Produit scalaire dans le plan/Exercices/Applications directes

Applications directes
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Exercices no1
Leçon : Produit scalaire dans le plan

Exercices de niveau 12.

Exo préc. :Sommaire
Exo suiv. :Droite d'Euler
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Produit scalaire dans le plan/Exercices/Applications directes
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Calculs avec les coordonnées

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On définit trois vecteurs du plan par leurs coordonnées dans une base   orthonormée.

 ,  ,  

1. Calculer   ;   ;  .

2. Parmi ces vecteurs, y en a-t-il qui sont orthogonaux ?

Coordonnées et angles

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Dans une base   orthonormée :

  et  

1. Calculer  .

2. Calculer   et  .

3. En déduire une mesure de l'angle   en radians puis en degrés.

Dans une base   orthonormée :

  et  

Donner une mesure de l'angle   en radians puis en degrés.

Dans une base   orthonormée.

  et  

Donner une mesure de l'angle   en radians puis en degrés.

Dans une base   orthonormée.

  et  

Donner une mesure de l'angle   en radians puis en degrés.

Vecteur orthogonal

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Donner un vecteur orthogonal au vecteur  .

Soit la droite D dont l'équation dans un repère orthonormé est :

 

1. Donner un vecteur directeur de la droite D.

2. Donner un vecteur orthogonal à la droite D (vecteur normal)

Droite définie par un point et un vecteur normal

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Soit, dans un repère orthonormé, la droite   passant par   et

orthogonale au vecteur  .

Déterminer une équation de la droite   en notant   un point de  

et en écrivant que :

 

Somme de deux vecteurs

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Soit deux vecteurs   et   tels que :

 

 

 

1. Développer  

2. En déduire la norme du vecteur  

Théorème d'Al Kashi

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Soit ABC un triangle.

1. Démontrer en développant   que :

 

2. En utilisant la formule de 1°, calculer BC avec :

  ;   et  .

3. En utilisant la formule de 1°, calculer BC avec :

  ;   et  .

Tangente à un cercle

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Soit le cercle   de centre A (1;-1) et de rayon  .

1. Démontrer que B(2,0) appartient à  .

2. Donner une équation de la tangente à   au point B.

Projection et symétrie

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Soit   la droite de   d'équation  .

  1. Donner une paramétrisation de  . On notera   un vecteur directeur de  .
  2. Soit  . Déterminer le projeté orthogonal de   sur  . Même question pour  . Faire un dessin.
  3. Soient  ,   et   le symétrique orthogonal de   par rapport à  .
    1. Montrer que  .
    2. Montrer que   est orthogonal à  .
    3. En déduire les coordonnées de   (en fonction de   et  ).
  4. Soit   la droite passant par l'origine et de vecteur directeur  . Déterminer le projeté orthogonal de   sur   ainsi que l'image de   par la symétrie orthogonale par rapport à  .

Deux droites

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Dessiner les droites définies par les équations   et  . Déterminer leur point d'intersection et l'angle entre elles.