Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Dérivées successives d'une fonction scalaire d'une variable réelle

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     Soit la fonction scalaire $\;f\;$ de la variable réelle $\;x\;$ continue et dérivable en toute valeur d'un intervalle de définition.

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Rappel des notions de continuité et dérivabilité de fonction

     Notions vues dans le secondaire.

Continuité d'une fonction

     La fonction est dite continue en $\;x_{0}\;$ si, quand $\;x\rightarrow x_{0}$, $\;f(x)\;$ admet une limite égale à $\;f(x_{0})\;$ soit

$\;\lim \limits _{x\rightarrow x_{0}}f(x)=f(x_{0})$.

Dérivabilité d'une fonction

     La fonction est dite dérivable en $\;x_{0}\;$ si $\;\lim \limits _{x\rightarrow x_{0}}{\dfrac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}\;$ existe, sa valeur définissant $\;f'(x_{0})\;$ soit

$\;\lim \limits _{x\rightarrow x_{0}}{\dfrac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}=f'(x_{0})\;$  ;

     la fonction est dite dérivable sur un domaine de dérivabilité si son nombre dérivé existe pour toutes les valeurs du domaine.

     Propriétés du nombre dérivé : Le nombre dérivé est le cœfficient directeur $\;{\big (}$ou pente${\big )}\;$ de la tangente du graphe de $\;f(x)\;$ en fonction de $\;x\;$ au point d'abscisse $\;x_{0}$, l'équation de la tangente s'écrivant $\;y-f(x_{0})=f'(x_{0})\left[x-x_{0}\right]$,
     Propriétés du nombre dérivé : c'est encore la tangente de l'angle orienté $\;\alpha _{0}\;$ que fait la tangente du graphe de $\;f(x)\;$ en fonction de $\;x\;$ au point d'abscisse $\;x_{0}$, avec l'axe des abscisses soit, $\;f'(x_{0})=$ $\tan(\alpha _{0})$.

Fonction dérivée f' d'une fonction f

     Si la fonction scalaire $\;f\;$ est dérivable sur un domaine $\;I\;$ de dérivabilité, « ses nombres dérivés $\;f'(x_{0})\;$ définis pour chaque valeur $\;x_{0}\in I\;$» sont les « images de $\;x_{0}\;$ par une fonction $\;f'\;$»,
     cette fonction $\;f'\;$ définie par «$\;\forall \;x\in I,\;\;x\;{\overset {f'}{\rightarrow }}\;f'(x)\;$» est appelée « dérivée de la fonction $\;f\;$».

Théorème de dérivation des fonctions composées

Début d’un théorème

Théorème de dérivation d'une fonction composée

     À partir d'une « 1^ère fonction scalaire $\;f\;$ continue sur un intervalle $\;I\;$ et à valeurs dans l'intervalle $\;f(I)\;$» et une « 2^ème fonction scalaire $\;g\;$ continue sur l'intervalle $\;f(I)\;$», nous définissons la « fonction composée $\;g\circ f\;$ continue sur l'intervalle $\;I\;$» ;
     « si la fonction $\;f\;$ est dérivable en $\;x_{0}\in I\;$» et « la fonction $\;g\;$ dérivable en $\;f(x_{0})\in f(I)\;$», « la fonction composée $\;g\circ f\;$ est dérivable en $\;x_{0}\;$» et son nombre dérivé se détermine par «$\;\left\lbrace g\circ f\right\rbrace '(x_{0})=g'\left[f(x_{0})\right]\;f'(x_{0})\;$».

Fin du théorème

     Démonstration : la fonction $\;g\;$ étant dérivable en $\;f(x_{0})\in f(I)\;$ $\Rightarrow$ «$\;\lim \limits _{y\rightarrow f(x_{0})}{\dfrac {g\left[y\right]-g\left[f(x_{0})\right]}{y-f(x_{0})}}=g'\left[f(x_{0})\right]\;$» $\;{\bigg \{}$notant pour simplifier «$\;u(y)={\dfrac {g\left[y\right]-g\left[f(x_{0})\right]}{y-f(x_{0})}}\;$» $\Rightarrow$ «$\;\lim \limits _{y\rightarrow f(x_{0})}u(y)=g'\left[f(x_{0})\right]\;$»${\bigg \}}$,

     Démonstration : la fonction $\;f\;$ étant continue en $\;x_{0}\in I\;$ $\Rightarrow$ $\;\lim \limits _{x\rightarrow x_{0}}y=f(x)=f(x_{0})\;$ soit, en remplaçant $\;y\;$ par $\;f(x)$, «$\;\lim \limits _{f(x)\rightarrow f(x_{0})}u\left[f(x)\right]=g'\left[f(x_{0})\right]\;$» ou encore, compte-tenu que $\;f(x)\rightarrow f(x_{0})\;$ quand $\;x\rightarrow x_{0}$, «$\;\lim \limits _{x\rightarrow x_{0}}u\left[f(x)\right]=g'\left[f(x_{0})\right]\;$» que nous pouvons finalement réécrire «$\;\lim \limits _{x\rightarrow x_{0}}{\dfrac {g\left[f(x)\right]-g\left[f(x_{0})\right]}{f(x)-f(x_{0})}}=g'\left[f(x_{0})\right]\;:\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$» ;

     Démonstration : pour terminer transformons le taux de variation $\;{\dfrac {g\left[f(x)\right]-g\left[f(x_{0})\right]}{x-x_{0}}}\;$ de la fonction composée selon «$\;{\dfrac {g\left[f(x)\right]-g\left[f(x_{0})\right]}{x-x_{0}}}={\dfrac {g\left[f(x)\right]-g\left[f(x_{0})\right]}{f(x)-f(x_{0})}}\;{\dfrac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}\;$» dans lequel
Démonstration : pour terminer le « 1^er facteur du 2^ème membre a pour limite $\;g'\left[f(x_{0})\right]\;$ quand $\;x\rightarrow x_{0}\;$» $\;{\big \{}$résultat $\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$ établi ci-dessus${\big \}}\;$ et
Démonstration : pour terminer le « 2^ème facteur du 2^ème membre pour limite $\;f'(x_{0})\;$ quand $\;x\rightarrow x_{0}\;$» $\;{\big \{}$définition du nombre dérivé de $\;f\;$ en $\;x_{0}{\big \}}\;$ d'où

«$\;\lim \limits _{x\rightarrow x_{0}}{\dfrac {g\left[f(x)\right]-g\left[f(x_{0})\right]}{x-x_{0}}}=\left\lbrace \lim \limits _{x\rightarrow x_{0}}{\dfrac {g\left[f(x)\right]-g\left[f(x_{0})\right]}{f(x)-f(x_{0})}}\right\rbrace \left\lbrace \lim \limits _{x\rightarrow x_{0}}{\dfrac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}\right\rbrace =g'\left[f(x_{0})\right]\;f'(x_{0})\;$».

Notion de dérivée logarithmique d'une fonction

     À partir de la « fonction scalaire $\;f\;$ dérivable en $\;x_{0}\;$ et telle que $\;f(x_{0})\;$ soit $\;\neq 0\;$», on définit le « nombre dérivé logarithmique de $\;f\;$ en $\;x_{0}\;$» selon

«$\;{\dfrac {f'(x_{0})}{f(x_{0})}}\;$» dans lequel $\;f'(x_{0})\;$ est le nombre dérivé de $\;f\;$ en $\;x_{0}$ ;

     Justification du nom « dérivée logarithmique » : $\succ \;$D'une part la fonction scalaire « logarithme népérien $\;\ln \!\left(\;\right)\;$» est « continue et dérivable sur $\;\mathbb {R} _{+}^{*}\;$» de « dérivée 1^ère, pour $\;\forall \;u\in \mathbb {R} _{+}^{*}$, $\;\ln '\left(u\right)={\dfrac {1}{u}}\;$»,
     Justification du nom « dérivée logarithmique » : $\color {transparent}{\succ }\;$d'autre part la « fonction scalaire $\;f\;$ est dérivable en $\;x_{0}\;$» de « nombre dérivé $\;f'(x_{0})\;$» avec «$\;f(x_{0})>0\;$»,
     Justification du nom « dérivée logarithmique » : $\color {transparent}{\succ }\;$le nombre dérivé logarithmique de $\;f\;$ en $\;x_{0}\;$ «$\;{\dfrac {f'(x_{0})}{f(x_{0})}}\;$» se réécrivant selon «$\;{\dfrac {1}{f(x_{0})}}\;f'(x_{0})=\left\lbrace \ln '\left[f(x_{0})\right]\right\rbrace \;f'(x_{0})\;$»
     Justification du nom « dérivée logarithmique » : $\color {transparent}{\succ }\;$le nombre dérivé logarithmique de $\;\color {transparent}{f}\;$ en $\;\color {transparent}{x_{0}}\;$ s'identifie au « nombre dérivé de la fonction composée $\;\ln \circ f\;$ en $\;x_{0}\;$» soit

«$\;{\dfrac {f'(x_{0})}{f(x_{0})}}=\left\lbrace \ln \circ f\right\rbrace '(x_{0})=\left\lbrace \ln \left[f\right]\right\rbrace '(x_{0})\;$» ;

     Justification du nom « dérivée logarithmique » : $\succ \;$d'une part la fonction scalaire composée « logarithme népérien de valeur absolue $\;\left\lbrace \ln \,\circ \;{\big \vert }\;{\big \vert }\right\rbrace \left(\;\right)\;$» est « continue et dérivable sur $\;\mathbb {R} _{-}^{*}\;$» de « dérivée 1^ère, pour $\;\forall \;u\in \mathbb {R} _{-}^{*}$, $\;\left\lbrace \ln \,\circ \;{\big \vert }\;{\big \vert }\right\rbrace '\left(u\right)={\dfrac {1}{u}}\;$» ,
     Justification du nom « dérivée logarithmique » : $\color {transparent}{\succ }\;$d'autre part la « fonction scalaire $\;f\;$ est dérivable en $\;x_{0}\;$» de « nombre dérivé $\;f'(x_{0})\;$» avec «$\;f(x_{0})<0\;$»,
     Justification du nom « dérivée logarithmique » : $\color {transparent}{\succ }\;$le nombre dérivé logarithmique de $\;f\;$ en $\;x_{0}\;$ «$\;{\dfrac {f'(x_{0})}{f(x_{0})}}\;$» se réécrivant selon «$\;{\dfrac {1}{f(x_{0})}}\;f'(x_{0})=\left\lbrace \left[\ln \,\circ \;{\big \vert }\;{\big \vert }\right]'\left[f(x_{0})\right]\right\rbrace \;f'(x_{0})\;$»
     Justification du nom « dérivée logarithmique » : $\color {transparent}{\succ }\;$le nombre dérivé logarithmique de $\;\color {transparent}{f}\;$ en $\;\color {transparent}{x_{0}}\;$ s'identifie au « nombre dérivé de la fonction composée $\;\left[\ln \,\circ \;{\big \vert }\;{\big \vert }\right]\circ f\;$ en $\;x_{0}\;$» soit

«$\;{\dfrac {f'(x_{0})}{f(x_{0})}}=\left\lbrace \left[\ln \,\circ \;{\big \vert }\;{\big \vert }\right]\circ f\right\rbrace '(x_{0})=\left\lbrace \ln \left[{\big \vert }\,f\,{\big \vert }\right]\right\rbrace '(x_{0})\;$».

     Justification du nom « dérivée logarithmique » : $\succ \;$En conclusion, à partir de la « fonction scalaire $\;f\;$ dérivable en $\;x_{0}\;$ ${\big \{}$de nombre dérivé $\;f'(x_{0}){\big \}}\;$ et telle que $\;f(x_{0})\;$ soit $\;\neq 0\;$», le « nombre dérivé logarithmique de $\;f\;$ en $\;x_{0}\;$» à savoir «$\;{\dfrac {f'(x_{0})}{f(x_{0})}}\;$» est aussi le « nombre dérivé de $\;\ln \left[{\big \vert }\,f\,{\big \vert }\right]\;$ en $\;x_{0}\;$» c.-à-d.

«$\;{\dfrac {f'(x_{0})}{f(x_{0})}}=\left\lbrace \ln \left[{\big \vert }\,f\,{\big \vert }\right]\right\rbrace '(x_{0})\;$» d'où le nom.

     Fonction dérivée logarithmique d'une fonction scalaire : Si la fonction scalaire $\;f\;$ est dérivable sur un domaine $\;I\;$ de dérivabilité, la fonction dérivée de $\;f\;$ est définie selon «$\;\forall \;x\in I,\;\;x\;{\overset {f'}{\rightarrow }}\;f'(x)\;$» et
     Fonction dérivée logarithmique d'une fonction scalaire : si l'image de $\;I\;$ par $\;f\;$ ne contient pas $\;0\;$ c.-à-d. «$\;f(I)\nsupseteq \left\lbrace 0\right\rbrace \;$» ou «$\;\forall \;x\in I,\;\;f(x)\neq 0\;$» ,
     Fonction dérivée logarithmique d'une fonction scalaire : « ses nombres dérivés logarithmiques $\;{\dfrac {f'(x_{0})}{f(x_{0})}}\;$ définis pour chaque valeur $\;x_{0}\in I\;$» sont les « images de $\;x_{0}\;$ par une fonction $\;h\;$» , cette fonction $\;h\;$ définie par «$\;\forall \;x\in I,\;\;x\;{\overset {h}{\rightarrow }}\;h(x)={\dfrac {f'(x)}{f(x)}}\;$» est appelée « dérivée logarithmique de la fonction $\;f\;$» $\;{\big \{}$c'est aussi la « dérivée de la fonction composée $\;\left[\ln \,\circ \;{\big \vert }\;{\big \vert }\right]\circ f=\ln \left[{\big \vert }\,f\,{\big \vert }\right]\;$»${\big \}}$.

Dérivabilité du second ordre

Définition

     La fonction est dite dérivable en $\;x_{0}\;$ au 2^ème ordre si $\;\lim \limits _{x\rightarrow x_{0}}{\dfrac {f'(x)-f'(x_{0})}{x-x_{0}}}\;$ existe, sa valeur définissant $\;f''(x_{0})$, soit

$\;\lim \limits _{x\rightarrow x_{0}}{\dfrac {f'(x)-f'(x_{0})}{x-x_{0}}}=f''(x_{0})\;$ .

Propriétés

     La valeur du nombre dérivé du 2^nd ordre traduit la façon dont la dérivée 1^ère varie avec la variable, une valeur positive correspondra à une « $\;\nearrow \;$ de la dérivée 1^ère » alors qu'une valeur négative correspondra à une « $\;\searrow \;$» .