En premier lieu, on constate qu'aucun
x
{\displaystyle x}
négatif n'appartient à la zone :
x
≥
0
{\displaystyle x\geq 0}
est solution
De même, on constate qu'aucun
y
{\displaystyle y}
négatif n'appartient à la zone :
y
≥
0
{\displaystyle y\geq 0}
est également solution
La droite passant par les points A et B est une frontière du polygone, donc cherchons son équation. Elle est de la forme
y
=
a
x
+
b
{\displaystyle y=ax+b}
:
{
4
=
a
×
0
+
b
3
=
a
×
4
+
b
{\displaystyle {\begin{cases}4=a\times 0+b\\3=a\times 4+b\end{cases}}}
{
b
=
4
3
=
a
×
4
+
b
{\displaystyle {\begin{cases}b=4\\3=a\times 4+b\end{cases}}}
{
b
=
4
3
=
a
×
4
+
4
{\displaystyle {\begin{cases}b=4\\3=a\times 4+4\end{cases}}}
{
b
=
4
a
=
−
1
4
{\displaystyle {\begin{cases}b=4\\a=-{\frac {1}{4}}\end{cases}}}
d'où l'équation :
y
=
−
1
4
x
+
4
{\displaystyle y=-{\frac {1}{4}}x+4}
Le point de coordonnées (0,0) est solution de la zone dont la droite précédente est frontière :
0
?
−
1
4
0
+
4
{\displaystyle 0?-{\frac {1}{4}}0+4}
0
?
4
{\displaystyle 0?4}
0
<
4
{\displaystyle 0<4}
Donc l'inéquation correspondante à la zone définie pour ce polygone est :
y
<
−
1
4
x
+
4
{\displaystyle y<-{\frac {1}{4}}x+4}
La droite passant par les points B et C est une frontière du polygone, donc cherchons son équation. Elle est de la forme
y
=
a
x
+
b
{\displaystyle y=ax+b}
:
{
3
=
a
×
4
+
b
0
=
a
×
6
+
b
{\displaystyle {\begin{cases}3=a\times 4+b\\0=a\times 6+b\end{cases}}}
{
3
=
a
×
4
+
b
3
−
0
=
a
×
4
−
a
×
6
+
b
−
b
{\displaystyle {\begin{cases}3=a\times 4+b\\3-0=a\times 4-a\times 6+b-b\end{cases}}}
{
3
=
a
×
4
+
b
3
=
a
×
−
2
{\displaystyle {\begin{cases}3=a\times 4+b\\3=a\times -2\end{cases}}}
{
3
=
a
×
4
+
b
a
=
−
3
2
{\displaystyle {\begin{cases}3=a\times 4+b\\a=-{\frac {3}{2}}\end{cases}}}
{
3
=
−
3
2
×
4
+
b
a
=
−
3
2
{\displaystyle {\begin{cases}3=-{\frac {3}{2}}\times 4+b\\a=-{\frac {3}{2}}\end{cases}}}
{
3
=
−
6
+
b
a
=
−
3
2
{\displaystyle {\begin{cases}3=-6+b\\a=-{\frac {3}{2}}\end{cases}}}
{
b
=
9
a
=
−
3
2
{\displaystyle {\begin{cases}b=9\\a=-{\frac {3}{2}}\end{cases}}}
d'où l'équation :
y
=
−
3
2
x
+
9
{\displaystyle y=-{\frac {3}{2}}x+9}
Le point de coordonnées (0,0) est solution de la zone dont la droite précédente est frontière :
0
?
−
3
2
0
+
9
{\displaystyle 0?-{\frac {3}{2}}0+9}
0
?
9
{\displaystyle 0?9}
0
<
9
{\displaystyle 0<9}
Donc l'inéquation correspondante à la zone définie pour ce polygone est :
y
<
−
3
2
x
+
9
{\displaystyle y<-{\frac {3}{2}}x+9}
La définition du polygone est donc :
{
x
≥
0
y
≥
0
y
≤
−
1
4
x
+
4
y
≤
−
3
2
x
+
9
{\displaystyle {\begin{cases}x\geq 0\\y\geq 0\\y\leq -{\frac {1}{4}}x+4\\y\leq -{\frac {3}{2}}x+9\end{cases}}}