Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Fonction de plusieurs variables indépendantes

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     Pour simplifier l'exposé nous nous placerons dans le cas de deux variables indépendantes, la « généralisation à plus de deux s'imaginant aisément » [1].

Fonction de plusieurs variables indépendantes
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Chapitre no 6
Leçon : Outils mathématiques pour la physique (PCSI)
Chap. préc. :Théorème de Fourier
Chap. suiv. :Produit scalaire, produit vectoriel et produit mixte
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Définition d'une fonction scalaire à deux variables indépendantesModifier

Graphe d'une fonction scalaire de deux variables indépendantes en fonction de ces dernièresModifier

Représentation du graphe d'une fonction scalaire de deux variables indépendantes dans un repère à trois dimensionsModifier

     Le plus facile à concevoir  mais non le plus pratique  consiste à représenter le graphe dans un repère à trois dimensions  , les axes   permettant de préciser les valeurs des deux variables indépendantes   et l'axe   la valeur de   correspondante ; le graphe de la fonction dans ce repère est alors la surface d'équation « » [3] ;

     exemples : pour les différents points d'un terrain on peut définir l'altitude par la fonction « » mais aussi
     exemples : pour les différents points d'un terrain on peut définir la composition surfacique en lombrics par « » [4] ou
     exemples : pour les différents points d'un terrain on peut définir d'autres grandeurs encore  

Représentation du graphe d'une fonction scalaire de deux variables indépendantes à l'aide de courbes de niveaux dans un repère à deux dimensionsModifier

     Dans l'exemple de l'altitude, il existe une façon plus pratique utilisant un repère à deux dimensions   consistant à tracer, sur ce repère, les courbes de niveaux   par exemple la courbe de niveau   est la courbe joignant les points dont l'image par est    on trace alors les courbes de niveaux pour les niveaux « » [5], si les courbes sont très resserrées cela signifie que l'altitude varie très rapidement alors que si elles sont très écartées l'altitude varie très lentement ;

     on peut bien sûr étendre cela à n'importe quelle fonction de deux variables indépendantes en traçant dans un repère à deux dimensions les courbes de niveaux c.-à-d. les courbes joignant les points dont l'image par est de valeur constante [6].

Graphe d'une fonction scalaire de plus de deux variables indépendantesModifier

     Pour fixer le propos, considérons une fonction scalaire à trois variables indépendantes « » ; par exemple la température ou la pression en chaque point de l'espace ;

     il est impossible de généraliser la 1ère représentation car ceci nécessiterait de définir un repère à quatre dimensions ce que notre cerveau est incapable de représenter ;

     par contre la généralisation de la 2ème représentation nécessitant de définir un repère à trois dimensions et des niveaux associés à des valeurs de   constante, est possible   même si cela reste peu pratique   on obtiendrait alors des « surfaces de niveaux »   par exemple dans le cas de la température en chaque point de l'espace, la surface isotherme  [7] ;

     les surfaces de niveaux restant d'utilisation peu pratique, on peut peaufiner leur connaissance en représentant diverses coupes par un plan   à   ou par un plan   à   ou encore par un plan   à  , l'avantage étant que ces coupes donnant des courbes dans un repère à deux dimensions sont facilement transportables.

Dérivées partielles relativement à chaque variable d'une fonction scalaire de deux variables indépendantesModifier

     Soient deux variables   réelles indépendantes, et la fonction scalaire   de ces deux variables

« »

     dont on veut étudier la variation en fonction de chaque variable en définissant des dérivées adéquates.

Définition des dérivées partiellesModifier

     Si on fige une des variables  par exemple  , la fonction devient   pendant la durée du maintien constant de la variable   fonction d'une seule variable  sur l'exemple, fonction de   notée   et sachant définir la dérivée d'une fonction d'une variable  sur l'exemple, de la variable  , on obtient la variation de   relativement à   à   figé par :   que l'on notera « » [8], appelée « dérivée partielle de   par rapport à   à   figé, calculée au point  » [9] ;

     si on fige l'autre variable  donc la variable  , la fonction devient   pendant la durée du maintien constant de la variable   fonction de la seule variable   notée   et sachant définir la dérivée d'une fonction de la variable  , on obtient la variation de   relativement à   à   figé par :   que l'on notera « » [10], appelée « dérivée partielle de   par rapport à   à   figé, calculée au point  » [11].

Exemple de calcul de dérivées partiellesModifier

     Calculer les dérivées partielles premières de la fonction   définie par « » :

  • dérivée partielle de   par rapport   à   figé : « » [12],
  • dérivée partielle de   par rapport   à   figé : « » [13] dérivée partielle qui finalement se réécrit selon « ».

Vérification du théorème de Schwarz sur un exempleModifier

     Le théorème de Schwarz [14] énonce : « lors du calcul d'une dérivée partielle seconde croisée, on peut effectuer les dérivations successives dans n'importe quel ordre » c.-à-d.

« ».

     Vérification sur l'exemple du paragraphe précédent :   :

  • dérivée partielle de   par rapport   à   figé :
    « » [15],
    soit finalement « »,
  • dérivée partielle de   par rapport   à   figé :
    « » [16],
    soit finalement « » bien identique à la dérivée seconde précédente.

     Conséquence : Du fait du théorème de Schwartz les dérivées secondes croisées seront notées indifféremment « » ou « ».

Définition des dérivées logarithmiques partiellesModifier

     À partir de la « fonction scalaire   de deux variables réelles indépendantes   dérivable partiellement relativement à   à   figé  ou relativement à   à   figé  en   et telle que   soit  », on définit le « nombre dérivé logarithmique partiel de   relativement à   à   figé  ou relativement à   à   figé  en  » selon

« » dans lequel   est le nombre dérivé logarithmique partiel de   relativement à   à   figé en   ou
« » dans lequel   est le nombre dérivé logarithmique partiel de   relativement à   à   figé en  .

     Fonctions dérivées logarithmiques partielles d'une fonction scalaire de deux variables réelles indépendantes : Si la fonction scalaire   de deux variables réelles indépendantes   est dérivable partiellement relativement à   à   figé  ou relativement à   à   figé  sur un domaine   de dérivabilité partielle relativement à   à   figé  ou sur un domaine   de dérivabilité partielle relativement à   à   figé , la fonction dérivée partielle de   relativement à   à   figé  ou relativement à   à   figé  est définie par « » [17]  ou par « » [18]  et
     Fonctions dérivées logarithmiques partielles d'une fonction scalaire de deux variables réelles indépendantes : si l'image de    ou de   par   ne contient pas  [19] c.-à-d. « »  ou  [19] ou « »  ou  [19],
     Fonctions dérivées logarithmiques partielles d'une fonction scalaire de deux variables réelles indépendantes : « ses nombres dérivés logarithmiques partiels de   relativement à   à   figé en    [17] définis pour chaque couple  » [19] sont les « images de   par une fonction  » [20] définie par « » [19] appelée « dérivée logarithmique partielle de la fonction   relativement à   à   figé »  c'est aussi la « dérivée partielle relativement à   à   figé de la fonction composée  »  et
     Fonctions dérivées logarithmiques partielles d'une fonction scalaire de deux variables réelles indépendantes : « ses nombres dérivés logarithmiques partiels de   relativement à   à   figé en    [18] définis pour chaque couple  » [19] sont les « images de   par une fonction  » [20] définie par « » [19] appelée « dérivée logarithmique partielle de la fonction   relativement à   à   figé »  c'est aussi la « dérivée partielle relativement à   à   figé de la fonction composée  » .

Différentielle d'une fonction de deux variables indépendantesModifier

     Soient deux variables   réelles indépendantes, et la fonction scalaire   de ces deux variables

« »

     dont on veut définir la notion de différentielle comme cela a été fait pour une fonction d'une variable à partir de la dérivée de cette fonction par rapport à la variable et de la différentielle de la variable, à la différence près qu'ici il y a deux variables et deux dérivées partielles  

Petite variation de la fonction des deux variables indépendantes sur un pavé de ces deux variables de petite extensionModifier

     On définit la petite variation de la fonction   sur le pavé   par

« » ;

     par généralisation de l'approximation linéaire à une fonction de deux variables indépendantes, on établit la relation suivante :

« »
avec «  et  ».
En physique on note « ».

Définition de la différentielle d'une fonction de deux variables indépendantesModifier

Propriété de la différentielle d'une fonction de deux variables indépendantes dans son utilisation en physiqueModifier

     Justification :   s'identifie à   quand   et   selon l'approximation linéaire,
     Justification : or par définition   devient, à la limite où   et  ,
     Justification : or par définition    ,   se substituant à   et   à  .

Quelques règles de calcul de la différentielle d'une fonction de deux variables indépendantesModifier

     Ce sont les mêmes que celles de calcul de la différentielle d'une fonction d'une variable à savoir :

  •  ,
  •  ,
  •  ,
  •  .

Exemple de calcul de la différentielle d'une fonction de deux variables indépendantesModifier

     Soit à calculer la différentielle de « » ; nous voyons deux méthodes,

  • l'une utilisant les règles de différenciation précédentes ainsi que la différenciation de fonctions composées,
  • l'autre calculant au préalable les dérivées partielles et utilisant la définition de la différentielle.

Par calcul direct utilisant les règles de différenciation précédemment introduitesModifier

     « » avec

  • « »,
  • « », enfin
  • « » et « »,

     finalement on obtient, en regroupant toutes les informations, « » ou

« ».

Par calcul préalable des dérivées partiellesModifier

     Ces calculs ayant déjà été faits on rappelle les résultats :

  • « » et
  • « » d'où :

     « » [24].

Définition de la différentielle logarithmique d'une fonction de deux variables indépendantesModifier

     À partir de la « fonction scalaire   de deux variables réelles indépendantes   dérivable partiellement relativement à   à   figé  et relativement à   à   figé  en   et telle que   soit  », on a défini, au paragraphe « définition des dérivées logarithmiques partielles » plus haut dans ce chapitre,

  • la « dérivée logarithmique partielle de la fonction   relativement à   à   figé » par « » [19]  c'est aussi la « dérivée partielle relativement à   à   figé de la fonction composée  »  et
  • la « dérivée logarithmique partielle de la fonction   relativement à   à   figé » par « » [19]  c'est aussi la « dérivée partielle relativement à   à   figé de la fonction composée  »  ;

Différentielle d'une fonction d'une variable, laquelle est fonction de deux autres variables indépendantes, théorème de dérivation partielle d'une fonction composéeModifier

     Soit d'une part la « fonction scalaire   de deux variables réelles indépendantes   dérivable partiellement relativement à   à   figé  et relativement à   à   figé  en   ainsi que
     Soit d'autre part la « fonction scalaire   d'une variable réelle   dérivable en  »,

     nous en déduisons la « différentiabilité de la fonction scalaire composée   des deux variables réelles indépendantes   en  », la « différentielle de   en  » s'écrivant

« » [26] ;

     parallèlement, la « fonction scalaire   des deux variables réelles indépendantes   étant différentiable en  », la « différentielle de   en  » s'écrit

« » [26]
pouvant s'écrire encore, en posant « »,
« » ;

     de même, la « fonction scalaire   de la variable réelle   étant différentiable en  », la « différentielle de   en  » s'écrit

« » [28] ;

     reportant l'expression « » dans « » nous obtenons la « différentielle de   en   c.-à-d. l'expression de   en  » soit « » à identifier à   ou encore

avec « », « »,
  avec « », « » ;

     par identification des deux expressions de   nous en déduisons le « théorème de dérivation partielle d'une fonction scalaire composée   dans laquelle   est une fonction de deux variables indépendantes   et   une fonction scalaire de la variable  » :

Début d’un théorème
Fin du théorème

Différentielle d'une fonction de deux variables, lesquelles sont fonctions d'une seule variable ou de deux autres variables indépendantes, extension du théorème de dérivation (partielle) d'une fonction composéeModifier

Différentielle d'une fonction de deux variables, lesquelles sont fonctions d'une seule variableModifier

     Soit d'une part la « fonction   d'une variable réelle   à valeurs dans   dérivable en   ainsi que
     Soit d'autre part la « fonction scalaire   de deux variables réelles indépendantes   dérivable partiellement relativement à   à   figé  et relativement à   à   figé  en  »,

     nous en déduisons la « différentiabilité de la fonction scalaire composée   de la variable réelle   en  », la « différentielle de   en  » s'écrivant

« » [28] ;

     parallèlement, la « fonction   de la variable réelle   à valeurs dans   étant différentiable en  », la « différentielle de   en  » s'écrit

« » [29] ;

     de même, la « fonction scalaire   des deux variables réelles indépendantes   étant différentiable en  », la « différentielle de   en  » s'écrit

« » [26]
avec « » et « » ;

     reportant les expressions « » et « » dans « » nous obtenons la « différentielle de   en   c.-à-d.   en  » soit « » à identifier à   ou encore

avec « », « »,
avec « », « » ;

     par identification des deux expressions de   nous en déduisons l'« extension du théorème de dérivation d'une fonction scalaire composée   dans laquelle   est une fonction de la variable   à valeurs dans   et   une fonction de deux variables indépendantes  » :

Début d’un théorème
Fin du théorème

Différentielle d'une fonction de deux variables, lesquelles sont fonctions d'une autres variables indépendantesModifier

     Soit d'une part la « fonction   de deux variables réelles indépendantes   à valeurs dans   dérivable partiellement relativement à   à   figé  et relativement à   à   figé  en  » ainsi que
     Soit d'autre part la « fonction scalaire   de deux autres variables réelles indépendantes   dérivable partiellement relativement à   à   figé  et relativement à   à   figé  en    »,

     nous en déduisons la « différentiabilité de la fonction scalaire composée   des deux variables réelles indépendantes   en  », la « différentielle de   en  » s'écrivant

« » [26] ;

     parallèlement, la « fonction   des deux variables réelles indépendantes   à valeurs dans   étant différentiable en  », la « différentielle de