Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Dérivées successives d'une fonction scalaire d'une variable réelle

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     Soit la fonction scalaire de la variable réelle continue et dérivable en toute valeur d'un intervalle de définition.

Dérivées successives d'une fonction scalaire d'une variable réelle
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Chapitre no 1
Leçon : Outils mathématiques pour la physique (PCSI)
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Rappel des notions de continuité et dérivabilité de fonction modifier

     Notions vues dans le secondaire.

Continuité d'une fonction modifier

     La fonction est dite continue en   si, quand  ,   admet une limite égale à   soit

 .

Dérivabilité d'une fonction modifier

     La fonction est dite dérivable en   si   existe, sa valeur définissant   soit

  [1] ;

     la fonction est dite dérivable sur un domaine de dérivabilité si son nombre dérivé existe pour toutes les valeurs du domaine.

     Propriétés du nombre dérivé : Le nombre dérivé est le cœfficient directeur  ou pente  de la tangente du graphe de   en fonction de   au point d'abscisse  , l'équation de la tangente s'écrivant  ,
     Propriétés du nombre dérivé : c'est encore la tangente de l'angle orienté   que fait la tangente du graphe de   en fonction de   au point d'abscisse  , avec l'axe des abscisses soit,    .

Fonction dérivée f' d'une fonction f modifier

     Si la fonction scalaire   est dérivable sur un domaine   de dérivabilité, « ses nombres dérivés   définis pour chaque valeur  » sont les « images de   par une fonction  »,
     cette fonction   définie par « » est appelée « dérivée de la fonction  ».

Théorème de dérivation des fonctions composées modifier

Début d’un théorème
Fin du théorème

     Démonstration : la fonction   étant dérivable en     « »  ou notant « »   « » ,

     Démonstration : la fonction   étant continue en       soit, en remplaçant   par  , « » ou, compte-tenu de   quand  , « » que nous pouvons finalement réécrire « » ;

     Démonstration : pour terminer transformons le taux de variation   de la fonction composée selon « » dans lequel
Démonstration : pour terminer le « 1er facteur du 2ème membre a pour limite   quand  »  résultat   établi ci-dessus  et
Démonstration : pour terminer le « 2ème facteur du 2ème membre pour limite   quand  »  définition du nombre dérivé de   en   d'où

« ».

Notion de dérivée logarithmique d'une fonction modifier

     À partir de la « fonction scalaire   dérivable en   et telle que   soit  », on définit le « nombre dérivé logarithmique de   en  » selon

« » dans lequel   est le nombre dérivé de   en   ;

     Justification du nom « dérivée logarithmique » :  la fonction scalaire « logarithme népérien  » [2] est « continue et dérivable sur  » de « dérivée 1ère, pour  ,  »
     Justification du nom « dérivée logarithmique » :  et la « fonction scalaire   est dérivable en  » de « nombre dérivé  » avec « » d'où
     Justification du nom « dérivée logarithmique » :  le nombre dérivé logarithmique de   en   « » se réécrivant selon « »
     Justification du nom « dérivée logarithmique » :  le nombre dérivé logarithmique de   en   s'identifie au « nombre dérivé de la fonction composée   en  » soit
     Justification du nom « dérivée logarithmique » :  le nombre dérivé logarithmique de   en   « » ;

     Justification du nom « dérivée logarithmique » :  la fonction scalaire composée « logarithme népérien de valeur absolue  » [2] est « continue et dérivable sur  » [3] de « dérivée 1ère
         Justification du nom « dérivée logarithmique » :  la fonction scalaire composée « logarithme népérien de valeur absolue  » est « pour  ,  » [4]
     Justification du nom « dérivée logarithmique » :  et la « fonction scalaire   est dérivable en  » de « nombre dérivé  » avec « » d'où
     Justification du nom « dérivée logarithmique » :  le nombre dérivé logarithmique de   en   « » se réécrivant selon « »
     Justification du nom « dérivée logarithmique » :  le nombre dérivé logarithmique de   en   s'identifie au « nombre dérivé de la fonction composée   en  » soit
     Justification du nom « dérivée logarithmique » :  le nombre dérivé logarithmique de   en   « ».

     Justification du nom « dérivée logarithmique » :  En conclusion, à partir de la « fonction scalaire   dérivable en    de nombre dérivé   et telle que   soit  »,
     Justification du nom « dérivée logarithmique » :  En conclusion, le « nombre dérivé logarithmique de   en  » à savoir « » est aussi le « nombre dérivé de   en  » c.-à-d.
     Justification du nom « dérivée logarithmique » :  En conclusion, le « nombre dérivé logarithmique de   en  » à savoir « » d'où le nom.

     Fonction dérivée logarithmique d'une fonction scalaire : Si la fonction scalaire   est dérivable sur un domaine   de dérivabilité, la fonction dérivée de   est définie selon « » et
     Fonction dérivée logarithmique d'une fonction scalaire : si l'image de   par   ne contient pas  [5] c.-à-d. « » [5] ou « » [5],
     Fonction dérivée logarithmique d'une fonction scalaire : « ses nombres dérivés logarithmiques   définis pour chaque valeur  » [5] sont les « images de   par une fonction  » [6],
     Fonction dérivée logarithmique d'une fonction scalaire : cette fonction   définie par « » [5] est appelée « dérivée logarithmique de la fonction  »
     Fonction dérivée logarithmique d'une fonction scalaire :  c'est aussi la « dérivée de la fonction composée  » .

Dérivabilité du second ordre modifier

Définition modifier

     La fonction est dite dérivable en   au 2ème ordre si   existe, sa valeur définissant  , soit   [7].

Propriétés modifier

     La valeur du nombre dérivé du 2nd ordre traduit la façon dont la dérivée 1ère varie avec la variable, une valeur positive correspondra à une «   de la dérivée 1ère » [8] alors que
     La valeur du nombre dérivé du 2nd ordre traduit la façon dont la dérivée 1ère varie avec la variable, une valeur négative correspondra à une «  » [9].

Notes et références modifier

  1. Appelé nombre dérivé.
  2. 2,0 et 2,1 John Napier (1550 - 1617) est un physicien, astronome, mathématicien et théologien écossais à qui on doit essentiellement l'invention des logarithmes et la construction de tables de logarithmes  
  3. En fait continue et dérivable sur « » mais l'étude sur «  où la fonction composée   s'identifie à  » ayant déjà été traitée, nous n'y revenons pas.
  4. En effet   se réécrit, « pour  ,  »   la « réécriture de la fonction composée   appliquée sur   selon  »  avec   symbole de multiplication sur   d'où l'application du théorème de dérivation d'une fonction composée conduit à « ».
  5. 5,0 5,1 5,2 5,3 et 5,4 Et si   s'annule pour des valeurs de   il convient de « restreindre   au plus grand   tel que  ».
  6. Notation personnelle car il n'y a aucune réglementation pour noter cette fonction.
  7. Appelé nombre dérivé du 2nd ordre.
  8. C.-à-d. une concavité dirigée vers les ordonnées positives.
  9. C.-à-d. une concavité dirigée vers les ordonnées négatives.