale de l'équation homogène  et d'une solution particulière de l'équation hétérogène c.-à-d.

$\;f_{\text{géné de l'équa hétéro}}(x)=f_{\text{géné de l'équa homo}}(x)+f_{\text{part de l'équa hétéro}}(x)$ ;

     dans quasiment tous les cas on peut trouver une solution particulière de l'équation différentielle hétérogène de même forme que l'excitation  et alors, on peut écrire

$\;f(x)=f_{\text{libre}}(x)+f_{\text{forcée}}(x)\;$
où $\;f_{\text{libre}}(x)\;$ est la solution générale de l'équation homogène et
$\;f_{\text{forcée}}(x)\;$ la solution particulière de l'équation hétérogène de même forme que l'excitation .

Recherche de la solution forcée (quand celle-ci existe)

     La solution forcée est la solution particulière d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du premier ou du deuxième ordre hétérogène de même forme que l'excitation ; les principaux cas se présentant sont :

• $\;e(x)=cste$, recherche sous la forme $\;f_{\text{forcée}}=\alpha \;$ où $\;\alpha \;$ est une constante réelle à déterminer ;
• $\;e(x)=p\,x+m,\;\;p\;{\text{et}}\;m\in \mathbb {R}$, recherche sous la forme $\;f_{\text{forcée}}=\alpha \,x+\beta \;$ où $\;\alpha \;$ et $\;\beta \;$ sont des constantes réelles à déterminer ;
• $\;e(x)=A\,\exp(p\,x),\;\;A\;{\text{et}}\;p\in \mathbb {R}$, recherche sous la forme $\;f_{\text{forcée}}=\alpha \,\exp(p\,x)\;$ où $\;\alpha \;$ est une constante réelle à déterminer ;
• $\;e(x)=A\,\cos(k\,x+\varphi ),\;\;A,\;k\;{\text{et}}\;\varphi \in \mathbb {R}$, recherche sous la forme $\;f_{\text{forcée}}=\alpha \,\cos(k\,x+\psi )\;$ où $\;\alpha \;$ et $\;\psi \;$ sont des constantes réelles à déterminer ;

          dans ce qui suit nous privilégions le cas d'une excitation constante, la démarche pour les autres formes d'excitation étant identique.

Premier ordre à excitation constante

     Soit $\;f'(x)+k\,f(x)=D\;$ où $\;D\;$ est l'excitation constante ;

     dans la mesure où $\;k\neq 0\;$ il existe toujours une solution particulière de l'équation hétérogène de forme constante car la dérivée étant identiquement nulle on obtient $\;k\,f_{\text{forcée}}=D\;$ soit $\;f_{\text{forcée}}={\dfrac {D}{k}}\;$ et par suite

la solution générale de l'équation différentielle hétérogène s'écrit $\;f(x)=f_{\text{libre}}(x)+f_{\text{forcée}}\;$ ou,
connaissant la solution libre de l'équation différentielle $\;f_{\text{libre}}(x)=A\,\exp(-k\,x)\;$ avec $\;A\;$ constante arbitraire,
la solution générale de l'équation hétérogène se réécrit $\;f(x)=A\,\exp(-k\,x)+{\dfrac {D}{k}}$.

Deuxième ordre sans terme du premier ordre à excitation constante

     Soit $\;f''(x)+c\,f(x)=D\;$ où $\;D\;$ est l'excitation constante ;

     dans la mesure où $\;c\neq 0\;$ il existe toujours une solution particulière de l'équation hétérogène de forme constante car la dérivée seconde étant identiquement nulle on obtient $\;c\,f_{\text{forcée}}=D\;$ soit $\;f_{\text{forcée}}$ $={\dfrac {D}{c}}\;$ et par suite

la solution générale de l'équation différentielle hétérogène s'écrit $\;f(x)=f_{\text{libre}}(x)+f_{\text{forcée}}\;$ ou,
connaissant la solution libre de l'équation différentielle $\;f_{\text{libre}}(x)=\left\lbrace {\begin{array}{c}A\,\cos({\sqrt {c}}\,x)+B\,\sin({\sqrt {c}}\,x)\\{\text{ou }}\quad C\,\cos({\sqrt {c}}\,x+\varphi )\end{array}}\right.\;$ avec $\;A,\;B,\;C,\;\varphi \;$ constantes arbitraires,
la solution générale de l'équation hétérogène se réécrit $\;f(x)=\left\lbrace {\begin{array}{c}A\,\cos({\sqrt {c}}\,x)+B\,\sin({\sqrt {c}}\,x)+{\dfrac {D}{c}}\\{\text{ou }}\quad C\,\cos({\sqrt {c}}\,x+\varphi )+{\dfrac {D}{c}}\end{array}}\right.$.

Retour sur la résolution d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du second ordre avec terme du premier ordre

Rappel de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du second ordre avec terme du premier ordre en f(x) sous forme normalisée

     La forme normalisée d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du second ordre avec terme du premier ordre en $\;f(x)\;$ correspondant au cœfficient de la dérivée seconde égal à $\;1\;$ s'écrit

$\;f''(x)+b\,f'(x)+c\,f(x)=e(x)\;$ où
$\;b\;$ et $\;c\;$ sont des réels non nuls et $\;e(x)\;$ une fonction réelle appelée « excitation ».

     Si $\;e(x)=0\;\;\forall x\;$ l'équation est dite homogène et

     si $\;\exists \;x_{0}\;$ tel que $\;e(x_{0})\neq 0\;$ l'équation est dite hétérogène.

Rappel de la forme de la solution générale de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du second ordre hétérogène avec terme du premier ordre en f(x)

     Nous avons établi dans le paragraphe intitulé « but recherché pour résoudre une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du premier ou deuxième ordre hétérogène » plus haut dans ce chapitre que

     la solution générale de l'équation hétérogène est la somme de la solution générale de l'équation homogène  et d'une solution particulière de l'équation hétérogène c.-à-d.

$\;f_{\text{géné de l'équa hétéro}}(x)=f_{\text{géné de l'équa homo}}(x)+f_{\text{part de l'équa hétéro}}(x)$ ;

     dans quasiment tous les cas on peut trouver une solution particulière de l'équation différentielle hétérogène de même forme que l'excitation  et alors, la solution générale de l'équation hétérogène se réécrit

$\;f(x)=f_{\text{libre}}(x)+f_{\text{forcée}}(x)\;$
où $\;f_{\text{libre}}(x)\;$ est la solution générale de l'équation homogène et
$\;f_{\text{forcée}}(x)\;$ la solution particulière de l'équation hétérogène de même forme que l'excitation .

Recherche de la solution générale de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du second ordre homogène avec terme du premier ordre en f(x)

     On cherche donc à résoudre $\;f''(x)+b\,f'(x)+c\,f(x)=0\;$ avec $\;b\;$ et $\;c\;$ des constantes réelles non nulles, pour cela on applique la méthode exposée dans le paragraphe intitulé « méthode de recherche d'une (ou de deux indépendantes) solution(s) particulière(s) d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du premier (ou deuxième) ordre homogène » exposé plus haut dans ce chapitre à savoir

     chercher des solutions du type $\;\exp(s\,x)\;$ car ses dérivées première $\;s\,\exp(s\,x)\;$ et seconde $\;s^{2}\,\exp(s\,x)\;$ lui étant proportionnelles, l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants homogène du 2^ème ordre en $\;f(x)\;$ se transforme en équation algébrique du 2^ème degré en $\;s\;$ après simplification par $\;\exp(s\,x)\;$, l'équation algébrique ainsi obtenue étant appelée « équation caractéristique de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants homogène ».

Équation caractéristique de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du second ordre homogène avec terme du premier ordre en f(x)

     Appliquant la méthode précédemment rappelée on obtient l'équation caractéristique du 2^ème degré en la variable algébrique réelle $\;s\;$ suivante

$\;s^{2}+b\;s+c=0$.

Résolution de l'équation caractéristique de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du second ordre homogène avec terme du premier ordre en f(x) et forme de la solution libre réelle de cette équation différentielle

     La résolution de l'équation caractéristique passe par l'évaluation de son discriminant $\;\Delta =b^{2}-4\;c\;$ et l'étude de son signe :

Cas où le discriminant Δ est positif, solution libre apériodique

     Si $\;\Delta =b^{2}-4\;c\;$ est $\;>0\;$, l'équation caractéristique admet deux solutions réelles distinctes $\;s_{\pm }={\dfrac {-b\pm {\sqrt {\Delta }}}{2}}\;$ et

     la solution générale libre étant générée par la base constituée des deux solutions particulières exponentielles s'écrit

$\;f_{l}(x)=A_{+}\,\exp \!\left(s_{+}\;x\right)+A_{-}\,\exp \!\left(s_{-}\;x\right)\;$,
$\;A_{+}\;$ et $\;A_{-}\;$ étant deux constantes réelles arbitraires.

Cas où le discriminant Δ est nul, solution libre apériodique critique

     Si $\;\Delta =b^{2}-4\;c\;$ est $\;=0\;$, l'équation caractéristique admet une solution réelle double $\;s_{d}={\dfrac {-b}{2}}\;$ et on en déduit une seule solution particulière de forme exponentielle $\;\exp \!\left(s_{d}\;x\right)$, il faut donc chercher une 2^ème solution particulière d'une autre forme, on vérifie ci-dessous que $\;x\;\exp \!\left(s_{d}\;x\right)\;$ convient ;

     vérification : si $\;f_{\text{part}}(x)=x\;\exp \!\left({\dfrac {-b}{2}}\;x\right)$, la dérivée première vaut $\;{f'}_{\text{part}}(x)=\exp \!\left({\dfrac {-b}{2}}\;x\right)+x\,\left({\dfrac {-b}{2}}\right)\,\exp \!\left({\dfrac {-b}{2}}\;x\right)\;$ et
                                                                                la dérivée seconde $\;{f''}_{\text{part}}(x)=-2\,\left({\dfrac {-b}{2}}\right)\,\exp \!\left({\dfrac {-b}{2}}\;x\right)+x\,\left({\dfrac {-b}{2}}\right)^{\!2}\,\exp \!\left({\dfrac {-b}{2}}\;x\right)$,
     vérification : formant alors la C.L. du 1^er membre de l'équation différentielle, on trouve $\;0\;$ ce qui prouve que $\;x\;\exp \!\left({\dfrac {-b}{2}}\;x\right)\;$ est bien solution particulière de l'équation différentielle homogène ;

     la solution générale libre étant générée par la base constituée des deux solutions particulières $\;\exp \!\left(s_{d}\;x\right)\;$ et $\;x\;\exp \!\left(s_{d}\;x\right)\;$ s'écrit

$\;f_{l}(x)=\left(A+B\;x\right)\,\exp \!\left(s_{d}\;x\right)\;$,
$\;A\;$ et $\;B\;$ étant deux constantes réelles arbitraires.

Cas où le discriminant Δ est négatif, solution libre pseudo-périodique

     Si $\;\Delta =b^{2}-4\;c\;$ est $\;<0\;$, l'équation caractéristique n'admet aucune solution réelle, il n'y a alors pas de solution libre particulière réelle de forme exponentielle à l'équation différentielle, il faudrait donc chercher deux solutions particulières sous une autre forme mais $\;\ldots \;$ nous allons procéder autrement de façon à utiliser l'équation caractéristique déjà écrite :

     si cette équation caractéristique n'a pas de solutions réelles, elle a néanmoins deux solutions complexes conjuguées distinctes, et par suite il y a deux solutions libres particulières complexes de forme exponentielle à cette équation différentielle servant de base à l'espace vectoriel de ses solutions libres complexes, les deux cœfficients générateurs étant complexes et correspondant à quatre cœfficients générateurs réels ; à partir de la solution générale libre complexe nous obtiendrons la solution générale libre réelle en écrivant que la partie imaginaire de la solution générale libre complexe est identiquement nulle, ce qui donnant deux relations de liaison entre les quatre cœfficients générateurs réels laissera uniquement deux cœfficients générateurs réels $\;\ldots$

     Résolution de l'équation caractéristique en complexe et solution générale libre complexe de l'équation différentielle homogène : l'équation caractéristique ayant deux solutions complexes conjuguées distinctes $\;{\underline {s_{\pm }}}={\dfrac {-b\pm i\;{\sqrt {\vert \Delta \vert }}}{2}}\;$, la solution générale libre complexe de l'équation différentielle homogène s'écrit

$\;{\underline {f_{l}}}(x)={\underline {A_{+}}}\;\exp \!\left({\underline {s_{+}}}\;x\right)+{\underline {A_{-}}}\;\exp \!\left({\underline {s_{-}}}\;x\right)={\underline {A_{+}}}\;\exp \!\left({\dfrac {-b+i\;{\sqrt {\vert \Delta \vert }}}{2}}\;x\right)+{\underline {A_{-}}}\;\exp \!\left({\dfrac {-b-i\;{\sqrt {\vert \Delta \vert }}}{2}}\;x\right)$,
$\;{\underline {A_{+}}}\;$ et $\;{\underline {A_{-}}}\;$ étant deux constantes complexes arbitraires .

     Détermination de la solution générale libre réelle de l'équation différentielle homogène à partir de la solution générale libre complexe : il faut écrire que la partie imaginaire de $\;{\underline {f_{l}}}(x)\;$ est identiquement nulle et pour cela nous définissons les cœfficients générateurs complexes sous leur forme trigonométrique $\;{\underline {A_{+}}}=$ $A_{+}\;\exp \!\left(i\;\varphi _{+}\right)\;$ et $\;{\underline {A_{-}}}=A_{-}\;\exp \!\left(i\;\varphi _{-}\right)\;$ ce qui permet de réécrire la solution générale libre complexe selon

$\;{\underline {f_{l}}}(x)=\exp \!\left(-{\dfrac {b}{2}}\;x\right)\left\lbrace A_{+}\;\exp \!\left[i\left({\dfrac {\sqrt {\vert \Delta \vert }}{2}}\;x+\varphi _{+}\right)\right]+A_{-}\;\exp \!\left[-i\left({\dfrac {\sqrt {\vert \Delta \vert }}{2}}\;x-\varphi _{-}\right)\right]\right\rbrace$
de partie imaginaire $\;\Im \!\left[{\underline {f_{l}}}(x)\right]=\exp \!\left(-{\dfrac {b}{2}}\;x\right)\left[A_{+}\,\sin \!\left({\dfrac {\sqrt {\vert \Delta \vert }}{2}}\;x+\varphi _{+}\right)-A_{-}\,\sin \!\left({\dfrac {\sqrt {\vert \Delta \vert }}{2}}\;x-\varphi _{-}\right)\right]$ ;

     Détermination de la solution générale libre réelle de l'équation différentielle homogène à partir de la solution générale libre complexe : la nullité du terme imaginaire est réalisé pour tout $\;x\;$ si la nullité du terme entre crochets l'est et pour écrire cela on décompose les sinus à l'aide des formules de trigonométrie $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\sin \!\left({\dfrac {\sqrt {\vert \Delta \vert }}{2}}\;x+\varphi _{+}\right)=\sin \!\left({\dfrac {\sqrt {\vert \Delta \vert }}{2}}\;x\right)\;\cos \!\left(\varphi _{+}\right)+\sin \!\left(\varphi _{+}\right)\;\cos \!\left({\dfrac {\sqrt {\vert \Delta \vert }}{2}}\;x\right)\\\sin \!\left({\dfrac {\sqrt {\vert \Delta \vert }}{2}}\;x-\varphi _{-}\right)=\sin \!\left({\dfrac {\sqrt {\vert \Delta \vert }}{2}}\;x\right)\;\cos \!\left(\varphi _{-}\right)-\sin \!\left(\varphi _{-}\right)\;\cos \!\left({\dfrac {\sqrt {\vert \Delta \vert }}{2}}\;x\right)\end{array}}\right\rbrace \;$ d'où la réécriture du terme entre crochets $\;\Im \!\left[{\underline {f_{l}}}(x)\right]\exp \!\left({\dfrac {b}{2}}\;x\right)=\left[A_{+}\;\cos \!\left(\varphi _{+}\right)-A_{-}\;\cos \!\left(\varphi _{-}\right)\right]\sin \!\left({\dfrac {\sqrt {\vert \Delta \vert }}{2}}\;x\right)+\left[A_{+}\;\sin \!\left(\varphi _{+}\right)+A_{-}\;\sin \!\left(\varphi _{-}\right)\right]\cos \!\left({\dfrac {\sqrt {\vert \Delta \vert }}{2}}\;x\right)\;$ dont la nullité pour tout $\;x\;$ nécessite que les cœfficients de $\;\sin \!\left({\dfrac {\sqrt {\vert \Delta \vert }}{2}}\;x\right)\;$ et de $\;\cos \!\left({\dfrac {\sqrt {\vert \Delta \vert }}{2}}\;x\right)\;$ soient tous deux nuls d'où $\;{\begin{array}{c}A_{+}\;\cos \!\left(\varphi _{+}\right)=A_{-}\;\cos \!\left(\varphi _{-}\right)\\A_{+}\;\sin \!\left(\varphi _{+}\right)=-A_{-}\;\sin \!\left(\varphi _{-}\right)\end{array}}\;$ soit encore,

• en faisant la somme membre à membre des carrés $\;A_{+}^{2}=A_{-}^{2}\;$ ou, les modules étant nécessairement positifs, $A_{+}=A_{-}$, ce qui,
• imposant alors aux arguments d'avoir même cosinus et des sinus opposés selon $\;{\begin{array}{c}\cos \!\left(\varphi _{+}\right)=\cos \!\left(\varphi _{-}\right)\\\sin \!\left(\varphi _{+}\right)=-\sin \!\left(\varphi _{-}\right)\end{array}}\;$ conduit à $\;\varphi _{-}=-\varphi _{+}$ ;

     Détermination de la solution générale libre réelle de l'équation différentielle homogène à partir de la solution générale libre complexe : pour que la solution générale libre complexe soit réelle il faut donc que les cœfficients générateurs $\;{\underline {A_{+}}}\;$ et $\;{\underline {A_{-}}}\;$ soient conjugués l'un de l'autre c.-à-d. $\;{\underline {A_{-}}}=\left[{\underline {A_{+}}}\right]^{*}$, d'où la solution générale libre réelle égale à la partie réelle de la solution générale libre complexe dans laquelle on écrit $\;{\underline {A_{-}}}=\left[{\underline {A_{+}}}\right]^{*}$ :

$\;f_{l}(x)=\Re \!\left[{\underline {f_{l}}}(x)\right]=\exp \!\left(-{\dfrac {b}{2}}\;x\right)\left[A_{+}\,\cos \!\left({\dfrac {\sqrt {\vert \Delta \vert }}{2}}\;x+\varphi _{+}\right)+A_{-}\,\cos \!\left({\dfrac {\sqrt {\vert \Delta \vert }}{2}}\;x-\varphi _{-}\right)\right]$ ou encore
$\;f_{l}(x)=2\;A_{+}\;\exp \!\left(-{\dfrac {b}{2}}\;x\right)\;\cos \!\left({\dfrac {\sqrt {\vert \Delta \vert }}{2}}\;x+\varphi _{+}\right)\;$ en utilisant $\;{\underline {A_{-}}}=\left[{\underline {A_{+}}}\right]^{*}$.

     Forme de la solution générale libre réelle de l'équation différentielle si Δ est < 0 :

$\;f_{l}(x)=A\;\exp \!\left(-{\dfrac {b}{2}}\;x\right)\;\cos \!\left({\dfrac {\sqrt {\vert \Delta \vert }}{2}}\;x+\varphi \right)\;$ avec
$\;A\;$ et $\;\varphi \;$ constantes réelles arbitraires .

     Autre forme (moins utilisée) de la solution générale libre réelle de l'équation différentielle si Δ est < 0 :

$\;f_{l}(x)=\exp \!\left(-{\dfrac {b}{2}}\;x\right)\left[A'\;\cos \!\left({\dfrac {\sqrt {\vert \Delta \vert }}{2}}\;x\right)+B'\;\sin \!\left({\dfrac {\sqrt {\vert \Delta \vert }}{2}}\;x\right)\right]\;$ avec
$\;A'\;$ et $\;B'\;$ constantes réelles arbitraires.

     Remarque : On retrouve les deux formes de « solution libre de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants homogène du 2^ème ordre en f(x) sans terme du 1^er ordre » dans les deux formes de solution libre pseudo-périodique ci-dessus en faisant tendre le cœfficient du terme d'ordre un vers zéro c.-à-d. $\;b\rightarrow 0\;$ $\Rightarrow$ $\;\Delta \rightarrow -4\;c\;$ d'où $\;{\dfrac {\sqrt {\Delta }}{2}}\rightarrow {\sqrt {c}}$.

Solution forcée de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du second ordre hétérogène avec terme du premier ordre en f(x), dans le cas d'une excitation constante

     Nous cherchons une solution particulière constante $\;f_{f}\;$ à l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du second ordre hétérogène avec terme du premier ordre en $\;f(x)$, l'excitation $\;e(x)\;$ étant une constante notée $\;D$, l'équation différentielle s'écrivant

$\;f''(x)+b\,f'(x)+c\,f(x)=D$ ;

     puisque $\;c\neq 0$, il existe toujours une solution particulière de l'équation hétérogène de forme constante car $\;{f_{f}}''+b\,{f_{f}}'=0\;$ transforme l'équation en $\;c\,f_{f}=D\;$ d'où la solution forcée s'écrivant

$\;f_{f}={\dfrac {D}{c}}$.

Solution générale de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du second ordre hétérogène avec terme du premier ordre en f(x), dans le cas d'une excitation constante

     La solution générale de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du second ordre hétérogène avec terme du premier ordre et excitation $\;D\;$ constante en $\;f(x)\;$ est la somme de la solution libre $\;f_{l}(x)\;$ et de la solution forcée $\;f_{f}={\dfrac {D}{c}}$, la solution libre ayant l'une des formes apériodique, apériodique critique ou pseudo-périodique suivant le signe du discriminant $\;\Delta =b^{2}-4\;c\;$ de l'équation caractéristique associée à l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du second ordre homogène avec terme du premier ordre $\;\ldots$

Méthode « des complexes » de détermination de la solution forcée sinusoïdale (quand elle existe) d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants réels hétérogène à excitation sinusoïdale

Exposé de la recherche de la solution forcée sinusoïdale (quand elle existe) d'une équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants hétérogène à excitation sinusoïdale

     On cherche la solution forcée sinusoïdale $\;{\big (}$quand elle existe${\big )}\;$ de l'équation différentielle linéaire normalisée à cœfficients réels constants hétérogène du 1^er ou du 2^ème ordre en $\;f(x)\;$ d'excitation sinusoïdale c.-à-d. de l'équation différentielle en $\;f(x)\;$ suivante

• $\qquad \quad \quad \;\;f'(x)+k\,f(x)=e(x)$, $\;k\in \mathbb {R} ^{*}\;$ ou
• $\;f''(x)+b\,f'(x)+c\,f(x)=e(x)$, $\;b\in \mathbb {R} \;$ et $\;c\in \mathbb {R} ^{*}\;$,

     $\;e(x)\;$ étant l'excitation sinusoïdale de fréquence $\;\sigma \;$ et d'amplitude $\;E_{m}$, toutes deux fixées, et on cherche, dans le cas où elle existe, la solution forcée sinusoïdale de même fréquence $\;\sigma$.

Les deux faces identiques de la recherche de la solution forcée sinusoïdale (quand elle existe) d'une équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants hétérogène à excitation sinusoïdale suivant que celle-ci est sous la forme d'un cosinus ou d'un sinus

     Supposons que l'excitation s'écrive $\;e_{1}(x)=E_{m}\,\cos \!\left(2\,\pi \,\sigma \,x+\varphi _{e}\right)$, nous cherchons la solution forcée sinusoïdale $\;{\big (}$quand elle existe${\big )}\;$ sous la forme $\;f_{f,\,1}(x)=A_{m}\,\cos \!\left(2\,\pi \,\sigma \,x+\psi \right)\;$ dans laquelle $\;A_{m}\;$ et $\;\psi \;$ sont à déterminer en fonction des cœfficients caractérisant l'équation différentielle, la fréquence commune $\;\sigma$, l'amplitude $\;E_{m}\;$ et la phase à l'origine $\;\varphi _{e}\;$ de l'excitation, ce 1^erproblème étant noté $\;({\mathfrak {1}})$ ;

     supposons maintenant que l'excitation s'écrive $\;e_{2}(x)=E_{m}\,\sin \!\left(2\,\pi \,\sigma \,x+\varphi _{e}\right)\;$, nous cherchons la solution forcée sinusoïdale $\;{\big (}$quand elle existe${\big )}\;$ sous la forme $\;f_{f,\,2}(x)=A_{m}\,\sin \!\left(2\,\pi \,\sigma \,x+\psi \right)\;$ avec les mêmes valeurs $\;A_{m}\;$ et $\;\psi \;$ que dans le 1^er problème précédent , ce 2^ème problème étant noté $\;({\mathfrak {2}})$ ;

     ainsi les deux faces identiques de la recherche de la solution forcée sinusoïdale $\;{\big (}$quand elle existe${\big )}\;$ d'une équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants hétérogène à excitation sinusoïdale suivant que celle-ci est sous la forme d'un cosinus ou d'un sinus sont :

• pour une équation du 1^er ordre $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\dfrac {df_{f,\,1}}{dx}}(x)+k\,f_{f,\,1}(x)=e_{1}(x)=E_{m}\,\cos \!\left(2\,\pi \,\sigma \,x+\varphi _{e}\right)\quad \;\left({\mathfrak {1}}\right)\\{\dfrac {df_{f,\,2}}{dx}}(x)+k\,f_{f,\,2}(x)=e_{2}(x)=E_{m}\,\sin \!\left(2\,\pi \,\sigma \,x+\varphi _{e}\right)\quad \;\left({\mathfrak {2}}\right)\end{array}}\right\rbrace \;$ avec recherche de solution forcée selon $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}f_{f,\,1}(x)=A_{m}\,\cos \!\left(2\,\pi \,\sigma \,x+\psi \right)\quad \;{\text{ sol. forcée de }}\left({\mathfrak {1}}\right)\\f_{f,\,2}(x)=A_{m}\,\sin \!\left(2\,\pi \,\sigma \,x+\psi \right)\quad \;{\text{ sol. forcée de }}\left({\mathfrak {2}}\right)\end{array}}\right\rbrace \;$ et
• pour une équation du 2^ème ordre $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\dfrac {d^{2}f_{f,\,1}}{dx^{2}}}(x)+b\,{\dfrac {df_{f,\,1}}{dx}}(x)+c\,f_{f,\,1}(x)=e_{1}(x)=E_{m}\,\cos \!\left(2\,\pi \,\sigma \,x+\varphi _{e}\right)\quad \;\left({\mathfrak {1}}\right)\\{\dfrac {d^{2}f_{f,\,2}}{dx^{2}}}(x)+b\,{\dfrac {df_{f,\,2}}{dx}}(x)+c\,f_{f,\,2}(x)=e_{2}(x)=E_{m}\,\sin \!\left(2\,\pi \,\sigma \,x+\varphi _{e}\right)\quad \;\left({\mathfrak {2}}\right)\end{array}}\right\rbrace \;$ avec recherche de solution forcée selon $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}f_{f,\,1}(x)=A_{m}\,\cos \!\left(2\,\pi \,\sigma \,x+\psi \right)\quad \;{\text{ sol. forcée de }}\left({\mathfrak {1}}\right)\\f_{f,\,2}(x)=A_{m}\,\sin \!\left(2\,\pi \,\sigma \,x+\psi \right)\quad \;{\text{ sol. forcée de }}\left({\mathfrak {2}}\right)\end{array}}\right\rbrace$.

Exposé de la méthode « des complexes » pour trouver la solution forcée sinusoïdale (quand elle existe) d'une équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants hétérogène à excitation sinusoïdale suivant que celle-ci est sous la forme d'un cosinus ou d'un sinus

     Formant l'équation différentielle $\;\left({\mathfrak {1}}'\right)=\left({\mathfrak {1}}\right)+i\,\left({\mathfrak {2}}\right)\;$ et introduisant l'excitation instantanée complexe formée par même C.L. à savoir $\;{\underline {e}}(x)=$ $e_{1}(x)+i\;e_{2}(x)=E_{m}\;\exp \!\left[i\,\left(2\,\pi \,\sigma \,x+\varphi _{e}\right)\right]\;$ ainsi que la réponse forcée instantanée complexe selon la même C.L. c.-à-d. $\;{\underline {f_{f}}}(x)=$ $f_{f,\,1}(x)+i\;f_{f,\,2}(x)=A_{m}\;\exp \!\left[i\,\left(2\,\pi \,\sigma \,x+\psi \right)\right]\;$, nous obtenons une équation différentielle $\;\left({\mathfrak {1}}'\right)\;$ linéaire à cœfficients réels constants hétérogène en fonction complexe $\;{\underline {f}}(x)\;$ et d'excitation complexe $\;{\underline {e}}(x)\;$ s'avérant nettement plus simple pour déterminer la solution forcée $\;{\underline {f_{f}}}(x)\;$ et dont

• la partie réelle est l'équation différentielle $\;\left({\mathfrak {1}}\right)\;$ d'excitation $\;e_{1}(x)=\Re \!\left[{\underline {e}}(x)\right]$, de solution forcée sinusoïdale $\;{\big (}$dans la mesure où elle existe${\big )}$ $\;f_{f,\,1}(x)=$ $\Re \!\left[{\underline {f_{f}}}(x)\right]\;$ et
• la partie imaginaire est l'équation différentielle $\;\left({\mathfrak {2}}\right)\;$ d'excitation $\;e_{2}(x)=\Im \!\left[{\underline {e}}(x)\right]$, de solution forcée sinusoïdale $\;{\big (}$dans la mesure où elle existe${\big )}$ $\;f_{f,\,2}(x)$ $=\Im \!\left[{\underline {f_{f}}}(x)\right]$.

     Remarque : une fois obtenue la solution forcée complexe $\;{\underline {f_{f}}}(x)\;$ ${\big (}$quand celle-ci existe${\big )}\;$ à partir de l'équation différentielle $\;\left({\mathfrak {1}}'\right)$, nous pourrions en déduire la solution sinusoïdale forcée à l'un ou l'autre des problèmes envisagés en en prenant la partie réelle pour le problème $\;\left({\mathfrak {1}}\right)\;$ et la partie imaginaire pour le problème $\;\left({\mathfrak {2}}\right)\;$ $\ldots \;$ mais nous n'utiliserons pas cette méthode, en préférant une encore plus simple ne nécessitant pas la prise de partie réelle ou imaginaire.

Grandeurs instantanées complexes et amplitudes complexes associées

     La « grandeur instantanée complexe » $\;{\underline {s}}(x)\;$ associée à la fonction $\;s(x)=$ $\left\lbrace {\begin{array}{c}A\,\cos \!\left(2\,\pi \,\sigma \,x+\varphi \right)\\{\text{ou}}\\A\,\sin \!\left(2\,\pi \,\sigma \,x+\varphi \right)\end{array}}\right\rbrace \;$ est la fonction à valeurs complexes de la variable $\;x\;$ dont $\;s(x)\;$ est la partie réelle $\;{\big (}$resp. imaginaire${\big )}\;$ suivant que la fonction sinusoïdale $\;s(x)\;$ est sous forme d'un cosinus $\;{\big (}$resp. d'un sinus${\big )}$ ; ainsi

$\;{\underline {s}}(x)=A\,\exp \!\left[i\left(2\,\pi \,\sigma \,x+\varphi \right)\right]\;$ est telle que $\;s(x)=\left\lbrace {\begin{array}{c}A\,\cos \!\left(2\,\pi \,\sigma \,x+\varphi \right)=\Re \!\left[{\underline {s}}(x)\right]\\{\text{ou}}\\A\,\sin \!\left(2\,\pi \,\sigma \,x+\varphi \right)=\Im \!\left[{\underline {s}}(x)\right]\end{array}}\right\rbrace$.

     On définit l'« amplitude complexe » comme la grandeur $\;{\underline {A}}\;$ telle que la grandeur instantanée complexe associée s'écrive $\;{\underline {s}}(x)={\underline {A}}\,\exp \!\left[i\left(2\,\pi \,\sigma \,x\right)\right]$ ;

l'amplitude complexe est donc égale à $\;{\underline {A}}=A\,\exp \!\left(i\,\varphi \right)$,
son module étant égal à l'amplitude de la fonction sinusoïdale c.-à-d. $\;\vert {\underline {A}}\vert =A\;$
et son argument à la phase initiale de la fonction sinusoïdale c.-à-d. $\;\mathrm {arg} \!\left({\underline {A}}\right)=\varphi _{0}$ ;

     la connaissance de l'amplitude complexe est donc équivalente à celle de la grandeur instantanée complexe et par suite à celle de la fonction sinusoïdale de la variable $\;x\;$ dans la mesure où on connaît la forme de cette dernière « cosinusoïdale » ou « sinusoïdale ».

Dérivation première ou seconde des grandeurs instantanées complexes par rapport à la variable x

     La simplification de la recherche de solution sinusoïdale forcée d'une équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants hétérogène à excitation sinusoïdale par la méthode des complexes provient du fait que

• la dérivation 1^ère par rapport à $\;x\;$ de $\;{\underline {f_{f}}}(x)={\underline {A_{m}}}\,\exp \!\left[i\left(2\,\pi \,\sigma \,x\right)\right]\;$ est équivalente à une multiplication de $\;{\underline {f_{f}}}(x)\;$ par $\;i\left(2\,\pi \,\sigma \right)\;$ et
• la dérivation 2^ème par rapport à $\;x\;$ de $\;{\underline {f_{f}}}(x)={\underline {A_{m}}}\,\exp \!\left[i\left(2\,\pi \,\sigma \,x\right)\right]\;$ est équivalente à une multiplication de $\;{\underline {f_{f}}}(x)\;$ par $\;\left[i\left(2\,\pi \,\sigma \right)\right]^{2}=-\left(2\,\pi \,\sigma \right)^{2}\;\ldots$

Recherche de la solution forcée complexe de l'équation différentielle (1')

Solution forcée complexe de l'équation différentielle (1') du 1^er ordre

     L'équation différentielle $\;({\mathfrak {1}}')\;$ s'écrivant $\;{\dfrac {d{\underline {f}}}{dx}}(x)+k\,{\underline {f}}(x)={\underline {e}}(x)\;$ avec $\;{\underline {e}}(x)={\underline {E_{m}}}\,\exp \!\left[i\left(2\,\pi \,\sigma \,x\right)\right]\;$ ou, en introduisant la pulsation $\;{\big (}$spatiale${\big )}$ $\;k_{\text{puls}}=2\,\pi \,\sigma \;$ de l'excitation, $\;{\underline {e}}(x)=$ ${\underline {E_{m}}}\,\exp \!\left(i\,k_{\text{puls}}\,x\right)$, la solution forcée complexe étant cherchée sous la forme $\;{\underline {f_{f}}}(x)={\underline {A_{m}}}\,\exp \!\left(i\,k_{\text{puls}}\,x\right)$, l'équation $\;({\mathfrak {1}}')\;$ de recherche de cette solution se réécrit

$\;i\,k_{\text{puls}}\,{\underline {f_{f}}}(x)+k\,{\underline {f_{f}}}(x)={\underline {e}}(x)\;$ ou, $\;\left[i\,k_{\text{puls}}+k\right]\,{\underline {A_{m}}}\,\exp \!\left(i\,k_{\text{puls}}\,x\right)={\underline {E_{m}}}\,\exp \!\left(i\,k_{\text{puls}}\,x\right)\;$

     soit, en simplifiant par $\;\exp \!\left(i\,k_{\text{puls}}\,x\right)$, l'équation $\;\left[i\,k_{\text{puls}}+k\right]{\underline {A_{m}}}={\underline {E}}\;$ ${\big (}$indépendante de la variable $\;x{\big )}\;$ établissant l'existence de la solution forcée complexe dans la mesure où $\;i\,k_{\text{puls}}+k\;$ ne peut pas s'annuler correspondant à

une amplitude complexe $\;{\underline {A_{m}}}={\dfrac {\underline {E_{m}}}{k+i\,k_{\text{puls}}}}={\dfrac {\underline {E_{m}}}{k+i\,2\,\pi \,\sigma }}\;$ et
la solution forcée complexe $\;{\underline {f_{f}}}(x)={\dfrac {\underline {E}}{k+i\,k_{\text{puls}}}}\,\exp \!\left(i\,k_{\text{puls}}\,x\right)={\dfrac {\underline {E_{m}}}{k+i\,2\,\pi \,\sigma }}\,\exp \!\left[i\left(2\,\pi \,\sigma \,x\right)\right]$.

Solution forcée complexe de l'équation différentielle (1') du 2^ème ordre

     L'équation différentielle $\;({\mathfrak {1}}')\;$ s'écrivant $\;{\dfrac {d^{2}{\underline {f}}}{dx^{2}}}(x)+b\,{\dfrac {d{\underline {f}}}{dx}}(x)+c\,{\underline {f}}(x)={\underline {e}}(x)\;$ avec $\;{\underline {e}}(x)={\underline {E_{m}}}\,\exp \!\left[i\left(2\,\pi \,\sigma \,x\right)\right]\;$ ou, en introduisant la pulsation $\;{\big (}$spatiale${\big )}$ $\;k=2\,\pi \,\sigma \;$ de l'excitation, $\;{\underline {e}}(x)=$ ${\underline {E_{m}}}\,\exp \!\left(i\,k\,x\right)$, la solution forcée complexe étant cherchée sous la forme $\;{\underline {f_{f}}}(x)={\underline {A_{m}}}\,\exp \!\left(i\,k\,x\right)$, l'équation $\;({\mathfrak {1}}')\;$ de recherche de cette solution se réécrit

$\;-\,k^{2}\,{\underline {f_{f}}}(x)+b\,i\,k\,{\underline {f_{f}}}(x)+c\,{\underline {f_{f}}}(x)={\underline {e}}(x)\;$ ou, $\;\left[-k^{2}+i\,b\,k+c\right]\,{\underline {A_{m}}}\,\exp \!\left(i\,k\,x\right)={\underline {E_{m}}}\,\exp \!\left(i\,k\,x\right)\;$

     soit, en simplifiant par $\;\exp \!\left(i\,k\,x\right)$, l'équation $\;\left[-k^{2}+i\,b\,k+c\right]{\underline {A_{m}}}={\underline {E_{m}}}\;$ ${\big (}$indépendante de la variable $\;x{\big )}\;$ établissant

• l'existence de la solution forcée complexe si $\;b\neq 0\;$ ou
• l'existence de la solution forcée complexe si $\;b=0\;$ et $\;c<0\;$ ou encore si $\;b=0\;$ et $\;c>0\;$ pour une pulsation $\;{\big (}$spatiale${\big )}$ $\;k\neq {\sqrt {c}}\;$ correspondant à une amplitude complexe $\;{\underline {A_{m}}}={\dfrac {\underline {E_{m}}}{(c-k^{2})+i\,b\,k}}={\dfrac {\underline {E_{m}}}{\left[c-\left(2\,\pi \,\sigma \right)^{2}\right]+i\,b\,2\,\pi \,\sigma }}\;$ et
  la solution forcée complexe $\;{\underline {f_{f}}}(x)={\dfrac {\underline {E_{m}}}{(c-k^{2})+i\,b\,k}}\,\exp \!\left(i\,k\,x\right)={\dfrac {\underline {E_{m}}}{\left[c-\left(2\,\pi \,\sigma \right)^{2}\right]+i\,b\,2\,\pi \,\sigma }}\,\exp \!\left[i\left(2\,\pi \,\sigma \,x\right)\right]$,
• l'inexistence de solution forcée complexe de cette forme si $\;b=0\;$ et $\;c>0\;$ avec une pulsation $\;{\big (}$spatiale${\big )}$ $\;k={\sqrt {c}}\;$ car cette forme conduirait à une amplitude complexe infinie $\;\ldots$

Solution forcée complexe de l'équation différentielle (1') du n^ème ordre avec n entier naturel non nul

     L'équation différentielle $\;({\mathfrak {1}}')\;$ s'écrivant $\;{\dfrac {d^{n}{\underline {f}}}{dx^{n}}}(x)+{a'}_{n-1}\,{\dfrac {d^{n-1}{\underline {f}}}{dx^{n-1}}}(x)+\cdots +{a'}_{i}\,{\dfrac {d^{i}{\underline {f}}}{dx^{i}}}(x)+\cdots +{a'}_{0}\,{\underline {f}}(x)={\underline {e}}(x)\;$ avec $\;{\underline {e}}(x)=$ ${\underline {E_{m}}}\,\exp \!\left[i\left(2\,\pi \,\sigma \,x\right)\right]\;$ ou, en introduisant la pulsation $\;{\big (}$spatiale${\big )}$ $\;k=2\,\pi \,\sigma \;$ de l'excitation, $\;{\underline {e}}(x)={\underline {E_{m}}}\,\exp \!\left(i\,k\,x\right)$, la solution forcée complexe étant cherchée sous la forme $\;{\underline {f_{f}}}(x)={\underline {A_{m}}}\,\exp \!\left(i\,k\,x\right)$, l'équation $\;({\mathfrak {1}}')\;$ de recherche de cette solution se réécrit, en remplaçant $\;{\dfrac {d^{i}{\underline {f}}}{dx^{i}}}(x)\;$ par $\;\left(i\,k\right)^{i}\;{\underline {f_{f}}}(x)\;$ et en factorisant le 1^er membre par $\;{\underline {f_{f}}}(x)\;$ selon

$\;{\mathcal {P}}_{n}\!\left(i\,k\right)\,{\underline {A_{m}}}\,\exp \!\left(i\,k\,x\right)={\underline {E_{m}}}\,\exp \!\left(i\,k\,x\right)\;$ dans lequel
$\;{\mathcal {P}}_{n}\!\left(i\,k\right)=\left(i\,k\right)^{n}+{a'}_{n-1}\,\left(i\,k\right)^{n-1}+\cdots +{a'}_{i}\,\left(i\,k\right)^{i}+\cdots +{a'}_{0}\;$
est le « polynôme caractéristique de cette équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants »

     soit, en simplifiant par $\;\exp \!\left(i\,k\,x\right)$, l'équation $\;{\mathcal {P}}_{n}\!\left(i\,k\right)\,{\underline {A_{m}}}={\underline {E_{m}}}\;$ ${\big (}$indépendante de la variable $\;x{\big )}\;$ établissant

• l'existence de la solution forcée complexe pour les valeurs de pulsation $\;{\big (}$spatiale${\big )}$ $\;k\;$ telles que $\;{\mathcal {P}}_{n}\!\left(i\,k\right)\neq 0\;$ correspondant à une amplitude complexe $\;{\underline {A_{m}}}={\dfrac {\underline {E_{m}}}{{\mathcal {P}}_{n}\!\left(i\,k\right)}}={\dfrac {\underline {E_{m}}}{{\mathcal {P}}_{n}\!\left(i\,2\,\pi \,\sigma \right)}}\;$ et
  la solution forcée complexe $\;{\underline {f_{f}}}(x)={\dfrac {\underline {E_{m}}}{{\mathcal {P}}_{n}\!\left(i\,k\right)}}\,\exp \!\left(i\,k\,x\right)={\dfrac {\underline {E_{m}}}{{\mathcal {P}}_{n}\!\left(i\,2\,\pi \,\sigma \right)}}\,\exp \!\left[i\left(2\,\pi \,\sigma \,x\right)\right]$,
• l'inexistence de solution forcée complexe de cette forme pour les valeurs de pulsation $\;{\big (}$spatiale${\big )}$ $\;k\;$ telles que $\;{\mathcal {P}}_{n}\!\left(i\,k\right)=0\;$ car cette forme conduirait à une amplitude complexe infinie $\;\ldots$

Détermination de l'amplitude et de la phase à l'origine de la réponse forcée sinusoïdale (quand celle-ci existe) à partir de l'amplitude complexe de la réponse forcée complexe

     Compte-tenu de la définition de l'amplitude complexe $\;{\underline {A_{m}}}=A_{m}\;\exp \!\left(i\,\psi \right)\;$ on en déduit : $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}A_{m}=\vert {\underline {A_{m}}}\vert \\\psi =\mathrm {arg} \!\left[{\underline {A_{m}}}\right]\end{array}}\right\rbrace$.

Amplitude et phase à l'origine de la solution sinusoïdale forcée de l'équation différentielle (1) ou (2) du 1^er ordre

     Ayant introduit la pulsation $\;{\big (}$spatiale${\big )}$ $\;k_{\text{puls}}=2\,\pi \,\sigma \;$ et trouvé, pour toutes valeurs de celle-ci, une valeur d'amplitude complexe $\;{\underline {A_{m}}}={\dfrac {\underline {E_{m}}}{k+i\,k_{\text{puls}}}}=$ ${\dfrac {\underline {E_{m}}}{k+i\,2\,\pi \,\sigma }}\;$ on en déduit, pour la réponse forcée sinusoïdale,

• son amplitude $\;A_{m}={\dfrac {E_{m}}{\sqrt {k^{2}+k_{\text{puls}}^{2}}}}={\dfrac {E_{m}}{\sqrt {k^{2}+4\,\pi ^{2}\,\sigma ^{2}}}}\;$ et
• sa phase à l'origine $\;\psi =\varphi _{e}-\arctan \!\left[{\dfrac {k_{\text{puls}}}{k}}\right]=\varphi _{e}-\arctan \!\left[{\dfrac {2\,\pi \,\sigma }{k}}\right]\;$.

Amplitude et phase à l'origine de la solution sinusoïdale forcée de l'équation différentielle (1) ou (2) du 2^ème ordre

     Ayant introduit la pulsation $\;{\big (}$spatiale${\big )}$ $\;k=2\,\pi \,\sigma \;$ et trouvé, pour toutes valeurs de celle-ci quand $\;b\neq 0\;$ ainsi que $\;b=0\;$ avec $\;c<0\;$ et dans le cas où $\;b=0\;$ avec $\;c>0\;$ pour les valeurs différentes de $\;{\sqrt {c}}$, une valeur d'amplitude complexe $\;{\underline {A_{m}}}={\dfrac {\underline {E_{m}}}{(c-k^{2})+i\,b\,k}}={\dfrac {\underline {E_{m}}}{\left[c-\left(2\,\pi \,\sigma \right)^{2}\right]+i\,b\,2\,\pi \,\sigma }}\;$ on en déduit, pour la réponse forcée sinusoïdale,

• son amplitude $\;A_{m}={\dfrac {E_{m}}{\sqrt {\left(c-k^{2}\right)^{2}+b^{2}\,k^{2}}}}={\dfrac {E_{m}}{\sqrt {\left(c-4\,\pi ^{2}\,\sigma ^{2}\right)^{2}+b^{2}\,4\,\pi ^{2}\,\sigma ^{2}}}}\;$ et
• sa phase à l'origine $\;\psi =\varphi _{e}-\mathrm {arg} \!\left\lbrace i\,b\,k\left[1-i\,{\dfrac {c-k^{2}}{b\,k}}\right]\right\rbrace =\varphi _{e}-\mathrm {sgn} (b)\,{\dfrac {\pi }{2}}+\arctan \!\left[{\dfrac {c-k^{2}}{b\,k}}\right]=\varphi _{e}-\mathrm {sgn} (b)\,{\dfrac {\pi }{2}}+\arctan \!\left[{\dfrac {c-4\,\pi ^{2}\,\sigma ^{2}}{b\,2\,\pi \,\sigma }}\right]\;$ .

Expression de la réponse forcée sinusoïdale (quand celle-ci existe) de l'équation différentielle (1) ou (2) à l'excitation sinusoïdale

     Dans l'équation différentielle $\;\left({\mathfrak {1}}\right)\;$ l'excitation ayant la forme $\;e(x)=E_{m}\,\cos \!\left(2\,\pi \,\sigma \,x+\varphi _{e}\right)$, la réponse forcée sinusoïdale de $\;\left({\mathfrak {1}}\right)\;$ à l'excitation s'écrit $\;f_{f}(x)=A_{m}\,\cos \!\left(2\,\pi \,\sigma \,x+\psi \right)\;$ et

     dans l'équation différentielle $\;\left({\mathfrak {2}}\right)\;$ l'excitation ayant la forme $\;e(x)=E_{m}\,\sin \!\left(2\,\pi \,\sigma \,x+\varphi _{e}\right)$, la réponse forcée sinusoïdale de $\;\left({\mathfrak {2}}\right)\;$ à l'excitation s'écrit $\;f_{f}(x)=A_{m}\,\sin \!\left(2\,\pi \,\sigma \,x+\psi \right)$.

Cas de l'échec de la méthode de recherche de la solution forcée sinusoïdale d'une équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants hétérogène à excitation sinusoïdale, le polynôme caractéristique s'annulant pour la pulsation (spatiale) envisagée

     Nous avons vu qu'il n'y avait jamais échec dans le cas d'une équation différentielle du 1^er ordre et du 2^ème ordre si $\;b\neq 0$ ;

     dans une équation différentielle du 2^ème ordre où $\;b=0$, il n'y a pas échec avec $\;c<0\;$ mais avec $\;c>0\;$ il y a échec pour la pulsation $\;{\big (}$spatiale${\big )}$ $\;k_{0}={\sqrt {c}}\;$ pour laquelle le polynôme caractéristique de l'équation différentielle s'annule ; nous nous plaçons donc dans cette hypothèse ;

     soit l'équation différentielle $\;{\dfrac {d^{2}f}{dx^{2}}}(x)+c\;f(x)=e(x)\;$ avec $\;c>0\;$ et $\;e(x)=E_{m}\,\cos \!\left({\sqrt {c}}\;x+\varphi _{e}\right)\;$ ou encore

     en posant $\;c=k_{0}^{2}$, l'équation différentielle $\;{\dfrac {d^{2}f}{dx^{2}}}(x)+k_{0}^{2}\;f(x)=e(x)\;$ avec $\;e(x)=E_{m}\,\cos \!\left(k_{0}\;x+\varphi _{e}\right)$ ;

     n'existant donc pas de solution particulière de l'équation différentielle linéaire hétérogène de même forme que l'excitation, il convient donc d'en chercher une sous une autre forme et nous le ferons sous la forme $\;f_{\text{part. d'équa hétéro}}(x)=\alpha \;x\;\cos \!\left(k_{0}\;x+\psi \right)$.

Détermination directe de α et ψ

     $\;{\dfrac {df_{\text{part. d'équa hétéro}}}{dx}}(x)=\alpha \;\cos \!\left(k_{0}\;x+\psi \right)-\alpha \;x\;k_{0}\;\sin \!\left(k_{0}\;x+\psi \right)\;$ et

     $\;{\dfrac {d^{2}f_{\text{part. d'équa hétéro}}}{dx^{2}}}(x)=-2\,\alpha \;k_{0}\;\sin \!\left(k_{0}\;x+\psi \right)-\alpha \;x\;k_{0}^{2}\;\cos \!\left(k_{0}\;x+\psi \right)\;$ d'où

     $\;{\dfrac {d^{2}f_{\text{part. d'équa hétéro}}}{dx^{2}}}(x)+k_{0}^{2}\;f_{\text{part. d'équa hétéro}}(x)=\left[-2\,\alpha \;k_{0}\;\sin \!\left(k_{0}\;x+\psi \right)-{\cancel {\alpha \;x\;k_{0}^{2}\;\cos \!\left(k_{0}\;x+\psi \right)}}\right]+{\cancel {k_{0}^{2}\;\alpha \;x\;\cos \!\left(k_{0}\;x+\psi \right)}}=$ $-2\,\alpha \;k_{0}\;\sin \!\left(k_{0}\;x+\psi \right)\;$ à identifier à $\;e(x)=$ $E_{m}\,\cos \!\left(k_{0}\;x+\varphi _{e}\right)\;$ ou, sachant que $\;-sin(a)=\cos \!\left(a+{\dfrac {\pi }{2}}\right)$, l'identification suivante $\;2\,\alpha \;k_{0}\;\cos \!\left(k_{0}\;x+\psi +{\dfrac {\pi }{2}}\right)=E_{m}\,\cos \!\left(k_{0}\;x+\varphi _{e}\right)\;\;\forall x\;$ $\Rightarrow$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\alpha ={\dfrac {E_{m}}{2\;k_{0}}}\\\psi =\varphi _{e}-{\dfrac {\pi }{2}}\end{array}}\right\rbrace \;$ d'où la solution particulière de l'équation différentielle hétérogène $\;{\dfrac {d^{2}f}{dx^{2}}}(x)+k_{0}^{2}\;f(x)=e(x)\;$ à excitation sinusoïdale $\;e(x)=E_{m}\,\cos \!\left(k_{0}\;x+\varphi _{e}\right)$

$\;f_{\text{part. d'équa hétéro}}(x)={\dfrac {E_{m}}{2\;k_{0}}}\;x\;\cos \!\left(k_{0}\;x+\varphi _{e}-{\dfrac {\pi }{2}}\right)={\dfrac {E_{m}}{2\;k_{0}}}\;x\;\sin \!\left(k_{0}\;x+\varphi _{e}\right)\;$.

Détermination de α et ψ par prolongement de la méthode « des complexes »

     Ayant introduit l'excitation complexe $\;{\underline {e}}(x)={\underline {E_{m}}}\,\exp \!\left(i\,k_{0}\;x\right)\;$ associée à l'excitation sinusoïdale $\;e(x)=E_{m}\,\cos \!\left(k_{0}\;x+\varphi _{e}\right)$, l'amplitude complexe étant $\;{\underline {E_{m}}}=E_{m}\,\exp \!\left(i\,\varphi _{e}\right)$, on cherche
     Ayant introduit la solution particulière complexe de l'équation différentielle $\;({\mathfrak {1}}')\;\;{\dfrac {d^{2}{\underline {f}}}{dx^{2}}}(x)+k_{0}^{2}\;{\underline {f}}(x)={\underline {e}}(x)\;$ sous la forme $\;{\underline {f_{\text{part. équa hétéro}}}}(x)=$ ${\underline {\alpha }}\,x\,\exp \!\left(i\,k_{0}\;x\right)\;$ où $\;{\underline {\alpha }}=\alpha \,\exp \!\left(i\,\psi \right)\;$ est le cœfficient multiplicateur de $\;x\;$ dans la pseudo-amplitude complexe de $\;{\underline {f_{\text{part. équa hétéro}}}}(x)$, solution particulière complexe qui est associée à la solution particulière de l'équation différentielle $\;({\mathfrak {1}})\;$ hétérogène $\;f_{\text{part. équa hétéro}}(x)=\alpha \,x\,\cos \!\left(k_{0}\;x+\psi \right)$ ;

     on évalue alors les dérivées successives de $\;{\underline {f_{\text{part. équa hétéro}}}}(x)\;$ par rapport à $\;x\;$ mais celles-ci ne se limitant par à multiplier la fonction complexe par $\;i\,k_{0}\;$ ou $\;\left(i\,k_{0}\right)^{2}$, l'utilisation de la généralisation de la méthode « des complexes » est nettement moins intéressante  ;

     $\;{\dfrac {d{\underline {f_{\text{part. d'équa hétéro}}}}}{dx}}(x)={\underline {\alpha }}\;\exp \!\left(i\,k_{0}\;x\right)+i\,k_{0}\,{\underline {\alpha }}\;x\;\exp \!\left(i\,k_{0}\;x\right)\;$ et

     $\;{\dfrac {d^{2}{\underline {f_{\text{part. d'équa hétéro}}}}}{dx^{2}}}(x)=2\,i\,k_{0}\;{\underline {\alpha }}\;\exp \!\left(i\,k_{0}\;x\right)+\left(i\,k_{0}\right)^{2}\,{\underline {\alpha }}\;x\;\exp \!\left(i\,k_{0}\;x\right)\;$ d'où

     $\;{\dfrac {d^{2}{\underline {f_{\text{part. d'équa hétéro}}}}}{dx^{2}}}(x)+k_{0}^{2}\;{\underline {f_{\text{part. d'équa hétéro}}}}(x)=\left[2\,i\,k_{0}\;{\underline {\alpha }}\;\exp \!\left(i\,k_{0}\;x\right)+{\cancel {\left(i\,k_{0}\right)^{2}\,{\underline {\alpha }}\;x\;\exp \!\left(i\,k_{0}\;x\right)}}\right]+{\cancel {k_{0}^{2}\;{\underline {\alpha }}\;x\;\exp \!\left(i\,k_{0}\;x\right)}}=$ $2\,i\,k_{0}\;{\underline {\alpha }}\;\exp \!\left(i\,k_{0}\;x\right)\;$ à identifier à $\;{\underline {e}}(x)={\underline {E_{m}}}\,\exp \!\left(i\,k_{0}\;x\right)\;$ soit l'identification suivante $\;2\,i\,k_{0}\;{\underline {\alpha }}={\underline {E_{m}}}\;$ donnant pour cœfficient multiplicateur de $\;x\;$ dans la pseudo-amplitude complexe de $\;{\underline {f_{\text{part. équa hétéro}}}}(x)$

$\;{\underline {\alpha }}=-i\;{\dfrac {\underline {E_{m}}}{2\;k_{0}}}\;$ dont on tire
$\;\alpha =\vert {\underline {\alpha }}\vert ={\dfrac {E_{m}}{2\;k_{0}}}\;$ ainsi que $\;\psi =\mathrm {arg} \!\left[{\underline {\alpha }}\right]=\varphi _{e}-{\dfrac {\pi }{2}}\;$ et par suite

     la solution particulière de l'équation différentielle hétérogène $\;{\dfrac {d^{2}f}{dx^{2}}}(x)+k_{0}^{2}\;f(x)=e(x)\;$ à excitation sinusoïdale $\;e(x)=E_{m}\,\cos \!\left(k_{0}\;x+\varphi _{e}\right)$

$\;f_{\text{part. d'équa hétéro}}(x)={\dfrac {E_{m}}{2\;k_{0}}}\;x\;\cos \!\left(k_{0}\;x+\varphi _{e}-{\dfrac {\pi }{2}}\right)={\dfrac {E_{m}}{2\;k_{0}}}\;x\;\sin \!\left(k_{0}\;x+\varphi _{e}\right)\;$.

Résolution d'une équation différentielle linéaire à cœfficients non constants du 1^er ordre

Cas d'une équation différentielle linéaire à cœfficients non constants du 1^er ordre homogène

     Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 1^er ordre en $\;f(x)\;$ homogène «$\;f'(x)+a_{0}(x)\;f(x)=0\;$» avec $\;a_{0}(x)\;$ fonction réelle connue de la variable réelle $\;x$ ; ci-après nous indiquons deux méthodes pour résoudre cette équation différentielle :

• une 1^ère n'utilisant pas le caractère « linéaire » de l'équation différentielle, « méthode de séparation des variables » $\;{\big (}$voir le paragraphe « exemple d'une équation différentielle non linéaire du 1^er ordre » plus loin dans ce chapitre${\big )}$ : l'équation différentielle se réécrivant, après « adoption de la notation différentielle de la dérivée $\;f'(x)={\dfrac {df}{dx}}(x)\;$ », selon «$\;{\dfrac {df}{dx}}+a_{0}(x)\;f(x)=0\;$» dont nous déduisons, par séparation des variables, «$\;{\dfrac {df}{f}}=-a_{0}(x)\;dx\;$» dans la mesure où $\;f(x)\;$ n'est pas la fonction nulle $\;{\big \{}f(x)=0\;\;\forall \;x\;$ étant une solution triviale de l'équation différentielle, la supprimer pour poursuivre la résolution ne restreindra pas l'ensemble des solutions${\big \}}$ ;
       notant $\;A_{0}(x)\;$ une primitive de la fonction $\;a_{0}(x)$, «$\;{\dfrac {df}{f}}=-a_{0}(x)\;dx\;$ s'intègre en $\;\ln \!\left(\vert f\vert \right)=-A_{0}(x)+A\;$ avec $\;A\;\in \;\mathbb {R} \;$ constante d'intégration » ou en «$\;\ln \!\left(\vert f\vert \right)=-A_{0}(x)+\ln \!\left(\vert \lambda \vert \right)\;$ avec $\;\lambda \;\in \;\mathbb {R} ^{*}\;$ telle que $\;\vert \lambda \vert =\exp(A)\;$» qui s'inverse en «$\;f(x)=\lambda \;\exp \!\left[-A_{0}(x)\right]\;$ avec $\;\lambda \in \mathbb {R} ^{*}\;$ constante d'intégration » ;
       finalement en ajoutant la solution triviale $\;f(x)=0\;\;\forall \;x\;$ à la solution précédente, nous en déduisons que la solution générale de l'équation différentielle linéaire normalisée du 1^er ordre en $\;f(x)\;$ homogène «$\;f'(x)+a_{0}(x)\;f(x)=0\;$» avec $\;a_{0}(x)\;$ fonction réelle connue de la variable réelle $\;x\;$ s'écrit «$\;f(x)=\lambda \;\exp \!\left[-A_{0}(x)\right]\;$ avec $\;\lambda \in \mathbb {R} \;$ constante d'intégration »,
  «$\;A_{0}(x)\;$ étant une primitive de $\;a_{0}(x)\;$» ;
• une 2^ème utilisant le caractère « linéaire » de l'équation différentielle et le qualificatif « homogène » de celle-ci, ce qui permet d'utiliser la « propriété (admise) de l'ensemble des solutions d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ou 2^ème ordre homogène » énoncée plus haut dans ce chapitre, propriété restant valable pour une équation différentielle linéaire homogène du 1^er ou 2^ème ordre dont les cœfficients ne sont pas constants comme cela a été précédemment précisé dans la note « ⁸ » de ce chapitre ;
       l'ensemble des solutions de l'équation différentielle linéaire du 1^er ordre en $\;f(x)\;$ homogène «$\;f'(x)+a_{0}(x)\;f(x)=0\;$» étant un espace vectoriel à une dimension,
       il suffit de déterminer une base de l'ensemble cherché pour obtenir tout l'ensemble c.-à-d. de trouver une solution particulière de cette équation différentielle linéaire du 1^er ordre homogène pour obtenir toutes les solutions possibles de cette équation $\;{\big [}$c.-à-d. les multiples de la solution particulière${\big ]}\;$ et pour cela,
       nous cherchons une « solution particulière de forme exponentielle $\;\exp \left[s(x)\right]\;$» car sa « dérivée 1^ère $\;s'(x)\;\exp \left[s(x)\right]\;$ étant $\;\propto \;$ à la fonction cherchée » et l'« équation différentielle étant homogène », nous pouvons « simplifier par $\;\exp \left[s(x)\right]\;$» d'où la réécriture de l'équation différentielle après simplification «$\;s'(x)+a_{0}(x)=0\;$» qui s'intègre en «$\;s(x)=-\displaystyle \int ^{x}a_{0}(x')\;dx'\;$» d'où
       la solution particulière de l'équation différentielle linéaire du 1^er ordre en $\;f(x)\;$ homogène «$\;f'(x)+a_{0}(x)\;f(x)=0\;$», «$\exp <!--\; \; -->[-<!--\; -\; -->A_0$