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Outils mathématiques pour la physique (PCSI) : Équations différentielles
Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Équations différentielles », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Définition d'une équation différentielle ordinaireModifier
On se propose de définir une équation différentielle ordinaire concernant une fonction réelle
de la variable réelle
.
Équation différentielle non linéaireModifier
La fonction ou ses dérivées peuvent intervenir :
- élevées à une certaine puissance c.-à-d.
,
,
avec
ou
- multipliées entre elles c.-à-d.
,
,

Si tel est le cas, l'équation différentielle est dite non linéaire.
Équation différentielle linéaireModifier
Si la fonction et ses dérivées interviennent sans être élevées à une certaine puissance et si elles ne sont pas multipliées entre elles, l'équation différentielle est dite linéaire et elle se présente sous la forme :

où
sont des fonctions de
, l'équation différentielle étant d'ordre deux si
dans ce cas, usuellement, on divise les deux membres de l'équation différentielle par
de façon à ce que le cœfficient de la dérivée seconde soit
, l'équation différentielle étant alors dite « normalisée »
.
est l'excitation de l'équation différentielle, celle-ci est dite :
- hétérogène dans la mesure où
et
- homogène si
.
Remarques : Si
, le plus haut ordre n'est pas deux, mais un si
;
Remarques : si
avec
, il s'agit d'une équation différentielle linéaire d'ordre deux en
mais on peut également considérer que cette équation différentielle est d'ordre un en
dans la mesure où
puisque s'écrivant
[2].
Équation différentielle linéaire à coefficients constantsModifier
Une équation différentielle de ce type doit être linéaire et telle que les coefficients de
sont des constantes et non des fonctions de
; elle se présente sous la forme :

où
est encore une fonction de
,
étant des constantes réelles, l'équation différentielle linéaire à coefficients constants étant :
- d'ordre deux en
dans la mesure où
,
- homogène si
» et
- sinon, hétérogène.
Normalisation de l'équation différentielle :
La forme normalisée de l'équation différentielle du 2ème ordre en
obtenue après avoir divisé les deux membres de l'équation différentielle par
s'écrit :
en posant

,

ainsi que

et
la forme normalisée de l'équation différentielle du 1er ordre en
obtenue en supposant
et après avoir divisé les deux membres de l'équation différentielle par
s'écrit :
en posant

ainsi que

.
Méthode de résolution d'une équation différentielle linéaire à coefficients constants homogèneModifier
Préliminaire : notion d'espace vectoriel à une ou deux dimensions sur l'exemple des vecteurs géométriquesModifier
Tous les vecteurs d'une droite forment un espace vectoriel à une dimension c.-à-d. qu'il suffit d'un vecteur de base pour obtenir tous les vecteurs possibles de la droite comme « multiple » du vecteur de base ; quand un ensemble peut être engendré complètement de la même façon à partir d'un élément de l'ensemble, il constitue un « espace vectoriel à une dimension » et « l'élément particulier définit la base de l'ensemble » [3] ;
tous les vecteurs d'un plan forment un espace vectoriel à deux dimensions c.-à-d. qu'il suffit de deux vecteurs de base [4] pour obtenir tous les vecteurs possibles du plan comme C.L. [5] des deux vecteurs de base ; quand un ensemble peut être engendré complètement de la même façon à partir de deux éléments indépendants [6] de l'ensemble, il constitue un « espace vectoriel à deux dimensions » et « ces deux éléments indépendants particuliers définissent la base de l'ensemble » [7].
Propriété (admise) de l'ensemble des solutions d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du premier ou deuxième ordre homogèneModifier
L'ensemble des solutions d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du premier ordre homogène est un « espace vectoriel à une dimension » et
celui des solutions d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du deuxième ordre homogène, un « espace vectoriel à deux dimensions » [8] ;
il suffit donc de déterminer une base de l'ensemble cherché pour obtenir tout l'ensemble c.-à-d. de trouver :
- une solution particulière d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1er ordre homogène pour obtenir toutes les solutions possibles de l'équation
c.-à-d. les multiples de la solution particulière
ou,
- deux solutions particulières indépendantes d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2ème ordre homogène pour obtenir toutes les solutions possibles de l'équation
c.-à-d. les C.L. [5] des deux solutions particulières indépendantes
.
Méthode de recherche d'une (ou de deux indépendantes) solution(s) particulière(s) d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du premier (ou deuxième) ordre homogèneModifier
On cherche une solution du type
car ses dérivées première
et seconde
lui étant proportionnelles, l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants homogène du 1er ou 2ème ordre en
se transforme en équation algébrique du 1er ou 2ème degré en
après simplification par
[9] ; l'équation algébrique ainsi obtenue est appelée « équation caractéristique de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants homogène ».
Résolution d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du premier ordre homogèneModifier
Soit
, l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du premier ordre homogène, l'équation caractéristique correspondante s'écrivant
et se résolvant en
, on en déduit
la solution particulière

c.-à-d. la base de l'ensemble des solutions
et par suite la «
solution générale de l'équation différentielle »

où

est une constante réelle arbitraire.
Résolution d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du deuxième ordre homogène sans terme du premier ordreModifier
Soit
avec
, l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du deuxième ordre homogène sans terme du premier ordre ; la recherche de deux solutions particulières indépendantes sous la forme exponentielle nécessite bien sûr que de telles solutions existent et, en faisant cette hypothèse nous obtenons l'équation caractéristique
qui n'admet deux racines réelles distincts que si

est

;
......aussi nous allons discuter de la forme des solutions particulières indépendantes de l'équation différentielle suivant le signe de
:
Cas où le cœfficient du terme d'ordre zéro est strictement négatifModifier
Avec
, l'équation caractéristique
admettant comme racines réelles distinctes
, on en déduit :
les deux solutions indépendantes de l'équation différentielle

base de l'ensemble des solutions
et la
solution générale de l'équation différentielle
avec

deux constantes réelles arbitraires.
Cas où le cœfficient du terme d'ordre zéro est nulModifier
Avec
, l'équation caractéristique
admettant comme racine réelle double
, on en déduit une seule solution particulière de l'équation différentielle sous forme exponentielle
d'ailleurs dégénérée
, ce qui est insuffisant pour en déduire la solution générale de l'équation différentielle ; il faudrait donc trouver une deuxième solution particulière indépendante de la première c.-à-d. non constante mais dans le cas présent il y a plus simple :
L'équation différentielle s'écrivant
, il suffit d'intégrer deux fois successivement et on obtient
avec
constante réelle arbitraire puis
avec
deuxième constante réelle arbitraire ;
la solution générale de l'équation différentielle est donc
avec
deux constantes réelles arbitraires, montrant que cette solution est construite à partir
des deux solutions particulières indépendantes
[10] constituant une base de l'ensemble des solutions de l'équation différentielle.
Cas où le cœfficient du terme d'ordre zéro est strictement positifModifier
Avec
, l'équation caractéristique
n'admettant aucune racine réelle, il n'y a pas de solutions particulières ayant une forme exponentielle
même dégénérée
de l'équation différentielle.
Toutefois si on résout l'équation différentielle sur
au lieu de résoudre sur
[11], sachant que l'ensemble des solutions complexes forme un espace vectoriel de dimension deux sur
[12], la recherche de deux solutions complexes particulières indépendantes de forme exponentielle conduisant toujours à l'équation caractéristique
, et celle-ci admettant deux racines imaginaires conjuguées
, on en déduit les deux solutions complexes particulières et indépendantes de l'équation différentielle
et la solution générale complexe de l'équation différentielle s'écrit selon
avec
deux constantes complexes arbitraires ; on peut alors en déduire la solution générale réelle de l'équation différentielle en imposant des relations de liaison entre
de façon à ce que
soit réelle [13].
Compte-tenu de ce qui précède, à partir des deux solutions particulières complexes indépendantes
de l'équation différentielle, il est possible de trouver, par C.L. [5] à cœfficients complexes,
deux solutions particulières réelles indépendantes,

et
[14] constituant une base de l'ensemble des solutions réelles
[15], et
la
solution générale (réelle) de l'équation différentielle
avec

deux constantes réelles arbitraires.
Remarques : On établit que
avec
dépendant de
;
Remarques : en effet, posant
ainsi que
dans le but de réécrire
selon
, expression dans laquelle on reconnaît le développement de
; du système d'équations
on en déduit

et

permettant de choisir la détermination de

suivant le signe de
[16] :
Remarques : si
sont tous deux positifs,
, d'où
[17],
Remarques : si
sont tous deux négatifs,
, d'où
[17],
Remarques : si
,
, d'où
[17],
Remarques : si
,
, d'où
[17].
Méthode de résolution d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants hétérogèneModifier
But recherché pour résoudre une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du premier ou du deuxième ordre hétérogèneModifier
Trouver une solution particulière de cette équation différentielle hétérogène dans le but d'effectuer un changement de fonction permettant d'obtenir la même équation différentielle mais homogène.
Justification [18] : soient respectivement
et
la solution générale et une solution particulière de l'équation hétérogène c.-à-d.
, nous pouvons vérifier aisément en formant la différence «
» que la fonction
est solution de la même équation différentielle mais homogène [19] soit
[20] ;
ainsi la solution générale de l'équation hétérogène est la somme de la solution générale de l'équation homogène [21] et d'une solution particulière de l'équation hétérogène c.-à-d.

;
dans quasiment tous les cas on peut trouver une solution particulière de l'équation différentielle hétérogène de même forme que l'excitation [22] et alors, on peut écrire
où
[23] est la solution générale de l'équation homogène et
[24] la solution particulière de l'équation hétérogène de même forme que l'excitation
[25].
Recherche de la solution forcée (quand celle-ci existe)Modifier
La solution forcée est la solution particulière d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du premier ou du deuxième ordre hétérogène de même forme que l'excitation ; les principaux cas se présentant sont :
, recherche sous la forme
où
est une constante réelle à déterminer ;
, recherche sous la forme
où
et
sont des constantes réelles à déterminer ;
, recherche sous la forme
où
est une constante réelle à déterminer ;
, recherche sous la forme
où
et
sont des constantes réelles à déterminer ;
dans ce qui suit nous privilégions le cas d'une excitation constante, la démarche pour les autres formes d'excitation étant identique.
Premier ordre à excitation constanteModifier
Soit
où
est l'excitation constante ;
dans la mesure où
[26] il existe toujours une solution particulière de l'équation hétérogène de forme constante car la dérivée étant identiquement nulle on obtient
soit
et par suite
la solution générale de l'équation différentielle hétérogène s'écrit

ou,
connaissant la solution libre de l'équation différentielle
[27] 
avec

constante arbitraire,
la solution générale de l'équation hétérogène se réécrit

.
Deuxième ordre sans terme du premier ordre à excitation constanteModifier
Soit
où
est l'excitation constante ;
dans la mesure où
[28] il existe toujours une solution particulière de l'équation hétérogène de forme constante car la dérivée seconde étant identiquement nulle on obtient
soit
et par suite
la solution générale de l'équation différentielle hétérogène s'écrit

ou,
connaissant la solution libre de l'équation différentielle
[27] 
avec

constantes arbitraires,
la solution générale de l'équation hétérogène se réécrit

.
Retour sur la résolution d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du second ordre avec terme du premier ordreModifier
Rappel de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du second ordre avec terme du premier ordre en f(x) sous forme normaliséeModifier
La forme normalisée d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du second ordre avec terme du premier ordre en
correspondant au cœfficient de la dérivée seconde égal à
s'écrit
où
et
sont des réels non nuls [29] et
une fonction réelle appelée « excitation ».
Si
l'équation est dite homogène et
si
tel que
l'équation est dite hétérogène.
Rappel de la forme de la solution générale de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du second ordre hétérogène avec terme du premier ordre en f(x)Modifier
Nous avons établi dans le paragraphe intitulé « but recherché pour résoudre une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du premier ou deuxième ordre hétérogène » plus haut dans ce chapitre que
la solution générale de l'équation hétérogène est la somme de la solution générale de l'équation homogène [21] et d'une solution particulière de l'équation hétérogène c.-à-d.

;
dans quasiment tous les cas on peut trouver une solution particulière de l'équation différentielle hétérogène de même forme que l'excitation [22] et alors, la solution générale de l'équation hétérogène se réécrit
où
[23] est la solution générale de l'équation homogène et
[24] la solution particulière de l'équation hétérogène de même forme que l'excitation
[25].
Recherche de la solution générale de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du second ordre homogène avec terme du premier ordre en f(x)Modifier
On cherche donc à résoudre
avec
et
des constantes réelles non nulles, pour cela on applique la méthode exposée dans le paragraphe intitulé « méthode de recherche d'une (ou de deux indépendantes) solution(s) particulière(s) d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du premier (ou deuxième) ordre homogène » exposé plus haut dans ce chapitre à savoir
chercher des solutions du type
car ses dérivées première
et seconde
lui étant proportionnelles, l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants homogène du 2ème ordre en
se transforme en équation algébrique du 2ème degré en
après simplification par
[9], l'équation algébrique ainsi obtenue étant appelée « équation caractéristique de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants homogène ».
Équation caractéristique de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du second ordre homogène avec terme du premier ordre en f(x)Modifier
Appliquant la méthode précédemment rappelée on obtient l'équation caractéristique du 2ème degré en la variable algébrique réelle
suivante
.
Résolution de l'équation caractéristique de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du second ordre homogène avec terme du premier ordre en f(x) et forme de la solution libre réelle de cette équation différentielleModifier
La résolution de l'équation caractéristique passe par l'évaluation de son discriminant
et l'étude de son signe :
Cas où le discriminant Δ est positif, solution libre apériodiqueModifier
Si
est
[30], l'équation caractéristique admet deux solutions réelles distinctes
et
la solution générale libre étant générée par la base constituée des deux solutions particulières exponentielles [31] s'écrit
[32],
et
étant deux constantes réelles arbitraires.
Cas où le discriminant Δ est nul, solution libre apériodique critiqueModifier
Si
est
[33], l'équation caractéristique admet une solution réelle double
et on en déduit une seule solution particulière de forme exponentielle
, il faut donc chercher une 2ème solution particulière d'une autre forme, on vérifie ci-dessous que
convient ;
vérification : si
, la dérivée première vaut
et
la dérivée seconde
,
vérification : formant alors la C.L. [5] du 1er membre de l'équation différentielle, on trouve
[34] ce qui prouve que
est bien solution particulière de l'équation différentielle homogène ;
la solution générale libre étant générée par la base constituée des deux solutions particulières
et
[31] s'écrit
[33],
et
étant deux constantes réelles arbitraires.
Cas où le discriminant Δ est négatif, solution libre pseudo-périodiqueModifier
Si
est
[35], l'équation caractéristique n'admet aucune solution réelle, il n'y a alors pas de solution libre particulière réelle de forme exponentielle à l'équation différentielle, il faudrait donc chercher deux solutions particulières sous une autre forme mais
nous allons procéder autrement de façon à utiliser l'équation caractéristique déjà écrite :
si cette équation caractéristique n'a pas de solutions réelles, elle a néanmoins deux solutions complexes conjuguées distinctes, et par suite il y a deux solutions libres particulières complexes de forme exponentielle à cette équation différentielle servant de base à l'espace vectoriel de ses solutions libres complexes, les deux cœfficients générateurs étant complexes et correspondant à quatre cœfficients générateurs réels ; à partir de la solution générale libre complexe nous obtiendrons la solution générale libre réelle en écrivant que la partie imaginaire de la solution générale libre complexe est identiquement nulle, ce qui donnant deux relations de liaison entre les quatre cœfficients générateurs réels laissera uniquement deux cœfficients générateurs réels
Résolution de l'équation caractéristique en complexe et solution générale libre complexe de l'équation différentielle homogène : l'équation caractéristique ayant deux solutions complexes conjuguées distinctes
[36], la solution générale libre complexe de l'équation différentielle homogène s'écrit
,
et
étant deux constantes complexes arbitraires [37].
Détermination de la solution générale libre réelle de l'équation différentielle homogène à partir de la solution générale libre complexe : il faut écrire que la partie imaginaire de
est identiquement nulle et pour cela nous définissons les cœfficients générateurs complexes sous leur forme trigonométrique [38]
et
ce qui permet de réécrire la solution générale libre complexe selon
de partie imaginaire
;
Détermination de la solution générale libre réelle de l'équation différentielle homogène à partir de la solution générale libre complexe : la nullité du terme imaginaire est réalisé pour tout
si la nullité du terme entre crochets l'est et pour écrire cela on décompose les sinus à l'aide des formules de trigonométrie [39]
d'où la réécriture du terme entre crochets
dont la nullité pour tout
nécessite que les cœfficients de
et de
soient tous deux nuls d'où
soit encore,
- en faisant la somme membre à membre des carrés
ou, les modules étant nécessairement positifs,
, ce qui,
- imposant alors aux arguments d'avoir même cosinus et des sinus opposés selon
conduit à
;
Détermination de la solution générale libre réelle de l'équation différentielle homogène à partir de la solution générale libre complexe : pour que la solution générale libre complexe soit réelle il faut donc que les cœfficients générateurs
et
soient conjugués l'un de l'autre c.-à-d.
, d'où la solution générale libre réelle égale à la partie réelle de la solution générale libre complexe dans laquelle on écrit
:
ou encore
[40] en utilisant
.
Forme de la solution générale libre réelle de l'équation différentielle si Δ est < 0 :
[41] avec
et
constantes réelles arbitraires [42].
Autre forme (moins utilisée) de la solution générale libre réelle de l'équation différentielle si Δ est < 0 :
[43] avec
et
constantes réelles arbitraires.
Remarque : On retrouve les deux formes de « solution libre de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants homogène du 2ème ordre en f(x) sans terme du 1er ordre » dans les deux formes de solution libre pseudo-périodique ci-dessus en faisant tendre le cœfficient du terme d'ordre un vers zéro c.-à-d.
d'où
.
Solution forcée de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du second ordre hétérogène avec terme du premier ordre en f(x), dans le cas d'une excitation constanteModifier
Nous cherchons une solution particulière constante
à l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du second ordre hétérogène avec terme du premier ordre en
, l'excitation
étant une constante notée
, l'équation différentielle s'écrivant
;
puisque
, il existe toujours une solution particulière de l'équation hétérogène de forme constante car
transforme l'équation en
d'où la solution forcée s'écrivant
.
Solution générale de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du second ordre hétérogène avec terme du premier ordre en f(x), dans le cas d'une excitation constanteModifier
La solution générale de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du second ordre hétérogène avec terme du premier ordre et excitation
constante en
est la somme de la solution libre
et de la solution forcée
, la solution libre ayant l'une des formes apériodique, apériodique critique ou pseudo-périodique suivant le signe du discriminant
de l'équation caractéristique associée à l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du second ordre homogène avec terme du premier ordre
Méthode « des complexes » de détermination de la solution forcée sinusoïdale (quand elle existe) d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants réels hétérogène à excitation sinusoïdaleModifier
Exposé de la recherche de la solution forcée sinusoïdale (quand elle existe) d'une équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants hétérogène à excitation sinusoïdaleModifier
On cherche la solution forcée sinusoïdale
quand elle existe
de l'équation différentielle linéaire normalisée à cœfficients réels constants hétérogène du 1er ou du 2ème ordre en
d'excitation sinusoïdale [44] c.-à-d. de l'équation différentielle en
suivante
,
[45] ou
,
et
[46],
étant l'excitation sinusoïdale de fréquence
et d'amplitude
, toutes deux fixées, et on cherche, dans le cas où elle existe, la solution forcée sinusoïdale de même fréquence
.
Les deux faces identiques de la recherche de la solution forcée sinusoïdale (quand elle existe) d'une équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants hétérogène à excitation sinusoïdale suivant que celle-ci est sous la forme d'un cosinus ou d'un sinusModifier
Supposons que l'excitation s'écrive
, nous cherchons la solution forcée sinusoïdale
quand elle existe
sous la forme
dans laquelle
et
sont à déterminer en fonction des cœfficients caractérisant l'équation différentielle, la fréquence commune
, l'amplitude
et la phase à l'origine
de l'excitation, ce 1erproblème étant noté
;
supposons maintenant que l'excitation s'écrive
[47], nous cherchons la solution forcée sinusoïdale
quand elle existe
sous la forme
avec les mêmes valeurs
et
que dans le 1er problème précédent [48], ce 2ème problème étant noté
;
ainsi les deux faces identiques de la recherche de la solution forcée sinusoïdale
quand elle existe
d'une équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants hétérogène à excitation sinusoïdale suivant que celle-ci est sous la forme d'un cosinus ou d'un sinus sont :
- pour une équation du 1er ordre
avec recherche de solution forcée selon
et
- pour une équation du 2ème ordre
avec recherche de solution forcée selon
.
Exposé de la méthode « des complexes » pour trouver la solution forcée sinusoïdale (quand elle existe) d'une équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants hétérogène à excitation sinusoïdale suivant que celle-ci est sous la forme d'un cosinus ou d'un sinusModifier
Formant l'équation différentielle
et introduisant l'excitation instantanée complexe formée par même C.L. [5] à savoir
ainsi que la réponse forcée instantanée complexe selon la même C.L. [5] c.-à-d.
, nous obtenons une équation différentielle
linéaire à cœfficients réels constants hétérogène en fonction complexe
et d'excitation complexe
s'avérant nettement plus simple pour déterminer la solution forcée
et dont
- la partie réelle est l'équation différentielle
d'excitation
, de solution forcée sinusoïdale
dans la mesure où elle existe
et
- la partie imaginaire est l'équation différentielle
d'excitation
, de solution forcée sinusoïdale
dans la mesure où elle existe
.
Remarque : une fois obtenue la solution forcée complexe
quand celle-ci existe
à partir de l'équation différentielle
, nous pourrions en déduire la solution sinusoïdale forcée à l'un ou l'autre des problèmes envisagés en en prenant la partie réelle pour le problème
et la partie imaginaire pour le problème
mais nous n'utiliserons pas cette méthode, en préférant une encore plus simple ne nécessitant pas la prise de partie réelle ou imaginaire.
Grandeurs instantanées complexes et amplitudes complexes associéesModifier
La « grandeur instantanée complexe »
associée à la fonction
est la fonction à valeurs complexes de la variable
dont
est la partie réelle
resp. imaginaire
suivant que la fonction sinusoïdale
est sous forme d'un cosinus
resp. d'un sinus
; ainsi
![{\displaystyle \;{\underline {s}}(x)=A\,\exp \!\left[i\left(2\,\pi \,\sigma \,x+\varphi \right)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0db1981b23f62a5ce0ef68ca9c77a3e35298d3dd)
est telle que
![{\displaystyle \;s(x)=\left\lbrace {\begin{array}{c}A\,\cos \!\left(2\,\pi \,\sigma \,x+\varphi \right)=\Re \!\left[{\underline {s}}(x)\right]\\{\text{ou}}\\A\,\sin \!\left(2\,\pi \,\sigma \,x+\varphi \right)=\Im \!\left[{\underline {s}}(x)\right]\end{array}}\right\rbrace }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35946a59d6c145489d081351a97cf6db69b0ea4b)
.
On définit l'« amplitude complexe » comme la grandeur
telle que la grandeur instantanée complexe associée s'écrive
;
l'amplitude complexe est donc égale à

,
son module étant égal à l'amplitude de la fonction sinusoïdale c.-à-d.
et son argument à la phase initiale de la fonction sinusoïdale c.-à-d.

;
la connaissance de l'amplitude complexe est donc équivalente à celle de la grandeur instantanée complexe et par suite à celle de la fonction sinusoïdale de la variable
dans la mesure où on connaît la forme de cette dernière « cosinusoïdale » ou « sinusoïdale ».
Dérivation première ou seconde des grandeurs instantanées complexes par rapport à la variable xModifier
La simplification de la recherche de solution sinusoïdale forcée d'une équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants hétérogène à excitation sinusoïdale par la méthode des complexes provient du fait que
- la dérivation 1ère par rapport à
de
est équivalente à une multiplication de
par
et
- la dérivation 2ème par rapport à
de
est équivalente à une multiplication de
par ![{\displaystyle \;\left[i\left(2\,\pi \,\sigma \right)\right]^{2}=-\left(2\,\pi \,\sigma \right)^{2}\;\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/628f61cb491772deab905809ef9ad9f5b2942309)
Recherche de la solution forcée complexe de l'équation différentielle (1')Modifier
Solution forcée complexe de l'équation différentielle (1') du 1er ordreModifier
L'équation différentielle
s'écrivant
avec
ou, en introduisant la pulsation
spatiale
[49] de l'excitation,
, la solution forcée complexe étant cherchée sous la forme
, l'équation
de recherche de cette solution se réécrit
ou, ![{\displaystyle \;\left[i\,k_{\text{puls}}+k\right]\,{\underline {A_{m}}}\,\exp \!\left(i\,k_{\text{puls}}\,x\right)={\underline {E_{m}}}\,\exp \!\left(i\,k_{\text{puls}}\,x\right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3027a247eab1c003f42267939b6fd676995bcc0)
soit, en simplifiant par
, l'équation
indépendante de la variable
établissant l'existence de la solution forcée complexe dans la mesure où
ne peut pas s'annuler correspondant à
une amplitude complexe
et
la solution forcée complexe
.
Solution forcée complexe de l'équation différentielle (1') du 2ème ordreModifier
L'équation différentielle
s'écrivant
avec
ou, en introduisant la pulsation
spatiale
de l'excitation,
, la solution forcée complexe étant cherchée sous la forme
, l'équation
de recherche de cette solution se réécrit
ou,
soit, en simplifiant par
, l'équation
indépendante de la variable
établissant
- l'existence de la solution forcée complexe si
[50] ou
- l'existence de la solution forcée complexe si
et
[50] ou encore si
et
pour une pulsation
spatiale
[50] correspondant à une amplitude complexe
et
la solution forcée complexe
,
- l'inexistence de solution forcée complexe de cette forme si
et
avec une pulsation
spatiale
car cette forme conduirait à une amplitude complexe infinie 
Solution forcée complexe de l'équation différentielle (1') du nème ordre avec n entier naturel non nulModifier
L'équation différentielle
s'écrivant
avec
ou, en introduisant la pulsation
spatiale
de l'excitation,
, la solution forcée complexe étant cherchée sous la forme
, l'équation
de recherche de cette solution se réécrit, en remplaçant
par
et en factorisant le 1er membre par
selon
dans lequel
est le « polynôme caractéristique de cette équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants » [51]
soit, en simplifiant par
, l'équation
indépendante de la variable
établissant
- l'existence de la solution forcée complexe pour les valeurs de pulsation
spatiale
telles que
correspondant à une amplitude complexe
et
la solution forcée complexe
,
- l'inexistence de solution forcée complexe de cette forme pour les valeurs de pulsation
spatiale
telles que
car cette forme conduirait à une amplitude complexe infinie 
Détermination de l'amplitude et de la phase à l'origine de la réponse forcée sinusoïdale (quand celle-ci existe) à partir de l'amplitude complexe de la réponse forcée complexeModifier
Compte-tenu de la définition de l'amplitude complexe
on en déduit :
.
Amplitude et phase à l'origine de la solution sinusoïdale forcée de l'équation différentielle (1) ou (2) du 1er ordreModifier
Ayant introduit la pulsation
spatiale
[49] et trouvé, pour toutes valeurs de celle-ci, une valeur d'amplitude complexe
on en déduit, pour la réponse forcée sinusoïdale,
- son amplitude
[52] et
- sa phase à l'origine
[53].
Amplitude et phase à l'origine de la solution sinusoïdale forcée de l'équation différentielle (1) ou (2) du 2ème ordreModifier
Ayant introduit la pulsation
spatiale
et trouvé, pour toutes valeurs de celle-ci quand
ainsi que
avec
et dans le cas où
avec
pour les valeurs différentes de
, une valeur d'amplitude complexe
on en déduit, pour la réponse forcée sinusoïdale,
- son amplitude
[52] et
- sa phase à l'origine
[53], [54].
Expression de la réponse forcée sinusoïdale (quand celle-ci existe) de l'équation différentielle (1) ou (2) à l'excitation sinusoïdaleModifier
Dans l'équation différentielle
l'excitation ayant la forme
, la réponse forcée sinusoïdale de
à l'excitation s'écrit
et
dans l'équation différentielle
l'excitation ayant la forme
, la réponse forcée sinusoïdale de
à l'excitation s'écrit
.
Cas de l'échec de la méthode de recherche de la solution forcée sinusoïdale d'une équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants hétérogène à excitation sinusoïdale, le polynôme caractéristique s'annulant pour la pulsation (spatiale) envisagéeModifier
Nous avons vu qu'il n'y avait jamais échec dans le cas d'une équation différentielle du 1er ordre et du 2ème ordre si
;
dans une équation différentielle du 2ème ordre où
, il n'y a pas échec avec
mais avec
il y a échec pour la pulsation
spatiale
pour laquelle le polynôme caractéristique de l'équation différentielle s'annule ; nous nous plaçons donc dans cette hypothèse ;
soit l'équation différentielle
avec
et
ou encore
en posant
, l'équation différentielle
avec
;
n'existant donc pas de solution particulière de l'équation différentielle linéaire hétérogène de même forme que l'excitation, il convient donc d'en chercher une sous une autre forme et nous le ferons sous la forme
.
Détermination directe de α et ψModifier
et
d'où
à identifier à
ou, sachant que
, l'identification suivante
d'où la solution particulière de l'équation différentielle hétérogène
à excitation sinusoïdale
[55].
Détermination de α et ψ par prolongement de la méthode « des complexes »Modifier
Ayant introduit l'excitation complexe
associée à l'excitation sinusoïdale
, l'amplitude complexe étant
, on cherche
Ayant introduit la solution particulière complexe de l'équation différentielle
sous la forme
où
est le cœfficient multiplicateur de
dans la pseudo-amplitude complexe de
, solution particulière complexe qui est associée à la solution particulière de l'équation différentielle
hétérogène
;
on évalue alors les dérivées successives de
par rapport à
mais celles-ci ne se limitant par à multiplier la fonction complexe par
ou
, l'utilisation de la généralisation de la méthode « des complexes » est nettement moins intéressante [56] ;
et
d'où
à identifier à
soit l'identification suivante
donnant pour cœfficient multiplicateur de
dans la pseudo-amplitude complexe de
dont on tire
ainsi que
et par suite
la solution particulière de l'équation différentielle hétérogène
à excitation sinusoïdale
[55].
Résolution d'une équation différentielle linéaire à cœfficients non constants du 1er ordreModifier
Cas d'une équation différentielle linéaire à cœfficients non constants du 1er ordre homogèneModifier
Soit l'équation différentielle linéaire normalisée du 1er ordre en
[57] homogène «
» avec
fonction réelle connue de la variable réelle
; ci-après nous indiquons deux méthodes pour résoudre cette équation différentielle :
- une 1ère n'utilisant pas le caractère « linéaire » de l'équation différentielle, « méthode de séparation des variables »
voir le paragraphe « exemple d'une équation différentielle non linéaire du 1er ordre » plus loin dans ce chapitre
: l'équation différentielle se réécrivant, après « adoption de la notation différentielle de la dérivée
[58] », selon «
» dont nous déduisons, par séparation des variables, «
» dans la mesure où
n'est pas la fonction nulle
étant une solution triviale de l'équation différentielle, la supprimer pour poursuivre la résolution ne restreindra pas l'ensemble des solutions
;
notant
une primitive de la fonction
, «
s'intègre en
avec
constante d'intégration » ou en «
avec
telle que
» qui s'inverse en «
avec
constante d'intégration » ;
finalement en ajoutant la solution triviale
à la solution précédente, nous en déduisons que la solution générale de l'équation différentielle linéaire normalisée du 1er ordre en
[57] homogène «
» avec
fonction réelle connue de la variable réelle
s'écrit «
avec
constante d'intégration »,
«
étant une primitive de
» ;
- une 2ème utilisant le caractère « linéaire » de l'équation différentielle et le qualificatif « homogène » de celle-ci, ce qui permet d'utiliser la « propriété (admise) de l'ensemble des solutions d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1er ou 2ème ordre homogène » énoncée plus haut dans ce chapitre, propriété restant valable pour une équation différentielle linéaire homogène du 1er ou 2ème ordre dont les cœfficients ne sont pas constants comme cela a été précédemment précisé dans la note « 8 » de ce chapitre ;
l'ensemble des solutions de l'équation différentielle linéaire du 1er ordre en
[57] homogène «
» étant un espace vectoriel à une dimension,
il suffit de déterminer une base de l'ensemble cherché pour obtenir tout l'ensemble c.-à-d. de trouver une solution particulière de cette équation différentielle linéaire du 1er ordre homogène pour obtenir toutes les solutions possibles de cette équation
c.-à-d. les multiples de la solution particulière
et pour cela,
nous cherchons une « solution particulière de forme exponentielle
» car sa « dérivée 1ère
étant
à la fonction cherchée » et l'« équation différentielle étant homogène », nous pouvons « simplifier par
» d'où la réécriture de l'équation différentielle après simplification «
» qui s'intègre en «
» d'où
la solution particulière de l'équation différentielle linéaire du 1er ordre en
[57] homogène «
», «