Probabilités sur les ensembles finis/Vocabulaire des événements

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Comme tous les langages de spécialistes, le langage des probabilités utilise un vocabulaire spécifique souvent constitué de mots courants auxquels on donne un sens très précis.

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Univers et événements

Définition

• Une expérience aléatoire est une expérience dont le résultat est soumis au hasard.
• L'ensemble des résultats possibles est l'univers Ω lié à l'expérience.
• Un événement est une partie de cet univers, c'est-à-dire une certaine classe de résultats possibles.
• Un résultat possible est parfois appelé éventualité à ne pas confondre avec un événement.
• Un événement ne regroupant qu'un seul résultat possible est appelé événement élémentaire.

Début de l'exemple

Exemples

On lance un dé cubique à six faces. On observe la face supérieure du dé après qu’il s'est arrêté.

• L'univers est l’ensemble de six éventualités $\Omega =\lbrace 1,2,3,4,5,6\rbrace$.
• L'événement A : « Obtenir un résultat pair » est une partie de l'univers : A = {2, 4, 6}.
• L'événement B : « Obtenir 6 » est un événement élémentaire : B = {6}

Fin de l'exemple

Remarque

Dans ce cours, on ne considèrera que des expériences aléatoires qui ont un nombre fini de résultats possibles.

C’est ce qui justifie le titre « Probabilités sur les ensembles finis ».

Cela ne signifie pas forcément que les différents résultats ont la même probabilité.

Événements particuliers

Définition

• L'univers Ω est appelé « événement certain ».
• L'ensemble vide Ø est appelé « événement impossible ».
• L'événement contraire de A, noté ${\overline {A}}$, contient tous les éléments de Ω qui ne sont pas dans A. C'est l'événement qui est réalisé lorsque A n’est pas réalisé.

Début de l'exemple

Exemples

Dans un lancer de dé,

• l'événement « obtenir un numéro compris entre 1 et 6 »

  correspond à l'événement {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}, c'est-à-dire à l'événement certain ;

• l'événement « obtenir plus de 7 » correspond à l'événement { } = Ø, c'est-à-dire l'événement impossible ;
• si l'événement A est « obtenir un nombre pair »,

  l'événement contraire de A, A, est l'événement « obtenir un nombre impair ».

Fin de l'exemple

Opérations sur les événements

Définition

• L'union : l'événement $A\cup B$ est réalisé

  dès que A ou B (ou les deux) est réalisé.

• L'intersection : l'événement $A\cap B$ est réalisé

  dès que A et B sont réalisés dans la même expérience.

Début de l'exemple

Exemples

Dans un lancer de dé, si l'événement A est « obtenir un nombre pair » et l'événement B « obtenir un multiple de 3 », alors :

• l'événement $A\cup B$ est l'événement :

  « obtenir un nombre pair OU un multiple de 3 », c'est-à-dire {2, 3, 4, 6}.

• l'événement $A\cap B$ est l'événement :

  « obtenir un nombre pair ET multiple de 3 », c'est-à-dire {6}.

Fin de l'exemple

Remarques sur les connecteurs ET et OU

• Il s'agit d'un OU inclusif, c'est-à-dire « soit A, soit B, soit les deux ».
• Une éventualité appartient à $A\cup B$ si et seulement si elle appartient à A ou à B.

Mais donc $A\cup B$ est formé des éventualités de A et de celles de B...

Pour se prémunir de ce genre d'erreurs de logique,

le mot « éventualité » ne doit apparaitre qu'une fois dans la phrase.

Car le premier « OU » est un « OU » logique alors que le ET désigne en fait une addition et non une conjonction.

Événements incompatibles

Définition

Lorsque deux événements ont une intersection vide (ou impossible),

c'est qu’ils ne peuvent pas être réalisés au cours d'une même expérience.

On les appelle alors événements incompatibles.

Début de l'exemple

Exemple

Dans un lancer de dé,

si l'événement A est « obtenir un multiple de 4 »

et l'événement B « obtenir un multiple de 3 »,

les événements A et B sont incompatibles.

Fin de l'exemple

Remarque

Il ne faut pas confondre les événements incompatibles (qui ne peuvent se produire lors d'une même expérience) et les événements indépendants (qui se produisent indépendamment l'un de l'autre).