Probabilités conditionnelles/Événements indépendants

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Nous allons aborder, dans ce chapitre, la notion d'événements indépendants.

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Premières considérations

Soit $A$ et $B$ deux événements. Dire que ces deux événements sont indépendants, c'est dire que la réalisation de l'un des deux n'influe pas sur la probabilité de réalisation de l'autre.

C'est dire que la réalisation de $A$ n'influe pas sur la probabilité que $B$ se réalise, ce qui logiquement devrait se traduire par la relation $p_{A}(B)=p(B)$.

C'est dire aussi que la réalisation de $B$ n'influe pas sur la probabilité que $A$ se réalise, ce qui logiquement devrait se traduire par la relation $p_{B}(A)=p(A)$.

Mais nous remarquons que :

• d'une part : $p_{A}(B)=p(B)\Rightarrow {\frac {p(A\cap B)}{p(A)}}=p(B)\Rightarrow p(A\cap B)=p(A)\times p(B)$ ;
• d'autre part : $p_{B}(A)=p(A)\Rightarrow {\frac {p(B\cap A)}{p(B)}}=p(A)\Rightarrow p(A\cap B)=p(A)\times p(B)$.

Nous voyons que les deux relations d'indépendance entraînent la même relation :

$p(A\cap B)=p(A)\times p(B)$.

De plus, cette relation présente deux avantages :

• elle est symétrique vis à vis de $A$ et $B$ ;
• elle a un sens même si $p(A)$ ou $p(B)$ est nul (ce qui n'était pas le cas des relations de départ), et elle est toujours réalisée dans ce cas.

Définition

Compte tenu du premier paragraphe, nous poserons la définition suivante :

Indépendance de deux événements

Deux événements $A$ et $B$ sont dits indépendants si l'on a la relation suivante :

$p(A\cap B)=p(A)\times p(B)$.

Début de l'exemple

Exemple

On lance un dé équilibré et l'on considère les deux événements suivants :

• $A$ est l'événement : « le numéro sorti est pair » ;
• $B$ est l'événement : « le numéro sorti est un multiple de 3 ».

Montrer que ces deux événements sont indépendants.

Solution

Nous avons affaire à un univers comportant 6 événements élémentaires équiprobables. Par conséquent :

• comme il y a 3 événements élémentaires consistant en la sortie d'un numéro pair, on a :

  $p(A)={\frac {3}{6}}={\frac {1}{2}}$ ;

• comme il y a 2 événements élémentaires consistant en la sortie d'un numéro multiple de trois, on a :

  $p(B)={\frac {2}{6}}={\frac {1}{3}}$ ;

• il n'y a qu'un événement élémentaire où l'on voit apparaître un numéro à la fois pair et multiple de 3, c'est la sortie du 6. On a donc :

  $p(A\cap B)={\frac {1}{6}}$.

Comme :

$p(A)\times p(B)={\frac {1}{2}}\times {\frac {1}{3}}={\frac {1}{6}}$,

on voit que :

$p(A\cap B)=p(A)\times p(B)$,

ce qui montre que les événements $A$ et $B$ sont indépendants.

 

Fin de l'exemple

Propriétés

Début d’un théorème

Théorème

Si $A$ et $B$ sont deux événements indépendants, alors :

• $A$ et ${\overline {B}}$ sont deux événements indépendants ;
• ${\overline {A}}$ et $B$ sont deux événements indépendants ;
• ${\overline {A}}$ et ${\overline {B}}$ sont deux événements indépendants.

Fin du théorème

Démonstration

On remarque que $A\cap B$ et $A\cap {\overline {B}}$ sont incompatibles. Comme $A$ est la réunion de ces deux événements, on a :

$p(A)=p(A\cap B)+p(A\cap {\overline {B}})$

qui s'écrit aussi :

$p(A\cap {\overline {B}})=p(A)-p(A\cap B)$

et comme $A$ et $B$ sont deux événements indépendants, on obtient :

$p(A\cap {\overline {B}})=p(A)-p(A)\times p(B)=p(A)\left(1-p(B)\right)=p(A)\times p({\overline {B}})$,

ce qui montre la première assertion.

Pour montrer la deuxième, il suffit de remarquer que $A$ et $B$ jouent des rôles symétriques, ce qui permet d'appliquer la première assertion en permutant $A$ et $B$.

Pour montrer la troisième assertion, on peut simplement dire que $A$ et ${\overline {B}}$ sont indépendants d'après la première assertion et en appliquant alors la deuxième assertion, on obtient bien la troisième.