Réciproque du théorème de Pythagore/Démontrer qu'un triangle est rectangle

Qu'est-ce qu'une réciproque ?

**Démontrer qu'un triangle est rectangle**
Leçon : Réciproque du théorème de Pythagore

Chapitre n^o 1
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Chap. suiv. :	Démontrer qu'un triangle n'est pas rectangle

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Réciproque du théorème de Pythagore/Démontrer qu'un triangle est rectangle », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Introduction

1) On considère la propriété : "Si B est le milieu de [AC], alors AB = BC.

La propriété réciproque est : "Si AB = BC, alors B est le milieu de [AC].

La propriété est VRAIE ; en revanche, sa réciproque est FAUSSE (B appartient à la médiatrice de [AC]).

--> Cette propriété n'admet donc pas de réciproque.

2) La propriété du théorème de Pythagore est la suivante :

"Si un triangle est rectangle, alors le carré de la longueur de l'hypoténuse (le plus grand côté) est égal à la somme des carrés des deux autres côtés."

Sa propriété réciproque serait :

"Si dans un triangle, le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle."

On admettra que cette réciproque est vraie.

Réciproque du théorème de Pythagore

Propriété

Réciproque du théorème de Pythagore

Dans un triangle, si le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle.
Autrement dit, si dans un triangle ABC, on a BC² = AB² + AC², alors le triangle est rectangle en A.

Application

Énoncé : Le triangle MNP est tel que MN = 73 cm, NP = 55 cm et PM = 48 cm. Démontrer que le triangle MNP est rectangle.

Méthode : (pour prouver qu'un triangle est rectangle)

On repère le côté du triangle qui pourrait être l'hypoténuse.
On calcule le carré du plus grand côté.
On calcule la somme des carrés des deux autres côtés.
On écrit l'égalité obtenue.
On cite la propriété utilisée ("d'après la réciproque du théorème de Pythagore...")
On écrit la conclusion ("le triangle est rectangle en...")

Remarque : On peut tracer une figure en grandeur réelle ou à main levée afin de mieux visualiser le problème.

Solution

Le plus grand côté est [MN]. Donc, si ce triangle est rectangle, alors il le sera en P.

D'une part, MN² = 73² = 5329.
D'autre part, PM² + PN² = 48² + 55² = 5329.

On a donc : MN² = PM² + PN².

D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle MNP est rectangle en P.

Réciproque du théorème de Pythagore

Sommaire

Démontrer qu'un triangle n'est pas rectangle