Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Fonction de plusieurs variables indépendantes

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Fonction de plusieurs variables indépendantes
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Chapitre no 6
Leçon : Outils mathématiques pour la physique (PCSI)
Chap. préc. :Théorème de Fourier
Chap. suiv. :Produit scalaire, produit vectoriel et produit mixte
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     Pour simplifier l'exposé nous nous placerons dans le cas de deux variables indépendantes, la « généralisation à plus de deux s'imaginant aisément » [1].

Définition d'une fonction scalaire à deux variables indépendantes

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Graphe d'une fonction scalaire de deux variables indépendantes en fonction de ces dernières

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Représentation du graphe d'une fonction scalaire de deux variables indépendantes dans un repère à trois dimensions

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     Le plus facile à concevoir mais non le plus pratique consiste à représenter le graphe dans un repère à trois dimensions , les axes permettant de préciser les valeurs des deux variables indépendantes et l'axe la valeur de correspondante ; le graphe de la fonction dans ce repère est alors la surface d'équation «» [3] ;

     exemples : pour les différents points d'un terrain on peut définir l'altitude par la fonction «» mais aussi
     exemples : pour les différents points d'un terrain on peut définir la composition surfacique en lombrics par «» [4] ou
     exemples : pour les différents points d'un terrain on peut définir d'autres grandeurs encore

Représentation du graphe d'une fonction scalaire de deux variables indépendantes à l'aide de courbes de niveaux dans un repère à deux dimensions

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     Dans l'exemple de l'altitude, il existe une façon plus pratique utilisant un repère à deux dimensions consistant à tracer, sur ce repère, les courbes de niveaux par exemple la courbe de niveau est la courbe joignant les pointsdont l'image parest on trace alors les courbes de niveaux pour les niveaux «» [5], si les courbes sont très resserrées cela signifie que l'altitude varie très rapidement alors que si elles sont très écartées l'altitude varie très lentement ;

     on peut bien sûr étendre cela à n'importe quelle fonction de deux variables indépendantes en traçant dans un repère à deux dimensions les courbes de niveaux c.-à-d. les courbes joignant les pointsdont l'image parest de valeur constante [6].

Graphe d'une fonction scalaire de plus de deux variables indépendantes

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     Pour fixer le propos, considérons une fonction scalaire à trois variables indépendantes «» ; par exemple la température ou la pression en chaque point de l'espace ;

     il est impossible de généraliser la 1ère représentation car ceci nécessiterait de définir un repère à quatre dimensions ce que notre cerveau est incapable de représenter ;

     par contre la généralisation de la 2ème représentation nécessitant de définir un repère à trois dimensions et des niveaux associés à des valeurs de constante, est possible même si cela reste peu pratique on obtiendrait alors des « surfaces de niveaux » par exemple dans le cas de la température en chaque point de l'espace, la surface isotherme [7] ;

     les surfaces de niveaux restant d'utilisation peu pratique, on peut peaufiner leur connaissance en représentant diverses coupes par un plan à ou par un plan à ou encore par un plan à , l'avantage étant que ces coupes donnant des courbes dans un repère à deux dimensions sont facilement transportables.

Dérivées partielles relativement à chaque variable d'une fonction scalaire de deux variables indépendantes

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     Soient deux variables réelles indépendantes, et la fonction scalaire de ces deux variables

«»

     dont on veut étudier la variation en fonction de chaque variable en définissant des dérivées adéquates.

Définition des dérivées partielles

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     Si on fige une des variables par exemple , la fonction devient pendant la durée du maintien constant de la variable fonction d'une seule variable sur l'exemple, fonction de notée et sachant définir la dérivée d'une fonction d'une variable sur l'exemple, de la variable , on obtient la variation de relativement à à figé par : que l'on notera «» [8], appelée « dérivée partielle de par rapport à à figé, calculée au point » [9] ;

     si on fige l'autre variable donc la variable , la fonction devient pendant la durée du maintien constant de la variable fonction de la seule variable notée et sachant définir la dérivée d'une fonction de la variable , on obtient la variation de relativement à à figé par : que l'on notera «» [10], appelée « dérivée partielle de par rapport à à figé, calculée au point » [11].

Exemple de calcul de dérivées partielles

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     Calculer les dérivées partielles 1ères de la fonction définie par «» :

  • dérivée partielle de par rapport à figé : «» [12],
  • dérivée partielle de par rapport à figé : «» [13] qui se réécrit selon «».

Vérification du théorème de Schwarz sur un exemple

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     Le théorème de Schwarz [14], [15] énonce : « lors du calcul d'une dérivée partielle 2nde croisée, on peut effectuer les dérivations successives dans n'importe quel ordre » c.-à-d.

«».

     Vérification sur l'exemple du paragraphe précédent :  : dérivée partielle de par rapport à figé :
     Vérification sur l'exemple du paragraphe précédent :  : «» [16], soit finalement
     Vérification sur l'exemple du paragraphe précédent :  : «»,
     Vérification sur l'exemple du paragraphe précédent :  : dérivée partielle de par rapport à figé :
     Vérification sur l'exemple du paragraphe précédent :  : «» [17], soit finalement
     Vérification sur l'exemple du paragraphe précédent :  : «» identique à la dérivée 2nde précédente.

     Conséquence : Du fait du théorème de Schwarz [14], [15] les dérivées 2ndes croisées seront notées indifféremment «» ou «».

Définition des dérivées logarithmiques partielles

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     À partir de la « fonction scalaire de deux variables réelles indépendantes dérivable partiellement relativement à à figé ou relativement à à figé en et
     À partir de la « fonction scalaire de deux variables réelles indépendantes telle que soit »,
     À partir de la « fonction scalaire on définit le « nombre dérivé logarithmique partiel de relativement à à figé ou relativement à à figé en » selon
     À partir de la « fonction scalaire «» dans lequel est le nombre dérivé logarithmique partiel de relativement à à figé en ou
     À partir de la « fonction scalaire «» dans lequel est le nombre dérivé logarithmique partiel de relativement à à figé en .

     Fonctions dérivées logarithmiques partielles d'une fonction scalaire de deux variables réelles indépendantes :
     Fonctions dérivées logarithmiques Si la fonction scalaire de deux variables réelles indépendantes est dérivable partiellement relativement à à figé ou à à figé
     Fonctions dérivées logarithmiques Si la fonction scalaire de deux variables réelles indépendantes est dérivable sur un domaine de dérivabilité partielle relativement à à figé
   Fonctions dérivées logarithmiques Si la fonction scalaire de deux variables réelles indépendantes est dérivable ou un domaine de dérivabilité partielle relativement à à figé,
     Fonctions dérivées logarithmiques Si la fonction scalaire de deux variables réelles indépendantes est dérivable la fonction dérivée partielle de par rapport à à figé
Fonctions dérivées logarithmiques Si la fonction scalaire de deux variables réelles indépendantes est dérivable la fonction dérivée partielle de ou par rapport à à figé est définie par
     Fonctions dérivées logarithmiques Si la fonction scalaire de deux variables réelles indépendantes est dérivable «» [18] ou par
     Fonctions dérivées logarithmiques Si la fonction scalaire de deux variables réelles indépendantes est dérivable «» [19] ;
     Fonctions dérivées logarithmiques partielles si l'image de ou de par ne contient pas [20] c.-à-d. «» ou [20] ou encore
          Fonctions dérivées logarithmiques partielles si l'image de ou de par ne contient pas c.-à-d. « si » ou [20],
          Fonctions dérivées logarithmiques partielles si l'image de ou de par ne contient pas « les nombres dérivés logarithmiques partiels de relativement à à figé en
          Fonctions dérivées logarithmiques partielles si l'image de ou de par ne contient pas [18] définis pour chaque couple » [20]
                                         Fonctions dérivées logarithmiques partielles si l'image de ou de par ne contient pas sont les « images de par une fonction » [21] définie par
          Fonctions dérivées logarithmiques partielles si l'image de ou de par ne contient pas «» [20] appelée
          Fonctions dérivées logarithmiques partielles si l'image de ou de par ne contient pas « dérivée logarithmique partielle de la fonction relativement à à figé » c'est aussi la
          Fonctions dérivées logarithmiques partielles si l'image de ou de par ne contient pas « dérivée partielle relativement à à figé de la fonction composée
           Fonctions dérivées logarithmiques partielles si l'image de ou de par ne contient pas « dérivée partielle relativement à à figé de la fonction composée » et
          Fonctions dérivées logarithmiques partielles si l'image de ou de par ne contient pas « les nombres dérivés logarithmiques partiels de relativement à à figé en
          Fonctions dérivées logarithmiques partielles si l'image de ou de par ne contient pas [19] définis pour chaque couple » [20]
                                         Fonctions dérivées logarithmiques partielles si l'image de ou de par ne contient pas sont les « images de par une fonction » [21] définie par
          Fonctions dérivées logarithmiques partielles si l'image de ou de par ne contient pas «» [20] appelée
          Fonctions dérivées logarithmiques partielles si l'image de ou de par ne contient pas « dérivée logarithmique partielle de la fonction relativement à à figé » c'est aussi la
          Fonctions dérivées logarithmiques partielles si l'image de ou de par ne contient pas « dérivée partielle relativement à à figé de la fonction composée
           Fonctions dérivées logarithmiques partielles si l'image de ou de par ne contient pas « dérivée partielle relativement à à figé de la fonction composée ».

Différentielle d'une fonction de deux variables indépendantes

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     Soient deux variables réelles indépendantes, et la fonction scalaire de ces deux variables

«»

     dont on veut définir la notion de différentielle comme cela a été fait pour une fonction d'une variable à partir de la dérivée de cette fonction par rapport à la variable et de la différentielle de la variable,
     dont on veut définir la notion de différentielle comme cela a été fait pour une fonction d'une variable à la différence près qu'ici il y a deux variables et deux dérivées partielles

Petite variation de la fonction des deux variables indépendantes sur un pavé de ces deux variables de petite extension

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     On définit la petite variation de la fonction sur le pavé par

«» ;

     par généralisation de l'approximation linéaire à une fonction de deux variables indépendantes, on établit la relation suivante :

«»
avec « et ».
En physique on note «».

Définition de la différentielle d'une fonction de deux variables indépendantes

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Propriété de la différentielle d'une fonction de deux variables indépendantes dans son utilisation en physique

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     Justification : s'identifie à quand et selon l'approximation linéaire,
     Justification : or par définition devient, à la limite où et ,
     Justification : or par définition , se substituant à et à .

Quelques règles de calcul de la différentielle d'une fonction de deux variables indépendantes

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     Ce sont les mêmes que celles de calcul de la différentielle d'une fonction d'une variable ; «»,
     Ce sont les mêmes que celles de calcul de la différentielle d'une fonction d'une variable ; «»,
     Ce sont les mêmes que celles de calcul de la différentielle d'une fonction d'une variable ; «»,
     Ce sont les mêmes que celles de calcul de la différentielle d'une fonction d'une variable ; «».

Exemple de calcul de la différentielle d'une fonction de deux variables indépendantes

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     Soit à calculer la différentielle de «» ; nous voyons deux méthodes,

  • l'une utilisant les règles de différenciation précédentes ainsi que la différenciation de fonctions composées,
  • l'autre calculant au préalable les dérivées partielles et utilisant la définition de la différentielle.

Par calcul direct utilisant les règles de différenciation précédemment introduites

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     «» avec «»,
     «» avec «», enfin
     «» avec «» et «»,

     finalement on obtient, en regroupant toutes les informations, «» ou
     finalement on obtient, en regroupant toutes les informations, «».

Par calcul préalable des dérivées partielles

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     Ces calculs ayant déjà été faits on rappelle les résultats : «» [25] et
     Ces calculs ayant déjà été faits on rappelle les résultats : «» [25] d'où :

«» [26].

Définition de la différentielle logarithmique d'une fonction de deux variables indépendantes

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     À partir de la « fonction scalaire de deux variables réelles indépendantes dérivable partiellement relativement à à figé ou relativement à à figé en et
     À partir de la « fonction scalaire de deux variables réelles indépendantes telle que soit »,
     À partir de la « fonction scalaire on a défini la « dérivée logarithmique partielle de la fonction par rapport à [27] » pour du domaine de dérivabilité partielle par rapport à [27]
          À partir de la « fonction scalaire on a défini la « dérivée logarithmique partielle de la fonction par rapport à  » pour tel que est [20], [28] selon
     À partir de la « fonction scalaire on a défini la «» [20] c'est aussi la « dérivée partielle par rapport à [27] de la fonction composée
          À partir de la « fonction scalaire on a défini la «» c'est aussi la « dérivée partielle par rapport à » et
     À partir de la « fonction scalaire on a défini la « dérivée logarithmique partielle de la fonction par rapport à [29] » pour du domaine de dérivabilité partielle par rapport à [29]
          À partir de la « fonction scalaire on a défini la « dérivée logarithmique partielle de la fonction par rapport à  » pour tel que est [20], [28] selon
     À partir de la « fonction scalaire on a défini la «» [20] c'est aussi la « dérivée partielle par rapport à [29] de la fonction composée
          À partir de la « fonction scalaire on a défini la «» c'est aussi la « dérivée partielle par rapport à » ;
     À partir de la « fonction scalaire on déduit la définition de la différentielle logarithmique de la fonction à partir des définitions des dérivées logarithmiques partielles de de la même façon que
     À partir de la « fonction scalaire on déduit la définition de la différentielle de la fonction a été déduite à partir des définitions des dérivées partielles de [30].

Différentielle d'une fonction d'une variable, laquelle est fonction de deux autres variables indépendantes, théorème de dérivation partielle d'une fonction composée

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     Soit la « fonction scalaire de deux variables réelles indépendantes dérivable partiellement relativement à [27] et relativement à [29] en ainsi que
     Soit la « fonction scalaire d'une variable réelle dérivable en », nous pouvons conclure que

     Soit la fonction scalaire composée des deux variables réelles indépendantes , est dérivable partiellement relativement à [27] et relativement à [29] en et donc
     Soit la fonction scalaire composée des deux variables réelles indépendantes , est différentiable, la « différentielle de en » s'écrivant
     Soit la fonction scalaire composée des deux variables réelles indépendantes , est différenciable, la «» [32] ;

     Soit la « fonction scalaire des deux variables réelles indépendantes étant de même différentiable en », la « différentielle de en » s'écrit
     Soit la « fonction scalaire des deux variables réelles indépendantes étant de même différentiable en », la «» [32]
     Soit la « fonction scalaire des deux variables réelles indépendantes étant de même différentiable en », la « pouvant s'écrire encore, en posant «»,
     Soit la « fonction scalaire des deux variables réelles indépendantes étant de même différentiable en », la «» ;

     Soit la « fonction scalaire de la variable réelle étant de même différentiable en », la « différentielle de en » s'écrit
     Soit la « fonction scalaire de la variable réelle étant de même différentiable en », la «» [34] ;

     reportant l'expression «» dans «» « ou
     reportant l'expression «» dans «» «» s'identifiant à
     reportant l'expression «» dans «» la différentielle de en » ou encore, en éliminant [35],
     reportant l'expression «» dans «» «»
           reportant l'expression «» dans « s'identifiant à «» ;

     nous en déduisons le « théorème de dérivation partielle d'une fonction scalaire composée dans laquelle est une fonction de deux variables indépendantes et
     nous en déduisons le « théorème de dérivation partielle d'une fonction scalaire composée dans laquelle une fonction scalaire de la variable »
     nous en déduisons en identifiant, deux à deux, les cœfficients de et ceux de dans les deux expressions précédentes de  :

Début d’un théorème
Fin du théorème

Différentielle d'une fonction de deux variables, lesquelles sont fonctions d'une seule variable ou de deux autres variables indépendantes, extension du théorème de dérivation (partielle) d'une fonction composée

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Différentielle d'une fonction de deux variables, lesquelles sont fonctions d'une seule variable

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     Soit la « fonction d'une variable réelle à valeurs dans [36] dérivable en [37] ainsi que
     Soit la « fonction scalaire de deux variables réelles indépendantes dérivable partiellement relativement à [27] et relativement à [29] en », nous en déduisons que

     Soit la fonction scalaire composée de la variable réelle est dérivable en et donc
     Soit la fonction scalaire composée de la variable réelle est différentiable, la « différentielle de en » s'écrivant
     Soit la fonction scalaire composée de la variable réelle est différenciable, la «» [34] ;

     Soit la « fonction de la variable réelle à valeurs dans [36] étant de même différentiable en », la « différentielle de en » s'écrit
     Soit la « fonction de la variable réelle à valeurs dans étant de même différentiable en », la «» [38] ;

     Soit la « fonction scalaire des deux variables réelles indépendantes étant de même différentiable en »,
     Soit la « fonction de la variable réelle à valeurs dans étant de même différentiable en », la « différentielle de en » s'écrit
     Soit la « fonction de la variable réelle à valeurs dans étant de même différentiable en », la «» [32] ;

     reportant «» [39] dans «» « ou
          reportant «» dans «» «» s'identifiant à
          reportant «» dans «