f
:
(
x
,
y
)
↦
x
y
=
e
y
ln
x
{\displaystyle f:(x,y)\mapsto x^{y}=\operatorname {e} ^{y\ln x}}
est définie sur
R
+
∗
×
R
{\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{*}\times \mathbb {R} }
. Sur ce domaine,
(
x
,
y
)
↦
∂
f
∂
x
(
x
,
y
)
=
f
(
x
,
y
)
y
x
=
x
y
−
1
y
{\displaystyle (x,y)\mapsto {\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y)=f(x,y){\frac {y}{x}}=x^{y-1}y}
et
(
x
,
y
)
↦
∂
f
∂
y
(
x
,
y
)
=
f
(
x
,
y
)
ln
x
=
x
y
ln
x
{\displaystyle (x,y)\mapsto {\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)=f(x,y)\ln x=x^{y}\ln x}
sont continues donc
f
{\displaystyle f}
est de classe C1 et pour tout
(
h
,
k
)
∈
R
2
{\displaystyle (h,k)\in \mathbb {R} ^{2}}
,
D
f
(
x
,
y
)
(
h
,
k
)
=
∂
f
∂
x
(
x
,
y
)
h
+
∂
f
∂
y
(
x
,
y
)
k
=
x
y
−
1
y
h
+
x
y
(
ln
x
)
k
{\displaystyle \mathrm {D} f(x,y)(h,k)={\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y)h+{\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)k=x^{y-1}yh+x^{y}(\ln x)k}
.
On en déduit l'approximation
f
(
x
+
Δ
x
,
y
+
Δ
y
)
≈
f
(
x
,
y
)
+
D
f
(
x
,
y
)
(
Δ
x
,
Δ
y
)
=
x
y
+
x
y
−
1
y
Δ
x
+
x
y
ln
x
Δ
y
{\displaystyle f(x+\Delta x,y+\Delta y)\approx f(x,y)+\mathrm {D} f(x,y)(\Delta x,\Delta y)=x^{y}+x^{y-1}y\Delta x+x^{y}\ln x\Delta y}
qui donne, pour
(
x
,
y
)
=
(
1
,
3
)
{\displaystyle (x,y)=(1,3)}
et
(
Δ
x
,
Δ
y
)
=
(
2.10
−
2
,
10
−
2
)
{\displaystyle (\Delta x,\Delta y)=(2.10^{-2},10^{-2})}
:
1
,
02
3
,
01
≈
1
+
3
×
2.10
−
2
+
0
×
10
−
2
=
1
,
06
{\displaystyle 1{,}02^{3{,}01}\approx 1+3\times 2.10^{-2}+0\times 10^{-2}=1{,}06}
.