Probabilités sur les ensembles finis/Exercices/Dé octaédrique

Exercice 1

On lance une fois un dé octaédrique (c'est-à-dire à 8 faces, numérotées de 1 à 8).

1. Pour chacun des événements suivants, écrire entre accolades tous ses éléments et donner sa probabilité (en supposant que le dé est équilibré) :
   1. Ω : l'univers de tous les résultats (ou événements élémentaires ou éventualités) possibles (combien y en a-t-il ?) ;
   2. A : « obtenir un numéro pair » ;
   3. B : « obtenir un numéro strictement inférieur à 4 » ;
   4. C : « obtenir un numéro divisible par 3 » ;
   5. D : « obtenir un numéro impair et supérieur ou égal à 2 » ;
2. Pour chacun des événements suivants, écrire entre accolades tous ses éléments :
   1. $A\cap D$ ;
   2. $A\cup D$ ;
   3. $A\cap C$ ;
   4. $A\cup C$ ;
   5. $B\cup D$ ;
   6. ${\overline {A}}$ ;
   7. ${\overline {A}}\cup A$ ;
   8. ${\overline {D}}$.
3. Décrire chaque événement de la question 2 par une phrase simple.

Solution

1. 1. Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. $P(\Omega )=1$. Il y a huit résultats possibles.
   2. A = {2, 4, 6, 8} donc $P(A)={\frac {1}{2}}$.
   3. B = {1, 2, 3} donc $P(B)={\frac {3}{8}}$.
   4. C = {3, 6} donc $P(C)={\frac {1}{4}}$.
   5. D = {3, 5, 7} donc $P(D)={\frac {3}{8}}$
2. 1. $A\cap D=\varnothing$.
   2. $A\cup D$ = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.
   3. $A\cap C$ = {6}.
   4. $A\cup C$ = {2, 3, 4, 6, 8}.
   5. $B\cup D$ = {1, 2, 3, 5, 7}.
   6. ${\overline {A}}$ = {1, 3, 5, 7}.
   7. ${\overline {A}}\cup A$ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} = Ω.
   8. ${\overline {D}}$ = {1, 2, 4, 6, 8}.
3. 1. $A\cap D$ : « obtenir un numéro à la fois pair, impair et supérieur ou égal à 2 » (impossible) ;
   2. $A\cup D$ : « obtenir un numéro pair ou supérieur ou égal à 2 » (c'est-à-dire un numéro différent de 1) ;
   3. $A\cap C$ : « obtenir un numéro pair et divisible par 3 » (c'est-à-dire le numéro 6) ;
   4. $A\cup C$ : « obtenir un numéro pair ou divisible par 3 » (c'est-à-dire 3 ou un numéro pair) ;
   5. $B\cup D$ : « obtenir un numéro strictement inférieur à 4, ou impair et supérieur ou égal à 2 » (c'est-à-dire 2 ou un numéro impair) ;
   6. ${\overline {A}}$ : « obtenir un numéro impair » ;
   7. ${\overline {A}}\cup A$ : vrai (« obtenir un numéro », impair ou pair) ;
   8. ${\overline {D}}$ : « obtenir un numéro pair ou strictement inférieur à 2 » (c'est-à-dire 1 ou un numéro pair).