Puissances/Démonstrations

Début de la boite de navigation du chapitre

Nous allons voir dans ce chapitre les démonstrations des propriétés vues dans le chapitre précédent.

fin de la boite de navigation du chapitre

Démonstrations

Les démonstrations des règles 1 à 5 sur les puissances peuvent se faire avec un raisonnement par récurrence.

Règle 1

$a^{m}\times {a}^{n}=a^{m+n}$

Prérequis : pour k entier relatif, $a^{k+1}=a^{k}\times a$

• Si k > 0, $a^{k+1}=a^{k}\times a$ d’après la définition d’une puissance entière d'exposant positif.
• Si k = 0, $a^{k+1}=a^{1}=a$ et $a^{k}\times a=a^{0}\times a=1\times a=a$ d’après la définition d’une puissance d'exposant nul.
• Si k = -1, $a^{k+1}=a^{0}=1$ et $a^{k}\times a=a^{-1}\times a={\frac {1}{a}}\times a=1$
• Si k < -1, $a^{k+1}=a^{k}\times a$ d’après la définition d’une puissance entière d'exposant négatif.

Démonstration pour a non nul et m un entier relatif

Soit la proposition $P_{n}:a^{m}\times {a}^{n}=a^{m+n}$

• Pour n = 0, on a d’un côté

$a^{m}\times {a}^{n}=a^{m}\times {1}=a^{m}$ et de l'autre

$a^{m+n}=a^{m+0}=a^{m}$

La propriété P_n est donc vérifiée pour n = 0, ou pour faire plus court, P₀ est vraie.

• Supposons que P_n soit vraie pour n supérieur ou égal à zéro. Voyons si P_n+1 est vraie.

En partant d’un côté :

$a^{m}\times {a}^{n+1}=a^{m}\times ({a}^{n}\times {a})$ d’après la définition d’un puissance entière, puis

$a^{m}\times ({a}^{n}\times {a})=(a^{m}\times {a}^{n})\times {a}$ par associativité de la multiplication,

$(a^{m}\times {a}^{n})\times {a}=a^{m+n}\times {a}$ car on suppose que P_n est vraie

$a^{m+n}\times {a}=a^{m+n+1}$ d’après la définition d’un puissance entière.

On obtient donc que $a^{m}\times {a}^{n+1}=a^{m+n+1}$

C'est-à-dire que P_n+1 est vraie lorsque P_n est vraie.

On a donc, pour n supérieur ou égal à zéro, l'implication $P_{n}\Rightarrow P_{n+1}$.

• Par récurrence sur n, on peut conclure que pour tout entier n positif, P_n est vraie.

On peut faire un raisonnement semblable pour les puissances négatives. Montrant que $P_{n}\Rightarrow P_{n-1}$, on conclut que la propriété est vraie aussi pour n négatif.

Démonstration pour a = 0

Si les exposants sont strictement positifs, c'est-à-dire que m > 0 et n > 0, alors on a :

$a^{m}\times {a}^{n}=0\times 0$ et

$a^{m+n}=0$

Dans ce cas là (exposants strictement positifs), la règle est aussi vraie. Sinon, les résultats sont indéterminés.