Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Équations différentielles

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Définition d'une équation différentielle ordinaire

     On se propose de définir une équation différentielle ordinaire concernant une fonction réelle $\;f\;$ de la variable réelle $\;x$.

Définition

     Une équation différentielle du 1^er ou du 2^ème ordre est une relation liant une fonction $\;f(x)\;$ et ses dérivées $\;f'(x)$, $\;f''(x)\;$.

Équation différentielle non linéaire

     La fonction ou ses dérivées peuvent intervenir :

• élevées à une certaine puissance c.-à-d. $\;\left[f(x)\right]^{p_{0}}$, $\;\left[f'(x)\right]^{p_{1}}$, $\;\left[f''(x)\right]^{p_{2}}\;$ avec $\;p_{0},\;p_{1},\;p_{2}\in \mathbb {Q} \;$ ou
• multipliées entre elles c.-à-d. $\;\left[f(x)\right]\left[f'(x)\right]$, $\;\left[f(x)\right]\left[f''(x)\right]$, $\;\left[f'(x)\right]\left[f''(x)\right]\;$ $\ldots$

     Si tel est le cas, l'équation différentielle est dite non linéaire.

Équation différentielle linéaire

     Si la fonction et ses dérivées interviennent sans être élevées à une certaine puissance et si elles ne sont pas multipliées entre elles, l'équation différentielle est linéaire et se présente sous la forme :

$\;a_{2}(x)\,f''(x)+a_{1}(x)\,f'(x)+a_{0}(x)\,f(x)=d(x)\;$

où $\;d,\;a_{0},\;a_{1}\;{\text{et}}\;a_{2}\;$ sont des fonctions de $\;x$, l'équation différentielle étant d'ordre deux si $\;a_{2}\neq 0\;$ ${\big [}$dans ce cas, usuellement, on divise les deux membres de l'équation différentielle par $\;a_{2}(x)\;$ de façon à ce que le cœfficient de la dérivée seconde soit $\;1$, l'équation différentielle étant alors dite « normalisée »${\big ]}$. 

     $\;d(x)\;$ est l'excitation de l'équation différentielle, celle-ci est dite :

• hétérogène dans la mesure où $\;d(x)\neq 0\;$ et
• homogène si $\;d(x)=0$.

     Remarques : Si $\;a_{2}=0$, le plus haut ordre n'est pas deux, mais un si $\;a_{1}\neq 0$ ;

     Remarques : si $\;a_{2}\neq 0\;$ avec $\;a_{0}=0$, il s'agit d'une équation différentielle linéaire d'ordre deux en $\;f\;$ mais on peut également considérer que cette équation différentielle est d'ordre un en $\;f'\;$ dans la mesure où $\;a_{1}\neq 0\;$ puisque s'écrivant $\;a_{2}(x)\,f''(x)+a_{1}(x)\,f'(x)=d(x)\;$.

Équation différentielle linéaire à coefficients constants

     Une équation différentielle de ce type doit être linéaire et telle que les coefficients de $\;f(x),\;f'(x),\;f''(x)\;$ sont des constantes et non des fonctions de $\;x$ ; elle se présente sous la forme :

$\;a_{2}\,f''(x)+a_{1}\,f'(x)+a_{0}\,f(x)=d(x)\;$

où $\;d(x)\;$ est encore une fonction de $\;x$, $\;a_{0},\;a_{1}\;{\text{et}}\;a_{2}\;$ étant des constantes réelles, l'équation différentielle linéaire à coefficients constants étant :

• d'ordre deux en $\;f\;$ dans la mesure où $\;a_{2}\neq 0$,
• homogène si $\;d(x)=0\;$ » et
• sinon, hétérogène.

     Normalisation de l'équation différentielle :
          La forme normalisée de l'équation différentielle du 2^ème ordre en $\;f\;$ ${\big [}$obtenue après avoir divisé les deux membres de l'équation différentielle par $\;a_{2}\neq 0{\big ]}\;$ s'écrit :

$\;f''(x)+b\,f'(x)+c\,f(x)=e(x)\;$
 en posant $\;b={\dfrac {a_{1}}{a_{2}}}$, $\;c={\dfrac {a_{0}}{a_{2}}}\;$ ainsi que $\;e(x)={\dfrac {d(x)}{a_{2}}}\;$ et

          la forme normalisée de l'équation différentielle du 1^er ordre en $\;f\;$ ${\big [}$obtenue en supposant $\;a_{2}=0\;$ et après avoir divisé les deux membres de l'équation différentielle par $\;a_{1}\neq 0{\big ]}$ s'écrit :

$\;f'(x)+k\,f(x)=e(x)\;$
 en posant $\;k={\dfrac {a_{0}}{a_{1}}}\;$ ainsi que $\;e(x)={\dfrac {d(x)}{a_{1}}}$.

Méthode de résolution d'une équation différentielle linéaire à coefficients constants homogène

Préliminaire : notion d'espace vectoriel à une ou deux dimensions sur l'exemple des vecteurs géométriques

     Tous les vecteurs d'une droite forment un espace vectoriel à une dimension c.-à-d. qu'il suffit d'un vecteur de base pour obtenir tous les vecteurs possibles de la droite comme « multiple » du vecteur de base ; quand un ensemble peut être engendré complètement de la même façon à partir d'un élément de l'ensemble, il constitue un « espace vectoriel à une dimension » et « l'élément particulier définit la base de l'ensemble »  ;

     tous les vecteurs d'un plan forment un espace vectoriel à deux dimensions c.-à-d. qu'il suffit de deux vecteurs de base  pour obtenir tous les vecteurs possibles du plan comme C.L. des deux vecteurs de base ; quand un ensemble peut être engendré complètement de la même façon à partir de deux éléments indépendants  de l'ensemble, il constitue un « espace vectoriel à deux dimensions » et « ces deux éléments indépendants particuliers définissent la base de l'ensemble » .

Propriété (admise) de l'ensemble des solutions d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du premier ou deuxième ordre homogène

     L'ensemble des solutions d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du premier ordre homogène est un « espace vectoriel à une dimension » et
     celui des solutions d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du deuxième ordre homogène, un « espace vectoriel à deux dimensions »  ;

          il suffit donc de déterminer une base de l'ensemble cherché pour obtenir tout l'ensemble c.-à-d. de trouver :

• une solution particulière d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ordre homogène pour obtenir toutes les solutions possibles de l'équation $\;{\big [}$c.-à-d. les multiples de la solution particulière${\big ]}\;$ ou,
• deux solutions particulières indépendantes d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre homogène pour obtenir toutes les solutions possibles de l'équation $\;{\big [}$c.-à-d. les C.L. des deux solutions particulières indépendantes${\big ]}$.

Méthode de recherche d'une (ou de deux indépendantes) solution(s) particulière(s) d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du premier (ou deuxième) ordre homogène

     On cherche une solution du type $\;\exp(s\,x)\;$ car ses dérivées première $\;s\,\exp(s\,x)\;$ et seconde $\;s^{2}\,\exp(s\,x)\;$ lui étant proportionnelles, l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants homogène du 1^er ou 2^ème ordre en $\;f(x)\;$ se transforme en équation algébrique du 1^er ou 2^ème degré en $\;s\;$ après simplification par $\;\exp(s\,x)\;$ ; l'équation algébrique ainsi obtenue est appelée « équation caractéristique de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants homogène ».

Résolution d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du premier ordre homogène

     Soit $\;f'(x)+k\,f(x)=0$, l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ordre homogène, l'équation caractéristique correspondante s'écrivant $\;s+k=0\;$ et
     Soit $\;\color {transparent}{f'(x)+k\,f(x)=0}$, l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ordre homogène, l'équation caractéristique correspondante se résolvant en $\;s=-k$, on en déduit

la solution particulière $\;{\big (}$c.-à-d. la base de l'ensemble des solutions${\big )}$ $\;\exp(-k\,x)\;$
et par suite la « solution générale de l'équation différentielle » $\;f(x)=A\,\exp(-k\,x)\;$ où $\;A\;$ est une constante réelle arbitraire.

Résolution d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du deuxième ordre homogène sans terme du premier ordre

     Soit $\;f''(x)+c\,f(x)=0\;$ avec $\;c\in \mathbb {R}$, l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre homogène sans terme du 1^er ordre ;
     Soit $\;\color {transparent}{f''(x)+c\,f(x)=0}\;$ avec $\;\color {transparent}{c\in \mathbb {R} }$, la recherche de deux solutions particulières indépendantes sous la forme exponentielle nécessite que de telles solutions existent et, en faisant cette hypothèse
     Soit $\;\color {transparent}{f''(x)+c\,f(x)=0}\;$ avec $\;\color {transparent}{c\in \mathbb {R} }$, la recherche de deux solutions particulières indépendantes sous la forme exponentielle nous obtenons l'équation caractéristique $\;s^{2}+c=0\;$ qui admet
     Soit $\;\color {transparent}{f''(x)+c\,f(x)=0}\;$ avec $\;\color {transparent}{c\in \mathbb {R} }$, la recherche de deux solutions particulières indépendantes sous la forme exponentielle nous obtenons deux racines réelles distincts si $\;c\;$ est $\;<0$ ;
     Soit $\;\color {transparent}{f''(x)+c\,f(x)=0}\;$ avec $\;\color {transparent}{c\in \mathbb {R} }$, aussi nous allons discuter de la forme des solutions particulières indépendantes de l'équation différentielle suivant le signe de $\;c$ :

Cas où le cœfficient du terme d'ordre zéro est strictement négatif

     Avec $\;c<0$, l'équation caractéristique «$\;s^{2}+c=0\;$» admettant comme racines réelles distinctes $\;s_{\pm }=\pm {\sqrt {-c}}$, on en déduit :

les deux solutions indépendantes de l'équation différentielle $\;{\big (}$base de l'ensemble des solutions${\big )}$ «$\;\exp(s_{\pm }\,x)=\exp \!\left(\pm {\sqrt {-c}}\,x\right)\;$»
et la solution générale de l'équation différentielle «$\;f(x)=A_{+}\,\exp \!\left({\sqrt {-c}}\,x\right)+A_{-}\,\exp \!\left(-{\sqrt {-c}}\,x\right)\;$»
avec $\;A_{+}\,{\text{et}}\,A_{-}\;$ deux constantes réelles arbitraires.

Cas où le cœfficient du terme d'ordre zéro est nul

     Avec $\;c=0$, l'équation caractéristique «$\;s^{2}=0\;$» admettant comme racine réelle double $\;s_{d}=0$, on en déduit :

une seule solution particulière de l'équation différentielle sous forme exponentielle «$\;\exp(s_{d}\,x)=\exp \!\left(0\,x\right)=1\;$»,
ce qui est insuffisant pour en déduire la solution générale de l'équation différentielle ;
il faudrait donc trouver une 2^ème solution particulière indépendante de la 1^ère c.-à-d. non constante mais $\;\ldots$

     Avec $\;\color {transparent}{c=0}$, Dans le cas présent il y a plus simple, l'équation différentielle s'écrivant $\;f''(x)=0$, il suffit d'intégrer deux fois successivement et on obtient
     Avec $\;\color {transparent}{c=0}$, Dans le cas présent il y a plus simple, $\;f'(x)=A\;$ avec $\;A\;$ constante réelle arbitraire puis
     Avec $\;\color {transparent}{c=0}$, Dans le cas présent il y a plus simple, $\;f(x)=A\,x+B\;$ avec $\;B\;$ 2^ème constante réelle arbitraire ;

     Avec $\;\color {transparent}{c=0}$, la solution générale de l'équation différentielle est donc «$\;f(x)=A\,x+B\;$» avec $\;A\;{\text{et}}\;B\;$ deux constantes réelles arbitraires, montrant que cette solution est construite à partir

des deux solutions particulières indépendantes «$\;1\;{\text{et}}\;x\;$» $\;{\big (}$base de l'ensemble des solutions${\big )}$.

Cas où le cœfficient du terme d'ordre zéro est strictement positif

     Avec $\;c>0$, l'équation caractéristique $\;s^{2}+c=0\;$ n'admettant aucune racine réelle, il n'y a pas de solutions particulières ayant une forme exponentielle de l'équation différentielle.

     Avec $\;\color {transparent}{c>0}$, Toutefois si on résout l'équation différentielle sur $\;\mathbb {C} \;$ au lieu de résoudre sur $\;\mathbb {R} \;$, l'ensemble des solutions complexes formant alors un espace vectoriel de dimension deux sur $\;\mathbb {C} \;$,
     Avec $\;\color {transparent}{c>0}$, Toutefois si on résout l'équation différentielle sur $\;\color {transparent}{\mathbb {C} }\;$ la recherche de solutions complexes particulières indépendantes de forme exponentielle $\Rightarrow$ l'équation caractéristique $\;s^{2}+c=0\;$
      Avec $\;\color {transparent}{c>0}$, Toutefois si on résout l'équation différentielle sur $\;\color {transparent}{\mathbb {C} }\;$ la recherche de solutions complexes particulières indépendantes de forme exponentielle $\color {transparent}{\Rightarrow }$ l'équation caractéristique où $\;s\in \mathbb {C} \;$ et
     Avec $\;\color {transparent}{c>0}$, Toutefois si on résout l'équation différentielle sur $\;\color {transparent}{\mathbb {C} }\;$ l'équation caractéristique y admettant deux racines imaginaires conjuguées $\;s_{\pm }=\pm i\,{\sqrt {c}}$, on en déduit
     Avec $\;\color {transparent}{c>0}$, Toutefois si on résout l'équation différentielle sur $\;\color {transparent}{\mathbb {C} }\;$ les deux solutions complexes particulières et indépendantes de l'équation différentielle «$\;\exp(s_{\pm }\,x)=\exp \!\left(\pm i\,{\sqrt {c}}\,x\right)\;$» et
     Avec $\;\color {transparent}{c>0}$, Toutefois si on résout l'équation différentielle sur $\;\color {transparent}{\mathbb {C} }\;$ la solution générale complexe de l'équation différentielle s'écrit selon «$\;f(x)=\lambda _{+}\,\exp \!\left(i\,{\sqrt {c}}\,x\right)+\lambda _{-}\,\exp \!\left(-i\,{\sqrt {c}}\,x\right)\;$»
     Avec $\;\color {transparent}{c>0}$, Toutefois si on résout l'équation différentielle sur $\;\color {transparent}{\mathbb {C} }\;$ la solution générale complexe de l'équation différentielle s'écrit avec $\;\lambda _{+}\;{\text{et}}\;\lambda _{-}\;$ deux constantes complexes arbitraires ;
     Avec $\;\color {transparent}{c>0}$, Toutefois si on résout l'équation différentielle sur $\;\color {transparent}{\mathbb {C} }\;$ on peut alors en déduire la solution générale réelle de l'équation différentielle en imposant des relations de liaison entre $\;\lambda _{+}\;{\text{et}}\;\lambda _{-}\;$
     Avec $\;\color {transparent}{c>0}$, Toutefois si on résout l'équation différentielle sur $\;\color {transparent}{\mathbb {C} }\;$ on peut alors en déduire la solution générale réelle de façon à ce que $\;\lambda _{+}\,\exp \!\left(i\,{\sqrt {c}}\,x\right)+\lambda _{-}\,\exp \!\left(-i\,{\sqrt {c}}\,x\right)\;$ soit réelle.

     Avec $\;\color {transparent}{c>0}$, Compte-tenu de ce qui précède, à partir des deux solutions particulières complexes indépendantes $\;\exp(s_{\pm }\,x)=\exp \!\left(\pm i\,{\sqrt {c}}\,x\right)\;$ de l'équation différentielle,
     Avec $\;\color {transparent}{c>0}$, Compte-tenu de ce qui précède, il est possible de trouver, par C.L. à cœfficients complexes, deux solutions particulières réelles indépendantes, «$\;\cos({\sqrt {c}}\,x)\;$ et $\;\sin({\sqrt {c}}\,x)\;$»
         Avec $\;\color {transparent}{c>0}$, Compte-tenu de ce qui précède, il est possible de trouver, par C.L. à cœfficients complexes, deux solutions particulières réelles indépendantes, ${\big (}$base de l'ensemble des solutions${\big )}\;$
     Avec $\;\color {transparent}{c>0}$, Compte-tenu de ce qui précède, et la solution générale $\;{\big (}$réelle${\big )}\;$ de l'équation différentielle s'écrit «$\;f(x)=A\,\cos \!\left({\sqrt {c}}\,x\right)+B\,\sin \!\left({\sqrt {c}}\,x\right)\;$»
     Avec $\;\color {transparent}{c>0}$, Compte-tenu de ce qui précède, et la solution générale $\;\color {transparent}{\big (}$réelle$\color {transparent}{\big )}\;$ de l'équation différentielle s'écrit avec $\;A\;{\text{et}}\;B\;$ deux constantes réelles arbitraires.

     Remarques : On établit que «$\;A\,\cos \!\left({\sqrt {c}}\,x\right)+B\,\sin \!\left({\sqrt {c}}\,x\right)=C\,\cos \!\left({\sqrt {c}}\,x+\varphi \right)\;\;\forall \,x\;$» avec $\;C\;{\text{et}}\;\varphi \;$ dépendant de $\;A\;{\text{et}}\;B$ ;
     Remarques : en effet, posant $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}A=C\,\cos(\varphi )\\B=-C\,\sin(\varphi )\end{array}}\right\rbrace \;$ $\Rightarrow$ $\;A\,\cos \!\left({\sqrt {c}}\,x\right)+B\,\sin \!\left({\sqrt {c}}\,x\right)=C\,\cos(\varphi )\,\cos \!\left({\sqrt {c}}\,x\right)-C\,\sin(\varphi )\,\sin \!\left({\sqrt {c}}\,x\right)=C\,\cos \!\left({\sqrt {c}}\,x+\varphi \right)\;$ ;
     Remarques : en effet, du système d'équations $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}A=C\,\cos(\varphi )\\B=-C\,\sin(\varphi )\end{array}}\right\rbrace \;$ on en déduit «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}C={\sqrt {A^{2}+B^{2}}}\\\tan(\varphi )=-{\dfrac {B}{A}}\end{array}}\right\rbrace \;$» permettant de choisir la détermination de $\;\varphi \;$ suivant les signes de $\;A\;{\text{et}}\;B\;$ :

     Remarques : en effet $\blacktriangleright \;$si $\;A\;{\text{et}}\;B\;$ sont tous deux $\;>0$, $\;\varphi \in \left]-{\dfrac {\pi }{2}},0\right[$, d'où «$\;\varphi =-\arctan \!\left({\dfrac {B}{A}}\right)\;$»,

     Remarques : en effet $\blacktriangleright \;$si $\;A\;{\text{et}}\;B\;$ sont tous deux $\;<0$, $\;\varphi \in \left]{\dfrac {\pi }{2}},\pi \right[$, d'où «$\;\varphi =-\arctan \!\left({\dfrac {B}{A}}\right)+\pi \;$»,

     Remarques : en effet $\blacktriangleright \;$si $\;A>0\;{\text{et}}\;B<0$, $\;\varphi \in \left]0,{\dfrac {\pi }{2}}\right[$, d'où «$\;\varphi =-\arctan \!\left({\dfrac {B}{A}}\right)\;$»,

     Remarques : en effet $\blacktriangleright \;$si $\;A<0\;{\text{et}}\;B>0$, $\;\varphi \in \left]-\pi ,-{\dfrac {\pi }{2}}\right[$, d'où «$\;\varphi =-\arctan \!\left({\dfrac {B}{A}}\right)-\pi \;$».

Méthode de résolution d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants hétérogène

But recherché pour résoudre une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du premier ou du deuxième ordre hétérogène

     Trouver une solution particulière de cette équation différentielle hétérogène dans le but d'effectuer un changement de fonction permettant d'obtenir la même équation différentielle mais homogène.

     Justification  : soient respectivement $\;f_{\text{géné de l'équa hétéro}}(x)\;$ et $\;f_{\text{part de l'équa hétéro}}(x)\;$ la solution générale et une solution particulière de l'équation hétérogène c.-à-d.
          Justification : $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{f''}_{\text{géné de l'équa hétéro}}(x)+b\,f'_{\text{géné de l'équa hétéro}}(x)+c\,f_{\text{géné de l'équa hétéro}}(x)=e(x)\;\;({\mathfrak {1}})\\{f''}_{\text{part de l'équa hétéro}}(x)+b\,f'_{\text{part de l'équa hétéro}}(x)+c\,f_{\text{part de l'équa hétéro}}(x)=e(x)\;\;({\mathfrak {2}})\end{array}}\right.$, nous pouvons vérifier aisément en formant la différence «$\;({\mathfrak {1}})-({\mathfrak {2}})\;$» que
          Justification : la fonction $\;f(x)=f_{\text{géné de l'équa hétéro}}(x)-f_{\text{part de l'équa hétéro}}(x)\;$ est solution de la même équation différentielle mais homogène soit
          Justification : $\;({\mathfrak {1}})-({\mathfrak {2}})\;:\;f''(x)+b\,f'(x)+c\,f(x)=0\;$ ;

     ainsi la solution générale de l'équation hétérogène est la somme de la solution générale de l'équation homogène  et d'une solution particulière de l'équation hétérogène c.-à-d.

«$\;f_{\text{géné de l'équa hétéro}}(x)=f_{\text{géné de l'équa homo}}(x)+f_{\text{part de l'équa hétéro}}(x)\;$» ;

     dans quasiment tous les cas on peut trouver une solution particulière de l'équation différentielle hétérogène de même forme que l'excitation  et alors, on peut écrire

«$\;f(x)=f_{\text{libre}}(x)+f_{\text{forcée}}(x)\;$»
où «$\;f_{\text{libre}}(x)\;$ est la solution générale de l'équation homogène » et
«$\;f_{\text{forcée}}(x)\;$ la solution particulière de l'équation hétérogène de même forme que l'excitation » .

Recherche de la solution forcée (quand celle-ci existe)

     La solution forcée est la solution particulière d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ou du 2^ème ordre hétérogène de même forme que l'excitation ;
     les principaux cas se présentant sont $\blacktriangleright \;$«$\;e(x)=cste\;$», recherche sous la forme $\;f_{\text{forcée}}=\alpha \;$ où $\;\alpha \;$ est une constante réelle à déterminer ;
     les principaux cas se présentant sont $\blacktriangleright \;$«$\;e(x)=p\,x+m,\;\;p\;{\text{et}}\;m\in \mathbb {R} \;$», recherche sous la forme $\;f_{\text{forcée}}=\alpha \,x+\beta \;$ où $\;\alpha \;$ et $\;\beta \;$ sont des constantes réelles à déterminer ;
     les principaux cas se présentant sont $\blacktriangleright \;$«$\;e(x)=A\,\exp(p\,x),\;\;A\;{\text{et}}\;p\in \mathbb {R} \;$», recherche sous la forme $\;f_{\text{forcée}}=\alpha \,\exp(p\,x)\;$ où $\;\alpha \;$ est une constante réelle à déterminer ;
     les principaux cas se présentant sont $\blacktriangleright \;$«$\;e(x)=A\,\cos(k\,x+\varphi ),\;\;A,\;k\;{\text{et}}\;\varphi \in \mathbb {R} \;$», recherche sous la forme $\;f_{\text{forcée}}=\alpha \,\cos(k\,x+\psi )\;$ où $\;\alpha \;$ et $\;\psi \;$ sont des constantes réelles à déterminer ;

     dans ce qui suit nous privilégions le cas d'une excitation constante, la démarche pour les autres formes d'excitation étant identique.

Premier ordre à excitation constante

     Soit «$\;f'(x)+k\,f(x)=D\;$ où $\;D\;$ est l'excitation constante » ;

     dans la mesure où $\;k\neq 0\;$ il existe toujours une solution forcée c.-à-d. une solution particulière de l'équation hétérogène de même forme que l'excitation c.-à-d. de forme constante
          dans la mesure où $\;\color {transparent}{k\neq 0}\;$ il existe toujours une solution forcée car la dérivée étant identiquement nulle on obtient $\;k\,f_{\text{forcée}}=D\;$ soit $\;f_{\text{forcée}}={\dfrac {D}{k}}\;$ et par suite

la solution générale de l'équation différentielle hétérogène s'écrit $\;f(x)=f_{\text{libre}}(x)+f_{\text{forcée}}\;$ ou,
connaissant la solution libre de l'équation différentielle $\;f_{\text{libre}}(x)=A\,\exp(-k\,x)\;$ avec $\;A\;$ constante arbitraire,
la solution générale de l'équation hétérogène se réécrit «$\;f(x)=A\,\exp(-k\,x)+{\dfrac {D}{k}}\;$».

Deuxième ordre sans terme du premier ordre à excitation constante

     Soit «$\;f''(x)+c\,f(x)=D\;$ où $\;D\;$ est l'excitation constante » ;

     dans la mesure où $\;c\neq 0\;$ il existe toujours une solution forcée c.-à-d. une solution particulière de l'équation hétérogène de même forme que l'excitation c.-à-d. de forme constante
          dans la mesure où $\;\color {transparent}{c\neq 0}\;$ il existe toujours une solution forcée car la dérivée 2^nde étant identiquement nulle on obtient $\;c\,f_{\text{forcée}}=D\;$ soit $\;f_{\text{forcée}}$ $={\dfrac {D}{c}}\;$ et par suite

la solution générale de l'équation différentielle hétérogène s'écrit $\;f(x)=f_{\text{libre}}(x)+f_{\text{forcée}}\;$ ou,
connaissant la solution libre de l'équation différentielle $\;f_{\text{libre}}(x)=\left\lbrace {\begin{array}{c}A\,\cos({\sqrt {c}}\,x)+B\,\sin({\sqrt {c}}\,x)\\{\text{ou }}\quad C\,\cos({\sqrt {c}}\,x+\varphi )\end{array}}\right.\;$ avec $\;A,\;B,\;C,\;\varphi \;$ constantes arbitraires,
la solution générale de l'équation hétérogène se réécrit «$\;f(x)=\left\lbrace {\begin{array}{r c r}A\,\cos({\sqrt {c}}\,x)+B\,\sin({\sqrt {c}}\,x)\!\!&+&\!\!{\dfrac {D}{c}}\\\!\!&{\text{ou}}&\!\!\\C\,\cos({\sqrt {c}}\,x+\varphi )\!\!&+&\!\!{\dfrac {D}{c}}\end{array}}\right.\;$».

Retour sur la résolution d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du second ordre avec terme du premier ordre

Rappel de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du second ordre avec terme du premier ordre en f(x) sous forme normalisée

     La forme normalisée d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^nd ordre avec terme du 1^er ordre en $\;f(x)\;$ correspondant au cœfficient de la dérivée 2^nde égal à $\;1\;$ s'écrit

«$\;f''(x)+b\,f'(x)+c\,f(x)=e(x)\;$» où
«$\;b\;$ et $\;c\;$ sont des réels non nuls » et
«$\;e(x)\;$ une fonction réelle » appelée « excitation ».

     Si $\;e(x)=0\;\;\forall x\;$ l'équation est dite homogène et

     si $\;\exists \;x_{0}\;$ tel que $\;e(x_{0})\neq 0\;$ l'équation est dite hétérogène.

Rappel de la forme de la solution générale de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du second ordre hétérogène avec terme du premier ordre en f(x)

     Nous avons établi dans le paragraphe intitulé « but recherché pour résoudre une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ou 2^ème ordre hétérogène » plus haut dans ce chapitre que

     la solution générale de l'équation hétérogène est la somme de la solution générale de l'équation homogène  et d'une solution particulière de l'équation hétérogène c.-à-d.

«$\;f_{\text{géné de l'équa hétéro}}(x)=f_{\text{géné de l'équa homo}}(x)+f_{\text{part de l'équa hétéro}}(x)\;$» ;

     dans quasiment tous les cas il existe une solution particulière de l'équation différentielle hétérogène de même forme que l'excitation  et alors, la solution générale de l'équation hétérogène se réécrit

«$\;f(x)=f_{\text{libre}}(x)+f_{\text{forcée}}(x)\;$»
où «$\;f_{\text{libre}}(x)\;$ est la solution générale de l'équation homogène » et
«$\;f_{\text{forcée}}(x)\;$ la solution particulière de l'équation hétérogène de même forme que l'excitation » .

Recherche de la solution générale de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du second ordre homogène avec terme du premier ordre en f(x)

     On cherche donc à résoudre $\;f''(x)+b\,f'(x)+c\,f(x)=0\;$ avec $\;b\;$ et $\;c\;$ des constantes réelles non nulles, pour cela on applique la méthode exposée dans le paragraphe « méthode de recherche d'une (ou de deux indépendantes) solution(s) particulière(s) d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er (ou 2^ème) ordre homogène » plus haut dans ce chapitre à savoir

     chercher des solutions du type $\;\exp(s\,x)\;$ car ses dérivées 1^ère $\;s\,\exp(s\,x)\;$ et 2^nde $\;s^{2}\,\exp(s\,x)\;$ lui étant $\;\propto$, l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants homogène du 2^ème ordre en $\;f(x)\;$ se transforme en équation algébrique du 2^ème degré en $\;s\;$ après simplification par $\;\exp(s\,x)\;$, l'équation algébrique ainsi obtenue étant appelée « équation caractéristique de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants homogène ».

Équation caractéristique de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du second ordre homogène avec terme du premier ordre en f(x)

     Appliquant la méthode précédemment rappelée on obtient l'équation caractéristique du 2^ème degré en la variable algébrique réelle $\;s\;$ suivante

«$\;s^{2}+b\;s+c=0\;$».

Résolution de l'équation caractéristique de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du second ordre homogène avec terme du premier ordre en f(x) et forme de la solution libre réelle de cette équation différentielle

     La résolution de l'équation caractéristique passe par l'évaluation de son « discriminant $\;\Delta =b^{2}-4\;c\;$» et
     La résolution de l'équation caractéristique passe par l'étude de son signe :

Cas où le discriminant Δ est positif, solution libre apériodique

     « Si $\;\Delta =b^{2}-4\;c\;$ est $\;>0\;$», l'équation caractéristique admet deux solutions réelles distinctes «$\;s_{\pm }={\dfrac {-b\pm {\sqrt {\Delta }}}{2}}\;$» et

            « Si $\;\color {transparent}{\Delta =b^{2}-4\;c}\;$ est $\;\color {transparent}{>0}\;$» la solution générale libre étant générée par la base constituée des deux solutions particulières exponentielles s'écrit

«$\;f_{l}(x)=A_{+}\,\exp \!\left(s_{+}\;x\right)+A_{-}\,\exp \!\left(s_{-}\;x\right)\;$»,
$\;A_{+}\;$ et $\;A_{-}\;$ étant deux constantes réelles arbitraires.

Cas où le discriminant Δ est nul, solution libre apériodique critique

     « Si $\;\Delta =b^{2}-4\;c\;$ est $\;=0\;$», l'équation caractéristique admet une solution réelle double «$\;s_{d}={\dfrac {-b}{2}}\;$» et
            « Si $\;\color {transparent}{\Delta =b^{2}-4\;c}\;$ est $\;\color {transparent}{=0}\;$» on en déduit une seule solution particulière de forme exponentielle $\;\exp \!\left(s_{d}\;x\right)$, il faut donc chercher une 2^ème solution particulière d'une autre forme,
            « Si $\;\color {transparent}{\Delta =b^{2}-4\;c}\;$ est $\;\color {transparent}{=0}\;$» on en déduit une seule solution particulière de forme exponentielle $\;\color {transparent}{\exp \!\left(s_{d}\;x\right)}$, on vérifie ci-dessous que $\;x\;\exp \!\left(s_{d}\;x\right)\;$ convient ;

            « Si $\;\color {transparent}{\Delta =b^{2}-4\;c}\;$ est $\;\color {transparent}{=0}\;$» vérification : si $\;f_{\text{part}}(x)=x\;\exp \!\left({\dfrac {-b}{2}}\;x\right)$, la dérivée 1^ère vaut $\;{f'}_{\text{part}}(x)=\exp \!\left({\dfrac {-b}{2}}\;x\right)+x\,\left({\dfrac {-b}{2}}\right)\,\exp \!\left({\dfrac {-b}{2}}\;x\right)\;$ et
                « Si $\;\color {transparent}{\Delta =b^{2}-4\;c}\;$ est $\;\color {transparent}{=0}\;$» vérification : si $\;\color {transparent}{f_{\text{part}}(x)=x\;\exp \!\left(-b\;x\right)}$, la dérivée 2^nde vaut $\;{f''}_{\text{part}}(x)=-2\,\left({\dfrac {-b}{2}}\right)\,\exp \!\left({\dfrac {-b}{2}}\;x\right)+x\,\left({\dfrac {-b}{2}}\right)^{\!2}\,\exp \!\left({\dfrac {-b}{2}}\;x\right)$,
            « Si $\;\color {transparent}{\Delta =b^{2}-4\;c}\;$ est $\;\color {transparent}{=0}\;$» vérification : formant alors la C.L. du 1^er membre de l'équation différentielle, on trouve $\;0\;$
            « Si $\;\color {transparent}{\Delta =b^{2}-4\;c}\;$ est $\;\color {transparent}{=0}\;$» vérification : ce qui prouve que $\;x\;\exp \!\left({\dfrac {-b}{2}}\;x\right)\;$ est bien solution particulière de l'équation différentielle homogène ;

     la solution générale libre étant générée par la base constituée des deux solutions particulières «$\;\exp \!\left(s_{d}\;x\right)\;$ et $\;x\;\exp \!\left(s_{d}\;x\right)\;$» s'écrit

«$\;f_{l}(x)=\left(A+B\;x\right)\,\exp \!\left(s_{d}\;x\right)\;$»,
$\;A\;$ et $\;B\;$ étant deux constantes réelles arbitraires.

Cas où le discriminant Δ est négatif, solution libre pseudo-périodique

     « Si $\;\Delta =b^{2}-4\;c\;$ est $\;<0\;$», l'équation caractéristique n'admet aucune solution réelle, il n'y a alors pas de solution libre particulière réelle de forme exponentielle à l'équation différentielle,
            « Si $\;\color {transparent}{\Delta =b^{2}-4\;c}\;$ est $\;\color {transparent}{<0}\;$» il faudrait donc chercher deux solutions particulières sous une autre forme mais $\;\ldots \;$
            « Si $\;\color {transparent}{\Delta =b^{2}-4\;c}\;$ est $\;\color {transparent}{<0}\;$» nous allons procéder autrement de façon à utiliser l'équation caractéristique déjà écrite :

            « Si $\;\color {transparent}{\Delta =b^{2}-4\;c}\;$ est $\;\color {transparent}{<0}\;$» si cette équation caractéristique n'a pas de solutions réelles, elle a néanmoins deux solutions complexes conjuguées distinctes, et par suite
            « Si $\;\color {transparent}{\Delta =b^{2}-4\;c}\;$ est $\;\color {transparent}{<0}\;$» il y a deux solutions libres particulières complexes de forme exponentielle à cette équation différentielle
            « Si $\;\color {transparent}{\Delta =b^{2}-4\;c}\;$ est $\;\color {transparent}{<0}\;$» il y a deux solutions libres particulières complexes servant de base à l'espace vectoriel de ses solutions libres complexes,
            « Si $\;\color {transparent}{\Delta =b^{2}-4\;c}\;$ est $\;\color {transparent}{<0}\;$» il y a deux solutions libres particulières complexes les deux cœfficients générateurs étant complexes et correspondant à quatre cœfficients générateurs réels ;
            « Si $\;\color {transparent}{\Delta =b^{2}-4\;c}\;$ est $\;\color {transparent}{<0}\;$» à partir de la solution générale libre complexe nous obtiendrons la solution générale libre réelle en écrivant que
            « Si $\;\color {transparent}{\Delta =b^{2}-4\;c}\;$ est $\;\color {transparent}{<0}\;$» à partir de la solution générale libre complexe nous obtiendrons la partie imaginaire de la solution générale libre complexe est identiquement nulle,
            « Si $\;\color {transparent}{\Delta =b^{2}-4\;c}\;$ est $\;\color {transparent}{<0}\;$» à partir de la solution générale libre complexe nous obtiendrons ce qui, donnant deux relations de liaison entre les quatre cœfficients générateurs réels,
            « Si $\;\color {transparent}{\Delta =b^{2}-4\;c}\;$ est $\;\color {transparent}{<0}\;$» à partir de la solution générale libre complexe nous obtiendrons ce qui, laissera uniquement deux cœfficients générateurs réels $\;\ldots$

     Résolution de l'équation caractéristique en complexe et solution générale libre complexe de l'équation différentielle homogène :
     Résolution de l'équation caractéristique en complexe l'équation caractéristique ayant deux solutions complexes conjuguées distinctes «$\;{\underline {s_{\pm }}}={\dfrac {-b\pm i\;{\sqrt {\vert \Delta \vert }}}{2}}\;$»,
     Résolution de l'équation caractéristique en complexe la solution générale libre complexe de l'équation différentielle homogène s'écrit
     Résolution de l'équation caractéristique en complexe «$\;{\underline {f_{l}}}(x)={\underline {A_{+}}}\;\exp \!\left({\underline {s_{+}}}\;x\right)+{\underline {A_{-}}}\;\exp \!\left({\underline {s_{-}}}\;x\right)={\underline {A_{+}}}\;\exp \!\left({\dfrac {-b+i\;{\sqrt {\vert \Delta \vert }}}{2}}\;x\right)+{\underline {A_{-}}}\;\exp \!\left({\dfrac {-b-i\;{\sqrt {\vert \Delta \vert }}}{2}}\;x\right)\;$»,
     Résolution de l'équation caractéristique en complexe «$\;\color {transparent}{{\underline {f_{l}}}(x)=}$$\;{\underline {A_{+}}}\;$ et $\;{\underline {A_{-}}}\;$ étant deux constantes complexes arbitraires.

     Détermination de la solution générale libre réelle de l'équation différentielle homogène à partir de la solution générale libre complexe :
     Détermination de la solution générale libre réelle il faut écrire que la partie imaginaire de $\;{\underline {f_{l}}}(x)\;$ est identiquement nulle et pour cela
     Détermination de la solution générale libre réelle nous définissons les cœfficients générateurs complexes sous leur forme trigonométrique $\;{\underline {A_{+}}}=A_{+}\;\exp \!\left(i\;\varphi _{+}\right)\;$ et $\;{\underline {A_{-}}}=A_{-}\;\exp \!\left(i\;\varphi _{-}\right)\;$ $\Rightarrow$
     Détermination de la solution générale libre réelle réécriture de $\;{\underline {f_{l}}}(x)\;$ selon «$\;{\underline {f_{l}}}(x)=\exp \!\left(-{\dfrac {b}{2}}\;x\right)\left\lbrace A_{+}\;\exp \!\left[i\left({\dfrac {\sqrt {\vert \Delta \vert }}{2}}\;x+\varphi _{+}\right)\right]+A_{-}\;\exp \!\left[-i\left({\dfrac {\sqrt {\vert \Delta \vert }}{2}}\;x-\varphi _{-}\right)\right]\right\rbrace \;$»
     Détermination de la solution générale libre réelle de partie imaginaire $\;\Im \!\left[{\underline {f_{l}}}(x)\right]=\exp \!\left(-{\dfrac {b}{2}}\;x\right)\left[A_{+}\,\sin \!\left({\dfrac {\sqrt {\vert \Delta \vert }}{2}}\;x+\varphi _{+}\right)-A_{-}\,\sin \!\left({\dfrac {\sqrt {\vert \Delta \vert }}{2}}\;x-\varphi _{-}\right)\right]$ ;
     Détermination de la solution générale libre réelle la nullité du terme imaginaire est réalisé pour tout $\;x\;$ si la nullité du terme entre crochets l'est et pour cela on décompose les sinus
     Détermination de la solution générale libre réelle à l'aide des formules de trigonométrie $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\sin \!\left({\dfrac {\sqrt {\vert \Delta \vert }}{2}}\;x+\varphi _{+}\right)=\sin \!\left({\dfrac {\sqrt {\vert \Delta \vert }}{2}}\;x\right)\;\cos \!\left(\varphi _{+}\right)+\sin \!\left(\varphi _{+}\right)\;\cos \!\left({\dfrac {\sqrt {\vert \Delta \vert }}{2}}\;x\right)\\\sin \!\left({\dfrac {\sqrt {\vert \Delta \vert }}{2}}\;x-\varphi _{-}\right)=\sin \!\left({\dfrac {\sqrt {\vert \Delta \vert }}{2}}\;x\right)\;\cos \!\left(\varphi _{-}\right)-\sin \!\left(\varphi _{-}\right)\;\cos \!\left({\dfrac {\sqrt {\vert \Delta \vert }}{2}}\;x\right)\end{array}}\right\rbrace \;$ d'où
     Détermination de la solution générale libre réelle la réécriture du terme entre crochets $\;\Im \!\left[{\underline {f_{l}}}(x)\right]\exp \!\left({\dfrac {b}{2}}\;x\right)=$
     Détermination de la solution générale libre réelle la réécriture du terme entre crochets $\left[A_{+}\;\cos \!\left(\varphi _{+}\right)-A_{-}\;\cos \!\left(\varphi _{-}\right)\right]\sin \!\left({\dfrac {\sqrt {\vert \Delta \vert }}{2}}\;x\right)+\left[A_{+}\;\sin \!\left(\varphi _{+}\right)+A_{-}\;\sin \!\left(\varphi _{-}\right)\right]\cos \!\left({\dfrac {\sqrt {\vert \Delta \vert }}{2}}\;x\right)\;$ dont
     Détermination de la solution générale libre réelle la nullité $\;\forall \;x\;$ $\Rightarrow$ la nullité simultanée des cœfficients de $\;\sin \!\left({\dfrac {\sqrt {\vert \Delta \vert }}{2}}\;x\right)\;$ et de $\;\cos \!\left({\dfrac {\sqrt {\vert \Delta \vert }}{2}}\;x\right)\;$ «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}A_{+}\;\cos \!\left(\varphi _{+}\right)=A_{-}\;\cos \!\left(\varphi _{-}\right)\\A_{+}\;\sin \!\left(\varphi _{+}\right)=-A_{-}\;\sin \!\left(\varphi _{-}\right)\end{array}}\right\rbrace \;$» soit
     Détermination de la solution générale libre réelle $\blacktriangleright \;$en faisant la somme membre à membre des carrés $\;A_{+}^{2}=A_{-}^{2}\;$ ou, les modules étant nécessairement positifs, «$\;A_{+}=A_{-}\;$»,
     Détermination de la solution générale libre réelle $\blacktriangleright \;$«$\;A_{+}=A_{-}\;$» $\Rightarrow$ les arguments $\;\varphi _{+}\;$ et $\;\varphi _{-}\;$ suivent $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\cos \!\left(\varphi _{+}\right)=\cos \!\left(\varphi _{-}\right)\\\sin \!\left(\varphi _{+}\right)=-\sin \!\left(\varphi _{-}\right)\end{array}}\right\rbrace \;$ réalisés pour «$\;\varphi _{-}=-\varphi _{+}\;$» ;

     Détermination de la solution générale libre réelle la solution générale libre complexe est réelle ssi les cœfficients générateurs $\;{\underline {A_{+}}}\;$ et $\;{\underline {A_{-}}}\;$ sont conjugués l'un de l'autre «$\;{\underline {A_{-}}}=\left[{\underline {A_{+}}}\right]^{*}\;$», d'où
     Détermination de la solution générale libre réelle la solution générale libre réelle $\;f_{l}(x)=\;$ à la partie réelle de la solution générale libre complexe $\;\Re \!\left[{\underline {f_{l}}}(x)\right]\;$ soit
     Détermination de la solution générale libre réelle «$\;f_{l}(x)=\Re \!\left[{\underline {f_{l}}}(x)\right]=\exp \!\left(-{\dfrac {b}{2}}\;x\right)\left[A_{+}\,\cos \!\left({\dfrac {\sqrt {\vert \Delta \vert }}{2}}\;x+\varphi _{+}\right)+A_{-}\,\cos \!\left({\dfrac {\sqrt {\vert \Delta \vert }}{2}}\;x-\varphi _{-}\right)\right]\;$» ou encore,
     Détermination de la solution générale libre réelle avec $\;{\underline {A_{-}}}=\left[{\underline {A_{+}}}\right]^{*}\;$ $\Leftrightarrow$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}A_{+}=A_{-}\\\varphi _{+}=-\varphi _{-}\end{array}}\right\rbrace$, «$\;f_{l}(x)=2\;A_{+}\;\exp \!\left(-{\dfrac {b}{2}}\;x\right)\;\cos \!\left({\dfrac {\sqrt {\vert \Delta \vert }}{2}}\;x+\varphi _{+}\right)\;$».

     Forme de la solution générale libre réelle de l'équation différentielle si$\;\Delta \;$est$\;<0$ : «$\;f_{l}(x)=A\;\exp \!\left(-{\dfrac {b}{2}}\;x\right)\;\cos \!\left({\dfrac {\sqrt {\vert \Delta \vert }}{2}}\;x+\varphi \right)\;$» avec «$\;A\;$ et $\;\varphi \;$ constantes réelles arbitraires ».

     Autre forme$\;{\big (}$moins utilisée${\big )}\;$de la solution générale libre réelle de l'équation différentielle si$\;\Delta \;$est$\;<0$ : «$\;f_{l}(x)=\exp \!\left(-{\dfrac {b}{2}}\;x\right)\left[A'\;\cos \!\left({\dfrac {\sqrt {\vert \Delta \vert }}{2}}\;x\right)+B'\;\sin \!\left({\dfrac {\sqrt {\vert \Delta \vert }}{2}}\;x\right)\right]\;$»
     Autre forme$\;\color {transparent}{\big (}$moins utilisée$\color {transparent}{\big )}\;$de la solution générale libre réelle de l'équation différentielle si $\;\color {transparent}{\Delta }\;$est$\;\color {transparent}{<0}$ : «$\;\color {transparent}{f_{l}(x)=}$ avec «$\;A'\;$ et $\;B'\;$ constantes réelles arbitraires ».

     Remarque : On retrouve les deux formes de « solution libre de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants homogène du 2^ème ordre en f(x) sans terme du 1^er ordre » dans les deux formes de solution libre pseudo-périodique ci-dessus en faisant tendre le cœfficient du terme d'ordre un vers zéro c.-à-d. $\;b\rightarrow 0\;$ $\Rightarrow$ $\;\Delta \rightarrow -4\;c\;$ d'où $\;{\dfrac {\sqrt {\Delta }}{2}}\rightarrow {\sqrt {c}}$.

Solution forcée de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du second ordre hétérogène avec terme du premier ordre en f(x), dans le cas d'une excitation constante

     Soit «$\;f''(x)+b\,f'(x)+c\,f(x)=D\;$ où $\;D\;$ est l'excitation constante » ;

     dans la mesure où $\;c\neq 0\;$, il existe toujours une solution forcée c.-à-d. une solution particulière de l'équation hétérogène de même forme que l'excitation c.-à-d. de forme constante
           dans la mesure où $\;\color {transparent}{c\neq 0}\;$ il existe toujours une solution forcée car les dérivées 2^nde et 1^ère étant identiquement nulles on obtient $\;c\,f_{f}=D\;$ soit «$\;f_{f}={\dfrac {D}{c}}\;$».

Solution générale de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du second ordre hétérogène avec terme du premier ordre en f(x), dans le cas d'une excitation constante

     Dans la mesure où $\;c\neq 0\;$, nous avons vu au paragraphe « solution forcée de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^nd ordre hétérogène avec terme du 1^er ordre en f(x), dans le cas d'une excitation constante » plus haut dans ce chapitre, qu'il existe toujours une solution forcée égale à $\;f_{f}={\dfrac {D}{c}}\;$ et par suite
          Dans la mesure où $\;\color {transparent}{c\neq 0}\;$ la solution générale de l'équation différentielle hétérogène s'écrit «$\;f(x)=f_{l}(x)+f_{f}=f_{l}(x)+{\dfrac {D}{c}}\;$» dans laquelle $\;f_{l}(x)\;$ est
          Dans la mesure où $\;\color {transparent}{c\neq 0}\;$ la solution libre de l'équation différentielle prenant, suivant le signe du discriminant $\;\Delta =b^{2}-4\;c\;$ de l'équation caractéristique $\;s^{2}+b\,s+c=0\;$,
                Dans la mesure où $\;\color {transparent}{c\neq 0}\;$ la solution libre de l'équation différentielle prenant, la forme $\blacktriangleright \;$apériodique,
                Dans la mesure où $\;\color {transparent}{c\neq 0}\;$ la solution libre de l'équation différentielle prenant, la forme $\blacktriangleright \;$apériodique critique ou
                Dans la mesure où $\;\color {transparent}{c\neq 0}\;$ la solution libre de l'équation différentielle prenant, la forme $\blacktriangleright \;$pseudo-périodique
          Dans la mesure où $\;\color {transparent}{c\neq 0}\;$ $\;\ldots$

Méthode « des complexes » de détermination de la solution forcée sinusoïdale (quand elle existe) d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants réels hétérogène à excitation sinusoïdale

Exposé de la recherche de la solution forcée sinusoïdale (quand elle existe) d'une équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants hétérogène à excitation sinusoïdale

     On cherche la solution forcée sinusoïdale $\;{\big (}$quand elle existe${\big )}\;$ de l'équation différentielle linéaire normalisée à cœfficients réels constants hétérogène du 1^er ou du 2^ème ordre en $\;f(x)\;$
     On cherche la solution forcée sinusoïdale $\;\color {transparent}{\big (}$quand elle existe$\color {transparent}{\big )}\;$ de l'équation différentielle linéaire normalisée à cœfficients réels constants hétérogène d'excitation sinusoïdale c.-à-d.
     On cherche la solution forcée sinusoïdale $\;\color {transparent}{\big (}$quand elle existe$\color {transparent}{\big )}\;$ de l'équation différentielle en $\;f(x)\;$ suivante $\bullet \;$$\qquad \quad \quad \;\;f'(x)+k\,f(x)=e(x)$, $\;k\in \mathbb {R} ^{*}\;$ ou
     On cherche la solution forcée sinusoïdale $\;\color {transparent}{\big (}$quand elle existe$\color {transparent}{\big )}\;$ de l'équation différentielle en $\;\color {transparent}{f(x)}\;$ suivante $\bullet \;$$\;f''(x)+b\,f'(x)+c\,f(x)=e(x)$, $\;b\in \mathbb {R} \;$ et $\;c\in \mathbb {R} ^{*}\;$,
     On cherche la solution forcée sinusoïdale $\;\color {transparent}{\big (}$quand elle existe$\color {transparent}{\big )}\;$ de l'équation différentielle en $\;\color {transparent}{f(x)}\;$ $e(x)\;$ étant l'excitation sinusoïdale de fréquence $\;\sigma \;$ et d'amplitude $\;E_{m}$, toutes deux fixées, et
     On cherche la solution forcée sinusoïdale $\;\color {transparent}{\big (}$quand elle existe$\color {transparent}{\big )}\;$ de l'équation différentielle en $\;\color {transparent}{f(x)}\;$ on cherche, dans le cas où elle existe, la solution forcée sinusoïdale de même fréquence $\;\sigma$.

Les deux faces identiques de la recherche de la solution forcée sinusoïdale (quand elle existe) d'une équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants hétérogène à excitation sinusoïdale suivant que celle-ci est sous la forme d'un cosinus ou d'un sinus

     Supposons que l'excitation s'écrive $\;e_{1}(x)=E_{m}\,\cos \!\left(2\,\pi \,\sigma \,x+\varphi _{e}\right)$, nous cherchons la solution forcée sinusoïdale $\;{\big (}$quand elle existe${\big )}\;$ sous la forme $\;f_{f,\,1}(x)=A_{m}\,\cos \!\left(2\,\pi \,\sigma \,x+\psi \right)\;$
     Supposons que l'excitation s'écrive $\;\color {transparent}{e_{1}(x)=E_{m}\,\cos \!\left(2\,\pi \,\sigma \,x+\varphi _{e}\right)}$, nous cherchons dans laquelle $\;A_{m}\;$ et $\;\psi \;$ sont à déterminer en fonction des cœfficients caractérisant l'équation différentielle,
     Supposons que l'excitation s'écrive $\;\color {transparent}{e_{1}(x)=E_{m}\,\cos \!\left(2\,\pi \,\sigma \,x+\varphi _{e}\right)}$, nous cherchons de la fréquence commune $\;\sigma$, de l'amplitude $\;E_{m}\;$ et de la phase à l'origine $\;\varphi _{e}\;$ de l'excitation,
     Supposons que l'excitation s'écrive $\;\color {transparent}{e_{1}(x)=E_{m}\,\cos \!\left(2\,\pi \,\sigma \,x+\varphi _{e}\right)}$, nous cherchons ce 1^er problème étant noté $\;({\mathfrak {1}})$ ;

     supposons maintenant que l'excitation s'écrive $\;e_{2}(x)=E_{m}\,\sin \!\left(2\,\pi \,\sigma \,x+\varphi _{e}\right)\;$, nous cherchons la solution forcée sinusoïdale $\;{\big (}$quand elle existe${\big )}\;$ selon $\;f_{f,\,2}(x)=A_{m}\,\sin \!\left(2\,\pi \,\sigma \,x+\psi \right)\;$
          Supposons maintenant que l'excitation s'écrive $\;\color {transparent}{e_{2}(x)=E_{m}\,\sin \!\left(2\,\pi \,\sigma \,x+\varphi _{e}\right)}$, nous cherchons avec les mêmes valeurs $\;A_{m}\;$ et $\;\psi \;$ que dans le 1^er problème précédent,
          Supposons maintenant que l'excitation s'écrive $\;\color {transparent}{e_{2}(x)=E_{m}\,\sin \!\left(2\,\pi \,\sigma \,x+\varphi _{e}\right)}$, nous cherchons ce 2^ème problème étant noté $\;({\mathfrak {2}})$ ;

     ainsi les deux faces de la recherche de la solution forcée sinusoïdale $\;{\big (}$quand elle existe${\big )}\;$ d'une équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants hétérogène à excitation sinusoïdale
     ainsi les deux faces de la recherche de la solution forcée sinusoïdale suivant que celle-ci est sous la forme d'un cosinus ou d'un sinus sont :
     ainsi les deux faces de la recherche de la solution forcée sinusoïdale $\bullet \;$pour une équation du 1^er ordre $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\dfrac {df_{f,\,1}}{dx}}(x)+k\,f_{f,\,1}(x)=e_{1}(x)=E_{m}\,\cos \!\left(2\,\pi \,\sigma \,x+\varphi _{e}\right)\quad \;\left({\mathfrak {1}}\right)\\{\dfrac {df_{f,\,2}}{dx}}(x)+k\,f_{f,\,2}(x)=e_{2}(x)=E_{m}\,\sin \!\left(2\,\pi \,\sigma \,x+\varphi _{e}\right)\quad \;\left({\mathfrak {2}}\right)\end{array}}\right\rbrace \;$
     ainsi les deux faces de la recherche de la solution forcée sinusoïdale $\color {transparent}{\bullet }\;$avec recherche de solution forcée selon $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}f_{f,\,1}(x)=A_{m}\,\cos \!\left(2\,\pi \,\sigma \,x+\psi \right)\quad \;{\text{ sol. forcée de }}\left({\mathfrak {1}}\right)\\f_{f,\,2}(x)=A_{m}\,\sin \!\left(2\,\pi \,\sigma \,x+\psi \right)\quad \;{\text{ sol. forcée de }}\left({\mathfrak {2}}\right)\end{array}}\right\rbrace \;$ et
     ainsi les deux faces de la recherche de la solution forcée sinusoïdale $\bullet \;$pour une équation du 2^ème ordre $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\dfrac {d^{2}f_{f,\,1}}{dx^{2}}}(x)+b\,{\dfrac {df_{f,\,1}}{dx}}(x)+c\,f_{f,\,1}(x)=e_{1}(x)=E_{m}\,\cos \!\left(2\,\pi \,\sigma \,x+\varphi _{e}\right)\quad \;\left({\mathfrak {1}}\right)\\{\dfrac {d^{2}f_{f,\,2}}{dx^{2}}}(x)+b\,{\dfrac {df_{f,\,2}}{dx}}(x)+c\,f_{f,\,2}(x)=e_{2}(x)=E_{m}\,\sin \!\left(2\,\pi \,\sigma \,x+\varphi _{e}\right)\quad \;\left({\mathfrak {2}}\right)\end{array}}\right\rbrace \;$
     ainsi les deux faces de la recherche de la solution forcée sinusoïdale $\color {transparent}{\bullet }\;$avec recherche de solution forcée selon $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}f_{f,\,1}(x)=A_{m}\,\cos \!\left(2\,\pi \,\sigma \,x+\psi \right)\quad \;{\text{ sol. forcée de }}\left({\mathfrak {1}}\right)\\f_{f,\,2}(x)=A_{m}\,\sin \!\left(2\,\pi \,\sigma \,x+\psi \right)\quad \;{\text{ sol. forcée de }}\left({\mathfrak {2}}\right)\end{array}}\right\rbrace$.

Exposé de la méthode « des complexes » pour trouver la solution forcée sinusoïdale (quand elle existe) d'une équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants hétérogène à excitation sinusoïdale suivant que celle-ci est sous la forme d'un cosinus ou d'un sinus

     Formant l'« équation différentielle $\;\left({\mathfrak {1}}'\right)=\left({\mathfrak {1}}\right)+i\,\left({\mathfrak {2}}\right)\;$» et introduisant l'« excitation instantanée complexe par même C.L. $\;{\underline {e}}(x)=e_{1}(x)+i\;e_{2}(x)=E_{m}\;\exp \!\left[i\,\left(2\,\pi \,\sigma \,x+\varphi _{e}\right)\right]\;$» ainsi que
     Formant l'« équation différentielle $\;\color {transparent}{\left({\mathfrak {1}}'\right)=\left({\mathfrak {1}}\right)+i\,\left({\mathfrak {2}}\right)}\;$» et introduisant la « réponse forcée instantanée complexe selon même C.L. $\;{\underline {f_{f}}}(x)=f_{f,\,1}(x)+i\;f_{f,\,2}(x)=A_{m}\;\exp \!\left[i\,\left(2\,\pi \,\sigma \,x+\psi \right)\right]\;$»,
     Formant l'« équation différentielle $\;\color {transparent}{\left({\mathfrak {1}}'\right)=\left({\mathfrak {1}}\right)+i\,\left({\mathfrak {2}}\right)}\;$» nous obtenons une équation différentielle $\;\left({\mathfrak {1}}'\right)\;$ linéaire à cœfficients réels constants hétérogène en fonction complexe $\;{\underline {f}}(x)\;$ et
     Formant l'« équation différentielle $\;\color {transparent}{\left({\mathfrak {1}}'\right)=\left({\mathfrak {1}}\right)+i\,\left({\mathfrak {2}}\right)}\;$» nous obtenons une équation différentielle $\;\color {transparent}{\left({\mathfrak {1}}'\right)}\;$ linéaire à cœfficients réels constants hétérogène d'excitation complexe $\;{\underline {e}}(x)\;$
     Formant l'« équation différentielle $\;\color {transparent}{\left({\mathfrak {1}}'\right)=\left({\mathfrak {1}}\right)+i\,\left({\mathfrak {2}}\right)}\;$» nous obtenons une équation différentielle $\;\color {transparent}{\left({\mathfrak {1}}'\right)}\;$ s'avérant nettement plus simple pour déterminer la solution forcée $\;{\underline {f_{f}}}(x)\;$ et dont
     Formant l'« équation différentielle $\;\color {transparent}{\left({\mathfrak {1}}'\right)=\left({\mathfrak {1}}\right)+i\,\left({\mathfrak {2}}\right)}\;$» nous obtenons une équation différentielle $\;\color {transparent}{\left({\mathfrak {1}}'\right)}\;$ $\bullet \;$la partie réelle est l'équation différentielle $\;\left({\mathfrak {1}}\right)\;$ d'excitation $\;e_{1}(x)=\Re \!\left[{\underline {e}}(x)\right]$,
     Formant l'« équation différentielle $\;\color {transparent}{\left({\mathfrak {1}}'\right)=\left({\mathfrak {1}}\right)+i\,\left({\mathfrak {2}}\right)}\;$» nous obtenons une équation différentielle $\;\color {transparent}{\left({\mathfrak {1}}'\right)}\;$ $\color {transparent}{\bullet }\;$de solution forcée sinusoïdale $\;{\big (}$dans la mesure où elle existe${\big )}$ $\;f_{f,\,1}(x)=\Re \!\left[{\underline {f_{f}}}(x)\right]\;$ et
     Formant l'« équation différentielle $\;\color {transparent}{\left({\mathfrak {1}}'\right)=\left({\mathfrak {1}}\right)+i\,\left({\mathfrak {2}}\right)}\;$» nous obtenons une équation différentielle $\;\color {transparent}{\left({\mathfrak {1}}'\right)}\;$ $\bullet \;$la partie imaginaire est l'équation différentielle $\;\left({\mathfrak {2}}\right)\;$ d'excitation $\;e_{2}(x)=\Im \!\left[{\underline {e}}(x)\right]$,
     Formant l'« équation différentielle $\;\color {transparent}{\left({\mathfrak {1}}'\right)=\left({\mathfrak {1}}\right)+i\,\left({\mathfrak {2}}\right)}\;$» nous obtenons une équation différentielle $\;\color {transparent}{\left({\mathfrak {1}}'\right)}\;$ $\color {transparent}{\bullet }\;$de solution forcée sinusoïdale $\;{\big (}$dans la mesure où elle existe${\big )}$ $\;f_{f,\,2}(x)=\Im \!\left[{\underline {f_{f}}}(x)\right]$.

     Remarque : une fois obtenue la solution forcée complexe $\;{\underline {f_{f}}}(x)\;$ ${\big (}$quand celle-ci existe${\big )}\;$ à partir de l'équation différentielle $\;\left({\mathfrak {1}}'\right)$, nous pourrions en déduire la solution sinusoïdale forcée à l'un ou l'autre des problèmes envisagés en en prenant la partie réelle pour le problème $\;\left({\mathfrak {1}}\right)\;$ et la partie imaginaire pour le problème $\;\left({\mathfrak {2}}\right)\;$ $\ldots \;$ mais nous n'utiliserons pas cette méthode, en préférant une encore plus simple ne nécessitant pas la prise de partie réelle ou imaginaire.

Grandeurs instantanées complexes et amplitudes complexes associées

     La « grandeur instantanée complexe » $\;{\underline {s}}(x)\;$ associée à la fonction $\;s(x)=\left\lbrace {\begin{array}{c}A\,\cos \!\left(2\,\pi \,\sigma \,x+\varphi \right)\\{\text{ou}}\\A\,\sin \!\left(2\,\pi \,\sigma \,x+\varphi \right)\end{array}}\right\rbrace \;$ est la fonction à valeurs complexes de la variable $\;x\;$ dont
     La « grandeur instantanée complexe » $\;\color {transparent}{{\underline {s}}(x)}\;$ associée à la fonction «$\;s(x)=A\,\cos \!\left(2\,\pi \,\sigma \,x+\varphi \right)\;$ est la partie réelle $\;s(x)=\Re \!\left[{\underline {s}}(x)\right]\;$» ou
     La « grandeur instantanée complexe » $\;\color {transparent}{{\underline {s}}(x)}\;$ associée à la fonction «$\;s(x)=A\,\sin \!\left(2\,\pi \,\sigma \,x+\varphi \right)\;$ est la partie imaginaire $\;s(x)=\Im \!\left[{\underline {s}}(x)\right]\;$» ; ainsi
     La « grandeur instantanée complexe » «$\;{\underline {s}}(x)=A\,\exp \!\left[i\left(2\,\pi \,\sigma \,x+\varphi \right)\right]\;$ est telle que $\;s(x)=\left\lbrace {\begin{array}{c}A\,\cos \!\left(2\,\pi \,\sigma \,x+\varphi \right)=\Re \!\left[{\underline {s}}(x)\right]\\{\text{ou}}\\A\,\sin \!\left(2\,\pi \,\sigma \,x+\varphi \right)=\Im \!\left[{\underline {s}}(x)\right]\end{array}}\right\rbrace \;$».

     On définit l'« amplitude complexe » comme la grandeur $\;{\underline {A}}\;$ telle que la grandeur instantanée complexe associée s'écrive $\;{\underline {s}}(x)={\underline {A}}\,\exp \!\left[i\left(2\,\pi \,\sigma \,x\right)\right]$ ;
     On définit l'« amplitude complexe » est donc égale à «$\;{\underline {A}}=A\,\exp \!\left(i\,\varphi \right)\;$»,
     On définit son module étant égal à l'amplitude de la fonction sinusoïdale c.-à-d. «$\;\vert {\underline {A}}\vert =A\;$» et
     On définit son argument étant égal à la phase à l'origine de la fonction sinusoïdale c.-à-d. «$\;\mathrm {arg} \!\left({\underline {A}}\right)=\varphi \;$» ;

     conséquence : la connaissance de l'amplitude complexe est donc équivalente à celle de la grandeur instantanée complexe et par suite
     conséquence : la connaissance de l'amplitude complexe est donc équivalente à celle de la fonction sinusoïdale de la variable $\;x\;$ à condition de connaître la forme de cette dernière « cosinusoïdale » ou
     conséquence : la connaissance de l'amplitude complexe est donc équivalente à celle de la fonction sinusoïdale de la variable $\;\color {transparent}{x}\;$ à condition de connaître la forme de cette dernière « sinusoïdale ».

Dérivation première ou seconde des grandeurs instantanées complexes par rapport à la variable x

     La simplification de la recherche de solution sinusoïdale forcée d'une équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants hétérogène à excitation sinusoïdale par la méthode des complexes
     La simplification provient du fait que $\bullet \;$la dérivation 1^ère par rapport à $\;x\;$ de $\;{\underline {f_{f}}}(x)={\underline {A_{m}}}\,\exp \!\left[i\left(2\,\pi \,\sigma \,x\right)\right]\;$ est équivalente à une « multiplication de $\;{\underline {f_{f}}}(x)\;$ par $\;i\left(2\,\pi \,\sigma \right)\;$» et
     La simplification provient du fait que $\bullet \;$la dérivation 2^ème par rapport à $\;x\;$ de $\;{\underline {f_{f}}}(x)={\underline {A_{m}}}\,\exp \!\left[i\left(2\,\pi \,\sigma \,x\right)\right]\;$ est équivalente à une « multiplication de $\;{\underline {f_{f}}}(x)\;$ par $\;\left[i\left(2\,\pi \,\sigma \right)\right]^{2}=-\left(2\,\pi \,\sigma \right)^{2}\;$» $\;\ldots$

Recherche de la solution forcée complexe de l'équation différentielle (1')

Solution forcée complexe de l'équation différentielle (1') du 1^er ordre

     L'équation différentielle $\;({\mathfrak {1}}')\;$ s'écrivant «$\;{\dfrac {d{\underline {f}}}{dx}}(x)+k\,{\underline {f}}(x)={\underline {e}}(x)\;$» avec «$\;{\underline {e}}(x)={\underline {E_{m}}}\,\exp \!\left[i\left(2\,\pi \,\sigma \,x\right)\right]\;$» ou,
       L'équation différentielle $\;\color {transparent}{({\mathfrak {1}}')}\;$ s'écrivant «$\;\color {transparent}{d{\underline {f}}(x)+k\,{\underline {f}}(x)={\underline {e}}(x)}\;$» avec «$\;{\underline {e}}(x)={\underline {E_{m}}}\,\exp \!\left(i\,k_{\text{puls}}\,x\right)\;$» en introduisant la pulsation $\;{\big (}$spatiale${\big )}$ $\;k_{\text{puls}}=2\,\pi \,\sigma \;$ de l'excitation,
       L'équation différentielle $\;\color {transparent}{({\mathfrak {1}}')}\;$ s'écrivant «$\;\color {transparent}{d{\underline {f}}(x)+k\,{\underline {f}}(x)={\underline {e}}(x)}\;$» avec la solution forcée complexe étant cherchée sous la forme $\;{\underline {f_{f}}}(x)={\underline {A_{m}}}\,\exp \!\left(i\,k_{\text{puls}}\,x\right)$,
         L'équation l'équation $\;({\mathfrak {1}}')\;$ de recherche de cette solution se réécrit «$\;i\,k_{\text{puls}}\,{\underline {f_{f}}}(x)+k\,{\underline {f_{f}}}(x)={\underline {e}}(x)\;$» ou, en explicitant $\;{\underline {f_{f}}}(x)$,
         L'équation l'équation $\;\color {transparent}{({\mathfrak {1}}')}\;$ de recherche de cette solution se réécrit «$\;\left[i\,k_{\text{puls}}+k\right]\,{\underline {A_{m}}}\,\exp \!\left(i\,k_{\text{puls}}\,x\right)={\underline {E_{m}}}\,\exp \!\left(i\,k_{\text{puls}}\,x\right)\;$» soit, en simplifiant par $\;\exp \!\left(i\,k_{\text{puls}}\,x\right)$,
         L'équation l'équation $\;\color {transparent}{({\mathfrak {1}}')}\;$ de recherche de cette solution se réécrit «$\;\left[i\,k_{\text{puls}}+k\right]{\underline {A_{m}}}={\underline {E}}\;$» $\;{\big (}$indépendante de la variable $\;x{\big )}\;$ établissant l'existence de la solution forcée complexe
         L'équation l'équation $\;\color {transparent}{({\mathfrak {1}}')}\;$ de recherche de cette solution se réécrit «$\;\color {transparent}{\left[i\,k_{\text{puls}}+k\right]{\underline {A_{m}}}={\underline {E}}}\;$» $\color {transparent}{\big (}$indépendante de la variable $\;\color {transparent}{x{\big )}}\;$ établissant dans la mesure où $\;i\,k_{\text{puls}}+k\;$ ne peut pas s'annuler
         L'équation l'équation $\;\color {transparent}{({\mathfrak {1}}')}\;$ de recherche de cette solution correspondant à une amplitude complexe «$\;{\underline {A_{m}}}={\dfrac {\underline {E_{m}}}{k+i\,k_{\text{puls}}}}={\dfrac {\underline {E_{m}}}{k+i\,2\,\pi \,\sigma }}\;$» et
         L'équation l'équation $\;\color {transparent}{({\mathfrak {1}}')}\;$ de recherche de cette solution correspondant à la solution forcée complexe «$\;{\underline {f_{f}}}(x)={\dfrac {\underline {E}}{k+i\,k_{\text{puls}}}}\,\exp \!\left(i\,k_{\text{puls}}\,x\right)={\dfrac {\underline {E_{m}}}{k+i\,2\,\pi \,\sigma }}\,\exp \!\left[i\left(2\,\pi \,\sigma \,x\right)\right]\;$».

Solution forcée complexe de l'équation différentielle (1') du 2^ème ordre

     L'équation différentielle $\;({\mathfrak {1}}')\;$ s'écrivant «$\;{\dfrac {d^{2}{\underline {f}}}{dx^{2}}}(x)+b\,{\dfrac {d{\underline {f}}}{dx}}(x)+c\,{\underline {f}}(x)={\underline {e}}(x)\;$» avec «$\;{\underline {e}}(x)={\underline {E_{m}}}\,\exp \!\left[i\left(2\,\pi \,\sigma \,x\right)\right]\;$» ou,
       L'équation différentielle $\;\color {transparent}{({\mathfrak {1}}')}\;$ s'écrivant «$\;\color {transparent}{d^{2}{\underline {f}}(x)+b\,d{\underline {f}}(x)+c\,{\underline {f}}(x)={\underline {e}}(x)}\;$» avec «$\;{\underline {e}}(x)={\underline {E_{m}}}\,\exp \!\left(i\,k\,x\right)\;$» en introduisant la pulsation $\;{\big (}$spatiale${\big )}$ $\;k=2\,\pi \,\sigma \;$ de l'excitation,
       L'équation différentielle $\;\color {transparent}{({\mathfrak {1}}')}\;$ s'écrivant «$\;\color {transparent}{d^{2}{\underline {f}}(x)+b\,d{\underline {f}}(x)+c\,{\underline {f}}(x)={\underline {e}}(x)}\;$» avec la solution forcée complexe étant cherchée sous la forme $\;{\underline {f_{f}}}(x)={\underline {A_{m}}}\,\exp \!\left(i\,k\,x\right)$, $\Rightarrow$
         L'équation l'équation $\;({\mathfrak {1}}')\;$ de recherche de cette solution «$\;-\,k^{2}\,{\underline {f_{f}}}(x)+b\,i\,k\,{\underline {f_{f}}}(x)+c\,{\underline {f_{f}}}(x)={\underline {e}}(x)\;$» ou, en explicitant $\;{\underline {f_{f}}}(x)$,
         L'équation l'équation $\;\color {transparent}{({\mathfrak {1}}')}\;$ de recherche de cette solution «$\;\left[-k^{2}+i\,b\,k+c\right]\,{\underline {A_{m}}}\,\exp \!\left(i\,k\,x\right)={\underline {E_{m}}}\,\exp \!\left(i\,k\,x\right)\;$» soit, en simplifiant par $\;\exp \!\left(i\,k\,x\right)$,
         L'équation l'équation $\;\color {transparent}{({\mathfrak {1}}')}\;$ de recherche de cette solution «$\;\left[-k^{2}+i\,b\,k+c\right]{\underline {A_{m}}}={\underline {E_{m}}}\;$» $\;{\big (}$indépendante de la variable $\;x{\big )}\;$ établissant l'inexistence de solution forcée complexe
         L'équation l'équation $\;\color {transparent}{({\mathfrak {1}}')}\;$ de recherche de cette solution «$\;\color {transparent}{\left[-k^{2}+i\,b\,k+c\right]{\underline {A_{m}}}={\underline {E_{m}}}}\;$» $\color {transparent}{\big (}$indépendante de la variable $\;\color {transparent}{x{\big )}}\;$ établissant l'inexistence « si $\;b=0\;$ et $\;c>0\;$» pour
         L'équation l'équation $\;\color {transparent}{({\mathfrak {1}}')}\;$ de recherche de cette solution «$\;\color {transparent}{\left[-k^{2}+i\,b\,k+c\right]{\underline {A_{m}}}={\underline {E_{m}}}}\;$» $\color {transparent}{\big (}$indépendante de la variable $\;\color {transparent}{x{\big )}}\;$ établissant l'inexistence une pulsation $\;{\big (}$spatiale${\big )}$ $\;k={\sqrt {c}}\;$
         L'équation l'équation $\;\color {transparent}{({\mathfrak {1}}')}\;$ de recherche de cette solution «$\;\color {transparent}{\left[-k^{2}+i\,b\,k+c\right]{\underline {A_{m}}}={\underline {E_{m}}}}\;$» $\color {transparent}{\big (}$indépendante de la variable $\;\color {transparent}{x{\big )}}\;$ établissant l'inexistence ${\big [}{\underline {A_{m}}}\;$ y serait de module $\;\infty {\big ]}\;$ mais
         L'équation l'équation $\;\color {transparent}{({\mathfrak {1}}')}\;$ de recherche de cette solution «$\;\color {transparent}{\left[-k^{2}+i\,b\,k+c\right]{\underline {A_{m}}}={\underline {E_{m}}}}\;$» $\color {transparent}{\big (}$indépendante de la variable $\;\color {transparent}{x{\big )}}\;$ établissant l'existence de la solution forcée complexe
         L'équation l'équation $\;\color {transparent}{({\mathfrak {1}}')}\;$ de recherche de cette solution «$\;\color {transparent}{\left[-k^{2}+i\,b\,k+c\right]{\underline {A_{m}}}={\underline {E_{m}}}}\;$» $\color {transparent}{\big (}$indépendante de la variable $\;\color {transparent}{x{\big )}}\;$ établissant l'existence $\bullet \;$« si $\;b\neq 0\;$» ou
         L'équation l'équation $\;\color {transparent}{({\mathfrak {1}}')}\;$ de recherche de cette solution «$\;\color {transparent}{\left[-k^{2}+i\,b\,k+c\right]{\underline {A_{m}}}={\underline {E_{m}}}}\;$» $\color {transparent}{\big (}$indépendante de la variable $\;\color {transparent}{x{\big )}}\;$ établissant l'existence $\bullet \;$« si $\;b=0\;$ et $\;c<0\;$» ou encore
         L'équation l'équation $\;\color {transparent}{({\mathfrak {1}}')}\;$ de recherche de cette solution «$\;\color {transparent}{\left[-k^{2}+i\,b\,k+c\right]{\underline {A_{m}}}={\underline {E_{m}}}}\;$» $\color {transparent}{\big (}$indépendante de la variable $\;\color {transparent}{x{\big )}}\;$ établissant l'existence $\bullet \;$« si $\;b=0\;$ et $\;c>0\;$» pour une
         L'équation l'équation $\;\color {transparent}{({\mathfrak {1}}')}\;$ de recherche de cette solution «$\;\color {transparent}{\left[-k^{2}+i\,b\,k+c\right]{\underline {A_{m}}}={\underline {E_{m}}}}\;$» $\color {transparent}{\big (}$indépendante de la variable $\;\color {transparent}{x{\big )}}\;$ établissant l'existence $\color {transparent}{\bullet }\;$pulsation $\;{\big (}$spatiale${\big )}$ $\;k\neq {\sqrt {c}}\;$,
         L'équation l'équation $\;\color {transparent}{({\mathfrak {1}}')}\;$ de recherche de cette solution correspondant à une amplitude complexe «$\;{\underline {A_{m}}}={\dfrac {\underline {E_{m}}}{(c-k^{2})+i\,b\,k}}={\dfrac {\underline {E_{m}}}{\left[c-\left(2\,\pi \,\sigma \right)^{2}\right]+i\,b\,2\,\pi \,\sigma }}\;$» et
         L'équation l'équation $\;\color {transparent}{({\mathfrak {1}}')}\;$ de recherche de cette solution correspondant à la solution forcée complexe «$\;{\underline {f_{f}}}(x)={\dfrac {\underline {E_{m}}}{(c-k^{2})+i\,b\,k}}\,\exp \!\left(i\,k\,x\right)={\dfrac {\underline {E_{m}}}{\left[c-\left(2\,\pi \,\sigma \right)^{2}\right]+i\,b\,2\,\pi \,\sigma }}\,\exp \!\left[i\left(2\,\pi \,\sigma \,x\right)\right]\;$».

Solution forcée complexe de l'équation différentielle (1') du n^ème ordre avec n entier naturel non nul

     L'équation différentielle $\;({\mathfrak {1}}')\;$ s'écrivant «$\;{\dfrac {d^{n}{\underline {f}}}{dx^{n}}}(x)+{a'}_{n-1}\,{\dfrac {d^{n-1}{\underline {f}}}{dx^{n-1}}}(x)+\cdots +{a'}_{i}\,{\dfrac {d^{i}{\underline {f}}}{dx^{i}}}(x)+\cdots +{a'}_{0}\,{\underline {f}}(x)={\underline {e}}(x)\;$» avec «$\;{\underline {e}}(x)={\underline {E_{m}}}\,\exp \!\left[i\left(2\,\pi \,\sigma \,x\right)\right]\;$» ou,
          L'équation différentielle $\;\color {transparent}{({\mathfrak {1}}')}\;$ s'écrivant «$\;\color {transparent}{d^{n}{\underline {f}}(x)+{a'}_{n-1}\,d^{n-1}{\underline {f}}(x)+\cdots +{a'}_{i}\,d^{i}{\underline {f}}(x)+\cdots +{a'}_{0}\,{\underline {f}}(x)={\underline {e}}(x)}\;$» avec «$\;{\underline {e}}(x)={\underline {E_{m}}}\,\exp \!\left(i\,k\,x\right)\;$» en introduisant la pulsation $\;{\big (}$spatiale${\big )}$
         L'équation différentielle $\;\color {transparent}{({\mathfrak {1}}')}\;$ s'écrivant «$\;\color {transparent}{d^{n}{\underline {f}}(x)+{a'}_{n-1}\,d^{n-1}{\underline {f}}(x)+\cdots +{a'}_{i}\,d^{i}{\underline {f}}(x)+\cdots +{a'}_{0}\,{\underline {f}}(x)={\underline {e}}(x)}\;$» avec «$\;\color {transparent}{{\underline {e}}(x)={\underline {E_{m}}}\,\exp \!\left(i\,k\,x\right)}\;$» $\;k=2\,\pi \,\sigma \;$ de l'excitation,
          L'équation différentielle $\;\color {transparent}{({\mathfrak {1}}')}\;$ s'écrivant «$\;\color {transparent}{d^{n}{\underline {f}}(x)+{a'}_{n-1}\,d^{n-1}{\underline {f}}(x)+\cdots +{a'}_{i}\,d^{i}{\underline {f}}(x)+\cdots +{a'}_{0}\,{\underline {f}}(x)={\underline {e}}(x)}\;$» avec la solution forcée complexe étant cherchée sous la forme
         L'équation différentielle $\;\color {transparent}{({\mathfrak {1}}')}\;$ s'écrivant «$\;\color {transparent}{d^{n}{\underline {f}}(x)+{a'}_{n-1}\,d^{n-1}{\underline {f}}(x)+\cdots +{a'}_{i}\,d^{i}{\underline {f}}(x)+\cdots +{a'}_{0}\,{\underline {f}}(x)={\underline {e}}(x)}\;$» avec la solution forcée complexe étant cherchée $\;{\underline {f_{f}}}(x)={\underline {A_{m}}}\,\exp \!\left(i\,k\,x\right)$,
         L'équation l'équation $\;({\mathfrak {1}}')\;$ de recherche de cette solution se réécrit, en « remplaçant $\;{\dfrac {d^{i}{\underline {f}}}{dx^{i}}}(x)\;$ par $\;\left(i\,k\right)^{i}\;{\underline {f_{f}}}(x)\;$» et en factorisant le 1^er membre par $\;{\underline {f_{f}}}(x)$,
         L'équation l'équation $\;\color {transparent}{({\mathfrak {1}}')}\;$ de recherche de cette solution se réécrit, «$\;\left[\left(i\,k\right)^{n}+{a'}_{n-1}\,\left(i\,k\right)^{n-1}+\cdots +{a'}_{i}\,\left(i\,k\right)^{i}+\cdots +{a'}_{0}\right]{\underline {f_{f}}}(x)={\underline {e}}(x)\;$» ou, en explicitant $\;{\underline {f_{f}}}(x)$,
         L'équation l'équation $\;\color {transparent}{({\mathfrak {1}}')}\;$ de recherche de cette solution se réécrit, «$\;\left[\left(i\,k\right)^{n}+{a'}_{n-1}\,\left(i\,k\right)^{n-1}+\cdots +{a'}_{i}\,\left(i\,k\right)^{i}+\cdots +{a'}_{0}\right]\,{\underline {A_{m}}}\,\exp \!\left(i\,k\,x\right)={\underline {E_{m}}}\,\exp \!\left(i\,k\,x\right)\;$» soit,
         L'équation l'équation $\;\color {transparent}{({\mathfrak {1}}')}\;$ de recherche de cette solution se réécrit en simplifiant par $\;\exp \!\left(i\,k\,x\right)$, «$\;\left[\left(i\,k\right)^{n}+{a'}_{n-1}\,\left(i\,k\right)^{n-1}+\cdots +{a'}_{i}\,\left(i\,k\right)^{i}+\cdots +{a'}_{0}\right]\,{\underline {A_{m}}}={\underline {E_{m}}}\;$»
         L'équation l'équation $\;\color {transparent}{({\mathfrak {1}}')}\;$ de recherche de cette solution se réécrit en simplifiant par $\;\color {transparent}{\exp \!\left(i\,k\,x\right)}$, ${\big (}$indépendante de la variable $\;x{\big )}\;$ ou encore,
         L'équation l'équation $\;\color {transparent}{({\mathfrak {1}}')}\;$ de recherche de cette solution définissant le « polynôme caractéristique de cette équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants d'ordre $\;n\;$» selon
         L'équation l'équation $\;\color {transparent}{({\mathfrak {1}}')}\;$ de recherche de cette solution définissant le «$\;{\mathcal {P}}_{n}\!\left(i\,k\right)=\left(i\,k\right)^{n}+{a'}_{n-1}\,\left(i\,k\right)^{n-1}+\cdots +{a'}_{i}\,\left(i\,k\right)^{i}+\cdots +{a'}_{0}\;$», l'équation $\;({\mathfrak {1}}')\;$ de recherche de $\;{\underline {A_{m}}}\;$ se réécrit,
         L'équation l'équation $\;\color {transparent}{({\mathfrak {1}}')}\;$ de recherche de cette solution se réécrit, «$\;{\mathcal {P}}_{n}\!\left(i\,k\right)\,{\underline {A_{m}}}={\underline {E_{m}}}\;$» $\;{\big (}$indépendante de la variable $\;x{\big )}\;$ établissant l'inexistence de solution forcée complexe pour
          L'équation l'équation $\;\color {transparent}{({\mathfrak {1}}')}\;$ de recherche de cette solution se réécrit «$\;\color {transparent}{{\mathcal {P}}_{n}\!\left(i\,k\right)\,{\underline {A_{m}}}={\underline {E_{m}}}}\;$» $\;\color {transparent}{\big (}$indépendante de la variable $\;\color {transparent}{x{\big )}}\;$ établissant l'inexistence les valeurs de pulsation $\;{\big (}$spatiale${\big )}$ $\;k\;$
          L'équation l'équation $\;\color {transparent}{({\mathfrak {1}}')}\;$ de recherche de cette solution se réécrit «$\;\color {transparent}{{\mathcal {P}}_{n}\!\left(i\,k\right)\,{\underline {A_{m}}}={\underline {E_{m}}}}\;$» $\;\color {transparent}{\big (}$indépendante de la variable $\;\color {transparent}{x{\big )}}\;$ établissant l'inexistence telles que $\;{\mathcal {P}}_{n}\!\left(i\,k\right)=0\;$ ${\big [}{\underline {A_{m}}}\;$ y serait de
                                   L'équation l'équation $\;\color {transparent}{({\mathfrak {1}}')}\;$ de recherche de cette solution se réécrit «$\;\color {transparent}{\left[-k^{2}+i\,b\,k+c\right]{\underline {A_{m}}}={\underline {E_{m}}}}\;$» $\color {transparent}{\big (}$indépendante de la variable $\;\color {transparent}{x{\big )}}\;$ établissant l'inexistence module $\;\infty {\big ]}\;$ mais
          L'équation l'équation $\;\color {transparent}{({\mathfrak {1}}')}\;$ de recherche de cette solution se réécrit «$\;\color {transparent}{{\mathcal {P}}_{n}\!\left(i\,k\right)\,{\underline {A_{m}}}={\underline {E_{m}}}}\;$» $\;\color {transparent}{\big (}$indépendante de la variable $\;\color {transparent}{x{\big )}}\;$ établissant l'existence de la solution forcée complexe pour
          L'équation l'équation $\;\color {transparent}{({\mathfrak {1}}')}\;$ de recherche de cette solution se réécrit «$\;\color {transparent}{{\mathcal {P}}_{n}\!\left(i\,k\right)\,{\underline {A_{m}}}={\underline {E_{m}}}}\;$» $\;\color {transparent}{\big (}$indépendante de la variable $\;\color {transparent}{x{\big )}}\;$ établissant l'existence les valeurs de pulsation $\;{\big (}$spatiale${\big )}$ $\;k\;$
          L'équation l'équation $\;\color {transparent}{({\mathfrak {1}}')}\;$ de recherche de cette solution se réécrit «$\;\color {transparent}{{\mathcal {P}}_{n}\!\left(i\,k\right)\,{\underline {A_{m}}}={\underline {E_{m}}}}\;$» $\;\color {transparent}{\big (}$indépendante de la variable $\;\color {transparent}{x{\big )}}\;$ établissant l'existence telles que $\;{\mathcal {P}}_{n}\!\left(i\,k\right)\neq 0\;$
          L'équation l'équation $\;\color {transparent}{({\mathfrak {1}}')}\;$ de recherche de cette solution correspondant à une amplitude complexe «$\;{\underline {A_{m}}}={\dfrac {\underline {E_{m}}}{{\mathcal {P}}_{n}\!\left(i\,k\right)}}={\dfrac {\underline {E_{m}}}{{\mathcal {P}}_{n}\!\left(i\,2\,\pi \,\sigma \right)}}\;$» et
          L'équation l'équation $\;\color {transparent}{({\mathfrak {1}}')}\;$ de recherche de cette solution correspondant à la solution forcée complexe «$\;{\underline {f_{f}}}(x)={\dfrac {\underline {E_{m}}}{{\mathcal {P}}_{n}\!\left(i\,k\right)}}\,\exp \!\left(i\,k\,x\right)={\dfrac {\underline {E_{m}}}{{\mathcal {P}}_{n}\!\left(i\,2\,\pi \,\sigma \right)}}\,\exp \!\left[i\left(2\,\pi \,\sigma \,x\right)\right]\;$».

Détermination de l'amplitude et de la phase à l'origine de la réponse forcée sinusoïdale (quand celle-ci existe) à partir de l'amplitude complexe de la réponse forcée complexe

     Compte-tenu de la définition de l'amplitude complexe $\;{\underline {A_{m}}}=A_{m}\;\exp \!\left(i\,\psi \right)\;$ on en déduit «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}A_{m}=\vert {\underline {A_{m}}}\vert \\\psi =\mathrm {arg} \!\left[{\underline {A_{m}}}\right]\end{array}}\right\rbrace \;$».

Amplitude et phase à l'origine de la solution sinusoïdale forcée de l'équation différentielle (1) ou (2) du 1^er ordre

     Ayant introduit la pulsation $\;{\big (}$spatiale${\big )}$ $\;k_{\text{puls}}=2\,\pi \,\sigma \;$ et
     Ayant trouvé, pour toutes valeurs de celle-ci, une valeur d'amplitude complexe «$\;{\underline {A_{m}}}={\dfrac {\underline {E_{m}}}{k+i\,k_{\text{puls}}}}={\dfrac {\underline {E_{m}}}{k+i\,2\,\pi \,\sigma }}\;$»
     on en déduit, pour la réponse forcée sinusoïdale, $\blacktriangleright \;$son amplitude «$\;A_{m}=\vert {\underline {A_{m}}}\vert ={\dfrac {E_{m}}{\sqrt {k^{2}+k_{\text{puls}}^{2}}}}={\dfrac {E_{m}}{\sqrt {k^{2}+4\,\pi ^{2}\,\sigma ^{2}}}}\;$» et
     on en déduit, pour la réponse forcée sinusoïdale, $\blacktriangleright \;$sa phase à l'origine «$\;\psi =\mathrm {arg} \!\left[{\underline {A_{m}}}\right]=\varphi _{e}-\arctan \!\left[{\dfrac {k_{\text{puls}}}{k}}\right]=\varphi _{e}-\arctan \!\left[{\dfrac {2\,\pi \,\sigma }{k}}\right]\;$».

Amplitude et phase à l'origine de la solution sinusoïdale forcée de l'équation différentielle (1) ou (2) du 2^ème ordre

     Ayant introduit la pulsation $\;{\big (}$spatiale${\big )}$ $\;k=2\,\pi \,\sigma \;$ et
     Ayant trouvé, pour toutes valeurs de celle-ci quand $\;\left\lbrace {\begin{array}{l c l c l}b\neq 0\\b=0\!\!&{\text{avec}}&\!\!c<0\\b=0\!\!&{\text{avec}}&\!\!c>0\!\!&{\text{et}}&\!\!k\neq {\sqrt {c}}\end{array}}\right\rbrace$, une valeur d'amplitude complexe «$\;{\underline {A_{m}}}={\dfrac {\underline {E_{m}}}{(c-k^{2})+i\,b\,k}}={\dfrac {\underline {E_{m}}}{\left[c-\left(2\,\pi \,\sigma \right)^{2}\right]+i\,b\,2\,\pi \,\sigma }}\;$»
     on en déduit, pour la réponse forcée sinusoïdale, $\blacktriangleright \;$son amplitude «$\;A_{m}=\vert {\underline {A_{m}}}\vert ={\dfrac {E_{m}}{\sqrt {\left(c-k^{2}\right)^{2}+b^{2}\,k^{2}}}}={\dfrac {E_{m}}{\sqrt {\left(c-4\,\pi ^{2}\,\sigma ^{2}\right)^{2}+b^{2}\,4\,\pi ^{2}\,\sigma ^{2}}}}\;$» et
     on en déduit, pour la réponse forcée sinusoïdale, $\blacktriangleright \;$sa phase à l'origine «$\;\psi =\mathrm {arg} \!\left[{\underline {A_{m}}}\right]=\varphi _{e}-\mathrm {arg} \!\left[(c-k^{2})+i\,b\,k\right]=\varphi _{e}-\mathrm {arg} \!\left\lbrace i\,b\,k\left[1-i\,{\dfrac {c-k^{2}}{b\,k}}\right]\right\rbrace \;$ soit encore
     on en déduit, pour la réponse forcée sinusoïdale, $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$sa phase à l'origine «$\;\psi =\varphi _{e}-\mathrm {sgn} (b)\,{\dfrac {\pi }{2}}+\arctan \!\left[{\dfrac {c-k^{2}}{b\,k}}\right]=\varphi _{e}-\mathrm {sgn} (b)\,{\dfrac {\pi }{2}}+\arctan \!\left[{\dfrac {c-4\,\pi ^{2}\,\sigma ^{2}}{b\,2\,\pi \,\sigma }}\right]\;$».

Expression de la réponse forcée sinusoïdale (quand celle-ci existe) de l'équation différentielle (1) ou (2) à l'excitation sinusoïdale

     Dans l'équation différentielle $\;\left({\mathfrak {1}}\right)\;$ l'excitation ayant la forme $\;e(x)=E_{m}\,\cos \!\left(2\,\pi \,\sigma \,x+\varphi _{e}\right)$, la réponse forcée sinusoïdale de $\;\left({\mathfrak {1}}\right)\;$ à l'excitation s'écrit $\;f_{f}(x)=A_{m}\,\cos \!\left(2\,\pi \,\sigma \,x+\psi \right)\;$ et

     dans l'équation différentielle $\;\left({\mathfrak {2}}\right)\;$ l'excitation ayant la forme $\;e(x)=E_{m}\,\sin \!\left(2\,\pi \,\sigma \,x+\varphi _{e}\right)$, la réponse forcée sinusoïdale de $\;\left({\mathfrak {2}}\right)\;$ à l'excitation s'écrit $\;f_{f}(x)=A_{m}\,\sin \!\left(2\,\pi \,\sigma \,x+\psi \right)$.

Cas de l'échec de la méthode de recherche de la solution forcée sinusoïdale d'une équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants hétérogène à excitation sinusoïdale, le polynôme caractéristique s'annulant pour la pulsation (spatiale) envisagée

     Nous avons vu qu'il n'y avait jamais échec dans le cas d'une équation différentielle du 1^er ordre ni
     Nous avons vu qu'il n'y avait jamais échec dans le cas d'une équation différentielle du 2^ème ordre si $\;b\neq 0\;$ ;

     Nous avons vu qu'il n'y a pas échec dans le cas d'une équation différentielle du 2^ème ordre où $\;b=0\;$ et $\;c<0\;$ ainsi que
     Nous avons vu qu'il n'y a pas échec dans le cas d'une équation différentielle du 2^ème ordre où $\;b=0\;$ et $\;c>0\;$ pour les pulsations $\;{\big (}$spatiales${\big )}$ de l'excitation $\;k\neq {\sqrt {c}}\;$ mais
     Nous avons vu qu'il y a échec dans le cas d'une équation différentielle du 2^ème ordre où $\;b=0\;$ et $\;c>0\;$ pour la pulsation $\;{\big (}$spatiale${\big )}$ de l'excitation valant $\;k_{0}={\sqrt {c}}\;$
     Nous avons vu qu'il y a échec dans le cas d'une équation différentielle du 2^ème ordre où $\;\color {transparent}{b=0}\;$ et $\;\color {transparent}{c>0}\;$ à laquelle correspond le polynôme caractéristique de l'équation différentielle s'annulant ;

     nous nous plaçons donc dans le cas d'une équation différentielle du 2^ème ordre où $\;b=0\;$ et $\;c>0$, la pulsation $\;{\big (}$spatiale${\big )}$ de l'excitation valant $\;k_{0}={\sqrt {c}}\;$ ;

      nous nous plaçons donc dans le cas soit l'équation différentielle «$\;{\dfrac {d^{2}f}{dx^{2}}}(x)+c\;f(x)=e(x)\;$ avec $\;c>0\;$ et $\;e(x)=E_{m}\,\cos \!\left({\sqrt {c}}\;x+\varphi _{e}\right)\;$» ou encore
      nous nous plaçons donc dans le cas soit l'équation différentielle «$\;{\dfrac {d^{2}f}{dx^{2}}}(x)+k_{0}^{2}\;f(x)=e(x)\;$ avec $\;e(x)=E_{m}\,\cos \!\left(k_{0}\;x+\varphi _{e}\right)\;$» $\;{\big (}$en éliminant $\;c>0\;$ au profit de $\;k_{0}={\sqrt {c}}{\big )}$ ;
      nous nous plaçons donc dans le cas comme il n'existe pas de solution particulière de l'équation différentielle linéaire hétérogène de même forme que l'excitation,
      nous nous plaçons donc dans le cas comme il n'existe pas il convient donc d'en chercher une sous une autre forme et nous le ferons
      nous nous plaçons donc dans le cas comme il n'existe pas il convient donc d'en chercher une sous la forme «$\;f_{\text{part. d'équa hétéro}}(x)=\alpha \;x\;\cos \!\left(k_{0}\;x+\psi \right)\;$».

Détermination directe de α et ψ

     Nous cherchons une solution particulière de l'équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 2^ème ordre «$\;{\dfrac {d^{2}f}{dx^{2}}}(x)+k_{0}^{2}\;f(x)=E_{m}\,\cos \!\left(k_{0}\;x+\varphi _{e}\right)\;$»
     Nous cherchons une solution particulière sous la forme «$\;f_{\text{part. d'équa hétéro}}(x)=\alpha \;x\;\cos \!\left(k_{0}\;x+\psi \right)\;$» et
     Nous cherchons une solution particulière pour cela nous évaluons $\blacktriangleright \;$«$\;{\dfrac {df_{\text{part. d'équa hétéro}}}{dx}}(x)=\alpha \;\cos \!\left(k_{0}\;x+\psi \right)-\alpha \;x\;k_{0}\;\sin \!\left(k_{0}\;x+\psi \right)\;$» et
     Nous cherchons une solution particulière pour cela nous évaluons $\blacktriangleright \;$«$\;{\dfrac {d^{2}f_{\text{part. d'équa hétéro}}}{dx^{2}}}(x)=-2\,\alpha \;k_{0}\;\sin \!\left(k_{0}\;x+\psi \right)-\alpha \;x\;k_{0}^{2}\;\cos \!\left(k_{0}\;x+\psi \right)\;$» d'où, par report dans le 1^er membre de
       Nous cherchons une solution particulière «$\;\color {transparent}{d^{2}f_{\text{part. d'équa hétéro}}(x)+k_{0}^{2}\;f_{\text{part. d'équa hétéro}}(x)=-2\,\alpha \;k_{0}\;\sin \!\left(k_{0}\;x+\psi \right)-\alpha \;x\;k_{0}^{2}\;\cos \!\left(k_{0}\;x+\psi \right)}\;$ d'où, par report l'équation différentielle,
     Nous cherchons une solution particulière «$\;{\dfrac {d^{2}f_{\text{part. d'équa hétéro}}}{dx^{2}}}(x)+k_{0}^{2}\;f_{\text{part. d'équa hétéro}}(x)=\left[-2\,\alpha \;k_{0}\;\sin \!\left(k_{0}\;x+\psi \right)-{\cancel {\alpha \;x\;k_{0}^{2}\;\cos \!\left(k_{0}\;x+\psi \right)}}\right]+{\cancel {k_{0}^{2}\;\alpha \;x\;\cos \!\left(k_{0}\;x+\psi \right)}}$
       Nous cherchons une solution particulière «$\;\color {transparent}{d^{2}f_{\text{part. d'équa hétéro}}(x)+k_{0}^{2}\;f_{\text{part. d'équa hétéro}}(x)}$ $=-2\,\alpha \;k_{0}\;\sin \!\left(k_{0}\;x+\psi \right)\;$» à identifier à «$\;E_{m}\,\cos \!\left(k_{0}\;x+\varphi _{e}\right)\;$» ou, l'identification suivante
       Nous cherchons une solution particulière «$\;\color {transparent}{d^{2}f_{\text{part. d'équa hétéro}}(x)+k_{0}^{2}\;f_{\text{part. d'équa hétéro}}(x)}$ «$\;2\,\alpha \;k_{0}\;\cos \!\left(k_{0}\;x+\psi +{\dfrac {\pi }{2}}\right)=E_{m}\,\cos \!\left(k_{0}\;x+\varphi _{e}\right)\;\;\forall \;x\;$» $\Rightarrow$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\alpha ={\dfrac {E_{m}}{2\;k_{0}}}\\\psi =\varphi _{e}-{\dfrac {\pi }{2}}\end{array}}\right\rbrace \;$ d'où
       Nous cherchons la solution particulière de l'équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 2^ème ordre «$\;{\dfrac {d^{2}f}{dx^{2}}}(x)+k_{0}^{2}\;f(x)=E_{m}\,\cos \!\left(k_{0}\;x+\varphi _{e}\right)\;$»
       Nous cherchons la solution particulière «$\;f_{\text{part. d'équa hétéro}}(x)={\dfrac {E_{m}}{2\;k_{0}}}\;x\;\cos \!\left(k_{0}\;x+\varphi _{e}-{\dfrac {\pi }{2}}\right)={\dfrac {E_{m}}{2\;k_{0}}}\;x\;\sin \!\left(k_{0}\;x+\varphi _{e}\right)\;$».

Détermination de α et ψ par prolongement de la méthode « des complexes »

     Nous cherchons une solution particulière de l'équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 2^ème ordre «$\;{\dfrac {d^{2}f}{dx^{2}}}(x)+k_{0}^{2}\;f(x)=e(x)=E_{m}\,\cos \!\left(k_{0}\;x+\varphi _{e}\right)\;\;({\mathfrak {1}})\;$»
     Nous cherchons une solution particulière sous la forme «$\;f_{\text{part. d'équa hétéro}}(x)=\alpha \;x\;\cos \!\left(k_{0}\;x+\psi \right)\;$» par prolongement de la méthode « des complexes » c.-à-d.
     Nous cherchons une solution particulière en introduisant l'excitation complexe $\;{\underline {e}}(x)={\underline {E_{m}}}\,\exp \!\left(i\,k_{0}\;x\right)\;$ associée à l'excitation sinusoïdale $\;e(x)=E_{m}\,\cos \!\left(k_{0}\;x+\varphi _{e}\right)$,
     Nous cherchons une solution particulière en introduisant l'amplitude complexe étant $\;{\underline {E_{m}}}=E_{m}\,\exp \!\left(i\,\varphi _{e}\right)\;$ et
          en cherchant la solution particulière complexe de l'équation différentielle «$\;({\mathfrak {1}}')\;\;{\dfrac {d^{2}{\underline {f}}}{dx^{2}}}(x)+k_{0}^{2}\;{\underline {f}}(x)={\underline {e}}(x)\;$» sous la forme «$\;{\underline {f_{\text{part. équa hétéro}}}}(x)={\underline {\alpha }}\,x\,\exp \!\left(i\,k_{0}\;x\right)\;$», avec
                 en cherchant la solution particulière complexe de l'équation différentielle «$\;\color {transparent}{({\mathfrak {1}}')\;\;d^{2}{\underline {f}}(x)+k_{0}^{2}\;{\underline {f}}(x)={\underline {e}}(x)}\;$» «$\;{\underline {\alpha }}=\alpha \,\exp \!\left(i\,\psi \right)\;$ cœfficient multiplicateur de $\;x\;$ dans la pseudo-amplitude
                 en cherchant la solution particulière complexe de l'équation différentielle «$\;\color {transparent}{({\mathfrak {1}}')\;\;d^{2}{\underline {f}}(x)+k_{0}^{2}\;{\underline {f}}(x)={\underline {e}}(x)}\;$» «$\;\color {transparent}{{\underline {\alpha }}=\alpha \,\exp \!\left(i\,\psi \right)}\;$ est le cœfficient complexe de $\;{\underline {f_{\text{part. équa hétéro}}}}(x)\;$»,
          en cherchant la solution particulière de l'équation différentielle $\;({\mathfrak {1}})\;$ étant «$\;f_{\text{part. équa hétéro}}(x)=\alpha \,x\,\cos \!\left(k_{0}\;x+\psi \right)\;$ partie réelle de $\;{\underline {f_{\text{part. équa hétéro}}}}(x)={\underline {\alpha }}\,x\,\exp \!\left(i\,k_{0}\;x\right)\;$» ;

          en cherchant la solution particulière pour cela nous évaluons $\blacktriangleright \;$«$\;{\dfrac {d{\underline {f_{\text{part. d'équa hétéro}}}}}{dx}}(x)={\underline {\alpha }}\;\exp \!\left(i\,k_{0}\;x\right)+i\,k_{0}\,{\underline {\alpha }}\;x\;\exp \!\left(i\,k_{0}\;x\right)\;$» et
          en cherchant la solution particulière pour cela nous évaluons $\blacktriangleright \;$«$\;{\dfrac {d^{2}{\underline {f_{\text{part. d'équa hétéro}}}}}{dx^{2}}}(x)=2\,i\,k_{0}\;{\underline {\alpha }}\;\exp \!\left(i\,k_{0}\;x\right)+\left(i\,k_{0}\right)^{2}\,{\underline {\alpha }}\;x\;\exp \!\left(i\,k_{0}\;x\right)\;$» d'où, par report dans le 1^er membre de
                    en cherchant la solution particulière pour cela nous évaluons $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$«$\;\color {transparent}{d^{2}f_{\text{part. d'équa hétéro}}(x)=2\,i\,k_{0}\;{\underline {\alpha }}\;\exp \!\left(i\,k_{0}\;x\right)+\left(i\,k_{0}\right)^{2}\,{\underline {\alpha }}\;x\;\exp \!\left(i\,k_{0}\;x\right)}\;$ d'où, par report l'équation différentielle $\;({\mathfrak {1}}')$,
          en cherchant la solution particulière «$\;{\dfrac {d^{2}{\underline {f_{\text{part. d'équa hétéro}}}}}{dx^{2}}}(x)+k_{0}^{2}\;{\underline {f_{\text{part. d'équa hétéro}}}}(x)=\left[2\,i\,k_{0}\;{\underline {\alpha }}\;\exp \!\left(i\,k_{0}\;x\right)+{\cancel {\left(i\,k_{0}\right)^{2}\,{\underline {\alpha }}\;x\;\exp \!\left(i\,k_{0}\;x\right)}}\right]+{\cancel {k_{0}^{2}\;{\underline {\alpha }}\;x\;\exp \!\left(i\,k_{0}\;x\right)}}$
           en cherchant la solution particulière «$\;\color {transparent}{d^{2}f_{\text{part. d'équa hétéro}}(x)+k_{0}^{2}\;f_{\text{part. d'équa hétéro}}(x)}$ $=2\,i\,k_{0}\;{\underline {\alpha }}\;\exp \!\left(i\,k_{0}\;x\right)\;$» à identifier à «$\;{\underline {E_{m}}}\,\exp \!\left(i\,k_{0}\;x\right)\;$» $\Rightarrow$ «$\;2\,i\,k_{0}\;{\underline {\alpha }}={\underline {E_{m}}}\;$» d'où
          en cherchant la solution particulière le cœfficient multiplicateur de $\;x\;$ dans la pseudo-amplitude complexe de $\;{\underline {f_{\text{part. équa hétéro}}}}(x)$, «$\;{\underline {\alpha }}=-i\;{\dfrac {\underline {E_{m}}}{2\;k_{0}}}\;$» dont on tire
          en cherchant la solution particulière le cœfficient multiplicateur de $\;\color {transparent}{x}\;$ dans la pseudo-amplitude complexe de $\;\color {transparent}{{\underline {f_{\text{part. équa hétéro}}}}(x)}$, «$\;\alpha =\vert {\underline {\alpha }}\vert ={\dfrac {E_{m}}{2\;k_{0}}}\;$» ainsi que
          en cherchant la solution particulière le cœfficient multiplicateur de $\;\color {transparent}{x}\;$ dans la pseudo-amplitude complexe de $\;\color {transparent}{{\underline {f_{\text{part. équa hétéro}}}}(x)}$, «$\;\psi =\mathrm {arg} \!\left[{\underline {\alpha }}\right]=\varphi _{e}-{\dfrac {\pi }{2}}\;$» et par suite

          en cherchant la solution particulière de l'équation différentielle $\;({\mathfrak {1}})\;$ «$\;{\dfrac {d^{2}f}{dx^{2}}}(x)+k_{0}^{2}\;f(x)=E_{m}\,\cos \!\left(k_{0}\;x+\varphi _{e}\right)\;$» s'écrit selon
          en cherchant la solution particulière «$\;f_{\text{part. d'équa hétéro}}(x)={\dfrac {E_{m}}{2\;k_{0}}}\;x\;\cos \!\left(k_{0}\;x+\varphi _{e}-{\dfrac {\pi }{2}}\right)={\dfrac {E_{m}}{2\;k_{0}}}\;x\;\sin \!\left(k_{0}\;x+\varphi _{e}\right)\;$».

     Remarque : La méthode directe de détermination de la solution particulière de l'équation différentielle $\;{\dfrac {d^{2}f}{dx^{2}}}(x)+k_{0}^{2}\;f(x)=E_{m}\,\cos \!\left(k_{0}\;x+\varphi _{e}\right)\;$ étant relativement simple,
     Remarque : l'utilisation de la généralisation de la méthode « des complexes » ne se justifie absolument pas $\;\ldots$

Résolution d'une équation différentielle linéaire à cœfficients non constants du 1^er ordre

Cas d'une équation différentielle linéaire à cœfficients non constants du 1^er ordre homogène

     Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 1^er ordre en $\;f(x)\;$ homogène «$\;f'(x)+a_{0}(x)\;f(x)=0\;$» avec «$\;a_{0}(x)\;$ fonction réelle connue de la variable réelle $\;x\;$» ;
     ci-après nous indiquons deux méthodes pour résoudre cette équation différentielle :

• une 1^ère n'utilisant pas le caractère « linéaire » de l'équation différentielle, « méthode de séparation des variables » : l'équation différentielle se réécrivant, après « adoption de la notation différentielle de la dérivée $\;f'(x)={\dfrac {df}{dx}}(x)\;$ », selon «$\;{\dfrac {df}{dx}}+a_{0}(x)\;f(x)=0\;$» dont nous déduisons, par séparation des variables, «$\;{\dfrac {df}{f}}=-a_{0}(x)\;dx\;$» dans la mesure où $\;f(x)\;$ n'est pas la fonction nulle $\;{\big \{}f(x)=0\;\;\forall \;x\;$ étant une solution triviale de l'équation différentielle, la supprimer pour poursuivre la résolution ne restreindra pas l'ensemble des solutions${\big \}}$ ;
  une 1^ère n'utilisant pas le caractère « linéaire » notant $\;A_{0}(x)\;$ une primitive de la fonction $\;a_{0}(x)$,
  une 1^ère n'utilisant pas le caractère « linéaire » «$\;{\dfrac {df}{f}}=-a_{0}(x)\;dx\;$ s'intègre en $\;\ln \!\left(\vert f\vert \right)=-A_{0}(x)+A\;$ avec $\;A\;\in \;\mathbb {R} \;$ constante d'intégration » ou
   une 1^ère n'utilisant pas le caractère « linéaire » «$\;\color {transparent}{df=-a_{0}(x)\;dx}\;$ s'intègre en «$\;\ln \!\left(\vert f\vert \right)=-A_{0}(x)+\ln \!\left(\vert \lambda \vert \right)\;$ avec $\;\lambda \;\in \;\mathbb {R} ^{*}\;$ telle que $\;\vert \lambda \vert =\exp(A)\;$»
   une 1^ère n'utilisant pas le caractère « linéaire » «$\;\color {transparent}{df=-a_{0}(x)\;dx}\;$ s'intègre en «$\;\color {transparent}{\ln \!\left(\vert f\vert \right)=-A_{0}(x)+\ln \!\left(\vert \lambda \vert \right)}\;$ qui s'inverse en «$\;f(x)=\lambda \;\exp \!\left[-A_{0}(x)\right]\;$ avec $\;\lambda \in \mathbb {R} ^{*}\;$ constante d'intégration » ;
  une 1^ère n'utilisant pas le caractère « linéaire » finalement en ajoutant la solution triviale $\;f(x)=0\;\;\forall \;x\;$ à la solution précédente, nous en déduisons que
  une 1^ère n'utilisant pas le caractère « linéaire » finalement la solution générale de l'équation différentielle linéaire normalisée du 1^er ordre en $\;f(x)\;$ homogène «$\;f'(x)+a_{0}(x)\;f(x)=0\;$» avec $\;a_{0}(x)\;$ fonction réelle connue de la variable réelle $\;x\;$ s'écrit «$\;f(x)=\lambda \;\exp \!\left[-A_{0}(x)\right]\;$ avec $\;\lambda \in \mathbb {R} \;$ constante d'intégration », «$\;A_{0}(x)\;$ étant une primitive de $\;a_{0}(x)\;$» ;
• une 2^ème utilisant le caractère « linéaire » de l'équation différentielle et le qualificatif « homogène » de celle-ci, ce qui permet d'utiliser la « propriété (admise) de l'ensemble des solutions d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ou 2^ème ordre homogène » énoncée plus haut dans ce chapitre ;
  une 2^ème utilisant le caractère « linéaire » l'ensemble des solutions de l'équation différentielle linéaire du 1^er ordre en $\;f(x)\;$ homogène «$\;f'(x)+a_{0}(x)\;f(x)=0\;$»
       une 2^ème utilisant le caractère « linéaire » l'ensemble des solutions de l'équation différentielle linéaire du 1^er ordre en $\;\color {transparent}{f(x)}\;$ homogène étant un espace vectoriel à une dimension, il suffit de
  une 2^ème utilisant le caractère « linéaire » déterminer une base de l'ensemble cherché pour obtenir tout l'ensemble c.-à-d. de
  une 2^ème utilisant le caractère « linéaire » trouver une solution particulière de cette équation différentielle linéaire du 1^er ordre homogène pour obtenir toutes les solutions possibles de cette équation
  une 2^ème utilisant le caractère « linéaire » trouver une solution particulière de cette équation différentielle linéaire du 1^er ordre homogène pour obtenir ${\big [}$c.-à-d. les multiples de la solution particulière${\big ]}\;$ d'où
  une 2^ème utilisant le caractère « linéaire » la recherche d'une « solution particulière $\;f_{\text{part}}(x)\;$ de forme exponentielle $\;\exp \left[s(x)\right]\;$» car sa « dérivée 1^ère $\;s'(x)\;\exp \left[s(x)\right]\;$ étant $\;\propto \;$ à $\;f_{\text{part}}(x)\;$» et
  une 2^ème utilisant le caractère « linéaire » la recherche d'une « solution particulière $\;\color {transparent}{f_{\text{part}}(x)}\;$ de forme exponentielle $\;\color {transparent}{\exp \left[s(x)\right]}\;$» car l'« équation différentielle étant homogène »,
  une 2^ème utilisant le caractère « linéaire » la recherche d'une « solution particulière $\;\color {transparent}{f_{\text{part}}(x)}\;$ de forme exponentielle $\;\color {transparent}{\exp \left[s(x)\right]}\;$» nous pouvons « simplifier par $\;\exp \left[s(x)\right]\;$» d'où
  une 2^ème utilisant le caractère « linéaire » la réécriture de l'équation différentielle après simplification «$\;s'(x)+a_{0}(x)=0\;$» qui s'intègre en «$\;s(x)=-\displaystyle \int ^{x}a_{0}(x')\;dx'\;$» et par suite
  une 2^ème utilisant le caractère « linéaire » la solution particulière $\;f_{\text{part}}(x)\;$ de l'équation différentielle linéaire du 1^er ordre en $\;f(x)\;$ homogène «$\;f'(x)+a_{0}(x)\;f(x)=0\;$», s'écrit
  une 2^ème utilisant le caractère « linéaire » la solution particulière$\;f_{\text{part}}(x)=\exp \left[-A_{0}(x)\right]\;$ avec $\;A_{0}(x)\;$ primitive de $\;a_{0}(x)$ ;
  une 2^ème utilisant le caractère « linéaire » finalement la solution générale de l'équation différentielle linéaire du 1^er ordre en $\;f(x)\;$ homogène «$\;f'(x)+a_{0}(x)\;f(x)=0\;$» avec $\;a_{0}(x)\;$ fonction réelle connue de la variable réelle $\;x\;$ s'écrit «$\;f(x)=\lambda \;f_{\text{part}}(x)=\lambda \;\exp \!\left[-A_{0}(x)\right]\;$ avec $\;\lambda \in \mathbb {R} \;$ constante d'intégration », «$\;A_{0}(x)\;$ étant une primitive de $\;a_{0}(x)\;$».

     Remarque : Bien que la 2^ème méthode soit la plus directe $\;{\big (}$donc la plus rapide${\big )}$, ce n'est celle qui est utilisée préférentiellement par les physiciens.

Cas d'une équation différentielle linéaire à cœfficients non constants du 1^er ordre hétérogène

     Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 1^er ordre en $\;f(x)\;$ hétérogène «$\;f'(x)+a_{0}(x)\;f(x)=e(x)\;$» avec «$\;a_{0}(x)\;$ et $\;e(x)\;$ fonctions réelles connues de la variable réelle $\;x\;$»,
          Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 1^er ordre en $\;\color {transparent}{f(x)}\;$ hétérogène «$\;\color {transparent}{f'(x)+a_{0}(x)\;f(x)=e(x)}\;$» avec «$\;e(x)\;$ étant l'excitation de l'équation différentielle »,
          Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 1^er ordre en $\;\color {transparent}{f(x)}\;$ hétérogène nous utiliserons la méthode de résolution d'une équation différentielle linéaire du 1^er ou 2^ème ordre hétérogène
          Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 1^er ordre en $\;\color {transparent}{f(x)}\;$ hétérogène nous utiliserons la méthode exposée dans le cas de cœfficients constants plus haut dans ce chapitre mais
          Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 1^er ordre en $\;\color {transparent}{f(x)}\;$ hétérogène nous utiliserons la méthode restant applicable dans le cas de cœfficients non constants,
          Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 1^er ordre en $\;\color {transparent}{f(x)}\;$ hétérogène nous utiliserons la méthode fondée sur la propriété suivante
          Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 1^er ordre en $\;\color {transparent}{f(x)}\;$ hétérogène « la solution générale d'une équation différentielle linéaire hétérogène est
          Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 1^er ordre en $\;\color {transparent}{f(x)}\;$ hétérogène « la somme de la solution générale de l'équation homogène correspondante et
          Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 1^er ordre en $\;\color {transparent}{f(x)}\;$ hétérogène « la somme d'une solution particulière de l'équation hétérogène » c.-à-d.
          Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 1^er ordre en $\;\color {transparent}{f(x)}\;$ hétérogène «$\;f_{\text{géné de l'équa hétéro}}(x)=f_{\text{géné de l'équa homo}}(x)+f_{\text{part de l'équa hétéro}}(x)\;$» ;

          Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 1^er ordre en $\;\color {transparent}{f(x)}\;$ hétérogène or la solution générale de l'équation différentielle linéaire normalisée du 1^er ordre en $\;f(x)\;$ homogène
          Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 1^er ordre en $\;\color {transparent}{f(x)}\;$ hétérogène or la solution générale de «$\;f'(x)+a_{0}(x)\;f(x)=0\;$» étant «$\;f_{\text{géné de l'équa homo}}(x)=\lambda \;\exp \!\left[-A_{0}(x)\right]\;$
          Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 1^er ordre en $\;\color {transparent}{f(x)}\;$ hétérogène or la solution générale de «$\;\color {transparent}{f'(x)+a_{0}(x)\;f(x)=0}\;$» étant « avec $\;\lambda \in \mathbb {R} \;$ constante d'intégration et
          Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 1^er ordre en $\;\color {transparent}{f(x)}\;$ hétérogène or la solution générale de «$\;\color {transparent}{f'(x)+a_{0}(x)\;f(x)=0}\;$» étant « avec $\;A_{0}(x)\;$ une primitive de $\;a_{0}(x)\;$»,

          Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 1^er ordre en $\;\color {transparent}{f(x)}\;$ hétérogène pour fixer la solution générale de l'équation différentielle linéaire normalisée du 1^er ordre en $\;f(x)\;$ hétérogène
          Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 1^er ordre en $\;\color {transparent}{f(x)}\;$ hétérogène pour fixer la solution générale de «$\;f'(x)+a_{0}(x)\;f(x)=e(x)\;$» il reste à en déterminer une solution particulière et,
          Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 1^er ordre en $\;\color {transparent}{f(x)}\;$ hétérogène pour cela, nous appliquons la « méthode de variation des constantes » $\;{\big \{}$inventée par Pierre-Simon Laplace
          Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 1^er ordre en $\;\color {transparent}{f(x)}\;$ hétérogène pour cela, nous appliquons la « applicable à des équations différentielles linéaires hétérogènes d'ordre quelconque${\big \}}\;$
          Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 1^er ordre en $\;\color {transparent}{f(x)}\;$ hétérogène pour d'où, recherche d'une solution particulière sous la forme «$\;f_{\text{part de l'équa hétéro}}(x)=g(x)\;\exp \!\left[-A_{0}(x)\right]\;$
          Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 1^er ordre en $\;\color {transparent}{f(x)}\;$ hétérogène pour d'où, recherche d'une solution particulière sous la forme « avec $\;g(x)\;$ fonction à déterminer et
          Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 1^er ordre en $\;\color {transparent}{f(x)}\;$ hétérogène pour d'où, recherche d'une solution particulière sous la forme avec « $\;A_{0}(x)\;$ une primitive de $\;a_{0}(x)\;$», $\Rightarrow$
          Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 1^er ordre en $\;\color {transparent}{f(x)}\;$ hétérogène pour cela, «$\;{f'}_{\!{\text{part de l'équa hétéro}}}(x)=g'(x)\;\exp \!\left[-A_{0}(x)\right]+g(x)\;\exp \!\left[-A_{0}(x)\right]\,\left[-{A'}_{\!0}(x)\right]$
          Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 1^er ordre en $\;\color {transparent}{f(x)}\;$ hétérogène pour cela, «$\;\color {transparent}{{f'}_{\!{\text{part de l'équa hétéro}}}(x)}$ $=g'(x)\;\exp \!\left[-A_{0}(x)\right]-g(x)\;a_{0}(x)\;\exp \!\left[-A_{0}(x)\right]\;$», le report des
          Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 1^er ordre en $\;\color {transparent}{f(x)}\;$ hétérogène pour cela, expressions de la fonction et de sa dérivée dans l'équation différentielle linéaire hétérogène donnant
          Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 1^er ordre en $\;\color {transparent}{f(x)}\;$ hétérogène pour cela, «$\;\left\lbrace g'(x)\;\exp \!\left[-A_{0}(x)\right]-g(x)\;a_{0}(x)\;\exp \!\left[-A_{0}(x)\right]\right\rbrace +a_{0}(x)\,\left\lbrace g(x)\;\exp \!\left[-A_{0}(x)\right]\right\rbrace =e(x)\;$» soit,
          Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 1^er ordre en $\;\color {transparent}{f(x)}\;$ hétérogène pour cela, après simplification, «$\;g'(x)\;\exp \!\left[-A_{0}(x)\right]=e(x)\;$» $\Leftrightarrow$ «$\;g'(x)=e(x)\;\exp \!\left[A_{0}(x)\right]\;$» $\Rightarrow$
          Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 1^er ordre en $\;\color {transparent}{f(x)}\;$ hétérogène pour cela, «$\;g(x)\;$ est une primitive de $\;e(x)\;\exp \!\left[A_{0}(x)\right]\;$» c.-à-d. «$\;g(x)=\displaystyle \int ^{x}e(x')\;\exp \!\left[A_{0}(x')\right]dx'\;$»,

          Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 1^er ordre en $\;\color {transparent}{f(x)}\;$ hétérogène pour d'où «$\;f_{\text{part de l'équa hétéro}}(x)=\left\lbrace \displaystyle \int ^{x}e(x')\;\exp \!\left[A_{0}(x')\right]dx'\right\rbrace \,\exp \!\left[-A_{0}(x)\right]\;$» $\Rightarrow$
          Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 1^er ordre en $\;\color {transparent}{f(x)}\;$ hétérogène «$\;f_{\text{géné de l'équa hétéro}}(x)=\left\lbrace \displaystyle \int ^{x}e(x')\;\exp \!\left[A_{0}(x')\right]dx'\right\rbrace \,\exp \!\left[-A_{0}(x)\right]+\lambda \;\exp \!\left[-A_{0}(x)\right]\;$»
          Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 1^er ordre en $\;\color {transparent}{f(x)}\;$ hétérogène «$\;\color {transparent}{f_{\text{géné de l'équa hétéro}}(x)=}$ $\;{\big (}$avec $\;\lambda \in \mathbb {R} \;$ constante d'intégration${\big )}\;$ soit, «$\;\displaystyle \int ^{x}e(x')\;\exp \!\left[A_{0}(x')\right]dx'\;$ étant
          Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 1^er ordre en $\;\color {transparent}{f(x)}\;$ hétérogène «$\;\color {transparent}{f_{\text{géné de l'équa hétéro}}(x)=}$ $\;\color {transparent}{\big (}$avec $\;\color {transparent}{\lambda \in \mathbb {R} }\;$ constante d'intégration$\color {transparent}{\big )}\;$ soit, « définie à une constante additive près »,
          Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 1^er ordre en $\;\color {transparent}{f(x)}\;$ hétérogène «$\;f_{\text{géné de l'équa hétéro}}(x)=\Lambda (x)\;\exp \!\left[-A_{0}(x)\right]\;$» avec «$\;\Lambda (x)\;$ primitive quelconque de $\;e(x)\;\exp \!\left[A_{0}(x)\right]\;$»,
          Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 1^er ordre en $\;\color {transparent}{f(x)}\;$ hétérogène «$\;\color {transparent}{f_{\text{géné de l'équa hétéro}}(x)=\Lambda (x)\;\exp \!\left[-A_{0}(x)\right]}\;$» avec «$\;A_{0}(x)\;$ étant une primitive quelconque de $\;a_{0}(x)\;$».

     Exemple : soit à résoudre «$\;f'(x)-2\;x\;f(x)=x^{2}\;$» dans laquelle «$\;\left\lbrace {\begin{array}{r c l}a_{0}(x)\!\!&=&\!\!-2\;x\\e(x)\!\!&=&\!\!x^{2}\end{array}}\right\rbrace \;$»,

     Exemple : la solution générale de l'équation différentielle linéaire du 1^er ordre homogène «$\;f'(x)-2\;x\;f(x)=0\;$» étant «$\;f_{\text{géné de l'équa homo}}(x)=\lambda \;\exp \!\left[-\left(-x^{2}\right)\right]=\lambda \;\exp \!\left(x^{2}\right)\;$
     Exemple : la solution générale de l'équation différentielle linéaire du 1^er ordre homogène «$\;\color {transparent}{f'(x)-2\;x\;f(x)=0}\;$» étant «$\;\color {transparent}{f_{\text{géné de l'équa homo}}(x)=}$ avec $\;\lambda \in \mathbb {R} \;$ constante d'intégration » $\Rightarrow$

     Exemple : la solution générale de l'équation différentielle linéaire du 1^er ordre hétérogène «$\;f'(x)-2\;x\;f(x)=x^{2}\;$» selon «$\;f_{\text{géné de l'équa hétéro}}(x)=\Lambda (x)\;\exp \!\left(x^{2}\right)\;$
     Exemple : la solution générale de l'équation différentielle linéaire du 1^er ordre hétérogène «$\;\color {transparent}{f'(x)-2\;x\;f(x)=x^{2}}\;$» selon «$\;\color {transparent}{f_{\text{géné de l'équa hétéro}}(x)=}$ avec $\;\Lambda (x)\;$ une primitive de $\;x^{2}\,\exp \!\left(-x^{2}\right)\;$»
     Exemple : la solution générale de l'équation différentielle linéaire du 1^er ordre hétérogène «$\;\color {transparent}{f'(x)-2\;x\;f(x)=x^{2}}\;$» selon «$\;\color {transparent}{f_{\text{géné de l'équa hétéro}}(x)=}$ c.-à-d. «$\;\Lambda (x)=\displaystyle \int ^{x}{x'}^{2}\,\exp \!\left(-{x'}^{2}\right)\,dx'\;$»
     Exemple : la solution générale de l'équation différentielle linéaire du 1^er ordre hétérogène «$\;\color {transparent}{f'(x)-2\;x\;f(x)=x^{2}}\;$» selon «$\;\color {transparent}{f_{\text{géné de l'équa hétéro}}(x)=}$ ou, après une intégration par parties $\;{\big [}$voir
     Exemple : la solution générale de l'équation différentielle linéaire du 1^er ordre hétérogène «$\;\color {transparent}{f'(x)-2\;x\;f(x)=x^{2}}\;$» selon «$\;\color {transparent}{f_{\text{géné de l'équa hétéro}}(x)=}$ ou, la note « ⁸⁵ » plus bas dans ce chapitre${\big ]}$,
     Exemple : la solution générale de l'équation différentielle linéaire du 1^er ordre hétérogène «$\;\color {transparent}{f'(x)-2\;x\;f(x)=x^{2}}\;$» selon «$\;f_{\text{géné de l'équa hétéro}}(x)={\dfrac {\sqrt {\pi }}{4}}\;\mathrm {erf} (x)\;\exp \!\left(x^{2}\right)-{\dfrac {x}{2}}+\lambda \;\exp \!\left(x^{2}\right)\;$»
     Exemple : la solution générale de l'équation différentielle linéaire du 1^er ordre hétérogène «$\;\color {transparent}{f'(x)-2\;x\;f(x)=x^{2}}\;$» selon « avec «$\;\mathrm {erf} (x)={\dfrac {2}{\sqrt {\pi }}}\,\displaystyle \int _{0}^{x}\exp \!\left(-{x'}^{2}\right)\,dx'\;$ la fonction d'erreur » et
     Exemple : la solution générale de l'équation différentielle linéaire du 1^er ordre hétérogène «$\;\color {transparent}{f'(x)-2\;x\;f(x)=x^{2}}\;$» selon « avec «$\;\lambda \in \mathbb {R} \;$ une constante d'intégration ».

Résolution d'une équation différentielle linéaire à cœfficients non constants du 2^ème ordre

Cas d'une équation différentielle linéaire à cœfficients non constants du 2^ème ordre homogène

     Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 2^ème ordre en $\;f(x)\;$ homogène «$\;f''(x)+a_{1}(x)\;f'(x)+a_{0}(x)\;f(x)=0\;$» avec «$\;a_{1}(x)\;$ et $\;a_{0}(x)\;$ fonctions réelles connues
          Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 2^ème ordre en $\;\color {transparent}{f(x)}\;$ homogène «$\;\color {transparent}{f''(x)+a_{1}(x)\;f'(x)+a_{0}(x)\;f(x)=0}\;$» avec «$\;\color {transparent}{a_{1}(x)}\;$ et $\;\color {transparent}{a_{0}(x)}\;$ de la variable réelle $\;x\;$» ;
     ci-après une méthode de résolution de cette équation différentielle utilisant le caractère « linéaire » de cette dernière et
     ci-après une méthode de résolution de cette équation différentielle utilisant le qualificatif « homogène » de celle-ci,
     ci-après une méthode de résolution de cette équation différentielle utilisant le qualificatif « homogène » ce qui permet d'utiliser la « propriété (admise) de l'ensemble des solutions d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ou 2^ème ordre homogène » énoncée plus haut dans ce chapitre ;

     ci-après une méthode de résolution l'ensemble des solutions de l'équation différentielle linéaire du 2^ème ordre en $\;f(x)\;$ homogène «$\;f''(x)+a_{1}(x)\;f'(x)+a_{0}(x)\;f(x)=0\;$»
          ci-après une méthode de résolution l'ensemble des solutions de l'équation différentielle linéaire du 2^ème ordre en $\;\color {transparent}{f(x)}\;$ homogène étant un espace vectoriel à deux dimensions, il suffit de
     ci-après une méthode de résolution déterminer une base de l'ensemble cherché pour obtenir tout l'ensemble c.-à-d. de
     ci-après une méthode de résolution trouver deux solutions particulières de cette équation différentielle linéaire du 2^ème ordre homogène pour obtenir toutes les solutions possibles de cette équation
     ci-après une méthode de résolution trouver deux solutions particulières de cette équation différentielle linéaire du 2^ème ordre homogène pour obtenir ${\big [}$c.-à-d. les C.L. des deux solutions particulières${\big ]}\;$
     ci-après une méthode de résolution mais il n'existe pas de méthode pour déterminer ces solutions particulières dans le cas général
     ci-après une méthode de résolution par contre dès lors qu'une solution particulière $\,{\big (}$non nulle${\big )}\,$ «$\;f_{1}(x)\;$» de l'équation différentielle linéaire du 2^ème ordre homogène est connue, il existe une
     ci-après une méthode de résolution par contre méthode pour déterminer une 2^ème solution particulière indépendante «$\;f_{2}(x)\;$» faisant intervenir le wronskien de ces deux solutions particulières
     ci-après une méthode de résolution par contre défini selon «$\;W(x)={\Bigg \vert }{\begin{array}{c c}f_{1}(x)\!&\!f_{2}(x)\\{f'}_{\!1}(x)\!&\!{f'}_{\!2}(x)\end{array}}{\Bigg \vert }\;$» $\Leftrightarrow$ «$\;W(x)=f_{1}(x)\;{f'}_{\!2}(x)-f_{2}(x)\;{f'}_{\!1}(x)\;$», la dérivée de ce dernier par rapport à la variable $\;x\;$ étant
           ci-après une méthode de résolution par contre défini selon «$\;\color {transparent}{W(x)={\Bigg \vert }{\begin{array}{c c}f_{1}(x)\!&\!f_{2}(x)\\{f'}_{\!1}(x)\!&\!{f'}_{\!2}(x)\end{array}}{\Bigg \vert }}\;$» $\color {transparent}{\Leftrightarrow }$ «$\;W'(x)={f'}_{\!1}(x)\;{f'}_{\!2}(x)+f_{1}(x)\;{f''}_{\!\!2}(x)-{f'}_{\!2}(x)\;{f'}_{\!1}(x)-f_{2}(x)\;{f''}_{\!\!1}(x)\;$» ou, après simplification,
           ci-après une méthode de résolution par contre défini selon «$\;\color {transparent}{W(x)={\Bigg \vert }{\begin{array}{c c}f_{1}(x)\!&\!f_{2}(x)\\{f'}_{\!1}(x)\!&\!{f'}_{\!2}(x)\end{array}}{\Bigg \vert }}\;$» $\color {transparent}{\Leftrightarrow }$ «$\;W'(x)=f_{1}(x)\;{f''}_{\!\!2}(x)-f_{2}(x)\;{f''}_{\!\!1}(x)\;$» et, avec «$\;f_{1}(x)\;$ et $\;f_{2}(x)\;$ solutions particulières de
           ci-après une méthode de résolution par contre défini selon «$\;\color {transparent}{W(x)={\Bigg \vert }{\begin{array}{c c}f_{1}(x)\!&\!f_{2}(x)\\{f'}_{\!1}(x)\!&\!{f'}_{\!2}(x)\end{array}}{\Bigg \vert }}\;$» $\color {transparent}{\Leftrightarrow }$ l'équation différentielle linéaire du 2^ème ordre homogène $\;f''(x)+a_{1}(x)\;f'(x)+a_{0}(x)\;f(x)=0\;$ $\Rightarrow$
           ci-après une méthode de résolution par contre défini selon «$\;\color {transparent}{W(x)={\Bigg \vert }{\begin{array}{c c}f_{1}(x)\!&\!f_{2}(x)\\{f'}_{\!1}(x)\!&\!{f'}_{\!2}(x)\end{array}}{\Bigg \vert }}\;$» $\color {transparent}{\Leftrightarrow }$ $\left\lbrace {\begin{array}{l}{f''}_{\!\!1}(x)=-a_{1}(x){f'}_{\!1}(x)-a_{0}(x)\;f_{1}(x)\\{f''}_{\!\!2}(x)=-a_{1}(x){f'}_{\!2}(x)-a_{0}(x)\;f_{2}(x)\end{array}}\right\rbrace \;$», la réécriture de $\;W'(x)\;$ selon
           ci-après une méthode de résolution par contre défini selon «$\;\color {transparent}{W(x)={\Bigg \vert }{\begin{array}{c c}f_{1}(x)\!&\!f_{2}(x)\\{f'}_{\!1}(x)\!&\!{f'}_{\!2}(x)\end{array}}{\Bigg \vert }}\;$» $\color {transparent}{\Leftrightarrow }$ «$\;W'(x)=f_{1}(x)\,\left[-a_{1}(x){f'}_{\!2}(x)-a_{0}(x)\;f_{2}(x)\right]-f_{2}(x)\,\left[-a_{1}(x){f'}_{\!1}(x)-a_{0}(x)\;f_{1}(x)\right]\;$» ou
           ci-après une méthode de résolution par contre défini selon «$\;\color {transparent}{W(x)={\Bigg \vert }{\begin{array}{c c}f_{1}(x)\!&\!f_{2}(x)\\{f'}_{\!1}(x)\!&\!{f'}_{\!2}(x)\end{array}}{\Bigg \vert }}\;$» $\color {transparent}{\Leftrightarrow }$ après simplification, «$\;W'(x)=-a_{1}(x)\;f_{1}(x)\;{f'}_{\!2}(x)+a_{1}(x)\;f_{2}(x)\;{f'}_{\!1}(x)=-a_{1}(x)\;W(x)\;$»
     ci-après une méthode de résolution par contre $\Rightarrow$ le wronskien de ces deux solutions particulières «$\;W(x)={\Bigg \vert }{\begin{array}{c c}f_{1}(x)\!&\!f_{2}(x)\\{f'}_{\!1}(x)\!&\!{f'}_{\!2}(x)\end{array}}{\Bigg \vert }\;$» de l'équation différentielle linéaire du 2^ème ordre en $\;f(x)\;$
                                                                          ci-après une méthode de résolution par contre $\color {transparent}{\Rightarrow }$ le wronskien de ces deux solutions particulières homogène «$\;f''(x)+a_{1}(x)\;f'(x)+a_{0}(x)\;f(x)=0\;$»
     ci-après une méthode de résolution par contre $\color {transparent}{\Rightarrow }$ le wronskien est solution de l'équation différentielle linéaire du 1^er ordre en $\;W(x)\;$ homogène «$\;W'(x)+a_{1}(x)\;W(x)=0\;$» avec
           ci-après une méthode de résolution par contre $\color {transparent}{\Rightarrow }$ le wronskien de ces deux solutions particulières «$\;W(x)\;$ non nul car les deux solutions particulières $\;f_{1}(x)\;$ et $\;f_{2}(x)\;$ sont indépendantes » ;
     ci-après une méthode de résolution par contre résolvant «$\;W'(x)+a_{1}(x)\;W(x)=0\;$» nous en déduisons «$\;W(x)=\lambda \;\exp \!\left[-A_{1}(x)\right]\;$ avec $\;\lambda \in \mathbb {R} ^{*}\;$ constante d'intégration et
           ci-après une méthode de résolution par contre résolvant «$\;\color {transparent}{W'(x)+a_{1}(x)\;W(x)=0}\;$» nous en déduisons «$\;\color {transparent}{W(x)=\lambda \;\exp \!\left[-A_{1}(x)\right]}\;$ avec $\;A_{1}(x)\;$ une primitive de $\;a_{1}(x)\;$» soit encore,
           ci-après une méthode de résolution par contre résolvant «$\;\color {transparent}{W'(x)+a_{1}(x)\;W(x)=0}\;$» nous en déduisons «$\;{\Bigg \vert }{\begin{array}{c c}f_{1}(x)\!&\!f_{2}(x)\\{f'}_{\!1}(x)\!&\!{f'}_{\!2}(x)\end{array}}{\Bigg \vert }=\lambda \;\exp \!\left[-A_{1}(x)\right]\;$ avec mêmes $\;\lambda \;$ et $\;A_{1}(x)\;$» ;
     ci-après une méthode de résolution «$\;f_{1}(x)\;$ connue », il reste à résoudre l'équation différentielle linéaire du 1^er ordre en $\;f_{2}(x)\;$ hétérogène «$\;f_{1}(x)\;{f'}_{\!2}(x)-{f'}_{\!1}(x)\;f_{2}(x)=\lambda \;\exp \!\left[-A_{1}(x)\right]\;$»
     ci-après une méthode de résolution «$\;\color {transparent}{f_{1}(x)}\;$ connue », il reste à résoudre ou, sous forme normalisée, «$\;{f'}_{\!2}(x)-{\dfrac {{f'}_{\!1}(x)}{f_{1}(x)}}\;f_{2}(x)={\dfrac {\lambda }{f_{1}(x)}}\;\exp \!\left[-A_{1}(x)\right]\;$» avec «$\;\lambda \in \mathbb {R} ^{*}\;$ constante d'intégration et
        ci-après une méthode de résolution «$\;\color {transparent}{f_{1}(x)}\;$ connue », il reste à résoudre sous forme normalisée, «$\;\color {transparent}{{f'}_{\!2}(x)-{f'}_{\!1}(x)\;f_{2}(x)=f_{1}(x)\;\exp \!\left[-A_{1}(x)\right]}\;$» avec $\;A_{1}(x)\;$ une primitive de $\;a_{1}(x)\;$» ;
     ci-après une méthode de résolution une base de l'ensemble des solutions de l'équation différentielle linéaire du 2^ème ordre en $\;f(x)\;$ homogène «$\;f''(x)+a_{1}(x)\;f'(x)+a_{0}(x)\;f(x)=0\;$»
     ci-après une méthode de résolution une base étant $\;\left\lbrace f_{1}(x)\,,\,f_{2}(x)\right\rbrace$, nous en déduisons la solution générale de cette équation différentielle selon «$\;f(x)=\alpha _{1}\;f_{1}(x)+\alpha _{2}\;f_{2}(x)\;$» avec
     ci-après une méthode de résolution une base étant $\;\color {transparent}{\left\lbrace f_{1}(x)\,,\,f_{2}(x)\right\rbrace }$, nous en déduisons la solution générale de cette équation différentielle selon «$\;\left(\alpha _{1}\,,\,\alpha _{2}\right)\,\in \,\mathbb {R} ^{2}\;$ couple de constantes arbitraires ».

     Exemple : Soit à résoudre «$\;f''(x)-{\dfrac {1}{x}}\;f'(x)+{\dfrac {1}{x^{2}}}\;f(x)=0\;$ sur $\;\left]0\,,\,+\infty \right[\;$» dans laquelle «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}a_{1}(x)=-{\dfrac {1}{x}}\\a_{0}(x)={\dfrac {1}{x^{2}}}\end{array}}\right\rbrace \;$»,
     Exemple : remarquant que «$\;f_{1}(x)=x\;$ est une solution particulière » évidente car «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{f'}_{\!1}(x)=1\\{f''}_{\!\!1}(x)=0\end{array}}\right\rbrace \;$ $\Rightarrow$ $\;{f''}_{\!\!1}(x)-{\dfrac {1}{x}}\;{f'}_{\!1}(x)+{\dfrac {1}{x^{2}}}\;f_{1}(x)=0-{\dfrac {1}{x}}\;1+{\dfrac {1}{x^{2}}}\;x\;$ c.-à-d. $\;0\;$»,
     Exemple : remarquant que «$\;\color {transparent}{f_{1}(x)=x}\;$ est une solution particulière » nous formons son wronskien avec une autre solution particulière $\;f_{2}(x)\;$ à déterminer soit «$\;W(x)={\Bigg \vert }{\begin{array}{c c}x\!&\!f_{2}(x)\\1\!&\!{f'}_{\!2}(x)\end{array}}{\Bigg \vert }\;$» $\Leftrightarrow$
           Exemple : remarquant que «$\;\color {transparent}{f_{1}(x)=x}\;$ est une solution particulière » nous formons son wronskien avec une autre solution particulière $\;\color {transparent}{f_{2}(x)}\;$ à déterminer soit «$\;W(x)=x\;{f'}_{\!2}(x)-f_{2}(x)\;$»,
     Exemple : remarquant que «$\;\color {transparent}{f_{1}(x)=x}\;$ est une solution particulière » nous formons ce dernier étant solution $\;{\big [}$non nulle pour que $\;f_{2}(x)\;$ soit indépendante de $\;f_{1}(x)=x\;$${\big ]}\;$
      Exemple : remarquant que «$\;\color {transparent}{f_{1}(x)=x}\;$ est une solution particulière » nous formons ce dernier étant solution de l'équation différentielle linéaire du 1^er ordre homogène «$\;W'(x)-{\dfrac {1}{x}}\;W(x)=0\;$»
Exemple : remarquant que «$\;\color {transparent}{f_{1}(x)=x}\;$ est une solution particulière » nous formons ce dernier étant solution soit «$\;W(x)=\lambda \;\exp \left\lbrace -\left[-\ln(x)\right]\right\rbrace \;$ avec $\;\lambda \in \mathbb {R} ^{*}\;$» ou, après simplification,
Exemple : remarquant que «$\;\color {transparent}{f_{1}(x)=x}\;$ est une solution particulière » nous formons ce dernier étant solution soit «$\;\color {transparent}{W(x)}$ $=\lambda \;x\;$ avec $\;\lambda \in \mathbb {R} ^{*}\;$» ;
     Exemple : remarquant que «$\;\color {transparent}{f_{1}(x)=x}\;$ est une solution particulière » «$\;W(x)=x\;{f'}_{\!2}(x)-f_{2}(x)=\lambda \;x\;$» étant une équation différentielle linéaire du 1^er ordre en $\;f_{2}(x)\;$ hétérogène, se réécrivant,
     Exemple : remarquant que «$\;\color {transparent}{f_{1}(x)=x}\;$ est une solution particulière » «$\;\color {transparent}{W(x)=x\;{f'}_{\!2}(x)-f_{2}(x)=\lambda \;x}\;$» étant sous forme normalisée, selon «$\;{f'}_{\!2}(x)-{\dfrac {1}{x}}\;f_{2}(x)=\lambda \;$» ;

     Exemple : remarquant que «$\;\color {transparent}{f_{1}(x)=x}\;$ est une solution particulière » cette équation différentielle linéaire à coefficients non constants du 1^er ordre en $\;f_{2}(x)\;$ hétérogène «$\;{f'}_{\!2}(x)-{\dfrac {1}{x}}\;f_{2}(x)=\lambda \;$»
     Exemple : remarquant que «$\;\color {transparent}{f_{1}(x)=x}\;$ est une solution particulière » cette équation différentielle se résout en cherchant d'abord la solution générale de «$\;{f'}_{\!2}(x)-{\dfrac {1}{x}}\;f_{2}(x)=0\;$» c.-à-d.
     Exemple : remarquant que «$\;\color {transparent}{f_{1}(x)=x}\;$ est une solution particulière » cette équation différentielle se résout en cherchant d'abord la solution générale de l'équation différentielle homogène associée
     Exemple : remarquant que «$\;\color {transparent}{f_{1}(x)=x}\;$ est une solution particulière » cette équation différentielle se résout en cherchant d'abord la solution générale soit «$\;f_{2,\,{\text{géné de l'équa homo}}}(x)=\mu \;x\;$» avec
     Exemple : remarquant que «$\;\color {transparent}{f_{1}(x)=x}\;$ est une solution particulière » cette équation différentielle se résout en cherchant d'abord la solution générale soit «$\;\color {transparent}{f_{2,\,{\text{géné de l'équa homo}}}(x)=}$ $\mu \in \mathbb {R} ^{*}\;$»
     Exemple : remarquant que «$\;\color {transparent}{f_{1}(x)=x}\;$ est une solution particulière » cette équation différentielle se résout en cherchant puis par utilisation de la « méthode de variation des constantes » c.-à-d.
     Exemple : remarquant que «$\;\color {transparent}{f_{1}(x)=x}\;$ est une solution particulière » cette équation différentielle se résout en cherchant la solution générale de «$\;{f'}_{\!2}(x)-{\dfrac {1}{x}}\;f_{2}(x)=\lambda \;$»
     Exemple : remarquant que «$\;\color {transparent}{f_{1}(x)=x}\;$ est une solution particulière » cette équation différentielle se résout en cherchant la solution générale sous la forme «$\;f_{2}(x)=\Lambda (x)\;x\;$ dans laquelle
     Exemple : remarquant que «$\;\color {transparent}{f_{1}(x)=x}\;$ est une solution particulière » cette équation différentielle se résout en cherchant la solution générale sous $\;\Lambda (x)\;$ est une primitive quelconque de $\;{\dfrac {\lambda }{x}}\;$» d'où    Exemple : remarquant que «$\;\color {transparent}{f_{1}(x)=x}\;$ est une solution particulière » cette équation différentielle se résout en cherchant la solution générale sous «$\;\Lambda (x)=\lambda \;\ln(x)+cste\;$» avec $\;cste\;\in \;\mathbb {R} \;$ d'où
     Exemple : remarquant que «$\;\color {transparent}{f_{1}(x)=x}\;$ est une solution particulière » cette équation différentielle se résout en cherchant la solution générale sous la forme «$\;f_{2}(x)=\lambda \;x\;\ln(x)+cste\;x\;$» avec
     Exemple : remarquant que «$\;\color {transparent}{f_{1}(x)=x}\;$ est une solution particulière » cette équation différentielle se résout en cherchant la solution générale sous la forme «$\;\lambda \;\in \;\mathbb {R} ^{*}\;$ et $\;cste\;\in \;\mathbb {R} \;$» ;

     Exemple : remarquant que «$\;\color {transparent}{f_{1}(x)=x}\;$ est une solution particulière » la 2^ème solution particulière de «$\;f''(x)-{\dfrac {1}{x}}\;f'(x)+{\dfrac {1}{x^{2}}}\;f(x)=0\;$» étant choisie selon «$\;f_{2}(x)=x\;\ln(x)\;$»
     Exemple : remarquant que «$\;\color {transparent}{f_{1}(x)=x}\;$ est une solution particulière » la 2^ème solution particulière ${\Big [}$c.-à-d. $\;cste\;$ choisie nulle et $\;\lambda \;$ constante d'intégration de $\;W'(x)-{\dfrac {1}{x}}\;W(x)=0\;$ égale à $\;1{\Big ]}$,
     Exemple : nous en déduisons la solution générale de l'équation différentielle linéaire du 2^ème ordre en $\;f(x)\;$ homogène «$\;f''(x)-{\dfrac {1}{x}}\;f'(x)+{\dfrac {1}{x^{2}}}\;f(x)=0\;$ sur $\;\left]0\,,\,+\infty \right[\;$»
     Exemple : nous en déduisons la solution générale égale à une C.L. des deux solutions particulières indépendantes $\;\left\lbrace x\;,\;x\;\ln(x)\right\rbrace \;$ selon «$\;f(x)=\alpha _{1}\;x+\alpha _{2}\;x\;\ln(x)\;$» avec
          Exemple : nous en déduisons la solution générale égale à une C.L. des deux solutions particulières indépendantes $\;\color {transparent}{\left\lbrace x\;,\;x\;\ln(x)\right\rbrace }\;$ selon «$\;\alpha _{1}\;$ et $\;\alpha _{2}\;$ deux constantes réelles d'intégration ».

Cas d'une équation différentielle linéaire à cœfficients non constants du 2^ème ordre hétérogène

     Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 2^ème ordre en $\;f(x)\;$ hétérogène «$\;f''(x)+a_{1}(x)\;f'(x)+a_{0}(x)\;f(x)=e(x)\;$» avec «$\;a_{1}(x)$, $\;a_{0}(x)\;$ et $\;e(x)\;$ fonctions réelles connues
          Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 2^ème ordre en $\;\color {transparent}{f(x)}\;$ hétérogène «$\;\color {transparent}{f''(x)+a_{1}(x)\;f'(x)+a_{0}(x)\;f(x)=e(x)}\;$» avec «$\;\color {transparent}{a_{1}(x)}$, $\;\color {transparent}{a_{0}(x)}\;$ et $\;\color {transparent}{e(x)}\;$ de la variable réelle $\;x\;$»,
         Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 2^ème ordre en $\;\color {transparent}{f(x)}\;$ hétérogène «$\;\color {transparent}{f''(x)+a_{1}(x)\;f'(x)+a_{0}(x)\;f(x)=}$«$\;e(x)\;$ étant l'excitation de l'équation différentielle »,
          Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 2^ème ordre en $\;\color {transparent}{f(x)}\;$ hétérogène nous utiliserons la méthode de résolution d'une équation différentielle linéaire du 1^er ou 2^ème ordre hétérogène
          Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 2^ème ordre en $\;\color {transparent}{f(x)}\;$ hétérogène nous utiliserons la méthode exposée dans le cas de cœfficients constants plus haut dans ce chapitre mais
          Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 2^ème ordre en $\;\color {transparent}{f(x)}\;$ hétérogène nous utiliserons la méthode restant applicable dans le cas de cœfficients non constants,
          Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 2^ème ordre en $\;\color {transparent}{f(x)}\;$ hétérogène nous utiliserons la méthode fondée sur la propriété suivante
          Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 1^er ordre en $\;\color {transparent}{f(x)}\;$ hétérogène « la solution générale d'une équation différentielle linéaire hétérogène est
          Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 2^ème ordre en $\;\color {transparent}{f(x)}\;$ hétérogène « la somme de la solution générale de l'équation homogène correspondante et
          Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 2^ème ordre en $\;\color {transparent}{f(x)}\;$ hétérogène « la somme d'une solution particulière de l'équation hétérogène » c.-à-d.
          Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 2^ème ordre en $\;\color {transparent}{f(x)}\;$ hétérogène «$\;f_{\text{géné de l'équa hétéro}}(x)=f_{\text{géné de l'équa homo}}(x)+f_{\text{part de l'équa hétéro}}(x)\;$» ;

          Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 2^ème ordre en $\;\color {transparent}{f(x)}\;$ hétérogène la solution générale de l'équation différentielle homogène associée «$\;f''(x)+a_{1}(x)\;f'(x)+a_{0}(x)\;f(x)=0\;$»
          Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 2^ème ordre en $\;\color {transparent}{f(x)}\;$ hétérogène la solution générale étant supposée connue égale à «$\;f_{\text{géné de l'équa homo}}(x)=\alpha _{1}\;f_{1}(x)+\alpha _{2}\;f_{2}(x)\;$ avec
          Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 2^ème ordre en $\;\color {transparent}{f(x)}\;$ hétérogène la solution générale étant supposée connue égale à $\;\left(\alpha _{1}\,,\,\alpha _{2}\right)\in \mathbb {R} ^{2}\;$ constantes d'intégration et
          Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 2^ème ordre en $\;\color {transparent}{f(x)}\;$ hétérogène la solution générale étant supposée connue égale à $\;\left\lbrace f_{1}(x)\,,\,f_{2}(x)\right\rbrace \;$ solutions particulières indépendantes de
          Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 2^ème ordre en $\;\color {transparent}{f(x)}\;$ hétérogène la solution générale étant supposée connue égale à $\;\color {transparent}{\left\lbrace f_{1}(x)\,,\,f_{2}(x)\right\rbrace }\;$ l'équation différentielle homogène » ;

          Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 2^ème ordre en $\;\color {transparent}{f(x)}\;$ hétérogène pour fixer la solution générale de l'équation différentielle linéaire normalisée du 2^ème ordre en $\;f(x)\;$ hétérogène
          Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 2^ème ordre en $\;\color {transparent}{f(x)}\;$ hétérogène pour fixer la solution générale de «$\;f''(x)+a_{1}(x)\;f'(x)+a_{0}(x)\;f(x)=e(x)\;$» il reste à en déterminer
          Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 2^ème ordre en $\;\color {transparent}{f(x)}\;$ hétérogène pour fixer la solution générale de «$\;\color {transparent}{f''(x)+a_{1}(x)\;f'(x)+a_{0}(x)\;f(x)=e(x)}\;$» une solution particulière et,
          Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 2^ème ordre en $\;\color {transparent}{f(x)}\;$ hétérogène pour cela, appliquons la « méthode de variation des constantes » $\;{\big \{}$inventée par Pierre-Simon Laplace
          Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 2^ème ordre en $\;\color {transparent}{f(x)}\;$ hétérogène pour cela, appliquons la « applicable à des équations différentielles linéaires hétérogènes d'ordre quelconque${\big \}}\;$
          Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 2^ème ordre en $\;\color {transparent}{f(x)}\;$ hétérogène pour d'où, recherche d'une solution particulière selon «$\;f_{\text{part de l'équa hétéro}}(x)=\mu _{1}(x)\;f_{1}(x)+\mu _{2}(x)\;f_{2}(x)\;$
          Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 2^ème ordre en $\;\color {transparent}{f(x)}\;$ hétérogène pour d'où, recherche d'une solution particulière selon « avec $\;\left\lbrace \mu _{1}(x)\,,\,\mu _{2}(x)\right\rbrace \;$ couple de fonctions à déterminer et
          Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 2^ème ordre en $\;\color {transparent}{f(x)}\;$ hétérogène pour d'où, recherche d'une solution particulière selon « avec $\;\left\lbrace f_{1}(x)\,,\,f_{2}(x)\right\rbrace \;$ solutions particulières non liées de
          Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 2^ème ordre en $\;\color {transparent}{f(x)}\;$ hétérogène pour d'où, recherche d'une solution particulière selon « avec $\;\color {transparent}{\left\lbrace f_{1}(x)\,,\,f_{2}(x)\right\rbrace }\;$ l'équation différentielle homogène ».

     Préalable à la recherche d'une solution particulière de l'équation différentielle linéaire à cœfficients non constants du 2^ème ordre en$\;f(x)\;$hétérogène :
     Préalable transformer l'équation différentielle linéaire à cœfficients non constants du 2^ème ordre en $\;f(x)\;$ hétérogène «$\;f''(x)+a_{1}(x)\;f'(x)+a_{0}(x)\;f(x)=e(x)\;$»
     Préalable transformer en un système de deux équations différentielles linéaires à cœfficients non constants du 1^er ordre en $\;\left\lbrace f(x)\,,\,g(x)=f'(x)\right\rbrace \;$ hétérogène
          Préalable transformer l'équation différentielle linéaire à cœfficients non constants du 2^ème ordre en $\;\color {transparent}{f(x)}\;$ hétérogène «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c c l}f'(x)\!\!\!&=&\!\!\!\qquad \qquad \qquad \qquad \quad \;g(x)\\g'(x)\!\!\!&=&\!\!\!-a_{0}(x)\;f(x)-a_{1}(x)\;g(x)+e(x)\end{array}}\right\rbrace \;$»,
     Préalable transformer en un système qui peut se réécrire sous forme matricielle selon «$\;\left[X\right]'=\left[A\right]\times \left[X\right]+\left[E\right]\;$» dans laquelle
           Préalable transformer en un système qui peut se réécrire sous forme matricielle selon «$\;\left[X\right]=\left[{\begin{array}{c}f(x)\\g(x)\end{array}}\right]\in M_{2,1}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$» c.-à-d. une matrice colonne de dimension $\;{\big (}$ou taille${\big )}$ $\;(2,\,1)\;$
                                                                                  Préalable transformer en un système qui peut se réécrire sous forme matricielle selon appelée « matrice colonne des inconnues »,
           Préalable transformer en un système qui peut se réécrire sous forme matricielle selon «$\;\left[X\right]'=\left[{\begin{array}{c}f'(x)\\g'(x)\end{array}}\right]\in M_{2,1}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$» c.-à-d. une matrice colonne de dimension $\;{\big (}$ou taille${\big )}$ $\;(2,\,1)\;$
                                                                                     Préalable transformer en un système qui peut se réécrire sous forme matricielle selon appelée « matrice colonne de la dérivée des inconnues »,
           Préalable transformer en un système qui peut se réécrire sous forme matricielle selon «$\;\left[A\right]=\left[{\begin{array}{c}0&1\\-a_{0}(x)&-a_{1}(x)\end{array}}\right]\in M_{2}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$» c.-à-d. une matrice carrée de dimension $\;{\big (}$ou taille${\big )}$ $\;2\;$
                                                                                                        Préalable transformer en un système qui peut se réécrire sous forme matricielle selon appelée « matrice des cœfficients du système »,
           Préalable transformer en un système qui peut se réécrire sous forme matricielle selon «$\;\left[E\right]=\left[{\begin{array}{c}0\\e(x)\end{array}}\right]\in M_{2,1}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$» c.-à-d. une matrice colonne de dimension $\;{\big (}$ou taille${\big )}$ $\;(2,\,1)\;$
                                                                                  Préalable transformer en un système qui peut se réécrire sous forme matricielle selon appelée « matrice colonne des excitations » et enfin
           Préalable transformer en un système qui peut se réécrire sous forme matricielle selon «$\;\times \;$» l'opération « multiplication matricielle » ;

     traduction matricielle de$\;f_{1}(x)\;$ou$\;f_{2}(x)\;$solutions particulières de l'équation différentielle linéaire à cœfficients non constants du 2^ème ordre en$\;f(x)\;$homogène :
     traduction matricielle l'équation différentielle linéaire à cœfficients non constants du 2^ème ordre en $\;f(x)\;$ homogène «$\;f''(x)+a_{1}(x)\;f'(x)+a_{0}(x)\;f(x)=0\;$» étant transformée
     traduction matricielle l'équation différentielle en le système de deux équations différentielles linéaires à cœfficients non constants du 1^er ordre en $\;\left\lbrace f(x)\,,\,g(x)=f'(x)\right\rbrace \;$ homogène
          traduction matricielle l'équation différentielle linéaire à cœfficients non constants du 2^ème ordre en $\;\color {transparent}{f(x)}\;$ homogène «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c c l}f'(x)\!\!\!&=&\!\!\!\qquad \qquad \qquad \qquad \quad \;g(x)\\g'(x)\!\!\!&=&\!\!\!-a_{0}(x)\;f(x)-a_{1}(x)\;g(x)\end{array}}\right\rbrace \;$»,
     traduction matricielle l'équation différentielle en le système qui peut se réécrire sous forme matricielle selon «$\;\left[X\right]'=\left[A\right]\times \left[X\right]\;$», les matrices étant celles définies précédemment ;

     traduction matricielle à la solution particulière $\;f_{1}(x)\;$ de l'équation différentielle «$\;f''(x)+a_{1}(x)\;f'(x)+a_{0}(x)\;f(x)=0\;$» on associe «$\;\left[X_{1}\right]=\left[{\begin{array}{c}f_{1}(x)\\g_{1}(x)\end{array}}\right]\in M_{2,1}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$»,
     traduction matricielle à la solution particulière $\;\color {transparent}{f_{1}(x)}\;$ de l'équation différentielle «$\;\color {transparent}{f''(x)+a_{1}(x)\;f'(x)+a_{0}(x)\;f(x)=0}\;$» on associe « matrice colonne des inconnues »,
     traduction matricielle à la solution particulière «$\;\left[X_{1}\right]\;$ étant liée $\;\left[X_{1}\right]'=\left[{\begin{array}{c}{f'}_{\!1}(x)\\{g'}_{\!1}(x)\end{array}}\right]\in M_{2,1}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$» par «$\;\left[X_{1}\right]'=\left[A\right]\times \left[X_{1}\right]\;$» avec «$\;\left[A\right]=\left[{\begin{array}{c c }0\!\!&\!\!1\\-a_{0}(x)\!\!&\!\!-a_{1}(x)\end{array}}\right]\in M_{2}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$»,
     traduction matricielle à la solution particulière «$\;\color {transparent}{\left[X_{1}\right]}\;$ étant liée « matrice colonne dérivée »                                                                      « matrice des cœfficients du système »,

     traduction matricielle à la solution particulière $\;f_{2}(x)\;$ de l'équation différentielle «$\;f''(x)+a_{1}(x)\;f'(x)+a_{0}(x)\;f(x)=0\;$» on associe «$\;\left[X_{2}\right]=\left[{\begin{array}{c}f_{2}(x)\\g_{2}(x)\end{array}}\right]\in M_{2,1}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$»,
     traduction matricielle à la solution particulière $\;\color {transparent}{f_{2}(x)}\;$ de l'équation différentielle «$\;\color {transparent}{f''(x)+a_{1}(x)\;f'(x)+a_{0}(x)\;f(x)=0}\;$» on associe « matrice colonne des inconnues »,
     traduction matricielle à la solution particulière «$\;\left[X_{2}\right]\;$ étant liée $\;\left[X_{2}\right]'=\left[{\begin{array}{c}{f'}_{\!2}(x)\\{g'}_{\!2}(x)\end{array}}\right]\in M_{2,1}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$» par «$\;\left[X_{2}\right]'=\left[A\right]\times \left[X_{2}\right]\;$» avec «$\;\left[A\right]=\left[{\begin{array}{c c }0\!\!&\!\!1\\-a_{0}(x)\!\!&\!\!-a_{1}(x)\end{array}}\right]\in M_{2}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$»,
     traduction matricielle à la solution particulière «$\;\color {transparent}{\left[X_{2}\right]}\;$ étant liée « matrice colonne dérivée »                                                                      « matrice des cœfficients du système »,

     traduction matricielle de la recherche d'une solution particulière$\;\mu _{1}(x)\;f_{1}(x)+\mu _{2}(x)\;f_{2}(x)\;$de l'équation différentielle linéaire à cœfficients non constants du 2^ème ordre en$\;f(x)\;$hétérogène :
     traduction matricielle à la solution particulière de l'équation différentielle «$\;f''(x)+a_{1}(x)\;f'(x)+a_{0}(x)\;f(x)=e(x)\;$» recherchée sous la forme
     traduction matricielle à la solution particulière $\;\mu _{1}(x)\;f_{1}(x)+\mu _{2}(x)\;f_{2}(x)\;$ avec $\;\left\lbrace \mu _{1}(x)\,,\,\mu _{2}(x)\right\rbrace \;$ à déterminer, on associe «$\;\left[X\right]=\left[{\begin{array}{c}\mu _{1}(x)\;f_{1}(x)+\mu _{2}(x)\;f_{2}(x)\\\mu _{1}(x)\;g_{1}(x)+\mu _{2}(x)\;g_{2}(x)\end{array}}\right]\in M_{2,1}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$» ou encore
     traduction matricielle à la solution particulière $\;\color {transparent}{\mu _{1}(x)\;f_{1}(x)+\mu _{2}(x)\;f_{2}(x)}\;$ avec $\;\color {transparent}{\left\lbrace \mu _{1}(x)\,,\,\mu _{2}(x)\right\rbrace }\;$ à déterminer, on associe «$\;\left[X\right]=\mu _{1}(x)\;\left[X_{1}\right]+\mu _{2}(x)\;\left[X_{2}\right]\;$»,
     traduction matricielle à la solution particulière «$\;\left[X\right]\;$ devant être liée à $\;\left[X\right]'=\left[{\begin{array}{c}\left\lbrace \mu _{1}(x)\;f_{1}(x)+\mu _{2}(x)\;f_{2}(x)\right\rbrace '\\\left\lbrace \mu _{1}(x)\;g_{1}(x)+\mu _{2}(x)\;g_{2}(x)\right\rbrace '\end{array}}\right]\in M_{2,1}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$» par «$\;\left[X\right]'=\left[A\right]\times \left[X\right]+\left[E\right]\;$» avec
                                                                           traduction matricielle à la solution particulière «$\;\color {transparent}{\left[X\right]}\;$ devant être liée à $\;\color {transparent}{\left[X\right]'\in M_{2,1}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$» par «$\;\color {transparent}{\left[X\right]'=}$«$\;\left[A\right]=\left[{\begin{array}{c}0&1\\-a_{0}(x)&-a_{1}(x)\end{array}}\right]\in M_{2}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$» et
                                                                                                  traduction matricielle à la solution particulière «$\;\color {transparent}{\left[X\right]}\;$ devant être liée à $\;\color {transparent}{\left[X\right]'\in M_{2,1}\!\left(\mathbb {R} \right)}\;$» par «$\;\color {transparent}{\left[X\right]'=}$«$\;\left[E\right]=\left[{\begin{array}{c}0\\e(x)\end{array}}\right]\in M_{2,1}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$»,

     traduction matricielle à la solution particulière explicitons «$\;\left[X\right]'=\left[{\begin{array}{c}\left\lbrace \mu _{1}(x)\;f_{1}(x)+\mu _{2}(x)\;f_{2}(x)\right\rbrace '\\\left\lbrace \mu _{1}(x)\;g_{1}(x)+\mu _{2}(x)\;g_{2}(x)\right\rbrace '\end{array}}\right]\in M_{2,1}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$» à l'aide de
     traduction matricielle à la solution particulière explicitons «$\;\color {transparent}{\left[X\right]'=}$«$\;\left[\mu _{1}(x)\;f_{1}(x)+\mu _{2}(x)\;f_{2}(x)\right]'={\mu _{1}}'(x)\;f_{1}(x)+\mu _{1}(x)\;{f'}_{\!1}(x)+{\mu _{2}}'(x)\;f_{2}(x)+\mu _{2}(x)\;{f'}_{\!2}(x)\;$» d'une part et
     traduction matricielle à la solution particulière explicitons «$\;\color {transparent}{\left[X\right]'=}$«$\;\left[\mu _{1}(x)\;g_{1}(x)+\mu _{2}(x)\;g_{2}(x)\right]'={\mu _{1}}'(x)\;g_{1}(x)+\mu _{1}(x)\;{g'}_{\!1}(x)+{\mu _{2}}'(x)\;g_{2}(x)+\mu _{2}(x)\;{g'}_{\!2}(x)\;$» d'autre part d'où
     traduction matricielle à la solution particulière explicitons «$\;\left[X\right]=\mu _{1}(x)\;\left[X_{1}\right]+\mu _{2}(x)\;\left[X_{2}\right]\;$» $\Rightarrow$ «$\;\left[X\right]'={\mu _{1}}'(x)\;\left[X_{1}\right]+\mu _{1}(x)\;\left[X_{1}\right]'+{\mu _{2}}'(x)\;\left[X_{2}\right]+\mu _{2}(x)\;\left[X_{2}\right]'\;$» ;

     traduction matricielle à la solution particulière de $\;\left[X\right]'=\left[A\right]\times \left[X\right]+\left[E\right]\;$ on déduit l'équation matricielle suivante
     traduction matricielle à la solution particulière de $\;\color {transparent}{\left[X\right]'=\left[A\right]\times \left[X\right]+\left[E\right]}\;$ on déduit «$\;{\mu _{1}}'(x)\;\left[X_{1}\right]+\mu _{1}(x)\;\left[X_{1}\right]'+{\mu _{2}}'(x)\;\left[X_{2}\right]+\mu _{2}(x)\;\left[X_{2}\right]'=\left[A\right]\times \left\lbrace \mu _{1}(x)\;\left[X_{1}\right]+\mu _{2}(x)\;\left[X_{2}\right]\right\rbrace +\left[E\right]\;$»
     traduction matricielle à la solution particulière soit, en utilisant la distributivité de la multiplication matricielle à gauche relativement à l'addition matricielle,
     traduction matricielle à la solution particulière soit, «$\;{\mu _{1}}'(x)\;\left[X_{1}\right]+\mu _{1}(x)\;\left[X_{1}\right]'+{\mu _{2}}'(x)\;\left[X_{2}\right]+\mu _{2}(x)\;\left[X_{2}\right]'=\mu _{1}(x)\;\left[A\right]\times \left[X_{1}\right]+\mu _{2}(x)\;\left[A\right]\times \left[X_{2}\right]+\left[E\right]\;\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$» ou,

     traduction matricielle à la solution particulière sachant que «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\left[X_{1}\right]'=\left[A\right]\times \left[X_{1}\right]\\\left[X_{2}\right]'=\left[A\right]\times \left[X_{2}\right]\end{array}}\right\rbrace \;$», leur report dans l'équation matricielle $\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$ $\Rightarrow$ «$\;{\mu _{1}}'(x)\;\left[X_{1}\right]+{\mu _{2}}'(x)\;\left[X_{2}\right]=\left[E\right]\;\;\left({\mathfrak {a}}'\right)\;$»
     traduction matricielle à la solution particulière si on revient au système d'équations traduisant l'équation matricielle on obtient «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l c c}{\mu _{1}}'(x)\;f_{1}(x)+{\mu _{2}}'(x)\;f_{2}(x)\!\!&=&\!\!0\\{\mu _{1}}'(x)\;g_{1}(x)+{\mu _{2}}'(x)\;g_{2}(x)\!\!&=&\!\!e(x)\end{array}}\right\rbrace \;$» ou
     traduction matricielle à la solution particulière si on revient au système d'équations traduisant l'équation matricielle on obtient «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c c c}{\mu _{1}}'(x)\;f_{1}(x)+{\mu _{2}}'(x)\;f_{2}(x)\!\!&=&\!\!0\\{\mu _{1}}'(x)\;{f'}_{\!1}(x)+{\mu _{2}}'(x)\;{f'}_{\!2}(x)\!\!&=&\!\!e(x)\end{array}}\right\rbrace \;\left({\mathfrak {a}}''\right)\;$» ;

     traduction matricielle à la solution particulière ainsi « les deux inconnues $\;{\mu _{1}}'(x)\;$ et $\;{\mu _{2}}'(x)\;$ doivent être solutions du système hétérogène des deux équations algébriques linéaires
     traduction matricielle à la solution particulière ainsi « les deux inconnues $\;\color {transparent}{{\mu _{1}}'(x)}\;$ et $\;\color {transparent}{{\mu _{2}}'(x)}\;$ doivent être solutions du système $\left\lbrace {\begin{array}{c c c}f_{1}(x)\;{\mu _{1}}'(x)+f_{2}(x)\;{\mu _{2}}'(x)\!\!&=&\!\!0\\{f'}_{\!1}(x)\;{\mu _{1}}'(x)+{f'}_{\!2}(x)\;{\mu _{2}}'(x)\!\!&=&\!\!e(x)\end{array}}\right\rbrace \;\left({\mathfrak {a}}''\right)\;$»,
     traduction matricielle à la solution particulière ainsi « les deux inconnues $\;\color {transparent}{{\mu _{1}}'(x)}\;$ et $\;\color {transparent}{{\mu _{2}}'(x)}\;$ doivent être solutions du système qui se réécrit sous forme matricielle «$\;\left[{\mathcal {W}}\right]\times \left[Y\right]=\left[E\right]\;\;\left({\mathfrak {a}}'''\right)\;$» avec
     traduction matricielle à la solution particulière ainsi « les deux inconnues $\;\color {transparent}{{\mu _{1}}'(x)}\;$ et $\;\color {transparent}{{\mu _{2}}'(x)}\;$ doivent être solutions du «$\;\left[{\mathcal {W}}\right]=\left[{\begin{array}{c}f_{1}(x)&f_{2}(x)\\{f'}_{\!1}(x)&{f'}_{\!2}(x)\end{array}}\right]\in M_{2}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$» de déterminant $\;\mathrm {det} \!\left({\mathcal {W}}\right)\;$ égal
                                        traduction matricielle à la solution particulière ainsi « les deux inconnues $\;\color {transparent}{{\mu _{1}}'(x)}\;$ et $\;\color {transparent}{{\mu _{2}}'(x)}\;$ doivent être solutions du «$\;\color {transparent}{\left[{\mathcal {W}}\right]=}$ au wronskien $\;W(x)\;$ de $\;\left\lbrace f_{1}(x)\,,\,f_{2}(x)\right\rbrace \;$,
     traduction matricielle à la solution particulière ainsi « les deux inconnues $\;\color {transparent}{{\mu _{1}}'(x)}\;$ et $\;\color {transparent}{{\mu _{2}}'(x)}\;$ doivent être solutions du «$\;\left[Y\right]=\left[{\begin{array}{c}{\mu _{1}}'(x)\\{\mu _{2}}'(x)\end{array}}\right]\in M_{2,1}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$» la matrice colonne des inconnues et
     traduction matricielle à la solution particulière ainsi « les deux inconnues $\;\color {transparent}{{\mu _{1}}'(x)}\;$ et $\;\color {transparent}{{\mu _{2}}'(x)}\;$ doivent être solutions du «$\;\left[E\right]=\left[{\begin{array}{c}0\\e(x)\end{array}}\right]\in M_{2,1}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$» la matrice colonne des excitations ;

     résolution du système des deux équations algébriques linéaires en$\;\left\lbrace {\mu _{1}}'(x)\,,\,{\mu _{2}}'(x)\right\rbrace \;$hétérogène$\;\left\lbrace {\begin{array}{c c c}{\mu _{1}}'(x)\;f_{1}(x)+{\mu _{2}}'(x)\;f_{2}(x)\!\!&=&\!\!0\\{\mu _{1}}'(x)\;{f'}_{\!1}(x)+{\mu _{2}}'(x)\;{f'}_{\!2}(x)\!\!&=&\!\!e(x)\end{array}}\right\rbrace \;\left({\mathfrak {a}}''\right)$ :
     résolution du système le wronskien de $\;\left\lbrace f_{1}(x)\,,\,f_{2}(x)\right\rbrace \;$ «$\;W(x)=\mathrm {det} \!\left({\mathcal {W}}\right)\;$» étant non nul $\;{\big \{}f_{1}(x)\;$ et $\;f_{2}(x)\;$ étant indépendantes${\big \}}\;$, la résolution de ce système
     résolution du système peut être faite en utilisant la « règle de Cramer » ce qui donne «$\;{\mu _{1}}'(x)={\dfrac {\begin{array}{|c c|}\;0&f_{2}(x)\;\\\;e(x)&{f'}_{\!2}(x)\;\end{array}}{\begin{array}{|c c|}\;f_{1}(x)&f_{2}(x)\;\\\;{f'}_{\!1}(x)&{f'}_{\!2}(x)\;\end{array}}}={\dfrac {-e(x)\;f_{2}(x)}{W(x)}}={\dfrac {-e(x)\;f_{2}(x)}{f_{1}(x)\;{f'}_{\!2}(x)-f_{2}(x)\;{f'}_{\!1}(x)}}\;$ » et
                               résolution du système peut être faite en utilisant la « règle de Cramer » ce qui donne «$\;{\mu _{2}}'(x)={\dfrac {\begin{array}{|c c|}\;f_{1}(x)&0\;\\\;{f'}_{\!1}(x)&e(x)\;\end{array}}{\begin{array}{|c c|}\;f_{1}(x)&f_{2}(x)\;\\\;{f'}_{\!1}(x)&{f'}_{\!2}(x)\;\end{array}}}={\dfrac {e(x)\;f_{1}(x)}{W(x)}}={\dfrac {e(x)\;f_{1}(x)}{f_{1}(x)\;{f'}_{\!2}(x)-f_{2}(x)\;{f'}_{\!1}(x)}}\;$ » ;

     détermination de la solution particulière cherchée sous la forme$\;\mu _{1}(x)\;f_{1}(x)+\mu _{2}(x)\;f_{2}(x)\;$de l'équation différentielle linéaire à cœfficients non constants du 2^ème ordre en$\;f(x)\;$ hétérogène :
     détermination de la solution particulière de «$\;{\mu _{1}}'(x)={\dfrac {-e(x)\;f_{2}(x)}{f_{1}(x)\;{f'}_{\!2}(x)-f_{2}(x)\;{f'}_{\!1}(x)}}\;$» on déduit, par intégration, «$\;\mu _{1}(x)=\displaystyle \int ^{x}{\dfrac {-e(x')\;f_{2}(x')}{f_{1}(x')\;{f'}_{\!2}(x')-f_{2}(x')\;{f'}_{\!1}(x')}}\;dx'\;$»
     détermination de la solution particulière de «$\;\color {transparent}{{\mu _{1}}'(x)=f_{1}(x)\;{f'}_{\!2}(x)-f_{2}(x)\;{f'}_{\!1}(x)}\;$» on déduit, par intégration, «$\;\color {transparent}{\mu _{1}(x)=}$ $\;{\big \{}$primitive quelconque de $\;{\mu _{1}}'(x)\;$ restant à choisir${\big \}}\;$ et
     détermination de la solution particulière de «$\;{\mu _{2}}'(x)={\dfrac {e(x)\;f_{1}(x)}{f_{1}(x)\;{f'}_{\!2}(x)-f_{2}(x)\;{f'}_{\!1}(x)}}\;$» on déduit, par intégration, «$\;\mu _{2}(x)=\displaystyle \int ^{x}{\dfrac {e(x')\;f_{1}(x')}{f_{1}(x')\;{f'}_{\!2}(x')-f_{2}(x')\;{f'}_{\!1}(x')}}\;dx'\;$»
     détermination de la solution particulière de «$\;\color {transparent}{{\mu _{2}}'(x)=f_{1}(x)\;{f'}_{\!2}(x)-f_{2}(x)\;{f'}_{\!1}(x)}\;$» on déduit, par intégration, «$\;\color {transparent}{\mu _{2}(x)=}$ $\;{\big \{}$primitive quelconque de $\;{\mu _{2}}'(x)\;$ restant à choisir${\big \}}\;$ d'où
     détermination de la solution particulière «$\;f_{\text{part de l'équa hétéro}}(x)=f_{1}(x)\,\displaystyle \int ^{x}{\dfrac {-e(x')\;f_{2}(x')}{f_{1}(x')\;{f'}_{\!2}(x')-f_{2}(x')\;{f'}_{\!1}(x')}}\;dx'+f_{2}(x)\,\displaystyle \int ^{x}{\dfrac {e(x')\;f_{1}(x')}{f_{1}(x')\;{f'}_{\!2}(x')-f_{2}(x')\;{f'}_{\!1}(x')}}\;dx'\;$» avec
     détermination de la solution particulière «$\;\color {transparent}{f_{\text{part de l'équa hétéro}}(x)=}$ «$\;\left\lbrace f_{1}(x)\,,\,f_{2}(x)\right\rbrace \;$ un couple de solutions particulières indépendantes de l'équation différentielle linéaire homogène associée » ;

     détermination de la solution générale de l'équation différentielle linéaire à cœfficients non constants du 2^ème ordre en$\;f(x)\;$ hétérogène$\;f''(x)+a_{1}(x)\;f'(x)+a_{0}(x)\;f(x)=e(x)$ :
     détermination de la solution générale « la solution générale d'une équation différentielle linéaire hétérogène est la somme de la solution générale de l'équation homogène correspondante et
     détermination de la solution générale « la solution générale d'une équation différentielle linéaire hétérogène est la somme d'une solution particulière de l'équation hétérogène » c.-à-d.
     détermination de la solution générale «$\;f_{\text{géné de l'équa hétéro}}(x)=f_{\text{géné de l'équa homo}}(x)+f_{\text{part de l'équa hétéro}}(x)\;$» avec
     détermination de la solution générale «$\;\color {transparent}{f_{\text{géné de l'équa hétéro}}(x)}$ «$\;f_{\text{géné de l'équa homo}}(x)=\alpha _{1}\;f_{1}(x)+\alpha _{2}\;f_{2}(x)\;$» dans laquelle $\;\left(\alpha _{1}\,,\,\alpha _{2}\right)\in \mathbb {R} ^{2}\;$ quelconque et
     détermination de la solution générale «$\;\color {transparent}{f_{\text{géné de l'équa hétéro}}(x)}$ «$\;f_{\text{part de l'équa hétéro}}(x)=\mu _{1}(x)\;f_{1}(x)+\mu _{2}(x)\;f_{2}(x)\;$» dans laquelle $\;\mu _{1}(x)=\displaystyle \int ^{x}{\dfrac {-e(x')\;f_{2}(x')}{f_{1}(x')\;{f'}_{\!2}(x')-f_{2}(x')\;{f'}_{\!1}(x')}}\;dx'\;$
     détermination de la solution générale «$\;\color {transparent}{f_{\text{géné de l'équa hétéro}}(x)}$ «$\;\color {transparent}{f_{\text{part de l'équa hétéro}}(x)=\mu _{1}(x)\;f_{1}(x)+\mu _{2}(x)\;f_{2}(x)}\;$» dans laquelle $\;\color {transparent}{\mu _{1}(x)=}$ est une primitive à choisir et
     détermination de la solution générale «$\;\color {transparent}{f_{\text{géné de l'équa hétéro}}(x)}$ «$\;\color {transparent}{f_{\text{part de l'équa hétéro}}(x)=\mu _{1}(x)\;f_{1}(x)+\mu _{2}(x)\;f_{2}(x)}\;$» dans laquelle $\;\mu _{2}(x)=\displaystyle \int ^{x}{\dfrac {e(x')\;f_{1}(x')}{f_{1}(x')\;{f'}_{\!2}(x')-f_{2}(x')\;{f'}_{\!1}(x')}}\;dx'\;$
     détermination de la solution générale «$\;\color {transparent}{f_{\text{géné de l'équa hétéro}}(x)}$ «$\;\color {transparent}{f_{\text{part de l'équa hétéro}}(x)=\mu _{1}(x)\;f_{1}(x)+\mu _{2}(x)\;f_{2}(x)}\;$» dans laquelle $\;\color {transparent}{\mu _{2}(x)=}$ est une primitive à choisir ; finalement
     détermination de la solution générale «$\;f_{\text{géné de l'équa hétéro}}(x)=\left[\alpha _{1}+\mu _{1}(x)\right]\,f_{1}(x)+\left[\alpha _{2}+\mu _{2}(x)\right]\,f_{2}(x)\;$» dans laquelle $\;\alpha _{1}+\mu _{1}(x)=\alpha _{1}+\displaystyle \int ^{x}{\dfrac {-e(x')\;f_{2}(x')}{f_{1}(x')\;{f'}_{\!2}(x')-f_{2}(x')\;{f'}_{\!1}(x')}}\;dx'\;$
     détermination de la solution générale «$\;\color {transparent}{f_{\text{géné de l'équa hétéro}}(x)=\left[\alpha _{1}+\mu _{1}(x)\right]\,f_{1}(x)+\left[\alpha _{2}+\mu _{2}(x)\right]\,f_{2}(x)}\;$» dans laquelle $\;\color {transparent}{\alpha _{1}+\mu _{1}(x)=}$ est une primitive quelconque et
     détermination de la solution générale «$\;\color {transparent}{f_{\text{géné de l'équa hétéro}}(x)=\left[\alpha _{1}+\mu _{1}(x)\right]\,f_{1}(x)+\left[\alpha _{2}+\mu _{2}(x)\right]\,f_{2}(x)}\;$» dans laquelle $\;\alpha _{2}+\mu _{2}(x)=\alpha _{2}+\displaystyle \int ^{x}{\dfrac {e(x')\;f_{1}(x')}{f_{1}(x')\;{f'}_{\!2}(x')-f_{2}(x')\;{f'}_{\!1}(x')}}\;dx'\;$
     détermination de la solution générale «$\;\color {transparent}{f_{\text{géné de l'équa hétéro}}(x)=\left[\alpha _{1}+\mu _{1}(x)\right]\,f_{1}(x)+\left[\alpha _{2}+\mu _{2}(x)\right]\,f_{2}(x)}\;$» dans laquelle $\;\color {transparent}{\alpha _{2}+\mu _{2}(x)=}$ est une primitive quelconque, avec
     détermination de la solution générale «$\;\color {transparent}{f_{\text{géné de l'équa hétéro}}(x)=}$ «$\;\left\lbrace f_{1}(x)\,,\,f_{2}(x)\right\rbrace \;$ couple de solutions particulières indépendantes de l'équation différentielle linéaire homogène associée ».

     Exemple : Soit à résoudre l'équation différentielle linéaire normalisée du 2^ème ordre en $\;f(x)\;$ hétérogène «$\;f''(x)-{\dfrac {1}{x}}\;f'(x)+{\dfrac {1}{x^{2}}}\;f(x)=e(x)\;$ sur $\;\left]0\,,\,+\infty \right[\;$» où «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}a_{1}(x)=-{\dfrac {1}{x}}\\a_{0}(x)={\dfrac {1}{x^{2}}}\end{array}}\right\rbrace \;$»,
     Exemple : le couple de solutions particulières indépendantes de l'équation différentielle linéaire homogène associée «$\;f''(x)-{\dfrac {1}{x}}\;f'(x)+{\dfrac {1}{x^{2}}}\;f(x)=0\;$ sur $\;\left]0\,,\,+\infty \right[\;$»
     Exemple : le couple de solutions particulières indépendantes étant «$\;\left\lbrace f_{1}(x)=x\,,\,f_{2}(x)=x\;\ln(x)\right\rbrace \;$» $\;{\big [}$«$\;f_{1}(x)=x\;$ étant une solution particulière évidente et
     Exemple : le couple de solutions particulières indépendantes étant «$\;\color {transparent}{\left\lbrace f_{1}(x)=x\,,\,f_{2}(x)=x\;\ln(x)\right\rbrace }\;$» $\;\color {transparent}{\big [}$«$\;f_{2}(x)=x\;\ln(x)\;$» une autre solution particulière indépendante déterminée par
     Exemple : le couple de solutions particulières indépendantes étant «$\;\color {transparent}{\left\lbrace f_{1}(x)=x\,,\,f_{2}(x)=x\;\ln(x)\right\rbrace }\;$» $\;\color {transparent}{\big [}$résolution de l'équation différentielle linéaire homogène du 1^er ordre
     Exemple : le couple de solutions particulières indépendantes étant «$\;\color {transparent}{\left\lbrace f_{1}(x)=x\,,\,f_{2}(x)=x\;\ln(x)\right\rbrace }\;$» $\;\color {transparent}{\big [}$en le « wronskien $\;W(x)\;$ de $\;\left\lbrace f_{1}(x)\,,\,f_{2}(x)\right\rbrace \;$»${\big ]}$, nous cherchons,

     Exemple : en utilisant la méthode de variation des constantes, une solution particulière de l'équation différentielle linéaire hétérogène «$\;f''(x)-{\dfrac {1}{x}}\;f'(x)+{\dfrac {1}{x^{2}}}\;f(x)=e(x)\;$»
     Exemple : en utilisant la méthode de variation des constantes, une solution particulière sous la forme «$\;f_{\text{part de l'équa hétéro}}(x)=\mu _{1}(x)\;x+\mu _{2}(x)\;x\;\ln(x)\;$» avec
     Exemple : en utilisant la méthode de variation des constantes, une solution particulière sous la forme «$\;\color {transparent}{f_{\text{part de l'équa hétéro}}(x)}$ $\;\left\lbrace \mu _{1}(x)\,,\,\mu _{2}(x)\right\rbrace \;$ un couple de fonctions à déterminer,
     Exemple : en utilisant la méthode de variation des constantes, une solution particulière sous la forme «$\;\color {transparent}{f_{\text{part de l'équa hétéro}}(x)}$ les dérivées 1^ères par rapport à la variable $\;x\;$ de ces dernières étant
     Exemple : en utilisant la méthode de variation des constantes, une solution particulière sous la forme «$\;\color {transparent}{f_{\text{part de l'équa hétéro}}(x)}$ solutions du système hétérogène des deux équations algébriques linéaires
     Exemple : en utilisant la méthode de variation des constantes, une solution particulière sous la forme «$\;\color {transparent}{f_{\text{part de l'équa hétéro}}(x)}$ «$\;\left\lbrace {\begin{array}{r c r c l}x\;{\mu _{1}}'(x)\!\!&+&\!\!x\;\ln(x)\;{\mu _{2}}'(x)\!\!&=&\!\!0\\1\;{\mu _{1}}'(x)\!\!&+&\!\!\left[\ln(x)+1\right]\;{\mu _{2}}'(x)\!\!&=&\!\!e(x)\end{array}}\right\rbrace \;\left({\mathfrak {a}}''\right)\;$ » $\Rightarrow$
     Exemple : en utilisant la méthode de variation des constantes, une solution particulière par la règle de Cramer «$\;{\mu _{1}}'(x)={\dfrac {\begin{array}{|c c|}\;0&x\;\ln(x)\;\\\;e(x)&\ln(x)+1\;\end{array}}{\begin{array}{|c c|}\;x&x\;\ln(x)\;\\\;1&\ln(x)+1\;\end{array}}}={\dfrac {-e(x)\;x\;\ln(x)}{x\,\left[\ln(x)+1\right]-x\;\ln(x)}}=-e(x)\;\ln(x)\;$» et
             Exemple : en utilisant la méthode de variation des constantes, une solution particulière par la règle de Cramer «$\;{\mu _{2}}'(x)={\dfrac {\begin{array}{|c c|}\;x&0\;\\\;1&e(x)\;\end{array}}{\begin{array}{|c c|}\;x&x\;\ln(x)\;\\\;1&\ln(x)+1\;\end{array}}}={\dfrac {e(x)\;x}{x\,\left[\ln(x)+1\right]-x\;\ln(x)}}=e(x)\;$» ;

     Exemple : en utilisant la méthode de variation des constantes, une solution particulière une primitive de «$\;{\mu _{1}}'(x)=-e(x)\;\ln(x)\;$ s'écrit $\;\mu _{1}(x)=\displaystyle \int _{0^{+}}^{x}-e(x')\;\ln(x')\;dx'\;$ » et
     Exemple : en utilisant la méthode de variation des constantes, une solution particulière une primitive de «$\;{\mu _{2}}'(x)=e(x)\;$ s'écrit $\;\mu _{2}(x)=\displaystyle \int _{0^{+}}^{x}e(x')\;dx'\;$ » ;

     Exemple : en utilisant la méthode de variation des constantes, une solution particulière si «$\;e(x)=x\;$», la primitive de «$\;{\mu _{1}}'(x)=-e(x)\;\ln(x)\;$ s'écrivant $\;\mu _{1}(x)=\displaystyle \int _{0^{+}}^{x}-x'\;\ln(x')\;dx'\;$
     Exemple : en utilisant la méthode de variation des constantes, une solution particulière si «$\;\color {transparent}{e(x)=x}\;$», est convergente et s'évalue par intégration par parties $\;{\big (}$i.p.p.${\big )}\;$ selon
           Exemple : en utilisant la méthode de variation des constantes, une solution particulière si «$\;\color {transparent}{e(x)=x}\;$», est convergente et s'évalue $\;\mu _{1}(x)=\left[{\dfrac {-{x'}^{2}\;\ln(x')}{2}}\right]_{0^{+}}^{x}-\displaystyle \int _{0^{+}}^{x}{\dfrac {-{x'}^{2}}{2}}\;{\dfrac {1}{x'}}\;dx'\;$
           Exemple : en utilisant la méthode de variation des constantes, une solution particulière si «$\;\color {transparent}{e(x)=x}\;$», est convergente et s'évalue $\;\color {transparent}{\mu _{1}(x)}$ $={\dfrac {-x^{2}\;\ln(x)}{2}}+{\dfrac {x^{2}}{4}}={\dfrac {x^{2}}{4}}\,\left[1-\ln(x^{2})\right]\;$ » et
     Exemple : en utilisant la méthode de variation des constantes, une solution particulière si «$\;\color {transparent}{e(x)=x}\;$», la primitive de «$\;{\mu _{2}}'(x)=e(x)\;$ s'écrivant $\;\mu _{2}(x)=\displaystyle \int _{0^{+}}^{x}x'\;dx'=\left[{\dfrac {{x'}^{2}}{2}}\right]_{0^{+}}^{x}={\dfrac {x^{2}}{2}}\;$», d'où
     Exemple : en utilisant la méthode de variation des constantes, une solution particulière si «$\;\color {transparent}{e(x)=x}\;$», la solution générale de «$\;f''(x)-{\dfrac {1}{x}}\;f'(x)+{\dfrac {1}{x^{2}}}\;f(x)=x\;$ sur $\;\left]0\,,\,+\infty \right[\;$» s'écrit
     Exemple : en utilisant la méthode de variation des constantes, une solution particulière si «$\;\color {transparent}{e(x)=x}\;$», «$\;f_{\text{géné de l'équa hétéro}}(x)=\left\lbrace \alpha _{1}+{\dfrac {x^{2}}{4}}\,\left[1-\ln(x^{2})\right]\right\rbrace \;x+\left\lbrace \alpha _{2}+{\dfrac {x^{2}}{2}}\right\rbrace \;x\;\ln(x)\;$
     Exemple : en utilisant la méthode de variation des constantes, une solution particulière si «$\;\color {transparent}{e(x)=x}\;$», «$\;\color {transparent}{f_{\text{géné de l'équa hétéro}}(x)}$ $=\alpha _{1}\;x+\alpha _{2}\;x\;\ln(x)+{\dfrac {x^{3}}{4}}\;$ » avec
     Exemple : en utilisant la méthode de variation des constantes, une solution particulière si «$\;\color {transparent}{e(x)=x}\;$», «$\;\color {transparent}{f_{\text{géné de l'équa hétéro}}(x)}$ $\;\left(\alpha _{1}\,,\,\alpha _{2}\right)\in \mathbb {R} ^{2}\;$ constantes d'intégration quelconque.

Méthode pratique de résolution d'une équation différentielle non linéaire

Il n'est en aucun cas question d'être exhaustif, le sujet étant beaucoup trop vaste, seul un exemple de chaque cas est présenté.

Exemple d'une équation différentielle non linéaire du 1^er ordre

     Soit à résoudre l'équation différentielle non linéaire du 1^er ordre en $\;f(x)\;$ «$\;x\;f'(x)+\left[f(x)\right]^{2}=A\;$ avec $\;A\in \mathbb {R} ^{+\,*}\;$» :

     une méthode pratique de résolution consiste à « séparer les variables » après adoption de la notation différentielle de la dérivée $\;f'(x)={\dfrac {df}{dx}}\;$ $\Rightarrow$ «$\;x\;{\dfrac {df}{dx}}+\left[f(x)\right]^{2}=A\;$ avec $\;A\in \mathbb {R} ^{+\,*}\;$»,
     une méthode pratique de résolution consistela « séparation des variables » $\Rightarrow$ $\bullet \;$regrouper les termes définis directement à partir de la variable $\;f\;$ dans le même membre que sa différentielle $\;df\;$ et
    une méthode pratique de résolution consiste la « séparation des variables » $\color {transparent}{\Rightarrow }$ $\bullet \;$regrouper les termes définis directement à partir de la variable $\;x\;$ dans l'autre membre avec sa différentielle $\;dx\;$ soit
     une méthode pratique de résolution consiste«$\;x\;{\dfrac {df}{dx}}+\left[f(x)\right]^{2}=A\;$ $\Leftrightarrow$ $\;x\;{\dfrac {df}{dx}}=A-\left[f(x)\right]^{2}\;$ $\Rightarrow$ $\;{\dfrac {df}{A-f^{2}}}={\dfrac {dx}{x}}\;$» ;

     une méthode pratique de résolution consisteon termine en intégrant membre à membre, le 1^er membre relativement à la variable $\;f\;$ et
     une méthode pratique de résolution consiste on termine en intégrant membre à membre, le 2^nd membre par rapport à la variable $\;x$ :

     intégration du 1^er membre$\;\displaystyle \int ^{f}{\dfrac {dg}{A-g^{2}}}\;$ : la fonction rationnelle $\;{\dfrac {-1}{g^{2}-A}}\;$ de pôles connus $\;\left\lbrace -{\sqrt {A}},\,+{\sqrt {A}}\right\rbrace \;$ se décompose en éléments simples $\;{\dfrac {\alpha }{g-{\sqrt {A}}}}\;$ et $\;{\dfrac {\beta }{g+{\sqrt {A}}}}\;$ c.-à-d.
                    intégration du 1^er membre$\;\color {transparent}{\displaystyle \int ^{f}A-g^{2}}\;$ : la fonction rationnelle $\;{\dfrac {-1}{g^{2}-A}}={\dfrac {\alpha }{g-{\sqrt {A}}}}+{\dfrac {\beta }{g+{\sqrt {A}}}}\;$ avec $\;\alpha \;$ et $\;\beta \;$ constantes réelles à déterminer $\Rightarrow$ $\;\left\lbrace \alpha ={\dfrac {-1}{2\,{\sqrt {A}}}}\;,\;\beta ={\dfrac {1}{2\,{\sqrt {A}}}}\right\rbrace \;$ d'où
             intégration du 1^er membre$\;\color {transparent}{\displaystyle \int ^{f}A-g^{2}}\;$ : la réécriture de l'intégrale «$\;\displaystyle \int ^{f}{\dfrac {dg}{A-g^{2}}}={\dfrac {1}{2\,{\sqrt {A}}}}\left[\displaystyle \int ^{f}-{\dfrac {dg}{g-{\sqrt {A}}}}+\displaystyle \int ^{f}{\dfrac {dg}{g+{\sqrt {A}}}}\right]={\dfrac {1}{2\,{\sqrt {A}}}}\left\lbrace \left[-\ln \!\vert g-{\sqrt {A}}\vert +\ln \!\vert g+{\sqrt {A}}\vert \right]^{f}\right\rbrace$
               intégration du 1^er membre$\;\color {transparent}{\displaystyle \int ^{f}A-g^{2}}\;$ : la réécriture de l'intégrale «$\;\color {transparent}{\displaystyle \int ^{f}A-g^{2}}$ $={\dfrac {1}{2\,{\sqrt {A}}}}\ln \!{\Bigg \vert }{\dfrac {f+{\sqrt {A}}}{f-{\sqrt {A}}}}{\Bigg \vert }+cste_{1}\;$» et

     intégration du 2^nd membre$\;\displaystyle \int ^{x}{\dfrac {d\xi }{\xi }}$ : ne pose aucune difficulté $\Rightarrow$ «$\;\displaystyle \int ^{x}{\dfrac {d\xi }{\xi }}=\ln \vert x\vert +cste_{2}\;$» d'où

    une méthode pratique de résolution consiste l'expression implicite de la solution générale «$\;{\dfrac {1}{2\,{\sqrt {A}}}}\ln \!{\Bigg \vert }{\dfrac {f(x)+{\sqrt {A}}}{f(x)-{\sqrt {A}}}}{\Bigg \vert }-\ln \vert x\vert =cste\;$» à laquelle il faut ajouter
    une méthode pratique de résolution consiste l'expression implicite de les deux solutions particulières «$\;f_{{\text{part,}}\,\pm }(x)=\pm {\sqrt {A}}\;$».

Exemple d'une équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre sans terme du 1^er ordre

     Soit à résoudre l'équation différentielle non linéaire du 2^ème ordre en $\;f(x)\;$ sans terme du 1^er ordre «$\;f''(x)+A\;\sin \!\left[f(x)\right]=0\;$ avec $\;A\in \mathbb {R} ^{+\,*}\;$» :

     une méthode pratique de résolution consiste à « intégrer une 1^ère fois » de façon à obtenir une équation différentielle du 1^er ordre en $\;f(x)\;$ et pour cela,
     une méthode pratique de résolution consiste à $\bullet \;$multiplier les deux membres par $\;f'(x)\;$ $\Rightarrow$ «$\;f''(x)\;f'(x)+A\;\sin \!\left[f(x)\right]\;f'(x)=0\;$»
     une méthode pratique de résolution consiste à $\color {transparent}{\bullet }\;$multiplier les deux membres par $\;\color {transparent}{f'(x)}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ dans laquelle on reconnaît $\succ \;$dans $\;f''(x)\;f'(x)\;$ la dérivée de $\;{\dfrac {\left[f'(x)\right]^{2}}{2}}\;$ et
     une méthode pratique de résolution consiste à $\color {transparent}{\bullet }\;$multiplier les deux membres par $\;\color {transparent}{f'(x)}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ dans laquelle on reconnaît $\succ \;$dans $\;A\;\sin \!\left[f(x)\right]\;f'(x)\;$ la dérivée de $\;-A\;\cos \!\left[f(x)\right]$,
     une méthode pratique de résolution consiste à $\bullet \;$intégrer une fois par rapport à $\;x\;$ $\Rightarrow$ «$\;{\dfrac {\left[f'(x)\right]^{2}}{2}}-A\;\cos \!\left[f(x)\right]=cste\;$» c.-à-d. une équation différentielle non linéaire du 1^er ordre en $\;f(x)$ :
              une méthode pratique de résolution consiste à $\color {transparent}{\bullet }\;$intégrer une fois par rapport à $\;\color {transparent}{x}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ «$\;\color {transparent}{\left[f'(x)\right]^{2}-A\;\cos \!\left[f(x)\right]=cste}\;$» c.-à-d. «$\;f'(x)=\pm {\sqrt {2\left\lbrace cste+A\;\cos \!\left[f(x)\right]\right\rbrace }}\;$» ;

          une méthode pratique de résolution puis à « intégrer une 2^ème fois, quand cela est possible », par utilisation de la méthode pratique de « séparation des variables »
          une méthode pratique de résolution puis à « intégrer une 2^ème fois, quand cela est possible », après adoption de la notation différentielle de la dérivée $\;f'(x)={\dfrac {df}{dx}}\;$ ce qui conduit à
          une méthode pratique de résolution puis à « intégrer une 2^ème fois, quand cela est possible », chercher la solution de $\;{\dfrac {df}{\sqrt {cste+A\;\cos(f)}}}=\pm {\sqrt {2}}\;dx\;$ mais $\;\ldots \;$ dans le cas présent,
          une méthode pratique de résolution puis à « intégrer une 2^ème fois, quand cela est possible », la solution n'étant pas exprimable à l'aide des fonctions usuelles nous n'irons pas plus loin $\;\ldots \;$