Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Fonctions trigonométriques inverses

Début de la boite de navigation du chapitre
fin de la boite de navigation du chapitre
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) : Fonctions trigonométriques inverses
Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Fonctions trigonométriques inverses
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.


Rappel et additif sur les fonctions trigonométriques directes

modifier
Ce sont les fonctions sinus  , cosinus  , tangente   et cotangente   [1] :

     le domaine de définition est «  pour les deux 1ères », «  pour tangente » et «  pour cotangente » ;
     « les deux 1ères sont  -périodiques » et « les deux suivantes  -périodiques » ;
     elles sont « continues et dérivables sur leur domaine de définition », leurs dérivées étant respectivement :

     elles sont « continues et dérivables sur leur domaine de définition »,  « » [2],

     elles sont « continues et dérivables sur leur domaine de définition »,  « » [2],

     elles sont « continues et dérivables sur leur domaine de définition »,  « » [3] et

     elles sont « continues et dérivables sur leur domaine de définition »,  « » [4] ;
     les tracés sont rappelés ci-dessous [5].

Condition pour qu'une fonction soit inversible, notion de fonction bijective

modifier

Définition de fonction bijective

modifier

     Une fonction est « bijective » si et seulement si « tout élément du domaine des valeurs a un et un seul antécédent du domaine de définition » c.-à-d. encore « si tout élément du domaine des valeurs est image d'exactement un élément du domaine de définition » ;
     une fonction bijective est à la fois « injective » [6] et « surjective » [7].

Condition pour qu'une fonction soit inversible

modifier

     Pour qu'une fonction soit inversible elle doit être bijective [8] :

  • si l'ensemble de départ est son domaine de définition et l'ensemble d'arrivée son domaine de valeurs, elle est nécessairement surjective [7] car tout élément du domaine de valeurs a au moins un antécédent dans le domaine de définition mais elle peut ne pas être injective [6] car des éléments du domaine des valeurs peuvent avoir plusieurs antécédents dans le domaine de définition  c'est le cas de la fonction « sinus » appliquant   dans    
  • si la fonction n'est pas injective [6] quand on considère son domaine de définition complet  cas de la fonction « sinus » , on peut restreindre le domaine de définition en maintenant le domaine des valeurs pour que la « fonction restreinte » devienne injective [6], [9], tout en restant surjective [7], [10].

Fonction inverse de la fonction sinus : fonction arcsinus

modifier

     « Pour que la fonction   soit inversible il faut restreindre son domaine de définition » de façon à ce que sa fonction restreinte soit « bijective » [8] et
     « Pour que la fonction   soit inversible il faut restreindre son domaine de définition » ceci est réalisé pour un « domaine de définition restreint à  » ;

 
Tracé du graphe de  

     « fonction inverse de », pour cette dernière le « domaine de définition étant restreint à  » et
     « fonction inverse de », pour cette dernière le « domaine des valeurs restant  » on en déduit
     « fonction inverse de », « le domaine de définition de la fonction    » et
     « fonction inverse de », « son domaine de valeurs  » ;

     tracé du graphe de la fonction   : voir ci-contre
     tracé le graphe de   est le symétrique de celui de   par rapport à la 1ère diagonale  ;

     on observe que la fonction est « »,
     on observe que la fonction est « continue sur  » et
     on observe que la fonction est « dérivable sur  », sa dérivée valant « » ;

     justification de la dérivée : on démontre ce résultat en inversant la fonction «     » [11], puis
     justification de la dérivée : on démontre ce résultat en différenciant la fonction inversée, ce qui donne « » dont on tire
     justification de la dérivée : on démontre ce résultat en différenciant la fonction inversée, ce qui donne «  à condition que   ne soit pas nul », « réalisé si   ou  » [12],
     justification de la dérivée : on termine en éliminant   au profit de   avec « » [13] soit «  dont on déduit  » ;

     conséquence : on déduit de cette expression de dérivée de la fonction   qu'« une primitive de   est  ».

Fonction inverse de la fonction cosinus : fonction arccosinus

modifier

     « Pour que la fonction   soit inversible il faut restreindre son domaine de définition » de façon à ce que sa fonction restreinte soit « bijective » [8] et
     « Pour que la fonction   soit inversible il faut restreindre son domaine de définition » ceci est réalisé pour un « domaine de définition restreint à  » ;

 
Tracé du graphe de  

     « fonction inverse de », pour cette dernière le « domaine de définition étant restreint à  » et
     « fonction inverse de », pour cette dernière le « domaine des valeurs restant  » on en déduit
     « fonction inverse de », « le domaine de définition de la fonction    » et
     « fonction inverse de », « son domaine de valeurs  » ;

     tracé du graphe de la fonction   : voir ci-contre
     tracé le graphe de   est le symétrique de celui de   par rapport à la 1ère diagonale  ;

     on observe que la fonction est « »,
     on observe que la fonction est « continue sur  » et
     on observe que la fonction est « dérivable sur  », sa dérivée valant « » ;

     justification de la dérivée : on démontre ce résultat en inversant la fonction «     » [14], puis
     justification de la dérivée : on démontre ce résultat en différenciant la fonction inversée, ce qui donne « » dont on tire
     justification de la dérivée : on démontre ce résultat en différenciant la fonction inversée, ce qui donne «  à condition
     justification de la dérivée : on démontre ce résultat en différenciant la fonction inversée, ce qui donne que   ne soit pas nul », « réalisé si   ou  » [15],
     justification de la dérivée : on termine en éliminant   au profit de   avec « » [16] soit «  dont on déduit  » ;

     conséquence : on déduit de cette expression de dérivée de la fonction   qu'« une primitive de   est aussi  ».

Fonction inverse de la fonction tangente : fonction arctangente

modifier

     « Pour que la fonction   soit inversible il faut restreindre son domaine de définition » de façon à ce que sa fonction restreinte soit « bijective » [8] et
     « Pour que la fonction   soit inversible il faut restreindre son domaine de définition » ceci est réalisé pour un « domaine de définition restreint à  » ;

 
Tracé du graphe de  

     « fonction inverse de », pour cette dernière le « domaine de définition étant restreint à  » et
     « fonction inverse de », pour cette dernière le « domaine des valeurs restant  » on en déduit
     « fonction inverse de », « le domaine de définition de la fonction    » et
     « fonction inverse de », « son domaine de valeurs  » ;

     tracé du graphe de la fonction   : voir ci-contre
     tracé le graphe de   est le symétrique de celui de   par rapport à la 1ère diagonale  ;

     on observe que la fonction est « »,
     on observe que la fonction est « continue sur  » et
     on observe que la fonction est « dérivable sur  », sa dérivée valant « » ;

     justification de la dérivée : on démontre ce résultat en inversant la fonction «     » [17], puis
     justification de la dérivée : on démontre ce résultat en différenciant la fonction inversée, ce qui donne « »  
     justification de la dérivée : on démontre ce résultat en différenciant la fonction inversée, ce qui donne « »,
     justification de la dérivée : on termine en éliminant   au profit de   avec « » soit «  dont on déduit  » ;

     conséquence : on déduit de cette expression de dérivée de la fonction   qu'« une primitive de   est  ».

Fonction inverse de la fonction cotangente : fonction arccotangente

modifier

     Remarque préliminaire : La fonction   étant très peu utilisée par rapport à la fonction  , il en est de même de leur fonction inverse,   quasiment jamais utilisée par rapport à  ,
      Remarque préliminaire : La fonction   étant très peu utilisée par rapport à la fonction  , il en est de même de leur fonction inverse, la fonction   suffisant amplement [18].

     « Pour que la fonction   soit inversible il faut restreindre son domaine de définition » de façon à ce que sa fonction restreinte soit « bijective » [8] et
     « Pour que la fonction   soit inversible il faut restreindre son domaine de définition » ceci est réalisé pour un « domaine de définition restreint à  » ;

 
Tracé du graphe de  

     « fonction inverse de », pour cette dernière le « domaine de définition étant restreint à  » et
     « fonction inverse de », pour cette dernière le « domaine des valeurs restant  » on en déduit
     « fonction inverse de », « le domaine de définition de la fonction    » et
     « fonction inverse de », « son domaine de valeurs  » ;

     tracé du graphe de la fonction   : voir ci-contre
     tracé le graphe de   est le symétrique de celui de   par rapport à la 1ère diagonale  ;

     on observe que la fonction est « »,
     on observe que la fonction est « continue sur  » et
     on observe que la fonction est « dérivable sur  », sa dérivée valant « » ;

     justification de la dérivée : on démontre ce résultat en inversant la fonction «     » [19], puis
     justification de la dérivée : on démontre ce résultat en différenciant la fonction inversée, ce qui donne « »  
     justification de la dérivée : on démontre ce résultat en différenciant la fonction inversée, ce qui donne « »,
     justification de la dérivée : on termine en éliminant   au profit de   avec « » soit «  dont on déduit  » ;

     conséquence : on déduit de cette expression de dérivée de la fonction   qu'« une primitive de   est aussi  ».

Simplification de fonction composée de grandeurs trigonométriques directe et inverse

modifier

     Nous nous proposons de simplifier des expressions du genre « » ou « » [21]

Présentation de la méthode de simplification sur le premier exemple

modifier

     Soit à simplifier « » :

     Posant « », on cherche donc à « évaluer   en fonction de  » [22] ;

     « l'inversion de   conduit à  », avec «  dont on déduit  » ;

     il reste alors à utiliser le lien entre « ce qu'on cherche à évaluer  » et « ce qu'on connaît  » par
     il reste alors à utiliser le lien « » dont on tire « » et comme   est  ,
     il reste alors à utiliser le lien « » soit, avec  , « » ou finalement

« ».

Développement de la méthode de simplification sur le deuxième exemple

modifier

     Soit à simplifier « » :

     Posant « », on cherche donc à « évaluer   en fonction de  » [23] ;

     « l'inversion de   conduit à  », avec « », «  étant de signe quelconque » mais «  étant quant à elle  » ;

     il reste alors à utiliser le lien entre « ce qu'on cherche à évaluer  » et « ce qu'on connaît  » soit
     il reste alors à utiliser le lien « »,
     il reste alors à utiliser le lien «    s'exprimant en fonction de   par     « » ou, avec  ,

     il reste alors à utiliser le lien « « » d'où

     il reste alors à utiliser le lien « » soit, avec  , «   » ou finalement

« ».

Notes et références

modifier
  1. Cette dernière étant très peu utilisée.
  2. 2,0 et 2,1 Cette dernière expression peut se déduire   soit, en en prenant la partie imaginaire  respectivement la partie réelle  et sachant que la dérivée de la partie imaginaire  respectivement de la partie réelle  est la partie imaginaire  respectivement de la partie réelle  de la dérivée, la dernière expression énoncée concernant la dérivée de   ou de  .
  3. On dérive   comme un quotient et on obtient   soit, en utilisant  ,   d'une part, et d'autre part en remplaçant   par   et en distribuant le dénominateur   ; ces deux expressions sont à connaître.
  4. La fonction cotangente est liée à la fonction tangente par   ; du caractère   de la fonction tangente sur les intervalles continus où elle est définie, et donc de la positivité de sa dérivée, on en déduit que la fonction cotangente est   sur les intervalles continus où elle est définie et que sa dérivée est négative d'où le signe « » précédant   ;
       on établit l'expression de la dérivée en dérivant   comme un quotient et on obtient     ou, avec  ,   d'une part, et d'autre part en réintroduisant   et en distribuant le dénominateur   on obtient     ; ce résultat est beaucoup moins important que le précédent.
  5. On remarque que les fonctions « sinus », « tangente » et « cotangente » sont impaires, alors que la fonction « cosinus » est paire.
  6. 6,0 6,1 6,2 et 6,3 Une fonction est injective si tout élément du domaine des valeurs a au plus un antécédent du domaine de définition ; la fonction « sinus » appliquant   dans   n'est pas injective car tout élément de   possède une infinité d'antécédents.
  7. 7,0 7,1 et 7,2 Une fonction est surjective si tout élément du domaine des valeurs a au moins un antécédent du domaine de définition ; la fonction « sinus » appliquant   dans   est surjective car tout élément de   possède au moins un antécédent ;
       si l'ensemble de départ est le domaine de définition et l'ensemble d'arrivée le domaine des valeurs, une fonction est nécessairement surjective mais
       si l'ensemble de départ est restreint en maintenant l'ensemble d'arrivée confondu avec le domaine de toutes les valeurs possibles, par exemple la fonction sinus considérée comme appliquant   dans  , l'application peut ne pas être surjective et c'est le cas sur l'exemple de l'application sinus appliquant   dans   non surjective car aucun élément de   n'a d'antécédent dans  .
  8. 8,0 8,1 8,2 8,3 et 8,4 Voir le paragraphe « définition de fonction bijective » plus haut dans ce chapitre.
  9. La restriction du domaine de définition doit être telle que tout élément du domaine des valeurs ait au plus un antécédent dans le domaine restreint : par exemple la fonction « sinus » restreinte au domaine de définition  , l'ensemble d'arrivée restant  .
  10. Attention à ne pas trop restreindre le domaine de définition de façon qu'il n'existe aucun élément du domaine des valeurs n'ayant plus d'antécédent dans le domaine de définition restreint :
       par exemple la fonction « sinus » restreinte au domaine de définition  , l'ensemble d'arrivée restant  , est certes injective car tout élément de   a au plus un antécédent dans    en effet l'antécédent existe et est unique si l'élément d'arrivée   et l'antécédent n'existe pas si l'élément d'arrivée   mais n'est plus surjective  aucun élément de   n'ayant d'antécédent dans  .
  11. L'équivalence n'étant correcte que pour   et  .
  12. D'où le domaine de dérivabilité de la fonction   restreint à  .
  13.       est   d'où   égal à  .
  14. L'équivalence n'étant correcte que pour   et  .
  15. D'où le domaine de dérivabilité de la fonction   restreint à  .
  16.       est   d'où   égal à  .
  17. L'équivalence n'étant correcte que pour   et  .
  18. Toutefois, pour des raisons de symétrie d'exposé, l'introduction est faite, mais vous ne l'utiliserez vraisemblablement jamais.
  19. L'équivalence n'étant correcte que pour   et  .
  20. Ce lien justifiant que l'on pourrait se passer d'introduire la fonction   puisque qu'elle n'est que le complément à   de la fonction   ;
       bien que le lien entre   et   soit le même, la fonction   est usuellement introduite bien qu'elle pourrait ne pas l'être, la fonction   n'étant que le complément à   de la fonction   ; toutefois ce n'est que lors de la prise de primitive que l'on privilégie la fonction   au profit de la fonction  .
  21. Ces deux exemples quelconques devraient suffire pour présenter la méthode de simplification.
  22. Le fait de baptiser   la fonction   va permettre de préciser « son domaine de valeurs plus simplement  », « son domaine de définition étant  ».
  23. Le fait de baptiser   la fonction   va permettre de préciser « son domaine de valeurs plus simplement  », « son domaine de définition étant  ».