En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Exercice : Dé truquéProbabilités sur les ensembles finis/Exercices/Somme de deux dés truqués », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
On utilise un dé truqué avec les probabilités suivantes :
Numéro
1
2
3
4
5
6
Probabilité
1
6
{\displaystyle {\frac {1}{6}}}
1
3
{\displaystyle {\frac {1}{3}}}
1
6
{\displaystyle {\frac {1}{6}}}
1
12
{\displaystyle {\frac {1}{12}}}
1
6
{\displaystyle {\frac {1}{6}}}
1
12
{\displaystyle {\frac {1}{12}}}
.
On lance le dé deux fois successivement et l'on s'intéresse à la somme des deux numéros obtenus.
On représente les résultats par des couples (a , b ) où a est le résultat du premier lancer et b celui du second.
Quel est l'univers ? Combien y a-t-il de résultats possibles ?
Sur quelle somme doit-on parier pour avoir le plus de chances de gagner ?
Quelle est la probabilité de l'événement « obtenir une somme paire » ?
Solution
L'univers est
{
1
,
2
,
…
,
6
}
×
{
1
,
2
,
…
,
6
}
{\displaystyle \{1,2,\dots ,6\}\times \{1,2,\dots ,6\}}
Les résultats des deux lancers sont indépendants donc leur somme
S
{\displaystyle S}
P
(
S
=
n
)
=
∑
a
+
b
=
n
p
a
×
p
b
{\displaystyle P(S=n)=\sum _{a+b=n}p_{a}\times p_{b}}
n
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
P
(
S
=
n
)
1
/
36
1
/
9
1
/
6
5
/
36
5
/
36
1
/
6
17
/
144
1
/
18
1
/
24
1
/
36
1
/
144
{\displaystyle {\begin{array}{c|ccccccccccc|}n&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12\\\hline P(S=n)&1/36&1/9&1/6&5/36&5/36&1/6&17/144&1/18&1/24&1/36&1/144\\\hline \end{array}}}
Les deux sommes les plus probables sont 4 et 7.
P
(
S
∈
{
2
,
4
,
6
,
8
,
10
}
)
=
1
/
36
+
1
/
6
+
5
/
36
+
17
/
144
+
1
/
24
+
1
/
144
=
1
/
2
{\displaystyle P(S\in \{2,4,6,8,10\})=1/36+1/6+5/36+17/144+1/24+1/144=1/2}
