Polynôme/Définitions

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Définitions
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Chapitre no 1
Leçon : Polynôme
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Polynôme/Définitions
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Dans toute la suite, représentera indistinctement le corps des réels ou celui des complexes (ou plus généralement un corps commutatif quelconque).

DéfinitionModifier


Début de l'exemple
Fin de l'exemple


UnicitéModifier

Théorème :

Soit deux fonctions polynomiales   et   telles que   et

   

   

Alors,  

Démonstration

On définit la fonction polynomiale  

 

Donc,   pour tout  

Montrons le lemme suivant qui rendra alors le théorème évident : toute fonction polynomiale   nulle pour toute valeur de   (on dit que   est identiquement nulle) a ses coefficients tous nuls.

Pour le démontrer, remarquons tout d'abord que si une fonction polynomiale est différente de 0 en 0, alors, il existe un réel   tel que  ,   . En effet, la fonction polynôme est continue.

Après cette remarque, résonnons par récurrence sur n :

Initialisation : Si  ,  et donc  

Hérédité : Supposons que la propriété soit vraie pour  . Montrons que c'est aussi le cas pour  .

Soit le polynôme   tel que   et   pour tout  .

Donc,  .

On peut donc écrire   sous la forme  .

On pose maintenant le polynôme   tel que  . Ainsi,  

D'autre part, pour tout  ,  . Or, d'après le lemme démontré précédemment,  . En effet, sinon ce la signifiait qu'il existerait un réel   tel que  ,   ce qui est faux.

Donc, d'après l'hypothèse de récurrence,  .

Donc, la propriété est démontrée pour le rang  .

Donc, tout polynôme identiquement nul a ses coefficients qui sont tous nuls.

Ainsi,   est identiquement nulle. Donc,  : le théorème est démontré.

Montrons maintenant une autre propriété qui est la suivante

Propriété :

Soit deux fonctions polynomiales   et   telles que   et

   

   

Avec   et   différents de 0.

On a alors   et  .

Degré d'un polynômeModifier

Soit  .

La propriété démontrée précédemment montre donc que deux polynômes égaux ont le même degré.

On nomme coefficient dominant du pôlynome le coefficient associé à l'indéterminé X de plus haut degré.

Début de l'exemple
Fin de l'exemple


On note   le sous-espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à   (par convention, on pose   ).