Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Fonction de plusieurs variables indépendantes

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     Pour simplifier l'exposé nous nous placerons dans le cas de deux variables indépendantes, la « généralisation à plus de deux s'imaginant aisément » .

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Définition d'une fonction scalaire à deux variables indépendantes

Définition

     Soient deux variables $\;(x,\,y)\;$ réelles indépendantes, on définit une fonction scalaire de ces deux variables selon «$\;(x,\,y)\;{\overset {f}{\rightarrow }}\;f(x,\,y)\in \mathbb {R} ,\;\forall \;(x,\,y)\in \mathbb {R} ^{2}\;$» ;      si on fixe une des variables, alors on obtient une fonction scalaire d'une variable et on peut lui appliquer toutes les propriétés d'une fonction scalaire d'une variable  ; par exemple si on fixe $\;y\;$ à la valeur $\;y_{0}\;$ on obtient la fonction scalaire $\;f_{y_{0}}\;$ de la variable $\;x\;$ suivante «$\;x\;{\overset {f_{y_{0}}}{\rightarrow }}\;f(x,\,y_{0})\in \mathbb {R} ,\;\forall \;x\in \mathbb {R} \;$».

Graphe d'une fonction scalaire de deux variables indépendantes en fonction de ces dernières

Représentation du graphe d'une fonction scalaire de deux variables indépendantes dans un repère à trois dimensions

     Le plus facile à concevoir $\;{\big (}$mais non le plus pratique${\big )}\;$ consiste à représenter le graphe dans un repère à trois dimensions $\;(O,\,{\overrightarrow {x'x}},\,{\overrightarrow {y'y}},\,{\overrightarrow {z'z}})$, les axes $\;({\overrightarrow {x'x}},\,{\overrightarrow {y'y}})\;$ permettant de préciser les valeurs des deux variables indépendantes $\;(x,\,y)\;$ et l'axe $\;({\overrightarrow {z'z}})\;$ la valeur de $\;f(x,\,y)\;$ correspondante ; le graphe de la fonction dans ce repère est alors la surface d'équation «$\;z=f(x,\,y)\;$»  ;

     exemples : pour les différents points d'un terrain on peut définir l'altitude par la fonction «$\;(x,\,y)\;{\overset {f}{\rightarrow }}\;{\text{altitude}}=f(x,\,y)\;$» mais aussi
     exemples : pour les différents points d'un terrain on peut définir la composition surfacique en lombrics par «$\;(x,\,y)\;{\overset {g}{\rightarrow }}\;{\text{nbre de lombrics}}\!\cdot \!m^{-2}=g(x,\,y)\;$» ou
     exemples : pour les différents points d'un terrain on peut définir d'autres grandeurs encore $\ldots$

Représentation du graphe d'une fonction scalaire de deux variables indépendantes à l'aide de courbes de niveaux dans un repère à deux dimensions

     Dans l'exemple de l'altitude, il existe une façon plus pratique utilisant un repère à deux dimensions $\;(O,\,{\overrightarrow {x'x}},\,{\overrightarrow {y'y}})\;$ consistant à tracer, sur ce repère, les courbes de niveaux $\;-\;$ par exemple la courbe de niveau $\;z_{0}\;$ est la courbe joignant les points${\underline {\;(x,\,y)\;}}$dont l'image par${\underline {\;f\;}}$est${\underline {\;z_{0}}}$ $\;-\;$ on trace alors les courbes de niveaux pour les niveaux «$\;z_{0}\pm n\,\Delta z,\;\;n\in \mathbb {N} ^{*}\;$» , si les courbes sont très resserrées cela signifie que l'altitude varie très rapidement alors que si elles sont très écartées l'altitude varie très lentement ;

     on peut bien sûr étendre cela à n'importe quelle fonction de deux variables indépendantes en traçant dans un repère à deux dimensions les courbes de niveaux c.-à-d. les courbes joignant les points${\underline {\;(x,\,y)\;}}$dont l'image par${\underline {\;f\;}}$est de valeur constante .

Graphe d'une fonction scalaire de plus de deux variables indépendantes

     Pour fixer le propos, considérons une fonction scalaire à trois variables indépendantes «$\;(x,\,y,\,z)\;{\overset {f}{\rightarrow }}\;f(x,\,y,\,z)\in \mathbb {R} ,\;\forall \;(x,\,y,\,z)\in \mathbb {R} ^{3}\;$» ; par exemple la température ou la pression en chaque point de l'espace ;

     il est impossible de généraliser la 1^ère représentation car ceci nécessiterait de définir un repère à quatre dimensions ce que notre cerveau est incapable de représenter ;

     par contre la généralisation de la 2^ème représentation nécessitant de définir un repère à trois dimensions et des niveaux associés à des valeurs de $\;f(x,\,y,\,z)\;$ constante, est possible $\;-\;$ même si cela reste peu pratique $\;-\;$ on obtiendrait alors des « surfaces de niveaux » $\;-\;$ par exemple dans le cas de la température en chaque point de l'espace, la surface isotherme $\;0\,{\text{°C}}\;$ ;

     les surfaces de niveaux restant d'utilisation peu pratique, on peut peaufiner leur connaissance en représentant diverses coupes par un plan $\;\parallel \;$ à $\;xOz\;$ ou par un plan $\;\parallel \;$ à $\;yOz\;$ ou encore par un plan $\;\parallel \;$ à $\;xOy$, l'avantage étant que ces coupes donnant des courbes dans un repère à deux dimensions sont facilement transportables.

Dérivées partielles relativement à chaque variable d'une fonction scalaire de deux variables indépendantes

     Soient deux variables $\;(x,\,y)\;$ réelles indépendantes, et la fonction scalaire $\;f\;$ de ces deux variables

«$\;(x,\,y)\;{\overset {f}{\rightarrow }}\;f(x,\,y)\in \mathbb {R} ,\;\forall \;(x,\,y)\in \mathbb {R} ^{2}\;$»

     dont on veut étudier la variation en fonction de chaque variable en définissant des dérivées adéquates.

Définition des dérivées partielles

     Si on fige une des variables ${\big (}$par exemple $\;y{\big )}$, la fonction devient $\;-\;$ pendant la durée du maintien constant de la variable $\;-\;$ fonction d'une seule variable ${\big (}$sur l'exemple, fonction de $\;x{\big )}\;$ notée $\;f_{y}(x)\;$ et sachant définir la dérivée d'une fonction d'une variable ${\big (}$sur l'exemple, de la variable $\;x{\big )}$, on obtient la variation de $\;f\;$ relativement à $\;x\;$ à $\;y\;$ figé par : $\;{\dfrac {df_{y}}{dx}}(x)\;$ que l'on notera «$\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!\!y}(x,\,y)\;$» , appelée « dérivée partielle de $\;f\;$ par rapport à $\;x\;$ à $\;y\;$ figé, calculée au point $\;(x,\,y)\;$»  ;

     si on fige l'autre variable ${\big (}$donc la variable $\;x{\big )}$, la fonction devient $\;-\;$ pendant la durée du maintien constant de la variable $\;-\;$ fonction de la seule variable $\;y\;$ notée $\;f_{x}(y)\;$ et sachant définir la dérivée d'une fonction de la variable $\;y$, on obtient la variation de $\;f\;$ relativement à $\;y\;$ à $\;x\;$ figé par : $\;{\dfrac {df_{x}}{dy}}(y)\;$ que l'on notera «$\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!\!x}(x,\,y)\;$» , appelée « dérivée partielle de $\;f\;$ par rapport à $\;y\;$ à $\;x\;$ figé, calculée au point $\;(x,\,y)\;$» .

Exemple de calcul de dérivées partielles

     Calculer les dérivées partielles premières de la fonction $\;f\;$ définie par «$\;f(x,\,y)=x\,\sin \!\left(x^{2}+y^{2}\right)\;$» :

• dérivée partielle de $\;f\;$ par rapport $\;y\;$ à $\;x\;$ figé : «$\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!\!x}(x,\,y)=x\,\cos \!\left(x^{2}+y^{2}\right)\,2\,y=2\,x\,y\,\cos \!\left(x^{2}+y^{2}\right)\;$» ,
• dérivée partielle de $\;f\;$ par rapport $\;x\;$ à $\;y\;$ figé : «$\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!\!y}(x,\,y)=\sin \!\left(x^{2}+y^{2}\right)+x\,\cos \!\left(x^{2}+y^{2}\right)\,2\,x\;$» dérivée partielle qui finalement se réécrit selon «$\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!\!y}(x,\,y)=\sin \!\left(x^{2}+y^{2}\right)+2\,x^{2}\,\cos \!\left(x^{2}+y^{2}\right)\;$».

Vérification du théorème de Schwarz sur un exemple

     Le théorème de Schwarz énonce : « lors du calcul d'une dérivée partielle seconde croisée, on peut effectuer les dérivations successives dans n'importe quel ordre » c.-à-d.

«$\;\left[{\dfrac {\partial }{\partial y}}\!\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!\!y}\right]_{\!x}\!(x,\,y)=\left[{\dfrac {\partial }{\partial x}}\!\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!\!x}\right]_{\!y}\!(x,\,y)\;$».

     Vérification sur l'exemple du paragraphe précédent : $\;f(x,\,y)=x\,\sin \!\left(x^{2}+y^{2}\right)\;$ :

• dérivée partielle de $\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!\!x}(x,\,y)=2\,x\,y\,\cos \!\left(x^{2}+y^{2}\right)\;$ par rapport $\;x\;$ à $\;y\;$ figé : «$\;\left[{\dfrac {\partial }{\partial x}}\!\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!\!x}\right]_{\!y}\!(x,\,y)=2\,y\,\cos \!\left(x^{2}+y^{2}\right)-2\,x\,y\,\sin \!\left(x^{2}+y^{2}\right)2\,x\;$» ,
  soit finalement «$\;\left[{\dfrac {\partial }{\partial x}}\!\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!\!x}\right]_{\!y}\!(x,\,y)=2\,y\,\cos \!\left(x^{2}+y^{2}\right)-4\,x^{2}\,y\,\sin \!\left(x^{2}+y^{2}\right)\;$»,
• dérivée partielle de $\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!\!y}(x,\,y)=\sin \!\left(x^{2}+y^{2}\right)+2\,x^{2}\,\cos \!\left(x^{2}+y^{2}\right)\;$ par rapport $\;y\;$ à $\;x\;$ figé : «$\;\left[{\dfrac {\partial }{\partial y}}\!\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!\!y}\right]_{\!x}\!(x,\,y)=2\,y\,\cos \!\left(x^{2}+y^{2}\right)-2\,x^{2}\sin \!\left(x^{2}+y^{2}\right)2\,y\;$» ,
  soit finalement «$\;\left[{\dfrac {\partial }{\partial y}}\!\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!\!y}\right]_{\!x}\!(x,\,y)=2\,y\,\cos \!\left(x^{2}+y^{2}\right)-4\,x^{2}\,y\,\sin \!\left(x^{2}+y^{2}\right)\;$» bien identique à la dérivée seconde précédente.

     Conséquence : Du fait du théorème de Schwartz les dérivées secondes croisées seront notées indifféremment «$\;{\dfrac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}\;$» ou «$\;{\dfrac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}}\;$».

Définition des dérivées logarithmiques partielles

     À partir de la « fonction scalaire $\;f\;$ de deux variables réelles indépendantes $\;\left(x\,,\,y\right)\;$ dérivable partiellement relativement à $\;x\;$ à $\;y\;$ figé $\;{\big (}$ou relativement à $\;y\;$ à $\;x\;$ figé${\big )}\;$ en $\;\left(x_{0}\,,\,y_{0}\right)\;$ et telle que $\;f(x_{0}\,,\,y_{0})\;$ soit $\;\neq 0\;$», on définit le « nombre dérivé logarithmique partiel de $\;f\;$ relativement à $\;x\;$ à $\;y\;$ figé $\;{\big (}$ou relativement à $\;y\;$ à $\;x\;$ figé${\big )}\;$ en $\;\left(x_{0}\,,\,y_{0}\right)\;$» selon

«$\;{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y}(x_{0}\,,\,y_{0})}{f(x_{0}\,,\,y_{0})}}\;$» dans lequel $\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y}(x_{0}\,,\,y_{0})\;$ est le nombre dérivé logarithmique partiel de $\;f\;$ relativement à $\;x\;$ à $\;y\;$ figé en $\;\left(x_{0}\,,\,y_{0}\right)\;$ ou
«$\;{\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x}(x_{0}\,,\,y_{0})}{f(x_{0}\,,\,y_{0})}}\;$» dans lequel $\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x}(x_{0}\,,\,y_{0})\;$ est le nombre dérivé logarithmique partiel de $\;f\;$ relativement à $\;y\;$ à $\;x\;$ figé en $\;\left(x_{0}\,,\,y_{0}\right)$.

     Fonctions dérivées logarithmiques partielles d'une fonction scalaire de deux variables réelles indépendantes : Si la fonction scalaire $\;f\;$ de deux variables réelles indépendantes $\;\left(x\,,\,y\right)\;$ est dérivable partiellement relativement à $\;x\;$ à $\;y\;$ figé $\;{\big \{}$ou relativement à $\;y\;$ à $\;x\;$ figé${\big \}}\;$ sur un domaine $\;I_{x}\subseteq \mathbb {R} ^{2}\;$ de dérivabilité partielle relativement à $\;x\;$ à $\;y\;$ figé $\;{\big \{}$ou sur un domaine $\;I_{y}\subseteq \mathbb {R} ^{2}\;$ de dérivabilité partielle relativement à $\;y\;$ à $\;x\;$ figé${\big \}}$, la fonction dérivée partielle de $\;f\;$ relativement à $\;x\;$ à $\;y\;$ figé $\;{\big \{}$ou relativement à $\;y\;$ à $\;x\;$ figé${\big \}}\;$ est définie par «$\;\forall \;\left(x\,,\,y\right)\in I_{x},\;\;\left(x\,,\,y\right)\;{\overset {{f'}_{\!x}}{\rightarrow }}\;{f'}_{\!x}(x\,,\,y)=\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y}(x\,,\,y)\;$» $\;{\bigg \{}$ou par «$\;\forall \;\left(x\,,\,y\right)\in I_{y},\;\;\left(x\,,\,y\right)\;{\overset {{f'}_{\!y}}{\rightarrow }}\;{f'}_{\!y}(x\,,\,y)=\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x}(x\,,\,y)\;$» ${\bigg \}}\;$ et
     Fonctions dérivées logarithmiques partielles d'une fonction scalaire de deux variables réelles indépendantes : si l'image de $\;I_{x}\;$ ${\big \{}$ou de $\;I_{y}{\big \}}\;$ par $\;f\;$ ne contient pas $\;0\;$ c.-à-d. «$\;f(I_{x})\nsupseteq \left\lbrace 0\right\rbrace \;$» ${\big \{}$ou $\;f(I_{y})\nsupseteq \left\lbrace 0\right\rbrace {\big \}}\;$ ou «$\;\forall \;\left(x\,,\,y\right)\in I_{x},\;\;f(x\,,\,y)\neq 0\;$» ${\big \{}$ou $\;\forall \;\left(x\,,\,y\right)\in I_{y},\;\;f(x\,,\,y)\neq 0{\big \}}\;$,
     Fonctions dérivées logarithmiques partielles d'une fonction scalaire de deux variables réelles indépendantes : « ses nombres dérivés logarithmiques partiels de $\;f\;$ relativement à $\;x\;$ à $\;y\;$ figé en $\;\left(x_{0}\,,\,y_{0}\right)$ $\;{\dfrac {{f'}_{\!x}(x_{0}\,,\,y_{0})}{f(x_{0}\,,\,y_{0})}}\;$ définis pour chaque couple $\;\left(x_{0}\,,\,y_{0}\right)\in I_{x}\;$» sont les « images de $\;(x_{0}\,,\,y_{0})\;$ par une fonction $\;h_{x}\;$» définie par «$\;\forall \;\left(x\,,\,y\right)\in I_{x},\;\;(x\,,\,y)\;{\overset {h_{x}}{\rightarrow }}\;h_{x}(x\,,\,y)={\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y}(x\,,\,y)}{f(x\,,\,y)}}\;$» appelée « dérivée logarithmique partielle de la fonction $\;f\;$ relativement à $\;x\;$ à $\;y\;$ figé » $\;{\big \{}$c'est aussi la « dérivée partielle relativement à $\;x\;$ à $\;y\;$ figé de la fonction composée $\;\left[\ln \,\circ \;{\big \vert }\;{\big \vert }\right]\circ f=\ln \left[{\big \vert }\,f\,{\big \vert }\right]\;$»${\big \}}\;$ et
     Fonctions dérivées logarithmiques partielles d'une fonction scalaire de deux variables réelles indépendantes : « ses nombres dérivés logarithmiques partiels de $\;f\;$ relativement à $\;y\;$ à $\;x\;$ figé en $\;\left(x_{0}\,,\,y_{0}\right)$ $\;{\dfrac {{f'}_{\!y}(x_{0}\,,\,y_{0})}{f(x_{0}\,,\,y_{0})}}\;$ définis pour chaque couple $\;\left(x_{0}\,,\,y_{0}\right)\in I_{y}\;$» sont les « images de $\;(x_{0}\,,\,y_{0})\;$ par une fonction $\;h_{y}\;$» définie par «$\;\forall \;\left(x\,,\,y\right)\in I_{y},\;\;(x\,,\,y)\;{\overset {h_{y}}{\rightarrow }}\;h_{y}(x\,,\,y)={\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x}(x\,,\,y)}{f(x\,,\,y)}}\;$» appelée « dérivée logarithmique partielle de la fonction $\;f\;$ relativement à $\;y\;$ à $\;x\;$ figé » $\;{\big \{}$c'est aussi la « dérivée partielle relativement à $\;y\;$ à $\;x\;$ figé de la fonction composée $\;\left[\ln \,\circ \;{\big \vert }\;{\big \vert }\right]\circ f=\ln \left[{\big \vert }\,f\,{\big \vert }\right]\;$»${\big \}}$.

Différentielle d'une fonction de deux variables indépendantes

     Soient deux variables $\;(x,\,y)\;$ réelles indépendantes, et la fonction scalaire $\;f\;$ de ces deux variables

«$\;(x,\,y)\;{\overset {f}{\rightarrow }}\;f(x,\,y)\in \mathbb {R} ,\;\forall \;(x,\,y)\in \mathbb {R} ^{2}\;$»

     dont on veut définir la notion de différentielle comme cela a été fait pour une fonction d'une variable à partir de la dérivée de cette fonction par rapport à la variable et de la différentielle de la variable, à la différence près qu'ici il y a deux variables et deux dérivées partielles $\;\ldots$

Petite variation de la fonction des deux variables indépendantes sur un pavé de ces deux variables de petite extension

     On définit la petite variation de la fonction $\;f\;$ sur le pavé $\;[x_{0},\,x_{0}+\delta x]\times [y_{0},\,y_{0}+\delta y]\;$ par

«$\;\delta f\;{\overset {\text{déf}}{=}}\;f(x_{0}+\delta x,\,y_{0}+\delta y)-f(x_{0},\,y_{0})\;$» ;

     par généralisation de l'approximation linéaire à une fonction de deux variables indépendantes, on établit la relation suivante :

«$\;\delta f\;{\underset {\text{lin}}{\overset {\text{approx}}{=}}}\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!\!y}\!(x_{0},\,y_{0})\,\delta x+\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!\!x}\!(x_{0},\,y_{0})\,\delta y+\varepsilon (\delta x,\,\delta y)\;$»
avec «$\;{\underset {\delta x\rightarrow 0}{\lim }}{\dfrac {\varepsilon (\delta x,\,\delta y)}{\delta x}}=0\;$ et $\;{\underset {\delta y\rightarrow 0}{\lim }}{\dfrac {\varepsilon (\delta x,\,\delta y)}{\delta y}}=0\;$».

     Démonstration de l'applicabilité de l'approximation linéaire à la fonction f(x, y)

     Transformer «$\;f(x_{0}+\delta x,\,y_{0}+\delta y)-f(x_{0},\,y_{0})\;$» en retranchant $\;f(x_{0},\,y_{0}+\delta y)\;$ et en l'ajoutant, ainsi on obtient :

«$\;\delta f=f(x_{0}+\delta x,\,y_{0}+\delta y)-f(x_{0},\,y_{0}+\delta y)+f(x_{0},\,y_{0}+\delta y)-f(x_{0},\,y_{0})\;$» dans laquelle

• la différence des deux 1^ers termes «$\;f(x_{0}+\delta x,\,y_{0}+\delta y)-f(x_{0},\,y_{0}+\delta y)\;$» correspond à une « petite variation de $\;f\;$ à $\;y\;$ figé à la valeur $\;y_{0}+\delta y\;$» et
•             celle des deux derniers      «$\;f(x_{0},\,y_{0}+\delta y)-f(x_{0},\,y_{0})\;$» correspond                    à une «petite variation de $\;f\;$ à $\;x\;$ figé à la valeur $\;x_{0}\;$» d'où :

«$\;\delta f=\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!\!y}\!(x_{0},\,y_{0}+\delta y)\,\delta x+\varepsilon _{x}(\delta x)+\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!\!x}\!(x_{0},\,y_{0})\,\delta y+\varepsilon _{y}(\delta y)\;$»  ;      pour terminer on applique l'approximation linéaire à la fonction du 1^er terme «$\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!\!y}\!(x_{0},\,y_{0}+\delta y)\;$», considérée comme fonction de $\;y\;$ à $\;x\;$ figé, que l'on notera «$\;g(x_{0},\,y_{0}+\delta y)\;$» pour simplifier l'exposé d'où «$\;g(x_{0},\,y_{0}+\delta y)=g(x_{0},\,y_{0})+\left({\dfrac {\partial g}{\partial y}}\right)_{\!\!x}\!(x_{0},\,y_{0})\,\delta y+\varepsilon _{1}(\delta y)\;$» avec «$\;{\underset {\delta y\rightarrow 0}{\lim }}{\dfrac {\varepsilon _{1}(\delta y)}{\delta y}}=0\;$»,      ou en revenant à la fonction d'origine «$\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!\!y}\;$», «$\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!\!y}\!(x_{0},\,y_{0}+\delta y)=\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!\!y}\!(x_{0},\,y_{0})+\left[{\dfrac {\partial }{\partial y}}\!\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!\!y}\right]_{\!\!x}\!(x_{0},\,y_{0})\,\delta y+\varepsilon _{1}(\delta y)\;$» avec «$\;{\underset {\delta y\rightarrow 0}{\lim }}{\dfrac {\varepsilon _{1}(\delta y)}{\delta y}}=0\;$», mais $\ldots$      « comme le terme $\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!\!y}\!(x_{0},\,y_{0}+\delta y)\;\delta x\;$ apparaissant dans $\;\delta f\;$ s'obtient en multipliant $\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!\!y}\!(x_{0},\,y_{0}+\delta y)\;$ par $\;\delta x\;$», il suffit de conserver, dans le développement du produit,

• le 1^er terme «$\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!\!y}\!(x_{0},\,y_{0})\,\delta x\;$»,
• les deux autres «$\;\left[{\dfrac {\partial }{\partial y}}\!\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!\!y}\right]_{\!\!x}\!(x_{0},\,y_{0})\,\delta y\,\delta x\;$» ainsi que «$\;\varepsilon _{1}(\delta y)\,\delta x\;$» tendant vers $\;0\;$ plus rapidement que $\;\delta x\;$ ou que $\;\delta y\;$ et se retrouvant dans «$\;\varepsilon (\delta x,\,\delta y)\;$»

     d'où le résultat que l'on se proposait de justifier $\ldots$

 

En physique on note «$\;\delta f\;{\underset {\textbf {lin}}{\overset {\textbf {approx}}{\simeq }}}\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!\!y}\!(x_{0},\,y_{0})\,\delta x+\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!\!x}\!(x_{0},\,y_{0})\,\delta y\;$».

Définition de la différentielle d'une fonction de deux variables indépendantes

Définition

«$\;df\;{\overset {\text{déf}}{=}}\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!\!y}\!(x_{0},\,y_{0})\,dx\,+\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!\!x}\!(x_{0},\,y_{0})\,dy\;$»
$\;dx\;$ et $\;dy\;$ étant a priori quelconques, mais toujours choisis infiniment petits « en physique ».

Propriété de la différentielle d'une fonction de deux variables indépendantes dans son utilisation en physique

Propriété de df en physique où dx et dy sont des infiniment petits

Dans la mesure où $\;dx\;$ et $\;dy\;$ sont des infiniment petits de même ordre,
«$\;df\;{\overset {\textbf {prop}}{=}}\;f(x_{0}+dx,\,y_{0}+dy)-f(x_{0},\,y_{0})\;$».

     Justification : $\;df\;$ s'identifie à $\;\delta \!f\;$ quand $\;\delta x\rightarrow 0\;$ et $\;\delta y\rightarrow 0\;$ selon l'approximation linéaire,
     Justification : or par définition $\;\delta \!f=f(x_{0}+\delta x,\,y_{0}+\delta y)-f(x_{0},\,y_{0})\;$ devient, à la limite où $\;\delta x\rightarrow 0\;$ et $\;\delta y\rightarrow 0$,
     Justification : or par définition $\;\color {transparent}{\delta \!f}$ $=f(x_{0}+dx,\,y_{0}+dy)-f(x_{0},\,y_{0})$, $\;dx\;$ se substituant à $\;\delta x\;$ et $\;dy\;$ à $\;\delta y$.

Quelques règles de calcul de la différentielle d'une fonction de deux variables indépendantes

     Ce sont les mêmes que celles de calcul de la différentielle d'une fonction d'une variable à savoir :

• $\;d\!\left(u+v\right)=du+dv$,
• $\;d\!\left(cste\right)=0$,
• $\;d\!\left(u\,v\right)=(du)\,v+u\,(dv)$,
• $\;d\!\left({\dfrac {u}{v}}\right)={\dfrac {(du)\,v-u\,(dv)}{v^{2}}}$.

Exemple de calcul de la différentielle d'une fonction de deux variables indépendantes

     Soit à calculer la différentielle de «$\;f(x,\,y)=x\,\sin \left(x^{2}+y^{2}\right)\;$» ; nous voyons deux méthodes,

• l'une utilisant les règles de différenciation précédentes ainsi que la différenciation de fonctions composées,
• l'autre calculant au préalable les dérivées partielles et utilisant la définition de la différentielle.

Par calcul direct utilisant les règles de différenciation précédemment introduites

     «$\;df=(dx)\,\sin \!\left(x^{2}+y^{2}\right)+x\,d\!\left[\sin \!\left(x^{2}+y^{2}\right)\right]\;$» avec

• «$\;d\!\left[\sin \left(x^{2}+y^{2}\right)\right]=cos\left(x^{2}+y^{2}\right)\,d\!\left[x^{2}+y^{2}\right]\;$»,
• «$\;d\!\left[x^{2}+y^{2}\right]=d\!\left[x^{2}\right]+d\!\left[y^{2}\right]\;$», enfin
• «$\;d\!\left[x^{2}\right]=2\,x\,dx\;$» et «$\;d\!\left[y^{2}\right]=2\,y\,dy\;$»,

     finalement on obtient, en regroupant toutes les informations, «$\;df=\sin \!\left(x^{2}+y^{2}\right)\,dx+x\,\cos \!\left(x^{2}+y^{2}\right)\,\left[2\,x\,dx+2\,y\,dy\right]\;$» ou

«$\;df=\left[\sin \left(x^{2}+y^{2}\right)+2\,x^{2}\,\cos \left(x^{2}+y^{2}\right)\right]dx+2\,x\,y\,\cos \left(x^{2}+y^{2}\right)\,dy\;$».

Par calcul préalable des dérivées partielles

     Ces calculs ayant déjà été faits on rappelle les résultats :

• «$\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!\!y}(x,\,y)=\sin \!\left(x^{2}+y^{2}\right)+2\,x^{2}\,\cos \!\left(x^{2}+y^{2}\right)\;$» et
• «$\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!\!x}(x,\,y)=2\,x\,y\,\cos \!\left(x^{2}+y^{2}\right)\;$» d'où :

     «$\;df=\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!\!y}\!(x,\,y)\,dx\,+\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!\!x}\!(x,\,y)\,dy=\left[\sin \!\left(x^{2}+y^{2}\right)+2\,x^{2}\,\cos \!\left(x^{2}+y^{2}\right)\right]dx+2\,x\,y\,\cos \!\left(x^{2}+y^{2}\right)dy\;$» .

Définition de la différentielle logarithmique d'une fonction de deux variables indépendantes

     À partir de la « fonction scalaire $\;f\;$ de deux variables réelles indépendantes $\;\left(x\,,\,y\right)\;$ dérivable partiellement relativement à $\;x\;$ à $\;y\;$ figé $\;{\big (}$et relativement à $\;y\;$ à $\;x\;$ figé${\big )}\;$ en $\;\left(x_{0}\,,\,y_{0}\right)\;$ et telle que $\;f(x_{0}\,,\,y_{0})\;$ soit $\;\neq 0\;$», on a défini, au paragraphe « définition des dérivées logarithmiques partielles » plus haut dans ce chapitre,

• la « dérivée logarithmique partielle de la fonction $\;f\;$ relativement à $\;x\;$ à $\;y\;$ figé » par «$\;\forall \;\left(x\,,\,y\right)\in I_{x},\;\;(x\,,\,y)\;{\overset {h_{x}}{\rightarrow }}\;h_{x}(x\,,\,y)={\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial x}}\right)_{\!y}(x\,,\,y)}{f(x\,,\,y)}}\;$» $\;{\big \{}$c'est aussi la « dérivée partielle relativement à $\;x\;$ à $\;y\;$ figé de la fonction composée $\;\left[\ln \,\circ \;{\big \vert }\;{\big \vert }\right]\circ f=\ln \left[{\big \vert }\,f\,{\big \vert }\right]\;$»${\big \}}$ et
• la « dérivée logarithmique partielle de la fonction $\;f\;$ relativement à $\;y\;$ à $\;x\;$ figé » par «$\;\forall \;\left(x\,,\,y\right)\in I_{y},\;\;(x\,,\,y)\;{\overset {h_{y}}{\rightarrow }}\;h_{y}(x\,,\,y)={\dfrac {\left({\dfrac {\partial f}{\partial y}}\right)_{\!x}(x\,,\,y)}{f(x\,,\,y)}}\;$» $\;{\big \{}$c'est aussi la « dérivée partielle relativement à $\;y\;$ à $\;x\;$ figé de la fonction composée $\;\left[\ln \,\circ \;{\big \vert }\;{\big \vert }\right]\circ f=\ln \left[{\big \vert }\,f\,{\big \vert }\right]\;$»${\big \}}$ ;

Définition de la différentielle logarithmique de la fonction $\;f\;$ en $\;(x_{0}\,,\,y_{0})$

     La différentielle logarithmique de $\;f\;$ pour le couple de valeurs $\;\left(x_{0}\,,\,y_{0}\right)\;$ des variables $\;\left(x\,,\,y\right)\;$ du domaine de dérivabilité logarithmique $\;{I'}_{\!x}\cap {I'}_{\!y}\;$ est définie, à partir des dérivées logarithmiques partielles de $\;f$, notées $\;h_{x}\;$ et $\;h_{y}\;$, respectivement caractérisées par «$\;\forall \;(x\,,\,y)\in {I'}_{\!x},\;$ $\;(x\,,\,y)\;{\overset {h_{x}}{\rightarrow }}\;h_{x}(x\,,\,y)={\dfrac {{f'}_{\!x}(x\,,\,y)}{f(x\,,\,y)}}\;$» et par «$\;\forall \;(x\,,\,y)\in {I'}_{\!y},\;\;(x\,,\,y)\;{\overset {h_{y}}{\rightarrow }}\;h_{y}(x\,,\,y)={\dfrac {{f'}_{\!y}(x\,,\,y)}{f(x\,,\,y)}}\;$» , selon «$\;h_{x}(x_{0}\,,\,y_{0})\,dx+h_{y}(x_{0}\,,\,y_{0})\,dy={\dfrac {{f'}_{\!x}(x_{0}\,,\,y_{0})}{f(x_{0}\,,\,y_{0})}}\;dx+{\dfrac {{f'}_{\!y}(x_{0}\,,\,y_{0})}{f(x_{0}\,,\,y_{0})}}\;dy={\dfrac {{f'}_{\!x}(x_{0}\,,\,y_{0})\;dx+{f'}_{\!y}(x_{0}\,,\,y_{0})\;dy}{f(x_{0}\,,\,y_{0})}}$
«$\;\color {transparent}{h_{x}(x_{0}\,,\,y_{0})\,dx+h_{y}(x_{0}\,,\,y_{0})\,dy={\dfrac {{f'}_{\!x}(x_{0}\,,\,y_{0})}{f(x_{0}\,,\,y_{0})}}\;dx+{\dfrac {{f'}_{\!y}(x_{0}\,,\,y_{0})}{f(x_{0}\,,\,y_{0})}}\;dy}$ $={\dfrac {df}{f(x_{0}\,,\,y_{0})}}\;$» dans laquelle             
«$\;df={f'}_{\!x}(x_{0}\,,\,y_{0})\;dx+{f'}_{\!y}(x_{0}\,,\,y_{0})\;dy\;$ est la différentielle de $\;f\;$ pour le couple de valeurs $\;\left(x_{0}\,,\,y_{0}\right)\;$» .

Différentielle d'une fonction d'une variable, laquelle est fonction de deux autres variables indépendantes, théorème de dérivation partielle d'une fonction composée

     Soit d'une part la « fonction scalaire $\;\varphi \;$ de deux variables réelles indépendantes $\;\left(x\,,\,y\right)\;$ dérivable partiellement relativement à $\;x\;$ à $\;y\;$ figé $\;{\big (}$et relativement à $\;y\;$ à $\;x\;$ figé${\big )}\;$ en $\;\left(x_{0}\,,\,y_{0}\right)\;$ ainsi que
     Soit d'autre part la « fonction scalaire $\;f\;$ d'une variable réelle $\;u\;$ dérivable en $\;u_{0}=\varphi (x_{0}\,,\,y_{0})\;$»,

     nous en déduisons la « différentiabilité de la fonction scalaire composée $\;F=f\circ \varphi \;$ des deux variables réelles indépendantes $\;\left(x\,,\,y\right)\;$ en $\;\left(x_{0}\,,\,y_{0}\right)\;$», la « différentielle de $\;F\;$ en $\;\left(x_{0}\,,\,y_{0}\right)\;$» s'écrivant

«$\;dF\;{\overset {\text{déf}}{=}}\;\left({\dfrac {\partial F}{\partial x}}\right)_{\!\!y}\!(x_{0},\,y_{0})\,dx\,+\left({\dfrac {\partial F}{\partial y}}\right)_{\!\!x}\!(x_{0},\,y_{0})\,dy\;$»  ;

     parallèlement, la « fonction scalaire $\;\varphi \;$ des deux variables réelles indépendantes $\;\left(x\,,\,y\right)\;$ étant différentiable en $\;\left(x_{0}\,,\,y_{0}\right)\;$», la « différentielle de $\;\varphi \;$ en $\;\left(x_{0}\,,\,y_{0}\right)\;$» s'écrit

«$\;d\varphi \;{\overset {\text{déf}}{=}}\;\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)_{\!\!y}\!(x_{0},\,y_{0})\,dx\,+\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial y}}\right)_{\!\!x}\!(x_{0},\,y_{0})\,dy\;$»
pouvant s'écrire encore, en posant «$\;u=\varphi (x\,,\,y)\;$»,
«$\;du\;{\overset {\text{déf}}{=}}\;\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)_{\!\!y}\!(x_{0},\,y_{0})\,dx\,+\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial y}}\right)_{\!\!x}\!(x_{0},\,y_{0})\,dy\;$» ;

     de même, la « fonction scalaire $\;f\;$ de la variable réelle $\;u=\varphi \left(x\,,\,y\right)\;$ étant différentiable en $\;u_{0}=\varphi \left(x_{0}\,,\,y_{0}\right)\;$», la « différentielle de $\;f\;$ en $\;u_{0}\;$» s'écrit

«$\;df\;\;{\overset {\text{déf}}{=}}\;\;{\dfrac {df}{du}}(u_{0})\,du=f'(u_{0})\;du\;$»  ;

     reportant l'expression «$\;du=\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)_{\!\!y}\!(x_{0},\,y_{0})\,dx\,+\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial y}}\right)_{\!\!x}\!(x_{0},\,y_{0})\,dy\;$» dans «$\;df=f'(u_{0})\;du\;$» nous obtenons la « différentielle de $\;F=f\circ \varphi \;$ en $\;\left(x_{0}\,,\,y_{0}\right)\;$ c.-à-d. l'expression de $\;dF\;$ en $\;\left(x_{0}\,,\,y_{0}\right)\;$» soit «$\;df=f'(u_{0})\;du=f'(u_{0})\left\lbrace \left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)_{\!\!y}\!(x_{0},\,y_{0})\,dx\,+\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial y}}\right)_{\!\!x}\!(x_{0},\,y_{0})\,dy\right\rbrace =f'(u_{0})\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)_{\!\!y}\!(x_{0},\,y_{0})\,dx\,+f'(u_{0})\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial y}}\right)_{\!\!x}\!(x_{0},\,y_{0})\,dy\;$» à identifier à $\;dF\;$ ou encore

avec «$\;F=f\circ \varphi \;$», «$\;dF=f\,'\!\left[\varphi (x_{0}\,,\,y_{0})\right]\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)_{\!\!y}\!(x_{0},\,y_{0})\,dx\,+f\,'\!\left[\varphi (x_{0}\,,\,y_{0})\right]\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial y}}\right)_{\!\!x}\!(x_{0},\,y_{0})\,dy\;$»,
  avec «$\;\color {transparent}{F=f\circ \varphi }\;$», «$\;dF=\qquad \qquad \left({\dfrac {\partial F}{\partial x}}\right)_{\!\!y}\!(x_{0},\,y_{0})\,dx\qquad +\qquad \qquad \left({\dfrac {\partial F}{\partial y}}\right)_{\!\!x}\!(x_{0},\,y_{0})\,dy\qquad \;$» ;

     par identification des deux expressions de $\;dF\;$ nous en déduisons le « théorème de dérivation partielle d'une fonction scalaire composée $\;F=f\circ \varphi \;$ dans laquelle $\;\varphi \;$ est une fonction de deux variables indépendantes $\;\left(x\,,\,y\right)\;$ et $\;f\;$ une fonction scalaire de la variable $\;u=\varphi (x\,,\,y)\;$» :

Début d’un théorème

Théorème de dérivation partielle d'une fonction composée dont la 1^ère est fonction scalaire de deux variables indépendantes et la 2^nde fonction scalaire d'une variable

     À partir d'une « 1^ère fonction scalaire $\;\varphi \;$ des deux variables indépendantes $\;\left(x\,,\,y\right)\;$ continue sur un pavé $\;I\times J\;$ et à valeurs dans l'intervalle $\;\varphi (I\times J)\;$» et
     À partir d'une « 2^ème fonction scalaire d'une variable, fonction notée $\;f\;$ continue sur l'intervalle $\;\varphi (I\times J)\;$»,
     nous définissons la « fonction composée $\;F=f\circ \varphi \;$ continue sur le pavé $\;I\times J\;$» ;
     si « la fonction $\;\varphi \;$ est dérivable partiellement relativement à $\;x\;$ à $\;y\;$ gelé, en $\;\left(x_{0}\,,\,y_{0}\right)\in I\times J\;$ ${\big \{}$ainsi que dérivable partiellement relativement à $\;y\;$ à $\;x\;$ gelé, en $\;\left(x_{0}\,,\,y_{0}\right)\in I\times J{\big \}}\;$» et
     si « la fonction $\;f\;$ dérivable en $\;\varphi (x_{0}\,,\,y_{0})\in \varphi (I\times J)\;$»,
     « la fonction composée $\;F=f\circ \varphi \;$ est dérivable partiellement relativement à $\;x\;$ à $\;y\;$ gelé, en $\;\left(x_{0}\,,\,y_{0}\right)\in I\times J\;$ ${\big \{}$ainsi que dérivable partiellement relativement à $\;y\;$ à $\;x\;$ gelé, en $\;\left(x_{0}\,,\,y_{0}\right)\in I\times J{\big \}}\;$» et ses nombres dérivés se déterminent par «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\left({\dfrac {\partial F}{\partial x}}\right)_{\!\!y}\!(x_{0},\,y_{0})=f\,'\!\left[\varphi (x_{0}\,,\,y_{0})\right]\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)_{\!\!y}\!(x_{0},\,y_{0})\\\left({\dfrac {\partial F}{\partial y}}\right)_{\!\!x}\!(x_{0},\,y_{0})=f\,'\!\left[\varphi (x_{0}\,,\,y_{0})\right]\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial y}}\right)_{\!\!x}\!(x_{0},\,y_{0})\end{array}}\right\rbrace \;$».

Fin du théorème

Différentielle d'une fonction de deux variables, lesquelles sont fonctions d'une seule variable ou de deux autres variables indépendantes, extension du théorème de dérivation (partielle) d'une fonction composée

Différentielle d'une fonction de deux variables, lesquelles sont fonctions d'une seule variable

     Soit d'une part la « fonction $\;g=\left\lbrace g_{1}\,,\,g_{2}\right\rbrace \;$ d'une variable réelle $\;t\;$ à valeurs dans $\;\mathbb {R} ^{2}\;$ dérivable en $\;t_{0}\;$ ainsi que
     Soit d'autre part la « fonction scalaire $\;\varphi \;$ de deux variables réelles indépendantes $\;\left(x\,,\,y\right)\;$ dérivable partiellement relativement à $\;x\;$ à $\;y\;$ figé $\;{\big (}$et relativement à $\;y\;$ à $\;x\;$ figé${\big )}\;$ en $\;\left(x_{0}\,,\,y_{0}\right)=g(t_{0})\;$»,

     nous en déduisons la « différentiabilité de la fonction scalaire composée $\;G=\varphi \circ g\;$ de la variable réelle $\;t\;$ en $\;t_{0}\;$», la « différentielle de $\;G\;$ en $\;t_{0}\;$» s'écrivant

«$\;dG\;\;{\overset {\text{déf}}{=}}\;\;{\dfrac {dG}{dt}}\!(t_{0})\;dt=G\,'(t_{0})\;dt\;$»  ;

     parallèlement, la « fonction $\;g=\left\lbrace g_{1}\,,\,g_{2}\right\rbrace \;$ de la variable réelle $\;t\;$ à valeurs dans $\;\mathbb {R} ^{2}\;$ étant différentiable en $\;t_{0}\;$», la « différentielle de $\;g\;$ en $\;t_{0}\;$» s'écrit

«$\;dg\;\;{\overset {\text{déf}}{=}}\;\;\left\lbrace {\dfrac {dg_{1}}{dt}}\!(t_{0})\,,\,{\dfrac {dg_{2}}{dt}}\!(t_{0})\right\rbrace \,dt=\left\lbrace {g\,'}_{\!1}(t_{0})\,,\,{g\,'}_{\!2}(t_{0})\right\rbrace \,dt\;$»  ;

     de même, la « fonction scalaire $\;\varphi \;$ des deux variables réelles indépendantes $\;\left(x\,,\,y\right)=g(t)=\left\lbrace g_{1}(t)\,,\,g_{2}(t)\right\rbrace \;$ étant différentiable en $\;\left(x_{0}\,,\,y_{0}\right)=g(t_{0})=\left\lbrace g_{1}(t_{0})\,,\,g_{2}(t_{0})\right\rbrace \;$», la « différentielle de $\;\varphi \;$ en $\;\left(x_{0}\,,\,y_{0}\right)\;$» s'écrit

«$\;d\varphi \;{\overset {\text{déf}}{=}}\;\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)_{\!\!y}\!(x_{0},\,y_{0})\,dx\,+\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial y}}\right)_{\!\!x}\!(x_{0},\,y_{0})\,dy\;$»
avec «$\;dx={g\,'}_{\!1}(t_{0})\;dt\;$» et «$\;dy={g\,'}_{\!2}(t_{0})\;dt\;$» ;

     reportant les expressions «$\;dx={g\,'}_{\!1}(t_{0})\;dt\;$» et «$\;dy={g\,'}_{\!2}(t_{0})\;dt\;$» dans «$\;d\varphi =\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)_{\!\!y}\!(x_{0},\,y_{0})\,dx\,+\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial y}}\right)_{\!\!x}\!(x_{0},\,y_{0})\,dy\;$» nous obtenons la « différentielle de $\;G=\varphi \circ g\;$ en $\;t_{0}\;$ c.-à-d. $\;dG\;$ en $\;t_{0}\;$» soit «$\;d\varphi =\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)_{\!\!y}\!(x_{0},\,y_{0})\,dx\,+\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial y}}\right)_{\!\!x}\!(x_{0},\,y_{0})\,dy=\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)_{\!\!y}\!(x_{0},\,y_{0})\;{g\,'}_{\!1}(t_{0})\;dt+\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial y}}\right)_{\!\!x}\!(x_{0},\,y_{0})\;{g\,'}_{\!2}(t_{0})\;dt=\left[\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)_{\!\!y}\!(x_{0},\,y_{0})\;{g\,'}_{\!1}(t_{0})+\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial y}}\right)_{\!\!x}\!(x_{0},\,y_{0})\;{g\,'}_{\!2}(t_{0})\right]\,dt\;$» à identifier à $\;dG\;$ ou encore

avec «$\;G=\varphi \circ g=\varphi \circ \left\lbrace g_{1}\,,\,g_{2}\right\rbrace \;$», «$\;dG=\left\lbrace \left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)_{\!\!y}\!\left[g_{1}(t_{0}),\,g_{2}(t_{0})\right]\;{g\,'}_{\!1}(t_{0})+\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial y}}\right)_{\!\!x}\!\left[g_{1}(t_{0}),\,g_{2}(t_{0})\right]\;{g\,'}_{\!2}(t_{0})\right\rbrace \,dt\;$»,
avec «$\;\color {transparent}{G=\varphi \circ g=\varphi \circ \left\lbrace g_{1}\,,\,g_{2}\right\rbrace }\;$», «$\;dG=\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \;\;G\,'(t_{0})\;\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \;\;dt\;$» ;

     par identification des deux expressions de $\;dG\;$ nous en déduisons l'« extension du théorème de dérivation d'une fonction scalaire composée $\;G=\varphi \circ g=\varphi \circ \left\lbrace g_{1}\,,\,g_{2}\right\rbrace \;$ dans laquelle $\;g=\left\lbrace g_{1}\,,\,g_{2}\right\rbrace \;$ est une fonction de la variable $\;t\;$ à valeurs dans $\;\mathbb {R} ^{2}\;$ et $\;\varphi \;$ une fonction de deux variables indépendantes $\;\left(x\,,\,y\right)=g(t)=\left\lbrace g_{1}(t)\,,\,g_{2}(t)\right\rbrace \;$» :

Début d’un théorème

Extension du théorème de dérivation d'une fonction composée dont la 1^ère est fonction d'une variable à valeurs dans R² et la 2^nde fonction scalaire de deux variables indépendantes

     À partir d'une « 1^ère fonction $\;g=\left\lbrace g_{1}\,,\,g_{2}\right\rbrace \;$ de la variable $\;t\;$ à valeurs dans $\;\mathbb {R} ^{2}$, continue sur un intervalle $\;I\;$ et à valeurs dans le pavé $\;g(I)=g_{1}(I)\times g_{2}(I)\;$» et
     À partir d'une « 2^ème fonction scalaire $\;f\;$ de deux variables indépendantes, continue sur le pavé $\;g(I)=g_{1}(I)\times g_{2}(I)\;$»,
     nous définissons la « fonction composée $\;G=\varphi \circ g\;$ continue sur l'intervalle $\;I\;$» ;
     si « la fonction $\;g\;$ est dérivable en $\;t_{0}\in I\;$» et
     si « la fonction $\;\varphi \;$ dérivable partiellement relativement à $\;x\;$ à $\;y\;$ gelé, en $\;\left(x_{0}\,,\,y_{0}\right)\in g(I)=g_{1}(I)\times g_{2}(I)\;$ ${\big \{}$ainsi que dérivable partiellement relativement à $\;y\;$ à $\;x\;$ gelé, en $\;\left(x_{0}\,,\,y_{0}\right)\in g(I)=g_{1}(I)\times g_{2}(I){\big \}}\;$»
     « la fonction composée $\;G=\varphi \circ g\;$ est dérivable en $\;t_{0}\in I\;$» et son nombre dérivé se détermine par «$\;G\,'(t_{0})=\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)_{\!\!y}\!\left[g_{1}(t_{0}),\,g_{2}(t_{0})\right]\;{g\,'}_{\!1}(t_{0})+\left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial y}}\right)_{\!\!x}\!\left[g_{1}(t_{0}),\,g_{2}(t_{0})\right]\;{g\,'}_{\!2}(t_{0})\;$».

Fin du théorème

Différentielle d'une fonction de deux variables, lesquelles sont fonctions d'une autres variables indépendantes

     Soit d'une part la « fonction $\;\varphi \;$ de deux variables réelles indépendantes $\;\left(x\,,\,y\right)\;$ à valeurs dans $\;\mathbb {R} ^{2}\;$ dérivable partiellement relativement à $\;x\;$ à $\;y\;$ figé $\;{\big (}$et relativement à $\;y\;$ à $\;x\;$ figé${\big )}\;$ en $\;\left(x_{0}\,,\,y_{0}\right)\;$» ainsi que
     Soit d'autre part la « fonction scalaire $\;\psi \;$ de deux autres variables réelles indépendantes $\;\left(u\,,\,v\right)\;$ dérivable partiellement relativement à $\;u\;$ à $\;v\;$ figé $\;{\big (}$et relativement à $\;v\;$ à $\;u\;$ figé${\big )}\;$ en $\;\left(u_{0}\,,\,v_{0}\right)=$ $\varphi (x_{0}\,,\,y_{0})\;$»,

     nous en déduisons la « différentiabilité de la fonction scalaire composée $\;G=\psi \circ \varphi \;$ des deux variables réelles indépendantes $\;\left(x\,,\,y\right)\;$ en $\;\left(x_{0}\,,\,y_{0}\right)\;$», la « différentielle de $\;G\;$ en $\;\left(x_{0}\,,\,y_{0}\right)\;$» s'écrivant

«$\;dG\;{\overset {\text{déf}}{=}}\;\left({\dfrac {\partial G}{\partial x}}\right)_{\!\!y}\!(x_{0},\,y_{0})\,dx\,+\left({\dfrac {\partial G}{\partial y}}\right)_{\!\!x}\!(x_{0},\,y_{0})\,dy\;$»  ;

     parallèlement, la « fonction $\;\varphi =\left\lbrace \varphi _{1}\,,\,\varphi _{2}\right\rbrace \;$ des deux variables réelles indépendantes $\;\left(x\,,\,y\right)\;$ à valeurs dans $\;\mathbb {R} ^{2}\;$ étant différentiable en $\;\left(x_{0}\,,\,y_{0}\right)\;$», la « différentielle de $\;\varphi \;$