Puissances/Démonstrations

Début de la boite de navigation du chapitre

Nous allons voir dans ce chapitre les démonstrations des propriétés vues dans le chapitre précédent.

Démonstrations
Icône de la faculté
Chapitre no 2
Leçon : Puissances
Chap. préc. :Introduction
Chap. suiv. :Les puissances de 10 et leur usage scientifique
fin de la boite de navigation du chapitre
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Puissances : Démonstrations
Puissances/Démonstrations
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Démonstrations modifier

Les démonstrations des règles 1 à 5 sur les puissances peuvent se faire avec un raisonnement par récurrence.

Règle 1 modifier

 

Prérequis : pour k entier relatif,  

  • Si k > 0,   d’après la définition d’une puissance entière d'exposant positif.
  • Si k = 0,   et   d’après la définition d’une puissance d'exposant nul.
  • Si k = -1,   et  
  • Si k < -1,   d’après la définition d’une puissance entière d'exposant négatif.

Démonstration pour a non nul et m un entier relatif

Soit la proposition  

  • Pour n = 0, on a d’un côté

  et de l'autre

 

La propriété Pn est donc vérifiée pour n = 0, ou pour faire plus court, P₀ est vraie.

  • Supposons que Pn soit vraie pour n supérieur ou égal à zéro. Voyons si Pn+1 est vraie.

En partant d’un côté :

  d’après la définition d’un puissance entière, puis

  par associativité de la multiplication,

  car on suppose que Pn est vraie

  d’après la définition d’un puissance entière.

On obtient donc que  

C'est-à-dire que Pn+1 est vraie lorsque Pn est vraie.

On a donc, pour n supérieur ou égal à zéro, l'implication  .

  • Par récurrence sur n, on peut conclure que pour tout entier n positif, Pn est vraie.

On peut faire un raisonnement semblable pour les puissances négatives. Montrant que  , on conclut que la propriété est vraie aussi pour n négatif.

Démonstration pour a = 0

Si les exposants sont strictement positifs, c'est-à-dire que m > 0 et n > 0, alors on a :

  et

 

Dans ce cas là (exposants strictement positifs), la règle est aussi vraie. Sinon, les résultats sont indéterminés.