Polynôme/Définitions
Dans toute la suite, représentera indistinctement le corps des réels ou celui des complexes (ou plus généralement un corps commutatif quelconque).
Définition
modifierOn appelle fonction polynomiale toute application de K dans K qui a tout indéterminée "X" associe un réel de la forme
et les exposants sont des entiers naturels
NB : X n'est pas un paramètre mais bien une indéterminée
- La fonction de K dans K qui à tout X associe est un polynôme.
- La fonction de K dans K qui à tout X associe est un polynôme.
- La fonction des réels positifs dans les réels n'est pas un polynôme. En effet, une fonction polynomiale est une fonction de K dans K.
- La fonction de K dans K qui à tout X associe sa racine cubique n'est pas une fonction polynomiale. Pour le démontrer, on peut montrer que toutes les fonctions polynomiales sont dérivables sur K tout entier alors que la fonction racine cubique ne l'est pas en 0.
Unicité
modifierThéorème :
Soit deux fonctions polynomiales et telles que et
Alors,
Démonstration
On définit la fonction polynomiale
Donc, pour tout
Montrons le lemme suivant qui rendra alors le théorème évident : toute fonction polynomiale nulle pour toute valeur de (on dit que est identiquement nulle) a ses coefficients tous nuls.
Pour le démontrer, remarquons tout d'abord que si une fonction polynomiale est différente de 0 en 0, alors, il existe un réel tel que , . En effet, la fonction polynôme est continue.
Après cette remarque, résonnons par récurrence sur n :
Initialisation : Si , et donc
Hérédité : Supposons que la propriété soit vraie pour . Montrons que c'est aussi le cas pour .
Soit le polynôme tel que et pour tout .
Donc, .
On peut donc écrire sous la forme .
On pose maintenant le polynôme tel que . Ainsi,
D'autre part, pour tout , . Or, d'après le lemme démontré précédemment, . En effet, sinon ce la signifiait qu'il existerait un réel tel que , ce qui est faux.
Donc, d'après l'hypothèse de récurrence, .
Donc, la propriété est démontrée pour le rang .
Donc, tout polynôme identiquement nul a ses coefficients qui sont tous nuls.
Ainsi, est identiquement nulle. Donc, : le théorème est démontré.
Montrons maintenant une autre propriété qui est la suivante
Propriété :
Soit deux fonctions polynomiales et telles que et
Avec et différents de 0.
On a alors et .
Degré d'un polynôme
modifierSoit .
Coefficients : sont appelés les coefficients de P.
Degré : le degré d’un polynôme est l'exposant de la plus grande puissance de X à coefficient non nul. On le notera ou .
Formellement, .
Par convention, le degré du polynôme nul est − ∞
La propriété démontrée précédemment montre donc que deux polynômes égaux ont le même degré.
On nomme coefficient dominant du pôlynome le coefficient associé à l'indéterminé X de plus haut degré.
Soient . Alors :
- ;
- avec égalité sauf si et si la somme des monômes de plus haut degré de et est nulle.
- est un monôme de degré 2
- est un monôme de degré 5
- , est un monôme de degré 0
- , est un polynôme de degré moins l'infini.
Soit . Il existe tel que .
En particulier, car les degrés sont des entiers naturels. On en déduit le résultat voulu.
On note le sous-espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à (par convention, on pose ).
La base canonique de est . En particulier :
- est de dimension infinie ;
- est de dimension n + 1 car en est la base canonique.
Soit une famille de polynômes telle que soit de degré . Alors, pour tout , forme une base de .