Programmation linéaire/Résoudre graphiquement un problème de programmation linéaire

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Exemple de problème

On utilise une sorbetière pour fabriquer deux desserts glacés A et B à base de cocktail et de glace.

Le dessert A nécessite 8 cl de cocktail et 2 dl de glace. Il est vendu 9 €.

Le dessert B nécessite 5 cl de cocktail et 3 dl de glace. Il est vendu 10 €.

Par jour, on ne peut fabriquer que 1 600 cl de cocktail et 600 dl de glace.

Soit x le nombre de desserts A et y celui de desserts B servis par jour.

Système de contraintes

1° Écrire un système d'équations traduisant les contraintes imposées par l'énoncé aux valeurs possibles de x et y.

Solution :

• La quantité totale de glace (en dl) utilisée est : $2x+3y$.

Elle doit être inférieure à 600 dl donc on obtient la première inéquation de contrainte :

$2x+3y\leq 600$.

• La quantité totale de cocktail utilisée (en cl) est : $8x+5y$.

Elle doit être inférieure à 1 600 cl donc on obtient la deuxième inéquation de contrainte :

$8x+5y\leq 1600$.

De plus, les quantités x et y doivent être positives, ce qui donnent les deux inéquations :

$x\geq 0$ et $y\geq 0$.

Enfin, x et y doivent être des nombres entiers.

Finalement, on obtient le système :

${\begin{cases}x\geq 0\\y\geq 0\\2x+3y\leq 600\\8x+5y\leq 1600\\x\ et\ y\ entiers\\\end{cases}}$

Valeurs possibles

2° Peut-on servir 60 desserts A et 140 desserts B ?

Peut-on servir 140 desserts A et 180 desserts B ?

Solution :

On peut représenter le système de contraintes dans le plan en isolant y dans les deux dernières inéquations :

$2x+3y\leq 600\Leftrightarrow y\leq -{\frac {2}{3}}x+200$

$8x+5y\leq 1600\Leftrightarrow y\leq -{\frac {8}{5}}x+320$

On a donc le système :

${\begin{cases}x\geq 0\\y\geq 0\\y\leq -{\frac {2}{3}}x+200\\y\leq -{\frac {8}{5}}x+320\\x\ et\ y\ entiers\\\end{cases}}$

En traçant les droites correspondantes, on obtient la zone admissible :

Maximisation du chiffre d'affaires

3° On désire maximiser le chiffre d'affaires. Combien faut-il vendre de desserts A et B ?

Le chiffre d'affaires vaut :

$c=9x+10y$

En isolant y on obtient :

$y=-0,9x+{\frac {c}{10}}$

Cette équation est celle d'une droite de coefficient directeur -0,9 et en faisant varier c,

on obtient une série de droites parallèles,

dont l'ordonnée à l'origine augmente à mesure que c augmente.

Les droites sont donc d'autant plus à droite que c est grand.

On en déduit donc que le chiffre d'affaires est maximum pour celle de ces droites ayant le c le plus élevé qui passe par un point de coordonnées entières de la zone admissible.

En faisant un "zoom" sur la zone entourant le point d'intersection des deux droites de contraintes, on obtient les conclusions suivantes :

• Le point d'intersection n'a pas de coordonnées entières, il n'est donc pas solution.
• Parmi les points de coordonnées entières aux environs de ce point, c’est $G(126,116)$ qui correspond au plus grand chiffre d'affaires $c=2294$.

La solution du problème est donc :

Il faut servir 126 desserts A et 116 desserts B pour respecter les contraintes et obtenir un chiffre d'affaires maximum.