Probabilités sur les ensembles finis/Exercices/Coopérative scolaire

Dans un lycée général et technologique, 62,5 % des $N$ lycéens sont des élèves (de seconde, première ou terminale), les autres étant des étudiants (en section de technicien supérieur).

Pour pouvoir disposer des collections de manuels scolaires, tous les lycéens doivent adhérer à la coopérative scolaire.

Les élèves disposent de chèques-lire avec lesquels ils peuvent régler leur adhésion :

• 20 % paient par chèques-lire ;
• 56 % paient par chèque bancaire ;
• les autres paient par mandat ou en liquide.

Les étudiants ne disposent pas de chèques-lire :

• 96 % paient par chèque bancaire ;
• les autres paient par mandat ou en liquide.

Les parties I et II sont indépendantes.

Partie I

Le prix annuel de l'adhésion est de 50 € pour les élèves et 60 € pour les étudiants. Calculer le pourcentage réglé par chèque bancaire du montant total des adhésions.

Solution

Le montant total des adhésions est égal à $0{,}625N\times 50+0{,}375N\times 60=53{,}75N$ €.

Le montant des adhésions réglées par chèque bancaire est de $0{,}625N\times 0{,}56\times 50+0{,}375N\times 0{,}96\times 60=39{,}1N$ €.

${\frac {39{,}1}{53{,}75}}\approx 0{,}727$ donc le pourcentage du montant réglé par chèque bancaire est d'environ 73 % (quel que soit le nombre total $N$ de lycéens).

 

Partie II

On prend au hasard la fiche d'un lycéen.

On note :

• L l'événement « le lycéen est un élève » ;
• E l'événement « le lycéen est un étudiant » ;
• C l'événement « le lycéen paie par chèques-lire »;
• B l'événement « le lycéen paie par chèque bancaire » ;
• A l'événement « le lycéen paie par mandat ou en liquide ».

1. Traduire la situation à l'aide d'un arbre pondéré.

2. Calculer la probabilité que le lycéen :

a. soit un élève payant par chèques-lire ;

b. soit un étudiant payant par chèque bancaire ;

c. paye par chèque bancaire.

3. Un adhérent paye par chèque bancaire. Calculer la probabilité que ce soit un élève.

4. Dans cette question, on suppose que le nombre $N$ de lycéens est égal à 1 400 et l'on prend au hasard trois fiches de lycéens. Calculer la probabilité :

a. $P_{1}$ qu'au moins une des trois fiches soit celle d'un lycéen payant par chèque bancaire ;

b. $P_{2}$ qu'il y ait, parmi ces trois fiches, exactement deux fiches de lycéens payant par chèque bancaire.

Solution

1.

                    0,2
                !-----------C → P(L ∩ C) = 0,125
      0,625     !   0,56
   !---------L -!-----------B → P(L ∩ B) = 0,35
   !            !   0,24
   !            !-----------A → P(L ∩ A) = 0,15
---!
   !                0,96
   !  0,375     !-----------B → P(E ∩ B) = 0,36
   !---------E -!   0,04
                !-----------A → P(E ∩ A) = 0,015

2. a. $P(L\cap C)=P(L)\times P(C\mid L)=0{,}125$.

b. $P(E\cap B)=P(E)\times P(B\mid E)=0{,}36$.

c. $P(B)=P(L\cap B)+P(E\cap B)=P(L)\times P(B\mid L)+P(E\cap B)=0{,}35+0{,}36=0{,}71$.

3. $P_{B}(L)={\frac {P(L\cap B)}{P(B)}}={\frac {0{,}35}{0{,}71}}=0{,}49$.

4. a. $P_{1}=1-{\frac {\binom {N'}{3}}{\binom {N}{3}}}$, où $N'$ est le nombre de lycéens ne payant pas par chèque bancaire. $N'=NP({\overline {B}})=0{,}29N=406$ donc

$P_{1}=1-{\frac {N'(N'-1)(N'-2)}{N(N-1)(N-2)}}=1-{\frac {0{,}29(N'-1)(N'-2)}{(N-1)(N-2)}}=1-{\frac {0{,}29\times 405\times 404}{1399\times 1398}}\approx 1-0{,}0243\approx 0{,}976$.

b. $P_{2}={\frac {{\binom {N'}{1}}{\binom {N-N'}{2}}}{\binom {N}{3}}}={\frac {3N'(N-N')(N-N'-1)}{N(N-1)(N-2)}}={\frac {3\times 0{,}29(N-N')(N-N'-1)}{(N-1)(N-2)}}={\frac {0{,}87\times 994\times 993}{1399\times 1398}}\approx 0{,}4391\approx 0{,}439$.

Remarque : pour $N$ suffisamment grand (comme ici), ces deux probabilités sont en fait, en première approximation, indépendantes de $N$ :

• $P_{1}=1-{\frac {0{,}29(0{,}29N-1)(0{,}29N-2)}{(N-1)(N-2)}}\approx 1-(0{,}29)^{3}\approx 1-0{,}0244\approx 0{,}976$ ;
• $P_{2}={\frac {3N'(N-N')(N-N'-1)}{N(N-1)(N-2)}}\approx 3\times 0{,}29\times (1-0{,}29)^{2}\approx 0{,}4386\approx 0{,}439$.

 

Annexe sans réelle utilité : effectifs présentés dans trois tableaux, dans le cas $N=1400$

Nombre d'adhérents à la coopérative

	Total	Élèves	Étudiants
Pourcentage	100	62,5	37,5
Nombre de personnes	1400	875	525

Mode de paiement par élève

	Total	Chèques-lire	Chèque bancaire	Mandat ou liquide
Pourcentage	100	20	56	24
Nombre d'élèves	875	175	490	210

Mode de paiement par étudiant

	Total	Chèque bancaire	Mandat ou liquide
Pourcentage	100	96	4
Nombre d'étudiants	525	504	21