Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Dérivées successives d'une fonction scalaire d'une variable réelle

Début de la boite de navigation du chapitre

     Soit la fonction scalaire de la variable réelle continue et dérivable en toute valeur d'un intervalle de définition.

Dérivées successives d'une fonction scalaire d'une variable réelle
Icône de la faculté
Chapitre no 1
Leçon : Outils mathématiques pour la physique (PCSI)
Retour auSommaire
Chap. suiv. :Équations différentielles
fin de la boite de navigation du chapitre
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) : Dérivées successives d'une fonction scalaire d'une variable réelle
Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Dérivées successives d'une fonction scalaire d'une variable réelle
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Rappel des notions de continuité et dérivabilité de fonction

modifier

     Notions vues dans le secondaire.

Continuité d'une fonction

modifier

     La fonction est dite continue en   si, quand  ,   admet une limite égale à   soit

 .

Dérivabilité d'une fonction

modifier

     La fonction est dite dérivable en   si   existe, sa valeur définissant   soit

  [1] ;

     la fonction est dite dérivable sur un domaine de dérivabilité si son nombre dérivé existe pour toutes les valeurs du domaine.

     Propriétés du nombre dérivé : Le nombre dérivé est le cœfficient directeur  ou pente  de la tangente du graphe de   en fonction de   au point d'abscisse  , l'équation de la tangente s'écrivant  ,
     Propriétés du nombre dérivé : c'est encore la tangente de l'angle orienté   que fait la tangente du graphe de   en fonction de   au point d'abscisse  , avec l'axe des abscisses soit,    .

Fonction dérivée f' d'une fonction f

modifier

     Si la fonction scalaire   est dérivable sur un domaine   de dérivabilité, « ses nombres dérivés   définis pour chaque valeur  » sont les « images de   par une fonction  »,
     cette fonction   définie par « » est appelée « dérivée de la fonction  ».

Théorème de dérivation des fonctions composées

modifier
Début d’un théorème
Fin du théorème

     Démonstration : la fonction   étant dérivable en     « »  ou notant « »   « » ,

     Démonstration : la fonction   étant continue en       soit, en remplaçant   par  , « » ou, compte-tenu de   quand  , « » que nous pouvons finalement réécrire « » ;

     Démonstration : pour terminer transformons le taux de variation   de la fonction composée selon « » dans lequel
Démonstration : pour terminer le « 1er facteur du 2ème membre a pour limite   quand  »  résultat   établi ci-dessus  et
Démonstration : pour terminer le « 2ème facteur du 2ème membre pour limite   quand  »  définition du nombre dérivé de   en   d'où

« ».

Notion de dérivée logarithmique d'une fonction

modifier

     À partir de la « fonction scalaire   dérivable en   et telle que   soit  », on définit le « nombre dérivé logarithmique de   en  » selon

« » dans lequel   est le nombre dérivé de   en   ;

     Justification du nom « dérivée logarithmique » :  la fonction scalaire « logarithme népérien  » [2] est « continue et dérivable sur  » de « dérivée 1ère, pour  ,  »
     Justification du nom « dérivée logarithmique » :  et la « fonction scalaire   est dérivable en  » de « nombre dérivé  » avec « » d'où
     Justification du nom « dérivée logarithmique » :  le nombre dérivé logarithmique de   en   « » se réécrivant selon « »
     Justification du nom « dérivée logarithmique » :  le nombre dérivé logarithmique de   en   s'identifie au « nombre dérivé de la fonction composée   en  » soit
     Justification du nom « dérivée logarithmique » :  le nombre dérivé logarithmique de   en   « » ;

     Justification du nom « dérivée logarithmique » :  la fonction scalaire composée « logarithme népérien de valeur absolue  » [2] est « continue et dérivable sur  » [3] de « dérivée 1ère
         Justification du nom « dérivée logarithmique » :  la fonction scalaire composée « logarithme népérien de valeur absolue  » est « pour  ,  » [4]
     Justification du nom « dérivée logarithmique » :  et la « fonction scalaire   est dérivable en  » de « nombre dérivé  » avec « » d'où
     Justification du nom « dérivée logarithmique » :  le nombre dérivé logarithmique de   en   « » se réécrivant selon « »
     Justification du nom « dérivée logarithmique » :  le nombre dérivé logarithmique de   en   s'identifie au « nombre dérivé de la fonction composée   en  » soit
     Justification du nom « dérivée logarithmique » :  le nombre dérivé logarithmique de   en   « ».

     Justification du nom « dérivée logarithmique » :  En conclusion, à partir de la « fonction scalaire   dérivable en    de nombre dérivé   et telle que   soit  »,
     Justification du nom « dérivée logarithmique » :  En conclusion, le « nombre dérivé logarithmique de   en  » à savoir « » est aussi le « nombre dérivé de   en  » c.-à-d.
     Justification du nom « dérivée logarithmique » :  En conclusion, le « nombre dérivé logarithmique de   en  » à savoir « » d'où le nom.

     Fonction dérivée logarithmique d'une fonction scalaire : Si la fonction scalaire   est dérivable sur un domaine   de dérivabilité, la fonction dérivée de   est définie selon « » et
     Fonction dérivée logarithmique d'une fonction scalaire : si l'image de   par   ne contient pas  [5] c.-à-d. « » [5] ou « » [5],
     Fonction dérivée logarithmique d'une fonction scalaire : « ses nombres dérivés logarithmiques   définis pour chaque valeur  » [5] sont les « images de   par une fonction  » [6],
     Fonction dérivée logarithmique d'une fonction scalaire : cette fonction   définie par « » [5] est appelée « dérivée logarithmique de la fonction  »
     Fonction dérivée logarithmique d'une fonction scalaire :  c'est aussi la « dérivée de la fonction composée  » .

Dérivabilité du second ordre

modifier

Définition

modifier

     La fonction est dite dérivable en   au 2ème ordre si   existe, sa valeur définissant  , soit   [7].

Propriétés

modifier

     La valeur du nombre dérivé du 2nd ordre traduit la façon dont la dérivée 1ère varie avec la variable, une valeur positive correspondra à une «   de la dérivée 1ère » [8] alors que
     La valeur du nombre dérivé du 2nd ordre traduit la façon dont la dérivée 1ère varie avec la variable, une valeur négative correspondra à une «  » [9].

Notes et références

modifier
  1. Appelé nombre dérivé.
  2. 2,0 et 2,1 John Napier (1550 - 1617) est un physicien, astronome, mathématicien et théologien écossais à qui on doit essentiellement l'invention des logarithmes et la construction de tables de logarithmes  
  3. En fait continue et dérivable sur « » mais l'étude sur «  où la fonction composée   s'identifie à  » ayant déjà été traitée, nous n'y revenons pas.
  4. En effet   se réécrit, « pour  ,  »   la « réécriture de la fonction composée   appliquée sur   selon  »  avec   symbole de multiplication sur   d'où l'application du théorème de dérivation d'une fonction composée conduit à « ».
  5. 5,0 5,1 5,2 5,3 et 5,4 Et si   s'annule pour des valeurs de   il convient de « restreindre   au plus grand   tel que  ».
  6. Notation personnelle car il n'y a aucune réglementation pour noter cette fonction.
  7. Appelé nombre dérivé du 2nd ordre.
  8. C.-à-d. une concavité dirigée vers les ordonnées positives.
  9. C.-à-d. une concavité dirigée vers les ordonnées négatives.