Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Équations différentielles

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Définition d'une équation différentielle ordinaire modifier

     On se propose de définir une équation différentielle ordinaire concernant une fonction réelle de la variable réelle .

Équation différentielle non linéaire modifier

     La fonction ou ses dérivées peuvent intervenir :

  • élevées à une certaine puissance c.-à-d. , avec ou
  • multipliées entre elles c.-à-d. , ,

     Si tel est le cas, l'équation différentielle est dite non linéaire.

Équation différentielle linéaire modifier

     Si la fonction et ses dérivées interviennent sans être élevées à une certaine puissance et si elles ne sont pas multipliées entre elles, l'équation différentielle est linéaire et se présente sous la forme :

sont des fonctions de , l'équation différentielle étant d'ordre deux si dans ce cas, usuellement, on divise les deux membres de l'équation différentielle par de façon à ce que le cœfficient de la dérivée seconde soit , l'équation différentielle étant alors dite « normalisée »

      est l'excitation de l'équation différentielle, celle-ci est dite :

  • hétérogène dans la mesure où et
  • homogène si .

     Remarques : Si , le plus haut ordre n'est pas deux, mais un si  ;

     Remarques : si avec , il s'agit d'une équation différentielle linéaire d'ordre deux en mais on peut également considérer que cette équation différentielle est d'ordre un en dans la mesure où puisque s'écrivant [2].

Équation différentielle linéaire à coefficients constants modifier

     Une équation différentielle de ce type doit être linéaire et telle que les coefficients de sont des constantes et non des fonctions de  ; elle se présente sous la forme :

est encore une fonction de , étant des constantes réelles, l'équation différentielle linéaire à coefficients constants étant :

  • d'ordre deux en dans la mesure où ,
  • homogène si  » et
  • sinon, hétérogène.

     Normalisation de l'équation différentielle :
          La forme normalisée de l'équation différentielle du 2ème ordre en obtenue après avoir divisé les deux membres de l'équation différentielle par s'écrit :


 en posant , ainsi que et

          la forme normalisée de l'équation différentielle du 1er ordre en obtenue en supposant et après avoir divisé les deux membres de l'équation différentielle par s'écrit :


 en posant ainsi que .

Méthode de résolution d'une équation différentielle linéaire à coefficients constants homogène modifier

Préliminaire : notion d'espace vectoriel à une ou deux dimensions sur l'exemple des vecteurs géométriques modifier

     Tous les vecteurs d'une droite forment un espace vectoriel à une dimension c.-à-d. qu'il suffit d'un vecteur de base pour obtenir tous les vecteurs possibles de la droite comme « multiple » du vecteur de base ; quand un ensemble peut être engendré complètement de la même façon à partir d'un élément de l'ensemble, il constitue un « espace vectoriel à une dimension » et « l'élément particulier définit la base de l'ensemble » [3] ;

     tous les vecteurs d'un plan forment un espace vectoriel à deux dimensions c.-à-d. qu'il suffit de deux vecteurs de base [4] pour obtenir tous les vecteurs possibles du plan comme C.L. [5] des deux vecteurs de base ; quand un ensemble peut être engendré complètement de la même façon à partir de deux éléments indépendants [6] de l'ensemble, il constitue un « espace vectoriel à deux dimensions » et « ces deux éléments indépendants particuliers définissent la base de l'ensemble » [7].

Propriété (admise) de l'ensemble des solutions d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du premier ou deuxième ordre homogène modifier

     L'ensemble des solutions d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du premier ordre homogène est un « espace vectoriel à une dimension » et
     celui des solutions d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du deuxième ordre homogène, un « espace vectoriel à deux dimensions » [8] ;

          il suffit donc de déterminer une base de l'ensemble cherché pour obtenir tout l'ensemble c.-à-d. de trouver :

  • une solution particulière d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1er ordre homogène pour obtenir toutes les solutions possibles de l'équation c.-à-d. les multiples de la solution particulière ou,
  • deux solutions particulières indépendantes d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2ème ordre homogène pour obtenir toutes les solutions possibles de l'équation c.-à-d. les C.L. [5] des deux solutions particulières indépendantes.

Méthode de recherche d'une (ou de deux indépendantes) solution(s) particulière(s) d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du premier (ou deuxième) ordre homogène modifier

     On cherche une solution du type car ses dérivées première et seconde lui étant proportionnelles, l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants homogène du 1er ou 2ème ordre en se transforme en équation algébrique du 1er ou 2ème degré en après simplification par [9] ; l'équation algébrique ainsi obtenue est appelée « équation caractéristique de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants homogène ».

Résolution d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du premier ordre homogène modifier

     Soit , l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1er ordre homogène, l'équation caractéristique correspondante s'écrivant et
     Soit , l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1er ordre homogène, l'équation caractéristique correspondante se résolvant en , on en déduit

la solution particulière c.-à-d. la base de l'ensemble des solutions
et par suite la « solution générale de l'équation différentielle » est une constante réelle arbitraire.

Résolution d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du deuxième ordre homogène sans terme du premier ordre modifier

     Soit avec , l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2ème ordre homogène sans terme du 1er ordre ;
     Soit avec , la recherche de deux solutions particulières indépendantes sous la forme exponentielle nécessite que de telles solutions existent et, en faisant cette hypothèse
     Soit avec , la recherche de deux solutions particulières indépendantes sous la forme exponentielle nous obtenons l'équation caractéristique qui admet
     Soit avec , la recherche de deux solutions particulières indépendantes sous la forme exponentielle nous obtenons deux racines réelles distincts si est  ;
     Soit avec , aussi nous allons discuter de la forme des solutions particulières indépendantes de l'équation différentielle suivant le signe de  :

Cas où le cœfficient du terme d'ordre zéro est strictement négatif modifier

     Avec , l'équation caractéristique «» admettant comme racines réelles distinctes , on en déduit :

les deux solutions indépendantes de l'équation différentielle base de l'ensemble des solutions «»
et la solution générale de l'équation différentielle «»
avec deux constantes réelles arbitraires.

Cas où le cœfficient du terme d'ordre zéro est nul modifier

     Avec , l'équation caractéristique «» admettant comme racine réelle double , on en déduit :

une seule solution particulière de l'équation différentielle sous forme exponentielle «» [10],
ce qui est insuffisant pour en déduire la solution générale de l'équation différentielle ;
il faudrait donc trouver une 2ème solution particulière indépendante de la 1ère c.-à-d. non constante mais

     Avec , Dans le cas présent il y a plus simple, l'équation différentielle s'écrivant , il suffit d'intégrer deux fois successivement et on obtient
     Avec , Dans le cas présent il y a plus simple, avec constante réelle arbitraire puis
     Avec , Dans le cas présent il y a plus simple, avec 2ème constante réelle arbitraire ;

     Avec , la solution générale de l'équation différentielle est donc «» avec deux constantes réelles arbitraires, montrant que cette solution est construite à partir

des deux solutions particulières indépendantes «» [11] base de l'ensemble des solutions.

Cas où le cœfficient du terme d'ordre zéro est strictement positif modifier

     Avec , l'équation caractéristique n'admettant aucune racine réelle, il n'y a pas de solutions particulières ayant une forme exponentielle de l'équation différentielle.

     Avec , Toutefois si on résout l'équation différentielle sur au lieu de résoudre sur [12], l'ensemble des solutions complexes formant alors un espace vectoriel de dimension deux sur [13],
     Avec , Toutefois si on résout l'équation différentielle sur la recherche de solutions complexes particulières indépendantes de forme exponentielle l'équation caractéristique
      Avec , Toutefois si on résout l'équation différentielle sur la recherche de solutions complexes particulières indépendantes de forme exponentielle l'équation caractéristique et
     Avec , Toutefois si on résout l'équation différentielle sur l'équation caractéristique y admettant deux racines imaginaires conjuguées , on en déduit
     Avec , Toutefois si on résout l'équation différentielle sur les deux solutions complexes particulières et indépendantes de l'équation différentielle «» et
     Avec , Toutefois si on résout l'équation différentielle sur la solution générale complexe de l'équation différentielle s'écrit selon «»
     Avec , Toutefois si on résout l'équation différentielle sur la solution générale complexe de l'équation différentielle s'écrit avec deux constantes complexes arbitraires ;
     Avec , Toutefois si on résout l'équation différentielle sur on peut alors en déduire la solution générale réelle de l'équation différentielle en imposant des relations de liaison entre
     Avec , Toutefois si on résout l'équation différentielle sur on peut alors en déduire la solution générale réelle de façon à ce que soit réelle [14].

     Avec , Compte-tenu de ce qui précède, à partir des deux solutions particulières complexes indépendantes de l'équation différentielle,
     Avec , Compte-tenu de ce qui précède, il est possible de trouver, par C.L. [5] à cœfficients complexes, deux solutions particulières réelles indépendantes, « et » [15], [16]
         Avec , Compte-tenu de ce qui précède, il est possible de trouver, par C.L. à cœfficients complexes, deux solutions particulières réelles indépendantes, base de l'ensemble des solutions [17]
     Avec , Compte-tenu de ce qui précède, et la solution générale réelle de l'équation différentielle s'écrit «»
     Avec , Compte-tenu de ce qui précède, et la solution générale réelle de l'équation différentielle s'écrit avec deux constantes réelles arbitraires.

     Remarques : On établit que «» avec dépendant de  ;
     Remarques : en effet, posant [18] ;
     Remarques : en effet, du système d'équations on en déduit «» permettant de choisir la détermination de suivant les signes de [19] :

     Remarques : en effet si sont tous deux , , d'où «» [20],

     Remarques : en effet si sont tous deux , , d'où «» [20],

     Remarques : en effet si , , d'où «» [20],

     Remarques : en effet si , , d'où «» [20].

Méthode de résolution d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants hétérogène modifier

But recherché pour résoudre une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du premier ou du deuxième ordre hétérogène modifier

     Trouver une solution particulière de cette équation différentielle hétérogène dans le but d'effectuer un changement de fonction permettant d'obtenir la même équation différentielle mais homogène.

     Justification [21] : soient respectivement et la solution générale et une solution particulière de l'équation hétérogène c.-à-d.
          Justification : , nous pouvons vérifier aisément en formant la différence «» que
          Justification : la fonction est solution de la même équation différentielle mais homogène [22] soit
          Justification : [23] ;

     ainsi la solution générale de l'équation hétérogène est la somme de la solution générale de l'équation homogène [24] et d'une solution particulière de l'équation hétérogène c.-à-d.

«» ;

     dans quasiment tous les cas on peut trouver une solution particulière de l'équation différentielle hétérogène de même forme que l'excitation [25] et alors, on peut écrire

«»
où «[26] est la solution générale de l'équation homogène » et
«[27] la solution particulière de l'équation hétérogène de même forme que l'excitation » [28].

Recherche de la solution forcée (quand celle-ci existe) modifier

     La solution forcée est la solution particulière d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1er ou du 2ème ordre hétérogène de même forme que l'excitation ;
     les principaux cas se présentant sont «», recherche sous la forme est une constante réelle à déterminer ;
     les principaux cas se présentant sont «», recherche sous la forme et sont des constantes réelles à déterminer ;
     les principaux cas se présentant sont «», recherche sous la forme est une constante réelle à déterminer ;
     les principaux cas se présentant sont «», recherche sous la forme et sont des constantes réelles à déterminer ;

     dans ce qui suit nous privilégions le cas d'une excitation constante, la démarche pour les autres formes d'excitation étant identique.

Premier ordre à excitation constante modifier

     Soit « est l'excitation constante » ;

     dans la mesure où [29] il existe toujours une solution forcée c.-à-d. une solution particulière de l'équation hétérogène de même forme que l'excitation c.-à-d. de forme constante
          dans la mesure où il existe toujours une solution forcée car la dérivée étant identiquement nulle on obtient soit et par suite

la solution générale de l'équation différentielle hétérogène s'écrit ou,
connaissant la solution libre de l'équation différentielle [30] avec constante arbitraire,
la solution générale de l'équation hétérogène se réécrit «».

Deuxième ordre sans terme du premier ordre à excitation constante modifier

     Soit « est l'excitation constante » ;

     dans la mesure où [31] il existe toujours une solution forcée c.-à-d. une solution particulière de l'équation hétérogène de même forme que l'excitation c.-à-d. de forme constante
          dans la mesure où il existe toujours une solution forcée car la dérivée 2nde étant identiquement nulle on obtient soit et par suite

la solution générale de l'équation différentielle hétérogène s'écrit ou,
connaissant la solution libre de l'équation différentielle [30] avec constantes arbitraires,
la solution générale de l'équation hétérogène se réécrit «».

Retour sur la résolution d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du second ordre avec terme du premier ordre modifier

Rappel de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du second ordre avec terme du premier ordre en f(x) sous forme normalisée modifier

     La forme normalisée d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2nd ordre avec terme du 1er ordre en correspondant au cœfficient de la dérivée 2nde égal à s'écrit

«» où
« et sont des réels non nuls » [32] et
« une fonction réelle » appelée « excitation ».

     Si l'équation est dite homogène et

     si tel que l'équation est dite hétérogène.

Rappel de la forme de la solution générale de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du second ordre hétérogène avec terme du premier ordre en f(x) modifier

     Nous avons établi dans le paragraphe intitulé « but recherché pour résoudre une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1er ou 2ème ordre hétérogène » plus haut dans ce chapitre que

     la solution générale de l'équation hétérogène est la somme de la solution générale de l'équation homogène [24] et d'une solution particulière de l'équation hétérogène c.-à-d.

«» ;

     dans quasiment tous les cas il existe une solution particulière de l'équation différentielle hétérogène de même forme que l'excitation [25] et alors, la solution générale de l'équation hétérogène se réécrit

«»
où «[26] est la solution générale de l'équation homogène » et
«[27] la solution particulière de l'équation hétérogène de même forme que l'excitation » [28].

Recherche de la solution générale de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du second ordre homogène avec terme du premier ordre en f(x) modifier

     On cherche donc à résoudre avec et des constantes réelles non nulles, pour cela on applique la méthode exposée dans le paragraphe « méthode de recherche d'une (ou de deux indépendantes) solution(s) particulière(s) d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1er (ou 2ème) ordre homogène » plus haut dans ce chapitre à savoir

     chercher des solutions du type car ses dérivées 1ère et 2nde lui étant , l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants homogène du 2ème ordre en se transforme en équation algébrique du 2ème degré en après simplification par [9], l'équation algébrique ainsi obtenue étant appelée « équation caractéristique de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants homogène ».

Équation caractéristique de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du second ordre homogène avec terme du premier ordre en f(x) modifier

     Appliquant la méthode précédemment rappelée on obtient l'équation caractéristique du 2ème degré en la variable algébrique réelle suivante

«».

Résolution de l'équation caractéristique de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du second ordre homogène avec terme du premier ordre en f(x) et forme de la solution libre réelle de cette équation différentielle modifier

     La résolution de l'équation caractéristique passe par l'évaluation de son « discriminant » et
     La résolution de l'équation caractéristique passe par l'étude de son signe :

Cas où le discriminant Δ est positif, solution libre apériodique modifier

     « Si est » [33], l'équation caractéristique admet deux solutions réelles distinctes «» et

            « Si est » la solution générale libre étant générée par la base constituée des deux solutions particulières exponentielles [34] s'écrit

«» [35],
et étant deux constantes réelles arbitraires.
Cas où le discriminant Δ est nul, solution libre apériodique critique modifier

     « Si est » [36], l'équation caractéristique admet une solution réelle double «» et
            « Si est » on en déduit une seule solution particulière de forme exponentielle , il faut donc chercher une 2ème solution particulière d'une autre forme,
            « Si est » on en déduit une seule solution particulière de forme exponentielle , on vérifie ci-dessous que convient ;

            « Si est » vérification : si , la dérivée 1ère vaut et
                « Si est » vérification : si , la dérivée 2nde vaut ,
            « Si est » vérification : formant alors la C.L. [5] du 1er membre de l'équation différentielle, on trouve [37]
            « Si est » vérification : ce qui prouve que est bien solution particulière de l'équation différentielle homogène ;

     la solution générale libre étant générée par la base constituée des deux solutions particulières « et » [34] s'écrit

«» [36],
et étant deux constantes réelles arbitraires.
Cas où le discriminant Δ est négatif, solution libre pseudo-périodique modifier

     « Si est » [38], l'équation caractéristique n'admet aucune solution réelle, il n'y a alors pas de solution libre particulière réelle de forme exponentielle à l'équation différentielle,
            « Si est » il faudrait donc chercher deux solutions particulières sous une autre forme mais
            « Si est » nous allons procéder autrement de façon à utiliser l'équation caractéristique déjà écrite :

            « Si est » si cette équation caractéristique n'a pas de solutions réelles, elle a néanmoins deux solutions complexes conjuguées distinctes, et par suite
            « Si est » il y a deux solutions libres particulières complexes de forme exponentielle à cette équation différentielle
            « Si est » il y a deux solutions libres particulières complexes servant de base à l'espace vectoriel de ses solutions libres complexes,
            « Si est » il y a deux solutions libres particulières complexes les deux cœfficients générateurs étant complexes et correspondant à quatre cœfficients générateurs réels ;
            « Si est » à partir de la solution générale libre complexe nous obtiendrons la solution générale libre réelle en écrivant que
            « Si est » à partir de la solution générale libre complexe nous obtiendrons la partie imaginaire de la solution générale libre complexe est identiquement nulle,
            « Si est » à partir de la solution générale libre complexe nous obtiendrons ce qui, donnant deux relations de liaison entre les quatre cœfficients générateurs réels,
            « Si est » à partir de la solution générale libre complexe nous obtiendrons ce qui, laissera uniquement deux cœfficients générateurs réels

     Résolution de l'équation caractéristique en complexe et solution générale libre complexe de l'équation différentielle homogène :
     Résolution de l'équation caractéristique en complexe l'équation caractéristique ayant deux solutions complexes conjuguées distinctes «» [39],
     Résolution de l'équation caractéristique en complexe la solution générale libre complexe de l'équation différentielle homogène s'écrit
     Résolution de l'équation caractéristique en complexe «»,
     Résolution de l'équation caractéristique en complexe « et étant deux constantes complexes arbitraires [40].

     Détermination de la solution générale libre réelle de l'équation différentielle homogène à partir de la solution générale libre complexe :
     Détermination de la solution générale libre réelle il faut écrire que la partie imaginaire de est identiquement nulle et pour cela
     Détermination de la solution générale libre réelle nous définissons les cœfficients générateurs complexes sous leur forme trigonométrique [41] et
     Détermination de la solution générale libre réelle réécriture de selon «»
     Détermination de la solution générale libre réelle de partie imaginaire  ;
     Détermination de la solution générale libre réelle la nullité du terme imaginaire est réalisé pour tout si la nullité du terme entre crochets l'est et pour cela on décompose les sinus
     Détermination de la solution générale libre réelle à l'aide des formules de trigonométrie [42] d'où
     Détermination de la solution générale libre réelle la réécriture du terme entre crochets
     Détermination de la solution générale libre réelle la réécriture du terme entre crochets dont
     Détermination de la solution générale libre réelle la nullité la nullité simultanée des cœfficients de et de «» soit
     Détermination de la solution générale libre réelle en faisant la somme membre à membre des carrés ou, les modules étant nécessairement positifs, «»,
     Détermination de la solution générale libre réelle «» les arguments et suivent réalisés pour «» [43] ;

     Détermination de la solution générale libre réelle la solution générale libre complexe est réelle ssi les cœfficients générateurs et sont conjugués l'un de l'autre «» [39], d'où
     Détermination de la solution générale libre réelle la solution générale libre réelle à la partie réelle de la solution générale libre complexe soit
     Détermination de la solution générale libre réelle «» ou encore,
     Détermination de la solution générale libre réelle avec , «» [44].

     Forme de la solution générale libre réelle de l'équation différentielle siest : «» [45] avec « et constantes réelles arbitraires » [46].

     Autre formemoins utiliséede la solution générale libre réelle de l'équation différentielle siest : «» [47]
     Autre formemoins utiliséede la solution générale libre réelle de l'équation différentielle si est : « avec « et constantes réelles arbitraires ».

     Remarque : On retrouve les deux formes de « solution libre de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants homogène du 2ème ordre en f(x) sans terme du 1er ordre » dans les deux formes de solution libre pseudo-périodique ci-dessus en faisant tendre le cœfficient du terme d'ordre un vers zéro c.-à-d. d'où .

Solution forcée de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du second ordre hétérogène avec terme du premier ordre en f(x), dans le cas d'une excitation constante modifier

     Soit « est l'excitation constante » ;

     dans la mesure où [48], il existe toujours une solution forcée c.-à-d. une solution particulière de l'équation hétérogène de même forme que l'excitation c.-à-d. de forme constante
           dans la mesure où il existe toujours une solution forcée car les dérivées 2nde et 1ère étant identiquement nulles on obtient soit «».

Solution générale de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du second ordre hétérogène avec terme du premier ordre en f(x), dans le cas d'une excitation constante modifier

     Dans la mesure où [49], nous avons vu au paragraphe « solution forcée de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2nd ordre hétérogène avec terme du 1er ordre en f(x), dans le cas d'une excitation constante » plus haut dans ce chapitre, qu'il existe toujours une solution forcée égale à et par suite
          Dans la mesure où la solution générale de l'équation différentielle hétérogène s'écrit «» dans laquelle est
          Dans la mesure où la solution libre de l'équation différentielle [30] prenant, suivant le signe du discriminant de l'équation caractéristique [50],
                Dans la mesure où la solution libre de l'équation différentielle prenant, la forme apériodique [51],
                Dans la mesure où la solution libre de l'équation différentielle prenant, la forme apériodique critique [52] ou
                Dans la mesure où la solution libre de l'équation différentielle prenant, la forme pseudo-périodique [53]
          Dans la mesure où

Méthode « des complexes » de détermination de la solution forcée sinusoïdale (quand elle existe) d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants réels hétérogène à excitation sinusoïdale modifier

Exposé de la recherche de la solution forcée sinusoïdale (quand elle existe) d'une équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants hétérogène à excitation sinusoïdale modifier

     On cherche la solution forcée sinusoïdale quand elle existe de l'équation différentielle linéaire normalisée à cœfficients réels constants hétérogène du 1er ou du 2ème ordre en
     On cherche la solution forcée sinusoïdale quand elle existe de l'équation différentielle linéaire normalisée à cœfficients réels constants hétérogène d'excitation sinusoïdale [54] c.-à-d.
     On cherche la solution forcée sinusoïdale quand elle existe de l'équation différentielle en suivante , [55] ou
     On cherche la solution forcée sinusoïdale quand elle existe de l'équation différentielle en suivante , et [56],
     On cherche la solution forcée sinusoïdale quand elle existe de l'équation différentielle en étant l'excitation sinusoïdale de fréquence et d'amplitude , toutes deux fixées, et
     On cherche la solution forcée sinusoïdale quand elle existe de l'équation différentielle en on cherche, dans le cas où elle existe, la solution forcée sinusoïdale de même fréquence .

Les deux faces identiques de la recherche de la solution forcée sinusoïdale (quand elle existe) d'une équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants hétérogène à excitation sinusoïdale suivant que celle-ci est sous la forme d'un cosinus ou d'un sinus modifier

     Supposons que l'excitation s'écrive , nous cherchons la solution forcée sinusoïdale quand elle existe sous la forme
     Supposons que l'excitation s'écrive , nous cherchons dans laquelle et sont à déterminer en fonction des cœfficients caractérisant l'équation différentielle,
     Supposons que l'excitation s'écrive , nous cherchons de la fréquence commune , de l'amplitude et de la phase à l'origine de l'excitation,
     Supposons que l'excitation s'écrive , nous cherchons ce 1er problème étant noté  ;

     supposons maintenant que l'excitation s'écrive [57], nous cherchons la solution forcée sinusoïdale quand elle existe selon
          Supposons maintenant que l'excitation s'écrive , nous cherchons avec les mêmes valeurs et que dans le 1er problème précédent [58],
          Supposons maintenant que l'excitation s'écrive , nous cherchons ce 2ème problème étant noté  ;

     ainsi les deux faces de la recherche de la solution forcée sinusoïdale quand elle existe d'une équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants hétérogène à excitation sinusoïdale
     ainsi les deux faces de la recherche de la solution forcée sinusoïdale suivant que celle-ci est sous la forme d'un cosinus ou d'un sinus sont :
     ainsi les deux faces de la recherche de la solution forcée sinusoïdale pour une équation du 1er ordre
     ainsi les deux faces de la recherche de la solution forcée sinusoïdale avec recherche de solution forcée selon et
     ainsi les deux faces de la recherche de la solution forcée sinusoïdale pour une équation du 2ème ordre
     ainsi les deux faces de la recherche de la solution forcée sinusoïdale avec recherche de solution forcée selon .

Exposé de la méthode « des complexes » pour trouver la solution forcée sinusoïdale (quand elle existe) d'une équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants hétérogène à excitation sinusoïdale suivant que celle-ci est sous la forme d'un cosinus ou d'un sinus modifier

     Formant l'« équation différentielle » et introduisant l'« excitation instantanée complexe par même C.L. [5] » ainsi que
     Formant l'« équation différentielle » et introduisant la « réponse forcée instantanée complexe selon même C.L. [5] »,
     Formant l'« équation différentielle » nous obtenons une équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants hétérogène en fonction complexe et
     Formant l'« équation différentielle » nous obtenons une équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants hétérogène d'excitation complexe
     Formant l'« équation différentielle » nous obtenons une équation différentielle s'avérant nettement plus simple pour déterminer la solution forcée  et dont
     Formant l'« équation différentielle » nous obtenons une équation différentielle la partie réelle est l'équation différentielle d'excitation ,
     Formant l'« équation différentielle » nous obtenons une équation différentielle de solution forcée sinusoïdale dans la mesure où elle existe et
     Formant l'« équation différentielle » nous obtenons une équation différentielle la partie imaginaire est l'équation différentielle d'excitation ,
     Formant l'« équation différentielle » nous obtenons une équation différentielle de solution forcée sinusoïdale dans la mesure où elle existe .

     Remarque : une fois obtenue la solution forcée complexe quand celle-ci existe à partir de l'équation différentielle , nous pourrions en déduire la solution sinusoïdale forcée à l'un ou l'autre des problèmes envisagés en en prenant la partie réelle pour le problème et la partie imaginaire pour le problème mais nous n'utiliserons pas cette méthode, en préférant une encore plus simple ne nécessitant pas la prise de partie réelle ou imaginaire.

Grandeurs instantanées complexes et amplitudes complexes associées modifier

     La « grandeur instantanée complexe » associée à la fonction est la fonction à valeurs complexes de la variable dont
     La « grandeur instantanée complexe » associée à la fonction « est la partie réelle » ou
     La « grandeur instantanée complexe » associée à la fonction « est la partie imaginaire » ; ainsi
     La « grandeur instantanée complexe » « est telle que ».

     On définit l'« amplitude complexe » comme la grandeur telle que la grandeur instantanée complexe associée s'écrive  ;
     On définit l'« amplitude complexe » est donc égale à «»,
     On définit son module étant égal à l'amplitude de la fonction sinusoïdale c.-à-d. «» et
     On définit son argument étant égal à la phase à l'origine de la fonction sinusoïdale c.-à-d. «» ;

     conséquence : la connaissance de l'amplitude complexe est donc équivalente à celle de la grandeur instantanée complexe et par suite
     conséquence : la connaissance de l'amplitude complexe est donc équivalente à celle de la fonction sinusoïdale de la variable à condition de connaître la forme de cette dernière « cosinusoïdale » ou
     conséquence : la connaissance de l'amplitude complexe est donc équivalente à celle de la fonction sinusoïdale de la variable à condition de connaître la forme de cette dernière « sinusoïdale ».

Dérivation première ou seconde des grandeurs instantanées complexes par rapport à la variable x modifier

     La simplification de la recherche de solution sinusoïdale forcée d'une équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants hétérogène à excitation sinusoïdale par la méthode des complexes
     La simplification provient du fait que la dérivation 1ère par rapport à de est équivalente à une « multiplication de par » et
     La simplification provient du fait que la dérivation 2ème par rapport à de est équivalente à une « multiplication de par »

Recherche de la solution forcée complexe de l'équation différentielle (1') modifier

Solution forcée complexe de l'équation différentielle (1') du 1er ordre modifier

     L'équation différentielle s'écrivant «» avec «» ou,
       L'équation différentielle s'écrivant «» avec «» en introduisant la pulsation spatiale [59] de l'excitation,
       L'équation différentielle s'écrivant «» avec la solution forcée complexe étant cherchée sous la forme ,
         L'équation l'équation de recherche de cette solution se réécrit «» ou, en explicitant ,
         L'équation l'équation de recherche de cette solution se réécrit «» soit, en simplifiant par ,
         L'équation l'équation de recherche de cette solution se réécrit «» indépendante de la variable établissant l'existence de la solution forcée complexe
         L'équation l'équation de recherche de cette solution se réécrit «» indépendante de la variable établissant dans la mesure où ne peut pas s'annuler
         L'équation l'équation de recherche de cette solution correspondant à une amplitude complexe «» et
         L'équation l'équation de recherche de cette solution correspondant à la solution forcée complexe «».

Solution forcée complexe de l'équation différentielle (1') du 2ème ordre modifier

     L'équation différentielle s'écrivant «» avec «» ou,
       L'équation différentielle s'écrivant «» avec «» en introduisant la pulsation spatiale de l'excitation,
       L'équation différentielle s'écrivant «» avec la solution forcée complexe étant cherchée sous la forme ,
         L'équation l'équation de recherche de cette solution «» ou, en explicitant ,
         L'équation l'équation de recherche de cette solution «» soit, en simplifiant par ,
         L'équation l'équation de recherche de cette solution «» indépendante de la variable établissant l'inexistence de solution forcée complexe
         L'équation l'équation de recherche de cette solution «» indépendante de la variable établissant l'inexistence « si et » pour
         L'équation l'équation de recherche de cette solution «» indépendante de la variable établissant l'inexistence une pulsation spatiale
         L'équation l'équation de recherche de cette solution «» indépendante de la variable établissant l'inexistence y serait de module mais
         L'équation l'équation de recherche de cette solution «» indépendante de la variable établissant l'existence de la solution forcée complexe
         L'équation l'équation de recherche de cette solution «» indépendante de la variable établissant l'existence « si » [60] ou
         L'équation l'équation de recherche de cette solution «» indépendante de la variable établissant l'existence « si et » [60] ou encore
         L'équation l'équation de recherche de cette solution «» indépendante de la variable établissant l'existence « si et » pour une
         L'équation l'équation de recherche de cette solution «