Probabilités conditionnelles/Exercices/Sur les événements indépendants
Exercice 4-1
modifierSoit une télévision qui n'est pas protégée contre les surtensions dues aux orages.
On définit alors deux événements et ainsi :
- est l'événement : « il y a un orage » ;
- est l'événement : « la télévision tombe en panne ».
Une télévision qui tombe en panne ne peut logiquement pas déclencher un orage. Par conséquent, on a :
- ,
ce qui s'écrit :
- ,
qui est équivalent à :
- ,
qui s'écrit aussi :
- ,
qui nous montre qu'un orage n’influe pas sur la probabilité que la télévision tombe en panne.
Il est donc inutile de protéger la télévision contre les surtensions dues aux orages.
Que pensez-vous du raisonnement précédent ?
Il est assez dangereux de faire un raisonnement physique de cause à effet pour en déduire une probabilité. Une télévision ne peut logiquement pas provoquer un orage en tombant en panne. Mais si l'on fait une étude purement statistique, on constatera que si l'on regarde s'il y a un orage quelque part les jours où une télévision tombe en panne, on constatera que la fréquence de ces orages sera plus élevée que si l'on fait l'observation au même endroit sans s'occuper de l'état de la télévision. Par conséquent, même si une télévision, en tombant en panne, ne peut pas déclencher un orage, on ne peut pas en déduire que .
Exercice 4-2
modifierSoit deux événements et vérifiant :
Les événements et sont-ils indépendants ?
De la formule de Poincaré :
nous tirons :
Nous voyons aussi que l'on a :
Nous avons bien :
Ce qui permet d'affirmer que les événements et sont indépendants.
Exercice 4-3
modifierUne expérience aléatoire peut être modélisée par l'arbre pondéré suivant :
étant trois nombres réels de l'intervalle
Soit , l'événement « est réalisé au moins une fois au cours de l'expérience aléatoire ».
Soit , l'événement « est réalisé au moins une fois au cours de l'expérience aléatoire ».
Montrer que et sont indépendants si et seulement si :
On a :
On en déduit :
d'autre part, nous voyons que :
Si et sont indépendants, nous aurons la relation :
qui se traduira donc par la relation :
qui se simplifie en :
qui donne :
dont le premier membre se factorise sous la forme :
Exercice 4-4
modifierCette solution n'a pas été rédigée. Vous pouvez le faire en modifiant le paramètre « contenu
» du modèle. Comment faire ?