Phénomènes d'induction/Exercices/Champ électromoteur
Roue de Barlow
modifierOn considère le montage de la roue de Barlow. Il s'agit d'un disque de métal de centre O et de rayon a pouvant pivoter autour de son axe (Oz). On connecte entre O et un point P fixe faisant contact avec la roue (historiquement la roue plongeait dans un bain de mercure pour établir le contact) un générateur de force électromotrice E, une résistance R et un interrupteur K. On suppose :
- le disque et les fils parfaitement conducteurs
- l'inductance propre du circuit négligeable
Le tout est plongé dans un champ magnétique uniforme . On note :
- la vitesse angulaire de la roue
- i le courant électrique passant dans le circuit
- le moment d'inertie du disque par rapport à (Oz)
Question : À l'instant t=0, on ferme K. Trouver l'évolution de en fonction de t.
Dans les exercices de ce genre, il faut procéder par ordre pour ne rien oublier et ne pas faire d'erreur.
Le courant qui arrive par O se répartit dans toute la roue avant de repartir en P. Le raisonnement est le suivant :
- On considère une ligne élémentaire de courant d'intensité qui part de O et arrive en P
- On calcule l'action des forces de Laplace sur cette ligne de courant
- On intègre sur les lignes de courant
- Soit une ligne élémentaire de courant d'intensité , orientée de O vers P.
- Soit M un point de cette ligne de courant. On munit M d'un repère polaire .
- La portion infinitésimale de la ligne de courant en M est soumise à la force de Laplace .
- On exprime dans la base :
- La force de Laplace devient alors
- On s'intéresse en réalité au moment par rapport à (Oz) des forces de Laplace pour exprimer la mise en rotation de la roue. Le moment par rapport à (Oz) des forces de Laplace qui s'exercent en M vaut
- On intègre alors l’expression par rapport à r pour trouver le moment par rapport à (Oz) des forces de Laplace qui s'exercent sur toute la ligne de courant :
- Enfin, on intègre sur toutes les lignes de courant, c'est-à-dire par rapport à i :
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Le disque est un conducteur en mouvement dans un champ magnétique. Tout point est alors siège d'un champ électromoteur . On tient alors le même raisonnement pour calculer la force électromotrice totale induite :
- On considère une ligne élémentaire de courant d'intensité qui part de O et arrive en P
- On calcule la force électromotrice induite le long de cette ligne de courant. Comme toutes les lignes de courant sont « en parallèle », le résultat sera valable pour toutes les lignes de courant.
- Soit une ligne élémentaire de courant orientée de O vers P.
- Soit M un point de cette ligne de courant. On munit M d'un repère polaire .
- M est le siège d'un champ électromoteur
- On exprime dans la base :
- On calcule la force électromotrice induite le long de cette ligne de courant :
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On applique le principe fondamental de la dynamique au disque :
- On obtient ainsi l'équation
- D'après la loi d'Ohm :
- Après remplacement : . Donc vérifie l'équation différentielle
- Après résolution:
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