Produit scalaire dans l'espace/Applications du produit scalaire

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Équation cartésienne d'un plan

Propriété

Dans un repère orthonormé :

• Un plan P de vecteur normal ${\overrightarrow {n}}(a;b;c)$ a une équation de la forme :

$ax+by+cz+d=0$

où d est un réel (si d est nul, le plan passe par l'origine).

• Cela signifie que P est exactement l’ensemble des points $M(x;y;z)$ vérifiant cette équation.

Distance d'un point à un plan

Propriété

Soit $P$ un plan et $A$ un point de l'espace.

La (plus courte) distance du point $A$ au plan $P$ est la distance $AH$, où $H$ est le projeté orthogonal de $A$ sur $P$.

Dans un repère orthonormé, si $P$ a pour équation cartésienne $ax+by+cz+d=0$, cette distance vaut :

$AH={\frac {|ax_{A}+by_{A}+cz_{A}+d|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}$.

Démonstration

Le vecteur ${\overrightarrow {AH}}$ est normal à $P$ donc colinéaire à ${\vec {n}}:=(a,b,c)$.

Le réel $\lambda$ tel que $H=A+\lambda {\vec {n}}\in P$ est la solution de l'équation

$a(x_{A}+\lambda a)+b(y_{A}+\lambda b)+c(z_{A}+\lambda c)+d=0$,

c'est-à-dire

$\lambda =-{\frac {ax_{A}+by_{A}+cz_{A}+d}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$.

$AH=|\lambda |\|{\vec {n}}\|={\frac {|ax_{A}+by_{A}+cz_{A}+d|}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}={\frac {|ax_{A}+by_{A}+cz_{A}+d|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}$.

 

Inéquation caractérisant un demi-espace

Propriété

Soient $a$, $b$, $c$ trois réels non tous nuls, et $d$ un réel.

L'ensemble des points $M(x;y;z)$ qui vérifient $ax+by+cz+d\geq 0$ (resp.$\ >0$) est le demi-espace fermé (resp. ouvert) délimité par le plan P d'équation :

$ax+by+cz+d=0$.