Probabilités sur les ensembles finis/Exercices/Somme de deux dés truqués

Exercice 1

On utilise un dé truqué avec les probabilités suivantes :

Numéro	1	2	3	4	5	6
Probabilité	${\frac {1}{6}}$	${\frac {1}{3}}$	${\frac {1}{6}}$	${\frac {1}{12}}$	${\frac {1}{6}}$	${\frac {1}{12}}$

.

On lance le dé deux fois successivement et l'on s'intéresse à la somme des deux numéros obtenus.

1. On représente les résultats par des couples (a, b) où a est le résultat du premier lancer et b celui du second.

   Quel est l'univers ? Combien y a-t-il de résultats possibles ?

2. Sur quelle somme doit-on parier pour avoir le plus de chances de gagner ?
3. Quelle est la probabilité de l'événement « obtenir une somme paire » ?

Solution

1. L'univers est $\{1,2,\dots ,6\}\times \{1,2,\dots ,6\}$ ; son cardinal est 36.
2. Les résultats des deux lancers sont indépendants donc leur somme $S$ suit la loi de probabilité $P(S=n)=\sum _{a+b=n}p_{a}\times p_{b}$, ce qui donne :

   ${\begin{array}{c|ccccccccccc|}n&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12\\\hline P(S=n)&1/36&1/9&1/6&5/36&5/36&1/6&17/144&1/18&1/24&1/36&1/144\\\hline \end{array}}$

   Les deux sommes les plus probables sont 4 et 7.

3. $P(S\in \{2,4,6,8,10\})=1/36+1/6+5/36+17/144+1/24+1/144=1/2$, ce qui était prévisible car la parité d'un lancer est équiprobable.