Outils mathématiques utilisés en mécanique quantique/Diagonalisation d'opérateurs linéaires

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La réduction des opérateurs linéaires (aussi appelée diagonalisation) est une opération mathématique importante — lorsque possible — et nous rappelons ici quelques résultats importants.

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Valeurs propres

Valeur propre

Soit A un opérateur linéaire (que l’on peut éventuellement représenter sous la forme d'une matrice). Une quantité scalaire λ est dite valeur propre de A s'il existe un vecteur x non-nul tel que : $A\left(x\right)=\lambda x$ Le vecteur x est appelé vecteur propre de A associé à λ.

Propriétés

Soit A un opérateur linéaire et λ une valeur propre de A. Soit x un vecteur propre associé à λ. Alors pour tout μ réel, μx est encore vecteur propre associé à λ. Par linéarité, on montre même ceci :

L'ensemble des vecteurs propres associés à une valeur propre d'un opérateur linéaire possède une structure d'espace vectoriel.

Sous-espaces propres

Cela nous amène à la définition suivante :

Sous-espace propre

Soit λ un scalaire. On appelle sous-espace propre associé à λ l'espace vectoriel formé par l’ensemble des vecteurs propres associés à λ. On les note E_λ. Autrement dit :

$E_{\lambda }=\{x\in E\;|\;x\neq 0\;\mathrm {et} \;A\left(x\right)=\lambda x\}$

Ainsi, dans une base adaptée (une base de ce sous-espace vectoriel) l'effet de l'opérateur linéaire sur chaque sous-espace propre est une multiplication par λ : l'opérateur linéaire prend alors la forme d'une matrice diagonale, on parle de diagonalisation. Si on fait cela sur tous les espaces propres (la base est donc une base de tous les espaces propres), on donne à A la forme d'une matrice diagonale.