Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Grandeurs associées à une fonction sinusoïdale du temps : amplitude complexe et vecteur de Fresnel

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Grandeur instantanée complexe et vecteur de Fresnel tournant associés à une fonction sinusoïdale du temps

     Soit une fonction sinusoïdale du temps, de pulsation $\;\omega$, «$\;s(t)=\left\lbrace {\begin{array}{c}A_{0}\,\cos(\omega \,t+\varphi _{0})\\{\text{ou}}\\A_{0}\,\sin(\omega \,t+\varphi _{0})\end{array}}\right.\;$», sur laquelle on souhaite faire une « opération linéaire » comme la dériver temporellement $\;{\big (}$respectivement prendre la primitive temporelle de valeur moyenne nulle${\big )}\;$ ou l'ajouter $\;{\big (}$respectivement la soustraire${\big )}\;$ à une autre fonction sinusoïdale du temps, de même pulsation${\underline {\;\omega }}$.

But poursuivi

     Bien sûr ces opérations linéaires peuvent se faire directement sur la ou les fonction(s) sinusoïdale(s) du temps mais on souhaite définir une méthode rendant ces opérations encore plus simples $\ldots$

Grandeur instantanée complexe

     On utilise le fait que «$\;s(t)=\left\lbrace {\begin{array}{c}A_{0}\,\cos(\omega \,t+\varphi _{0})\\{\text{ou}}\\A_{0}\,\sin(\omega \,t+\varphi _{0})\end{array}}\right.\;$» est respectivement «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\Re \\{\text{ou}}\\\Im \end{array}}\right\rbrace \;$ de $\;A_{0}\,\exp \!\left[i\left(\omega \,t+\varphi _{0}\right)\right]\;$» .

Grandeur instantanée complexe

     « La grandeur instantanée complexe $\;{\underline {s}}(t)\;$ associée à la fonction $\;s(t)=$ $\left\lbrace {\begin{array}{c}A_{0}\,\cos(\omega \,t+\varphi _{0})\\{\text{ou}}\\A_{0}\,\sin(\omega \,t+\varphi _{0})\end{array}}\right.\;$» est « la fonction temporelle à valeurs complexes dont $\;s(t)\;$ est la partie réelle $\;{\big (}$respectivement imaginaire${\big )}\;$ suivant que la fonction sinusoïdale $\;s(t)\;$ est sous forme d'un cosinus $\;{\big (}$respectivement d'un sinus${\big )}\;$» ;

ainsi «$\;{\underline {s}}(t)=A_{0}\,\exp \!\left[i\left(\omega \,t+\varphi _{0}\right)\right]\;$» est telle que «$\;s(t)=\left\lbrace {\begin{array}{c}A_{0}\,\cos(\omega \,t+\varphi _{0})=\Re \!\left[{\underline {s}}(t)\right]\\{\text{ou}}\\A_{0}\,\sin(\omega \,t+\varphi _{0})=\Im \!\left[{\underline {s}}(t)\right]\end{array}}\right.\;$».

Vecteur de Fresnel tournant

Préliminaire de cinématique du point

     Le projeté d'un mouvement circulaire uniforme, de centre $\;O$, de vitesse angulaire $\;\omega >0\;$ et de rayon $\;A_{0}$, sur un diamètre du cercle, est un mouvement rectiligne sinusoïdal d'amplitude $\;A_{0}$, de pulsation $\;\omega \;$ et de phase initiale dépendant du diamètre choisi $\ldots$

Vecteur de Fresnel tournant

     « Le vecteur de Fresnel tournant $\;{\vec {S}}(t)\;$ associé à la fonction $\;s(t)=\left\lbrace {\begin{array}{c}A_{0}\,\cos(\omega \,t+\varphi _{0})\\{\text{ou}}\\A_{0}\,\sin(\omega \,t+\varphi _{0})\end{array}}\right.\;$» est « le vecteur construit à partir d'un même point $\;O\;$ de norme égale à l'amplitude de la fonction soit $\;\Vert {\vec {S}}(t)\Vert =A_{0}\;$ et faisant, avec un axe de référence que nous nommerons $\;{\overrightarrow {Ox}}$, un angle égal à la phase à l'instant $\;t\;$ de la fonction soit $\;{\widehat {\left\lbrace {\overrightarrow {u_{x}}}\;{\text{ , }}{\overrightarrow {S}}(t)\right\rbrace }}=\varphi (t)=\omega \,t+\varphi _{0}\;$» ;
     en nommant $\;{\overrightarrow {Oy}}\;$ l'axe « directement $\;\perp \;$» à $\;{\overrightarrow {Ox}}$, le lien entre le vecteur de Fresnel tournant et la fonction est alors «$\;s(t)=\left\lbrace {\begin{array}{c}A_{0}\,\cos(\omega \,t+\varphi _{0})=\mathrm {proj.\,sur\,Ox} \left[{\vec {S}}(t)\right]\\{\text{ou}}\\A_{0}\,\sin(\omega \,t+\varphi _{0})=\mathrm {proj.\,sur\,Oy} \left[{\vec {S}}(t)\right]\end{array}}\right.\;$».

Lien entre grandeur instantanée complexe et vecteur de Fresnel tournant

Remarque

     « Le vecteur de Fresnel tournant s'identifie à la représentation de la grandeur instantanée complexe dans le plan complexe » $\;{\Big [}$l'axe $\;{\overrightarrow {Ox}}\;$ étant l'axe des réels et l'axe $\;{\overrightarrow {Oy}}\;$ celui des imaginaires${\Big ]}\;$ ou, en d'autre terme,
     « l'affixe du vecteur de Fresnel tournant est la grandeur instantanée complexe » ou encore
     « l'image de la grandeur instantanée complexe est le vecteur de Fresnel tournant ».

Amplitude complexe et vecteur de Fresnel associés à une fonction sinusoïdale du temps de pulsation fixée

Amplitude complexe

     Compte-tenu de la forme de la grandeur instantanée complexe, il est possible de réécrire cette dernière comme le produit de la fonction complexe «$\;\exp \!\left(i\,\omega \,t\right)\;$» et d'une grandeur complexe indépendante du temps «$\;A_{0}\,\exp \!\left(i\,\varphi _{0}\right)\;$».

Amplitude complexe de la grandeur instantanée complexe

     On définit l'« amplitude complexe » comme la « grandeur $\;{\underline {A_{0}}}\;$» telle que la grandeur instantanée complexe associée s'écrive «$\;{\underline {s}}(t)=$ ${\underline {A_{0}}}\,\exp \!\left(i\,\omega \,t\right)\;$» ; « l'amplitude complexe est donc égale à $\;{\underline {A_{0}}}=A_{0}\,\exp \!\left(i\,\varphi _{0}\right)\;$»,
« son module étant égal à l'amplitude de la fonction sinusoïdale $\;|{\underline {A_{0}}}|=A_{0}\;$» et
            « son argument              à la phase initiale de la fonction sinusoïdale $\;\mathrm {arg} \!\left({\underline {A_{0}}}\right)=\varphi _{0}\;$» ;      la connaissance de l'amplitude complexe est donc équivalente à celle de la grandeur instantanée complexe et par suite
     la connaissance de l'amplitude complexe est donc équivalente à celle de la fonction sinusoïdale du temps dans la mesure où on connaît la forme de cette dernière « cosinusoïdale » ou « sinusoïdale ».

Vecteur de Fresnel

     Le vecteur de Fresnel tournant le faisant tourner à vitesse angulaire constante $\;\omega$, son angle avec l'axe de référence $\;{\overrightarrow {Ox}}\;$ est la somme

• d'un terme $\;\propto \;$ au temps $\;t\;$ «$\;\omega \,t\;$» et
• d'un terme indépendant du temps $\;t\;$ «$\;\varphi _{0}\;$» ;

     quand on travaille sur deux fonctions sinusoïdales de même pulsation $\;{\big (}$par exemple quand on cherche leur déphasage ou quand on souhaite en faire la somme ou la différence${\big )}$, on constate que les vecteurs de Fresnel tournants associés tournant à la même vitesse angulaire sont fixes l'un par rapport à l'autre et par suite qu'il est alors possible de ne pas tenir compte de la rotation ${\Big (}$c.-à-d. de ne pas tenir compte du terme $\;\propto \;$ au temps $\;t\;$ «$\;\omega \,t\;$» dans l'angle que font les vecteurs de Fresnel tournants avec l'axe de référence $\;{\overrightarrow {Ox}}{\Big )}$ $\;\ldots$

Vecteur de Fresnel

     « Le vecteur de Fresnel $\;{\vec {S}}(0)\;$ associé à la fonction $\;s(t)=\left\lbrace {\begin{array}{c}A_{0}\,\cos(\omega \,t+\varphi _{0})\\{\text{ou}}\\A_{0}\,\sin(\omega \,t+\varphi _{0})\end{array}}\right.\;$» est « le vecteur de Fresnel tournant construit à l'instant $\;0\;$» de « norme égale à l'amplitude de la fonction $\;\Vert {\vec {S}}(0)\Vert =A_{0}\;$» et « faisant, avec l'axe de référence $\;{\overrightarrow {Ox}}$, un angle égal à la phase initiale de la fonction soit $\;{\widehat {\left\lbrace {\overrightarrow {u_{x}}}\;{\text{ , }}{\overrightarrow {S}}(0)\right\rbrace }}=\varphi _{0}\;$» ;
     on obtient « le vecteur de Fresnel tournant » en « mettant en rotation, à la vitesse angulaire $\;\omega$, et à partir de l'instant $\;0$, le vecteur de Fresnel » d'où «$\;{\vec {S}}(t)=\left\lbrace \mathrm {rot.\,de} \,\omega \,t\right\rbrace \left[{\vec {S}}(0)\right]\;$»
$\Updownarrow$
«$\;{\widehat {\left\lbrace {\overrightarrow {u_{x}}}\;{\text{ , }}{\overrightarrow {S}}(t)\right\rbrace }}=\omega \,t+\varphi _{0}\;$» et «$\;\Vert {\vec {S}}(t)\Vert =A_{0}\;$».

Lien entre amplitude complexe et vecteur de Fresnel

Remarque

     « Le vecteur de Fresnel s'identifie à la représentation de l'amplitude complexe dans le plan complexe » $\;{\Big [}$l'axe $\;{\overrightarrow {Ox}}\;$ étant l'axe des réels et l'axe $\;{\overrightarrow {Oy}}\;$ celui des imaginaires${\Big ]}\;$ ou, en d'autre terme,
     « l'affixe du vecteur de Fresnel est l'amplitude complexe » ou encore
     « l'image de l'amplitude complexe est le vecteur de Fresnel » .

Traduction de la dérivation temporelle d'une fonction sinusoïdale du temps de pulsation fixée

     La dérivation temporelle étant une « opération linéaire » , on en déduit que « la dérivée temporelle de la représentation complexe d'une fonction sinusoïdale du temps » est « la représentation complexe de la dérivée temporelle de la fonction sinusoïdale du temps » et par suite « pour déterminer la dérivée temporelle d'une fonction sinusoïdale du temps » il suffit de former la dérivée temporelle de sa représentation complexe ;
     or « la dérivée temporelle de $\;{\underline {s}}(t)={\underline {A_{0}}}\,\exp \!\left(i\,\omega \,t\right)\;$ étant $\;{\dot {\underline {s}}}(t)={\dfrac {d{\underline {s}}}{dt}}(t)=\left(i\,\omega \right){\underline {A_{0}}}\,\exp \!\left(i\,\omega \,t\right)=\left(i\,\omega \right){\underline {s}}(t)\;$» on en déduit les propriétés ci-dessous concernant l'amplitude complexe ou le vecteur de Fresnel  :

Dérivation temporelle en terme d'amplitude complexe

     D'après «$\;{\dot {\underline {s}}}(t)=\left(i\,\omega \right){\underline {s}}(t)\;$» avec «$\;{\underline {s}}(t)={\underline {A_{0}}}\,\exp \!\left(i\,\omega \,t\right)\;$ où $\;{\underline {A_{0}}}\;$ est l'amplitude complexe de cette dernière », on en déduit que «l'amplitude complexe de la dérivée temporelle de $\;{\underline {s}}(t)\;$ est $\;i\,\omega \,{\underline {A_{0}}}\;$» .

Amplitude complexe de dérivée temporelle

     « On obtient l'amplitude complexe de la dérivée temporelle d'une grandeur instantanée complexe $\;{\underline {s}}(t)\;$ d'amplitude complexe associée $\;{\underline {A_{0}}}\;$ en multipliant cette dernière par $\;i\,\omega \;$» soit

« l'amplitude complexe de $\;{\dot {\underline {s}}}(t)\;$ est $\;i\,\omega \,{\underline {A_{0}}}\;$».

     On peut itérer cette propriété et en déduire que « l'amplitude complexe de la dérivée seconde $\;{\ddot {\underline {s}}}(t)\;$ est $\;\left(i\,\omega \right)^{2}{\underline {A_{0}}}=-\omega ^{2}\,{\underline {A_{0}}}\;$».

     On peut aussi inverser la propriété pour obtenir « la primitive temporelle $\;{\big (}$de valeur moyenne nulle${\big )}\;$ d'une grandeur instantanée complexe » et on en déduit que « l'amplitude complexe de la primitive de valeur moyenne nulle $\;\left[\displaystyle \int _{0}^{t}{\underline {s}}(t')\,dt'\right]_{\text{val. moy. nulle}}\;$ est $\;{\dfrac {\underline {A_{0}}}{i\,\omega }}\;$».

Dérivation temporelle en terme de vecteur de Fresnel

     Compte-tenu du lien entre amplitude complexe et vecteur de Fresnel on en déduit la propriété ci-dessous :

Vecteur de Fresnel de dérivée temporelle

     « On obtient le vecteur de Fresnel de la dérivée temporelle d'une fonction sinusoïdale $\;s(t)\;$ de vecteur de Fresnel associé $\;{\vec {S}}(0)\;$ en multipliant la norme de $\;{\vec {S}}(0)\;$ par $\;\omega \;$ et en lui faisant subir une rotation de $\;+{\dfrac {\pi }{2}}\;$» soit encore

« la norme du vecteur de Fresnel de $\;{\dot {s}}(t)\;$ est $\;\omega \times \Vert {\vec {S}}(0)\Vert \;$» et
« l'angle qu'il fait avec l'axe de référence $\;{\overrightarrow {Ox}}$, $\;\varphi _{0}+{\dfrac {\pi }{2}}\;$».

     On peut itérer cette propriété et en déduire que « le vecteur de Fresnel de la dérivée seconde $\;{\ddot {s}}(t)\;$ s'obtient en multipliant la norme du vecteur de Fresnel $\;{\vec {S}}(0)\;$ par $\;\omega ^{2}\;$ et en lui faisant subir une rotation de $\;+\pi \;$» .

     On peut aussi inverser la propriété pour obtenir « la primitive temporelle $\;{\big (}$de valeur moyenne nulle${\big )}\;$ d'une fonction sinusoïdale » et on en déduit que « le vecteur de Fresnel de la primitive de valeur moyenne nulle $\;\left[\displaystyle \int _{0}^{t}s(t')\,dt'\right]_{\text{val. moy. nulle}}\;$ s'obtient en divisant la norme du vecteur de Fresnel $\;{\vec {S}}(0)\;$ par $\;\omega \;$ et en lui faisant subir une rotation de $\;-{\dfrac {\pi }{2}}\;$».

Traduction du déphasage entre deux fonctions sinusoïdales du temps de même pulsation

     « L'avance de phase $\;{\big (}$mathématique${\big )}\;$ de la fonction sinusoïdale $\;s_{2}(t)=A_{2}\;\cos(\omega \;t+\varphi _{2})\;$ sur la fonction sinusoïdale de même pulsation $\;s_{1}(t)=$ $A_{1}\;\cos(\omega \;t+\varphi _{1})\;$ est définie par $\;\varphi _{2}-\varphi _{1}\;$»  ;

     si $\;\varphi _{2}-\varphi _{1}\;$ est $\;>0\;$ ${\big (}$respectivement $\;<0{\big )}$, $\;s_{2}(t)\;$ est « mathématiquement en avance » ${\big (}$respectivement « mathématiquement en retard »${\big )}\;$ sur $\;s_{1}(t)$ ;
     toutefois le caractère « physiquement en avance » ${\big (}$ou « physiquement en retard »${\big )}\;$ est défini relativement au déphasage physique ${\big [}$c._à_d. la détermination principale du déphasage $\;{\big (}$mathématique${\big )}\;$ $\;\varphi _{2}-\varphi _{1}\;$ noté «$\;(\varphi _{2}-\varphi _{1})_{\text{princ.}}\;$» ${\big ]}$, $\;s_{2}(t)\;$ est « physiquement en avance » ${\big (}$respectivement « physiquement en retard »${\big )}$ sur $\;s_{1}(t)\;$ si $\;(\varphi _{2}-\varphi _{1})_{\text{princ.}}\;$ est $\;>0\;$ ${\big (}$respectivement $\;<0{\big )}$.

     En terme de grandeurs instantanées complexes, l'avance de phase $\;{\big (}$mathématique${\big )}\;$ de $\;s_{2}(t)\;$ sur $\;s_{1}(t)\;$ se calcule par «$\;\varphi _{2}-\varphi _{1}=\mathrm {arg} \!\left[{\dfrac {{\underline {s_{2}}}(t)}{{\underline {s_{1}}}(t)}}\right]\;$».

Déphasage en terme d'amplitude complexe

     Compte-tenu du lien entre grandeur instantanée complexe et amplitude complexe, on a la propriété suivante :

Déphasage entre deux fonctions sinusoïdales par amplitudes complexes

     « L'avance de phase $\;{\big (}$mathématique${\big )}\;$ de $\;s_{2}(t)=A_{2}\,\cos(\omega \,t+\varphi _{2})\;$ sur $\;s_{1}(t)=$ $A_{1}\,\cos(\omega \,t+\varphi _{1})\;$» se calcule, en terme d'amplitudes complexes, par

«$\;\varphi _{2}-\varphi _{1}=\mathrm {arg} \!\left[{\dfrac {\underline {A_{2}}}{\underline {A_{1}}}}\right]\;$» .

Déphasage en terme de vecteur de Fresnel

     Compte-tenu du lien entre amplitude complexe et vecteur de Fresnel on a la propriété suivante :

Déphasage entre deux fonctions sinusoïdales par vecteurs de Fresnel

     « L'avance de phase $\;{\big (}$mathématique${\big )}\;$ de $\;s_{2}(t)=A_{2}\,\cos(\omega \,t+\varphi _{2})\;$ sur $\;s_{1}(t)=$ $A_{1}\,\cos(\omega \,t+\varphi _{1})\;$» se calcule, en terme de vecteurs de Fresnel , par

«$\;\varphi _{2}-\varphi _{1}={\widehat {\left\lbrace {\overrightarrow {S_{1}}}(0)\;{\text{ , }}{\overrightarrow {S_{2}}}(0)\right\rbrace }}\;$» .

Traduction de la somme de deux fonctions sinusoïdales du temps de même pulsation

     Soit à déterminer la somme $\;s_{1}(t)+s_{2}(t)\;$ avec $\;s_{1}(t)=A_{1}\,\cos(\omega \,t+\varphi _{1})\;$ et $\;s_{2}(t)=A_{2}\,\cos(\omega \,t+\varphi _{2})$ ; nous allons la déterminer d'abord en utilisant les vecteurs de Fresnel associés aux deux fonctions sinusoïdales, construits à partir d'une même origine $\;O$, le diagramme ainsi construit étant appelé « diagramme de Fresnel » .

Amplitude et phase initiale résultantes en terme de vecteur de Fresnel

Détermination de la somme de deux fonctions sinusoïdales de même pulsation par diagramme de Fresnel

     On trace d'abord les deux vecteurs de Fresnel $\;{\vec {S_{1}}}(0)\;$ et $\;{\vec {S_{2}}}(0)\;$ à partir d'une même origine $\;O\;$ puis
     on construit la somme de ces deux vecteurs $\;{\overrightarrow {S_{\text{tot}}}}(0)={\vec {S_{1}}}(0)+{\vec {S_{2}}}(0)\;$ en utilisant la règle du parallélogramme ;

     nous cherchons donc à évaluer la norme de $\;{\overrightarrow {S_{\text{tot}}}}(0)\;$ et l'angle que fait ce vecteur avec l'axe de référence $\;{\overrightarrow {Ox}}$, nous aurons donc respectivement l'amplitude de l'onde résultante et sa phase initiale :

• $\;{\bigg \Vert }{\overrightarrow {S_{\text{tot}}}}(0){\bigg \Vert }^{2}=\left[{\overrightarrow {S_{\text{tot}}}}(0)\right]^{2}=\left[{\vec {S_{1}}}(0)+{\vec {S_{2}}}(0)\right]^{2}=\left[{\vec {S_{1}}}(0)\right]^{2}+\left[{\vec {S_{2}}}(0)\right]^{2}+2\,{\vec {S_{1}}}(0)\!\cdot \!{\vec {S_{1}}}(0)\;$ d'où, en notant $\;A_{\text{tot}}\;$ l'amplitude de la « somme des fonctions sinusoïdales de même pulsation $\;\omega \;$» et, en utilisant les définitions des vecteurs de Fresnel associés à chaque fonction sinusoïdale
  «$\;A_{\text{tot}}^{2}=A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+2\,A_{1}\,A_{2}\,\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})\;$» ;
• nous pouvons obtenir la phase initiale $\;\varphi _{\text{tot}}\;$ de l'onde résultante en projetant le diagramme de Fresnel ci-contre sur les axes $\;{\overrightarrow {Ox}}\;$ et $\;{\overrightarrow {Oy}}$ : «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\bigg \Vert }{\overrightarrow {S_{\text{tot}}}}(0){\bigg \Vert }\,\cos(\varphi _{\text{tot}})={\bigg \Vert }{\vec {S_{1}}}(0){\bigg \Vert }\,\cos(\varphi _{1})+{\bigg \Vert }{\vec {S_{2}}}(0){\bigg \Vert }\,\cos(\varphi _{2})\\{\bigg \Vert }{\overrightarrow {S_{\text{tot}}}}(0){\bigg \Vert }\,\sin(\varphi _{\text{tot}})={\bigg \Vert }{\vec {S_{1}}}(0){\bigg \Vert }\,\sin(\varphi _{1})+{\bigg \Vert }{\vec {S_{2}}}(0){\bigg \Vert }\,\sin(\varphi _{2})\end{array}}\right.\;$» dont on tire le cosinus et le sinus de $\;\varphi _{\text{tot}}\;$
  «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\cos(\varphi _{\text{tot}})={\dfrac {A_{1}\,\cos(\varphi _{1})+A_{2}\,\cos(\varphi _{2})}{A_{\text{tot}}}}\\\sin(\varphi _{\text{tot}})={\dfrac {A_{1}\,\sin(\varphi _{1})+A_{2}\,\sin(\varphi _{2})}{A_{\text{tot}}}}\end{array}}\right.\;$».

À savoir retrouver

     Par utilisation du diagramme de Fresnel on détermine l'amplitude $\;A_{\text{tot}}\;$ et la phase initiale $\;\varphi _{\text{tot}}\;$ de la somme des deux fonctions sinusoïdales de pulsation $\;\omega$, respectivement d'amplitudes et de phase initiales $\;(A_{1}\,{\text{,}}\,\varphi _{1})\;$ et $\;(A_{2}\,{\text{,}}\,\varphi _{2})$ ; on trouve ainsi :

«$\;A_{\text{tot}}={\sqrt {A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+2\,A_{1}\,A_{2}\,\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})}}\;$» pour l'amplitude et
la phase initiale est solution de «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\cos(\varphi _{\text{tot}})={\dfrac {A_{1}\,\cos(\varphi _{1})+A_{2}\,\cos(\varphi _{2})}{\sqrt {A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+2\,A_{1}\,A_{2}\,\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})}}}\\\sin(\varphi _{\text{tot}})={\dfrac {A_{1}\,\sin(\varphi _{1})+A_{2}\,\sin(\varphi _{2})}{\sqrt {A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+2\,A_{1}\,A_{2}\,\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})}}}\end{array}}\right.\;$».

Amplitude et phase initiale résultantes en terme d'amplitude complexe

     Aux fonctions sinusoïdales du temps de pulsation $\;\omega$, $\;s_{1}(t)=A_{1}\,\cos(\omega \,t+\varphi _{1})\;$ et $\;s_{2}(t)=A_{2}\,\cos(\omega \,t+\varphi _{2})$, on associe respectivement les amplitudes complexes $\;{\underline {A_{1}}}=A_{1}\,\exp(i\,\varphi _{1})\;$ et $\;{\underline {A_{2}}}=A_{2}\,\exp(i\,\varphi _{2})$ ;

     la somme des deux fonctions sinusoïdales du temps $\;s_{\text{tot}}(t)=s_{1}(t)+s_{2}(t)\;$ étant une fonction sinusoïdale du temps de même pulsation $\;\omega$, fonction que l'on notera $\;s_{\text{tot}}(t)=A_{\text{tot}}\,\cos(\omega \,t+\varphi _{\text{tot}})$, on associe une «amplitude complexe $\;{\underline {A_{\text{tot}}}}=A_{\text{tot}}\,\exp(i\,\varphi _{\text{tot}})\;$ égale à la somme des amplitudes complexes soit $\;{\underline {A_{\text{tot}}}}={\underline {A_{1}}}+{\underline {A_{2}}}\;$» ou «$\;A_{\text{tot}}\,\exp(i\,\varphi _{\text{tot}})=A_{1}\,\exp(i\,\varphi _{1})+A_{2}\,\exp(i\,\varphi _{2})\;$» ;

     $\;\succ \;$on détermine alors l'amplitude de $\;s_{\text{tot}}(t)=s_{1}(t)+s_{2}(t)\;$ en prenant le module de l'amplitude complexe soit «$\;A_{\text{tot}}=\vert {\underline {A_{\text{tot}}}}\vert =$ ${\sqrt {\vert {\underline {A_{\text{tot}}}}\vert ^{2}}}\;$» avec «$\;\vert {\underline {A_{\text{tot}}}}\vert ^{2}=\left({\underline {A_{\text{tot}}}}\right)\times \left({\underline {A_{\text{tot}}}}\right)^{*}\;$» ou «$\;\vert {\underline {A_{\text{tot}}}}\vert ^{2}=$ $\left({\underline {A_{1}}}+{\underline {A_{2}}}\right)\times \left({\underline {A_{1}}}+{\underline {A_{2}}}\right)^{*}=\left({\underline {A_{1}}}+{\underline {A_{2}}}\right)\times \left({\underline {A_{1}}}^{*}+{\underline {A_{2}}}^{*}\right)\;$» soit «$\;\vert {\underline {A_{\text{tot}}}}\vert ^{2}=\left[A_{1}\,\exp(i\,\varphi _{1})+A_{2}\,\exp(i\,\varphi _{2})\right]\times \left[A_{1}\,\exp(-i\,\varphi _{1})+A_{2}\,\exp(-i\,\varphi _{2})\right]\;$» ou, en développant «$\;\vert {\underline {A_{\text{tot}}}}\vert ^{2}=$ $A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+A_{1}\,A_{2}\left\lbrace \exp \!\left[i\,(\varphi _{2}-\varphi _{1})\right]+\exp \!\left[-i\,(\varphi _{2}-\varphi _{1})\right]\right\rbrace \;$» et enfin, en reconnaissant la formule d'Euler relative au cosinus , $\;\cos(x)=$ ${\dfrac {exp(i\,x)+\exp(-i\,x)}{2}}\;$ on obtient l'expression finale

«$\;|{\underline {A_{\text{tot}}}}|^{2}=A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+2\,A_{1}\,A_{2}\cos \!\left(\varphi _{2}-\varphi _{1}\right)\;$» ;

     $\;\succ \;$on détermine ensuite la phase initiale de $\;s_{\text{tot}}(t)=s_{1}(t)+s_{2}(t)\;$ en prenant l'argument de l'amplitude complexe soit «$\;\varphi _{\text{tot}}=$ $\mathrm {arg} ({\underline {A_{\text{tot}}}})\;$» ou encore «$\;\varphi _{\text{tot}}=\mathrm {arg} \!\left[A_{1}\,\exp(i\,\varphi _{1})+A_{2}\,\exp(i\,\varphi _{2})\right]\;$» ou, en prenant la forme algébrique de chaque amplitude complexe pour obtenir la forme algébrique de l'amplitude complexe résultante «$\;\varphi _{\text{tot}}=\mathrm {arg} \!\left\lbrace \left[A_{1}\,\cos(\varphi _{1})+A_{2}\,\cos(\varphi _{2})\right]+i\left[A_{1}\,\sin(\varphi _{1})+A_{2}\,\sin(\varphi _{2})\right]\right\rbrace \;$» , on obtient, suivant la valeur de la partie réelle de l'amplitude complexe résultante :

     $\;\color {transparent}{\succ }$$\;\blacktriangleright \;$« pour $\;A_{1}\,\cos(\varphi _{1})+A_{2}\,\cos(\varphi _{2})=0\;$», «$\;\varphi _{\text{tot}}=\left\lbrace {\begin{array}{c}+{\dfrac {\pi }{2}}\;\;{\text{si}}\;\;A_{1}\,\sin(\varphi _{1})+A_{2}\,\sin(\varphi _{2})>0\\-{\dfrac {\pi }{2}}\;\;{\text{si}}\;\;A_{1}\,\sin(\varphi _{1})+A_{2}\,\sin(\varphi _{2})<0\end{array}}\right.\;$»,

     $\;\color {transparent}{\succ }$$\;\blacktriangleright \;$« pour $\;A_{1}\,\cos(\varphi _{1})+A_{2}\,\cos(\varphi _{2})>0\;$», «$\;\varphi _{\text{tot}}=\arctan \!\left[{\dfrac {A_{1}\,\sin(\varphi _{1})+A_{2}\,\sin(\varphi _{2})}{A_{1}\,\cos(\varphi _{1})+A_{2}\,\cos(\varphi _{2})}}\right]\;$» ,

     $\;\color {transparent}{\succ }$$\;\blacktriangleright \;$« pour $\;A_{1}\,\cos(\varphi _{1})+A_{2}\,\cos(\varphi _{2})<0\;$», la forme de $\;\varphi _{\text{tot}}\;$ dépend de la valeur de la partie imaginaire soit :

     $\;\color {transparent}{\succ }$$\;\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« avec $\;A_{1}\,\sin(\varphi _{1})+A_{2}\,\sin(\varphi _{2})=0\;$», «$\;\varphi _{\text{tot}}=+\pi \;$» ou,

     $\;\color {transparent}{\succ }$$\;\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« avec $\;A_{1}\,\sin(\varphi _{1})+A_{2}\,\sin(\varphi _{2})>0\;$», «$\;\varphi _{\text{tot}}=\arctan \!\left[{\dfrac {A_{1}\,\sin(\varphi _{1})+A_{2}\,\sin(\varphi _{2})}{A_{1}\,\cos(\varphi _{1})+A_{2}\,\cos(\varphi _{2})}}\right]+\pi \;$» ou,

     $\;\color {transparent}{\succ }$$\;\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« avec $\;A_{1}\,\sin(\varphi _{1})+A_{2}\,\sin(\varphi _{2})<0\;$», «$\;\varphi _{\text{tot}}=\arctan \!\left[{\dfrac {A_{1}\,\sin(\varphi _{1})+A_{2}\,\sin(\varphi _{2})}{A_{1}\,\cos(\varphi _{1})+A_{2}\,\cos(\varphi _{2})}}\right]-\pi \;$» .

À savoir retrouver

     Par utilisation de l'amplitude complexe on détermine l'amplitude $\;A_{\text{tot}}\;$ et la phase initiale $\;\varphi _{\text{tot}}\;$ de la somme des deux fonctions sinusoïdales de pulsation $\;\omega$, respectivement d'amplitudes et de phase initiales $\;(A_{1}\,{\text{,}}\,\varphi _{1})\;$ et $\;(A_{2}\,{\text{,}}\,\varphi _{2})$ ; on trouve ainsi :

«$\;A_{\text{tot}}={\sqrt {A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+2\,A_{1}\,A_{2}\,\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})}}\;$» pour l'amplitude et
«$\;\varphi _{\text{tot}}=\left\lbrace {\begin{array}{c}\arctan \!\left[{\dfrac {A_{1}\,\sin(\varphi _{1})+A_{2}\,\sin(\varphi _{2})}{A_{1}\,\cos(\varphi _{1})+A_{2}\,\cos(\varphi _{2})}}\right]\qquad \;{\text{si}}\;\;A_{1}\,\cos(\varphi _{1})+A_{2}\,\cos(\varphi _{2})>0\\\pm {\dfrac {\pi }{2}}\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \;\;\;{\text{si}}\;\;A_{1}\,\cos(\varphi _{1})+A_{2}\,\cos(\varphi _{2})=0\\\arctan \!\left[{\dfrac {A_{1}\,\sin(\varphi _{1})+A_{2}\,\sin(\varphi _{2})}{A_{1}\,\cos(\varphi _{1})+A_{2}\,\cos(\varphi _{2})}}\right]\pm \pi \;\;{\text{si}}\;\;A_{1}\,\cos(\varphi _{1})+A_{2}\,\cos(\varphi _{2})<0\end{array}}\right.\;$» pour la phase initiale.