Photométrie/Exercices/Sources orthotropes

Source orthotrope sphérique et source orthotrope de la forme d'un disque

Une source 1 est une source orthotrope sphérique de rayon $R$ et de luminance $L$.

Une source 2 est une source orthotrope qui forme un disque de même rayon $R$ et de même luminance $L$. Elle observée dans la direction perpendiculaire à sa surface.

Montrer que pour une observation faite à grande distance (on se placera à l'infini), les deux sources, que l’on peut alors considérer ponctuelles, ont la même intensité.

Solution

• Cas du disque

Notations utilisées

En utilisant les notations du formulaire d'analyse vectorielle en coordonnées cylindriques et en supposant la normale de la surface orientée dans l'axe des $z$ :

$\mathrm {d^{2}} I_{D}=L\cdot {\overrightarrow {\mathrm {d^{2}} S_{D}}}\cdot {\overrightarrow {e_{z}}}=L\cdot \mathrm {d^{2}} S$

$\mathrm {d^{2}} S_{D}=r\cdot \mathrm {d} \theta \cdot \mathrm {d} r$

$I_{D}=L\cdot \int _{0}^{R}r\cdot \mathrm {d} r\int _{0}^{2\pi }\mathrm {d} \theta =L\cdot \left[{\frac {r^{2}}{2}}\right]_{0}^{R}\cdot \left[\theta \right]_{0}^{2\pi }$

$I_{D}=L\cdot \pi \cdot R^{2}$

• Cas de la sphère

Notations utilisées

En utilisant les notations du formulaire d'analyse vectorielle en coordonnées sphériques et en supposant l'observation faite dans l'axe des $z$ :

$\mathrm {d^{2}} I_{S}=L\cdot {\overrightarrow {\mathrm {d^{2}} S_{S}}}\cdot {\overrightarrow {e_{z}}}=L\cdot \mathrm {d^{2}} S_{S}\cdot \cos \theta$

${\mathrm {d^{2}} S}=R^{2}\cdot \sin \theta \cdot \mathrm {d} \theta \cdot \mathrm {d} \phi$

$I_{S}=L\cdot R^{2}\cdot \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin \theta \cdot \cos \theta \cdot \mathrm {d} \theta \int _{0}^{2\pi }\mathrm {d} \phi =L\cdot R^{2}\cdot \left[{\frac {\sin ^{2}\theta }{2}}\right]_{0}^{\frac {\pi }{2}}\cdot \left[\phi \right]_{0}^{2\pi }$

$I_{S}=L\cdot \pi \cdot R^{2}$