Pour simplifier l'exposé nous nous placerons dans le cas de deux variables indépendantes, la « généralisation à plus de deux s'imaginant aisément » [1].
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) : Fonction de plusieurs variables indépendantes Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Fonction de plusieurs variables indépendantes », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Définition d'une fonction scalaire à deux variables indépendantesModifier
Définition
Soient deux variables réelles indépendantes, on définit une fonction scalaire de ces deux variables selon
«» ;
si on fixe une des variables, alors on obtient une fonction scalaire d'une variable et on peut lui appliquer toutes les propriétés d'une fonction scalaire d'une variable [2] ; par exemple si on fixe à la valeur on obtient la fonction scalaire de la variable suivante
«».
Graphe d'une fonction scalaire de deux variables indépendantes en fonction de ces dernièresModifier
Représentation du graphe d'une fonction scalaire de deux variables indépendantes dans un repère à trois dimensionsModifier
Le plus facile à concevoir mais non le plus pratique consiste à représenter le graphe dans un repère à trois dimensions , les axes permettant de préciser les valeurs des deux variables indépendantes et l'axe la valeur de correspondante ; le graphe de la fonction dans ce repère est alors la surface d'équation «» [3] ;
exemples : pour les différents points d'un terrain on peut définir l'altitude par la fonction «» mais aussi exemples : pour les différents points d'un terrain on peut définir la composition surfacique en lombrics par «» [4] ou exemples : pour les différents points d'un terrain on peut définir d'autres grandeurs encore
Représentation du graphe d'une fonction scalaire de deux variables indépendantes à l'aide de courbes de niveaux dans un repère à deux dimensionsModifier
Dans l'exemple de l'altitude, il existe une façon plus pratique utilisant un repère à deux dimensions consistant à tracer, sur ce repère, les courbes de niveaux par exemple la courbe de niveau est la courbe joignant les pointsdont l'image parest on trace alors les courbes de niveaux pour les niveaux «» [5], si les courbes sont très resserrées cela signifie que l'altitude varie très rapidement alors que si elles sont très écartées l'altitude varie très lentement ;
on peut bien sûr étendre cela à n'importe quelle fonction de deux variables indépendantes en traçant dans un repère à deux dimensions les courbes de niveaux c.-à-d. les courbes joignant les pointsdont l'image parest de valeur constante[6].
Graphe d'une fonction scalaire de plus de deux variables indépendantesModifier
Pour fixer le propos, considérons une fonction scalaire à trois variables indépendantes «» ; par exemple la température ou la pression en chaque point de l'espace ;
il est impossible de généraliser la 1ère représentation car ceci nécessiterait de définir un repère à quatre dimensions ce que notre cerveau est incapable de représenter ;
par contre la généralisation de la 2ème représentation nécessitant de définir un repère à trois dimensions et des niveaux associés à des valeurs de constante, est possible même si cela reste peu pratique on obtiendrait alors des « surfaces de niveaux » par exemple dans le cas de la température en chaque point de l'espace, la surface isotherme [7] ;
les surfaces de niveaux restant d'utilisation peu pratique, on peut peaufiner leur connaissance en représentant diverses coupes par un plan à ou par un plan à ou encore par un plan à , l'avantage étant que ces coupes donnant des courbes dans un repère à deux dimensions sont facilement transportables.
Dérivées partielles relativement à chaque variable d'une fonction scalaire de deux variables indépendantesModifier
Soient deux variables réelles indépendantes, et la fonction scalaire de ces deux variables
«»
dont on veut étudier la variation en fonction de chaque variable en définissant des dérivées adéquates.
Si on fige une des variables par exemple , la fonction devient pendant la durée du maintien constant de la variable fonction d'une seule variable sur l'exemple, fonction de notée et sachant définir la dérivée d'une fonction d'une variable sur l'exemple, de la variable , on obtient la variation de relativement à à figé par : que l'on notera «» [8], appelée « dérivée partielle depar rapport ààfigé, calculée au point» [9] ;
si on fige l'autre variable donc la variable , la fonction devient pendant la durée du maintien constant de la variable fonction de la seule variable notée et sachant définir la dérivée d'une fonction de la variable , on obtient la variation de relativement à à figé par : que l'on notera «» [10], appelée « dérivée partielle depar rapport ààfigé, calculée au point» [11].
Calculer les dérivées partielles premières de la fonction définie par «» :
dérivée partielle de par rapport à figé : «» [12],
dérivée partielle de par rapport à figé : «» [13] dérivée partielle qui finalement se réécrit selon «».
Vérification du théorème de Schwarz sur un exempleModifier
Le théorème de Schwarz [14] énonce : « lors du calcul d'une dérivée partielle seconde croisée, on peut effectuer les dérivations successives dans n'importe quel ordre » c.-à-d.
«».
Vérification sur l'exemple du paragraphe précédent : :
«» [16], soit finalement «» bien identique à la dérivée seconde précédente.
Conséquence : Du fait du théorème de Schwartz les dérivées secondes croisées seront notées indifféremment «» ou «».
Définition des dérivées logarithmiques partiellesModifier
À partir de la « fonction scalaire de deux variables réelles indépendantes dérivable partiellement relativement à à figé ou relativement à à figé en et telle que soit », on définit le « nombre dérivé logarithmique partiel de relativement à à figé ou relativement à à figé en » selon
«» dans lequel est le nombre dérivé logarithmique partiel de relativement à à figé en ou «» dans lequel est le nombre dérivé logarithmique partiel de relativement à à figé en .
Fonctions dérivées logarithmiques partielles d'une fonction scalaire de deux variables réelles indépendantes : Si la fonction scalaire de deux variables réelles indépendantes est dérivable partiellement relativement à à figé ou relativement à à figé sur un domaine de dérivabilité partielle relativement à à figé ou sur un domaine de dérivabilité partielle relativement à à figé, la fonction dérivée partielle de relativement à à figé ou relativement à à figé est définie par «» [17]ou par «» [18] et Fonctions dérivées logarithmiques partielles d'une fonction scalaire de deux variables réelles indépendantes : si l'image de ou de par ne contient pas [19] c.-à-d. «» ou [19] ou «» ou [19], Fonctions dérivées logarithmiques partielles d'une fonction scalaire de deux variables réelles indépendantes : « ses nombres dérivés logarithmiques partiels de relativement à à figé en [17] définis pour chaque couple » [19] sont les « images de par une fonction » [20] définie par «» [19] appelée « dérivée logarithmique partielle de la fonction relativement à à figé » c'est aussi la « dérivée partielle relativement à à figé de la fonction composée » et Fonctions dérivées logarithmiques partielles d'une fonction scalaire de deux variables réelles indépendantes : « ses nombres dérivés logarithmiques partiels de relativement à à figé en [18] définis pour chaque couple » [19] sont les « images de par une fonction » [20] définie par «» [19] appelée « dérivée logarithmique partielle de la fonction relativement à à figé » c'est aussi la « dérivée partielle relativement à à figé de la fonction composée ».
Différentielle d'une fonction de deux variables indépendantesModifier
Soient deux variables réelles indépendantes, et la fonction scalaire de ces deux variables
«»
dont on veut définir la notion de différentielle comme cela a été fait pour une fonction d'une variable à partir de la dérivée de cette fonction par rapport à la variable et de la différentielle de la variable, à la différence près qu'ici il y a deux variables et deux dérivées partielles
Petite variation de la fonction des deux variables indépendantes sur un pavé de ces deux variables de petite extensionModifier
On définit la petite variation de la fonction sur le pavé par
«» ;
par généralisation de l'approximation linéaire à une fonction de deux variables indépendantes, on établit la relation suivante :
«» avec « et ».
Démonstration de l'applicabilité de l'approximation linéaire à la fonction f(x, y)
Transformer «» en retranchant et en l'ajoutant, ainsi on obtient :
«» dans laquelle
la différence des deux 1ers termes «» correspond à une « petite variation de à figé à la valeur » [21] et
celle des deux derniers «» correspond à une «petite variation de à figé à la valeur » [21] d'où :
pour terminer on applique l'approximation linéaire à la fonction du 1er terme «», considérée comme fonction de à figé, que l'on notera «» pour simplifier l'exposé d'où
«» avec «»,
ou en revenant à la fonction d'origine «»,
«» avec «», mais
« comme le terme apparaissant dans s'obtient en multipliant par », il suffit de conserver, dans le développement du produit,
le 1er terme «»,
les deux autres «» ainsi que «» tendant vers plus rapidement que ou que et se retrouvant dans «» [23]
d'où le résultat que l'on se proposait de justifier
En physique on note «».
Définition de la différentielle d'une fonction de deux variables indépendantesModifier
Définition
«» et étant a priori quelconques, mais toujours choisis infiniment petits « en physique ».
Propriété de la différentielle d'une fonction de deux variables indépendantes dans son utilisation en physiqueModifier
Propriété de df en physique où dx et dy sont des infiniment petits
Dans la mesure où et sont des infiniment petits de même ordre, «».
Justification : s'identifie à quand et selon l'approximation linéaire, Justification : or par définition devient, à la limite où et , Justification : or par définition , se substituant à et à .
Quelques règles de calcul de la différentielle d'une fonction de deux variables indépendantesModifier
Ce sont les mêmes que celles de calcul de la différentielle d'une fonction d'une variable à savoir :
,
,
,
.
Exemple de calcul de la différentielle d'une fonction de deux variables indépendantesModifier
Soit à calculer la différentielle de «» ; nous voyons deux méthodes,
l'une utilisant les règles de différenciation précédentes ainsi que la différenciation de fonctions composées,
l'autre calculant au préalable les dérivées partielles et utilisant la définition de la différentielle.
Par calcul direct utilisant les règles de différenciation précédemment introduitesModifier
«» avec
«»,
«», enfin
«» et «»,
finalement on obtient, en regroupant toutes les informations, «» ou
«».
Par calcul préalable des dérivées partiellesModifier
Ces calculs ayant déjà été faits on rappelle les résultats :
Définition de la différentielle logarithmique d'une fonction de deux variables indépendantesModifier
À partir de la « fonction scalaire de deux variables réelles indépendantes dérivable partiellement relativement à à figé et relativement à à figé en et telle que soit », on a défini, au paragraphe « définition des dérivées logarithmiques partielles » plus haut dans ce chapitre,
la « dérivée logarithmique partielle de la fonction relativement à à figé » par «» [19]c'est aussi la « dérivée partielle relativement à à figé de la fonction composée » et
la « dérivée logarithmique partielle de la fonction relativement à à figé » par «» [19]c'est aussi la « dérivée partielle relativement à à figé de la fonction composée » ;
Définition de la différentielle logarithmique de la fonction en
La différentielle logarithmique de pour le couple de valeurs des variables du domaine de dérivabilité logarithmique [25] est définie, à partir des dérivées logarithmiques partielles de , notées et [20], respectivement caractérisées par «» [17] et par «» [18], selon
« «» dans laquelle « est la différentielle de pour le couple de valeurs » [26],[27].
Différentielle d'une fonction d'une variable, laquelle est fonction de deux autres variables indépendantes, théorème de dérivation partielle d'une fonction composéeModifier
Soit d'une part la « fonction scalaire de deux variables réelles indépendantes dérivable partiellement relativement à à figé et relativement à à figé en ainsi que Soit d'autre part la « fonction scalaire d'une variable réelle dérivable en »,
nous en déduisons la « différentiabilité de la fonction scalaire composée des deux variables réelles indépendantes en », la « différentielle de en » s'écrivant
reportant l'expression «» dans «» nous obtenons la « différentielle de en c.-à-d. l'expression de en » soit «» à identifier à ou encore
avec «», «», avec «», «» ;
par identification des deux expressions de nous en déduisons le « théorème de dérivation partielle d'une fonction scalaire composée dans laquelle est une fonction de deux variables indépendantes et une fonction scalaire de la variable » :
Début d’un théorème
Théorème de dérivation partielle d'une fonction composée dont la 1ère est fonction scalaire de deux variables indépendantes et la 2nde fonction scalaire d'une variable
À partir d'une « 1ère fonction scalaire des deux variables indépendantes continue sur un pavé et à valeurs dans l'intervalle » et À partir d'une « 2ème fonction scalaire d'une variable, fonction notée continue sur l'intervalle », nous définissons la « fonction composée continue sur le pavé » ; si « la fonction est dérivable partiellement relativement à à gelé, en ainsi que dérivable partiellement relativement à à gelé, en » et si « la fonction dérivable en », « la fonction composée est dérivable partiellement relativement à à gelé, en ainsi que dérivable partiellement relativement à à gelé, en » et ses nombres dérivés se déterminent par
«».
Fin du théorème
Différentielle d'une fonction de deux variables, lesquelles sont fonctions d'une seule variable ou de deux autres variables indépendantes, extension du théorème de dérivation (partielle) d'une fonction composéeModifier
Différentielle d'une fonction de deux variables, lesquelles sont fonctions d'une seule variableModifier
Soit d'une part la « fonction d'une variable réelle à valeurs dans dérivable en ainsi que Soit d'autre part la « fonction scalaire de deux variables réelles indépendantes dérivable partiellement relativement à à figé et relativement à à figé en »,
nous en déduisons la « différentiabilité de la fonction scalaire composée de la variable réelle en », la « différentielle de en » s'écrivant
reportant les expressions «» et «» dans «» nous obtenons la « différentielle de en c.-à-d. en » soit «» à identifier à ou encore
avec «», «», avec «», «» ;
par identification des deux expressions de nous en déduisons l'« extension du théorème de dérivation d'une fonction scalaire composée dans laquelle est une fonction de la variable à valeurs dans et une fonction de deux variables indépendantes » :
Début d’un théorème
Extension du théorème de dérivation d'une fonction composée dont la 1ère est fonction d'une variable à valeurs dans R2 et la 2nde fonction scalaire de deux variables indépendantes
À partir d'une « 1ère fonction de la variable à valeurs dans , continue sur un intervalle et à valeurs dans le pavé » et À partir d'une « 2ème fonction scalaire de deux variables indépendantes, continue sur le pavé », nous définissons la « fonction composée continue sur l'intervalle » ; si « la fonction est dérivable en » et si « la fonction dérivable partiellement relativement à à gelé, en ainsi que dérivable partiellement relativement à à gelé, en » « la fonction composée est dérivable en » et son nombre dérivé se détermine par
«».
Fin du théorème
Différentielle d'une fonction de deux variables, lesquelles sont fonctions d'une autres variables indépendantesModifier
Soit d'une part la « fonction de deux variables réelles indépendantes à valeurs dans dérivable partiellement relativement à à figé et relativement à à figé en » ainsi que Soit d'autre part la « fonction scalaire de deux autres variables réelles indépendantes dérivable partiellement relativement à à figé et relativement à à figé en »,
nous en déduisons la « différentiabilité de la fonction scalaire composée des deux variables réelles indépendantes en », la « différentielle de en » s'écrivant