Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Exercices/Applications des fonctions de plusieurs variables indépendantes

Exercice 6-1

Calculer la différentielle, en tout point du domaine de définition, de la fonction $f:(x,y)\mapsto x^{y}$. En déduire une valeur approchée de $1{,}02^{3{,}01}$.

Solution

$f:(x,y)\mapsto x^{y}=\operatorname {e} ^{y\ln x}$ est définie sur $\mathbb {R} _{+}^{*}\times \mathbb {R}$. Sur ce domaine,

$(x,y)\mapsto {\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y)=f(x,y){\frac {y}{x}}=x^{y-1}y$ et $(x,y)\mapsto {\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)=f(x,y)\ln x=x^{y}\ln x$

sont continues donc $f$ est de classe C¹ et pour tout $(h,k)\in \mathbb {R} ^{2}$,

$\mathrm {D} f(x,y)(h,k)={\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y)h+{\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)k=x^{y-1}yh+x^{y}(\ln x)k$.

On en déduit l'approximation

$f(x+\Delta x,y+\Delta y)\approx f(x,y)+\mathrm {D} f(x,y)(\Delta x,\Delta y)=x^{y}+x^{y-1}y\Delta x+x^{y}\ln x\Delta y$

qui donne, pour $(x,y)=(1,3)$ et $(\Delta x,\Delta y)=(2.10^{-2},10^{-2})$ :

$1{,}02^{3{,}01}\approx 1+3\times 2.10^{-2}+0\times 10^{-2}=1{,}06$.