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En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Phénomènes d'induction : Loi de Faraday Phénomènes d'induction/Loi de Faraday », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Champ électromoteur induit
Soit un fil conducteur en mouvement dans un champ magnétique
B
→
{\displaystyle {\vec {B}}}
. Alors
tout point du conducteur est le siège d'un champ électromoteur
E
→
m
{\displaystyle {\vec {E}}_{m}}
valant
E
→
m
=
v
→
∧
B
→
−
∂
A
→
∂
t
{\displaystyle {\vec {E}}_{m}={\vec {v}}\wedge {\vec {B}}-{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}}}
Définition
La
force électromotrice induite e le long d'une courbe orientée Γ vaut
e
=
∫
Γ
E
→
m
.
d
l
→
{\displaystyle e=\int _{\Gamma }{\vec {E}}_{m}.\mathrm {d} {\vec {l}}}
Cas d'un circuit mobile lorsque B est indépendant du temps
modifier
Début d’un principe
Fin du principe
Un point courant P de Γ à l'instant t a subi une translation élémentaire
d
P
→
{\displaystyle {\overrightarrow {{\rm {d}}P}}}
pour devenir P'.
Si
B
→
{\displaystyle {\vec {B}}}
est indépendant du temps,
A
→
{\displaystyle {\vec {A}}}
aussi et
E
→
m
=
v
→
∧
B
→
{\displaystyle {\vec {E}}_{m}={\vec {v}}\wedge {\vec {B}}}
e
=
∮
Γ
(
v
→
∧
B
→
)
.
d
l
→
=
∮
Γ
(
d
l
→
∧
v
→
)
.
B
→
=
∮
Γ
1
d
t
(
d
l
→
∧
v
→
d
t
)
.
B
→
=
1
d
t
∮
Γ
(
d
l
→
∧
d
P
→
)
.
B
→
{\displaystyle {\begin{aligned}e&=\oint _{\Gamma }({\vec {v}}\wedge {\vec {B}}).\mathrm {d} {\vec {l}}\\&=\oint _{\Gamma }({\overrightarrow {{\rm {d}}l}}\wedge {\vec {v}}).{\vec {B}}\\&=\oint _{\Gamma }{\frac {1}{\mathrm {d} t}}({\overrightarrow {{\rm {d}}l}}\wedge {\vec {v}}~{\rm {d}}t).{\vec {B}}\\&={\frac {1}{\mathrm {d} t}}\oint _{\Gamma }({\overrightarrow {{\rm {d}}l}}\wedge {\overrightarrow {{\rm {d}}P}}).{\vec {B}}\end{aligned}}}
La surface infinitésimale
d
2
S
c
{\displaystyle \mathrm {d} ^{2}S_{c}~}
engendrée par
d
l
→
{\displaystyle {\overrightarrow {{\rm {d}}l}}}
et
d
P
→
{\displaystyle {\overrightarrow {{\rm {d}}P}}}
est appelée surface coupée élémentaire, ou parfois surface balayée élémentaire. Elle est orientée dans le sens de
d
P
→
∧
d
l
→
{\displaystyle \mathrm {d} {\vec {P}}\wedge {\overrightarrow {\mathrm {d} l}}}
.
La réunion de toutes les surfaces coupées élémentaires forme la surface coupée
d
S
c
{\displaystyle \mathrm {d} S_{c}~}
. Elle forme une sorte de tube s'appuyant sur S et S' .
Le flux de
B
→
{\displaystyle {\vec {B}}}
à travers la surface coupée
d
S
c
{\displaystyle \mathrm {d} S_{c}~}
s’appelle le flux coupé dФc .
e
=
−
1
d
t
∮
Γ
(
d
2
S
c
n
→
c
)
.
B
→
=
−
∮
Γ
d
2
Φ
c
d
t
=
−
d
Φ
c
d
t
{\displaystyle {\begin{aligned}e&=-{\frac {1}{{\rm {d}}t}}\oint _{\Gamma }({\rm {d}}^{2}S_{c}~{\vec {n}}_{c}).{\vec {B}}\\&=-\oint _{\Gamma }{\frac {\mathrm {d} ^{2}\Phi _{c}}{{\rm {d}}t}}\\&=-{\frac {{\rm {d}}\Phi _{c}}{{\rm {d}}t}}\end{aligned}}}
Comme
S
∪
S
′
∪
d
S
c
{\displaystyle S\cup S'\cup \mathrm {d} S_{c}}
est une surface fermée, on a
Φ
−
Φ
′
+
d
Φ
c
=
0
{\displaystyle ~\Phi -\Phi '+\mathrm {d} \Phi _{c}=0}
Donc
d
Φ
c
=
Φ
−
Φ
′
=
d
Φ
{\displaystyle ~\mathrm {d} \Phi _{c}=\Phi -\Phi '=\mathrm {d} \Phi }
On a finalement
e
=
−
d
Φ
d
t
{\displaystyle e=-{\frac {\mathrm {d} \Phi }{\mathrm {d} t}}}
Cas d'un circuit fixe dans B(t)
modifier
Début d’un principe
Dispositif
On dispose d'une spire Γ orientée immobile dans un champ magnétique
B
→
(
t
)
{\displaystyle {\vec {B}}(t)}
.
On dispose également d'une surface Σ qui s'appuie sur Γ, orientée en concordance avec Γ, au travers de laquelle le flux de
B
→
{\displaystyle {\vec {B}}}
vaut Ф.
Fin du principe
Pour un circuit fixe,
v
→
=
0
→
{\displaystyle {\vec {v}}={\vec {0}}}
donc
E
→
m
=
−
∂
A
→
∂
t
{\displaystyle {\vec {E}}_{m}=-{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}}}
e
=
−
∮
Γ
∂
A
→
∂
t
.
d
l
→
=
−
∂
∂
t
(
∮
Γ
A
→
.
d
l
→
)
=
−
∂
∂
t
(
∫
Σ
r
o
t
→
(
A
→
)
.
d
S
→
)
=
−
∂
∂
t
(
∫
Σ
B
→
.
d
S
→
)
=
−
∂
Φ
∂
t
=
−
d
Φ
d
t
{\displaystyle {\begin{aligned}e&=-\oint _{\Gamma }{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}}.\mathrm {d} {\vec {l}}\\&=-{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\oint _{\Gamma }{\vec {A}}.\mathrm {d} {\vec {l}}\right)\\&=-{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\int _{\Sigma }{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}({\vec {A}}).{\overrightarrow {{\rm {d}}S}}\right)\\&=-{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\int _{\Sigma }{\vec {B}}.{\overrightarrow {{\rm {d}}S}}\right)\\&=-{\frac {\partial \Phi }{\partial t}}=-{\frac {{\rm {d}}\Phi }{{\rm {d}}t}}\end{aligned}}}
Il est absolument fondamental de connaître et savoir correctement appliquer ce résultat. La méthode d'application est détaillée dans les exercices.
Début d’un théorème
Loi de Faraday
La force électromotrice induite
e
(
t
)
{\displaystyle e(t)}
dans un circuit filiforme fermé
(
C
)
{\displaystyle ({\mathcal {C}})}
est :
e
(
t
)
=
−
d
Φ
d
t
{\displaystyle e(t)=-{\frac {{\rm {d}}\Phi }{{\rm {d}}t}}}
avec
Φ
(
t
)
=
∬
S
B
→
.
d
S
→
{\displaystyle \Phi (t)=\iint _{S}{\vec {B}}.{\vec {\rm {dS}}}}
.
La force électromotrice
e
(
t
)
{\displaystyle e(t)}
est orienté comme le circuit et
Φ
(
t
)
{\displaystyle \Phi (t)}
est défini en accord avec l'orientation de la surface
S
{\displaystyle S}
.
Fin du théorème