Rédaction mathématique/Équations et systèmes

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Rappels sur les équations

Début d’un principe

Problème posé

Résoudre l'équation $(E)~:~3x+1=4$ d'inconnue $x\in \mathbb {R}$.

Fin du principe

Tout d’abord, rappelons bien le vocabulaire des équations.

Équation à une inconnue

• Une équation est une égalité mathématique entre des nombres, dont certains ne sont pas connus. Par exemple, l'équation (E) établit l'égalité entre 4 et « 3x + 1 », qu'on ne connaît pas.
• Le nombre qu'on ne connaît pas est noté avec une lettre, souvent x. x s’appelle l'inconnue de l'équation (E).
• Résoudre l'équation (E), c’est trouver tous les x pour lesquels l'égalité fonctionne.
• L'ensemble de tous les x solutions de (E) est appelé... ensemble des solutions de (E) !
• L'ensemble dans lequel on doit chercher les solutions de (E), donné par l'énoncé, s’appelle le cadre de travail.

Début de l'exemple

Exemple

Reprenons l'équation $(E)~:~3x+1=4$ d'inconnue $x\in \mathbb {R}$

• Si on prend $x=2$, alors $3x+1=7$ et $7\not =4$. L'égalité (E) ne marche pas, donc 2 n’est pas solution de (E).
• Si on prend $x=1$, alors $3x+1=4$. L'égalité (E) marche, donc 1 est solution de (E).
• Le cadre de travail est $\mathbb {R}$, c'est-à-dire que toutes les solutions qui sont dans $\mathbb {R}$ nous intéressent.

Fin de l'exemple

Début de l'exemple

Exemple

• Résoudre l'équation $(E_{1})~:~x^{2}=1$ d'inconnue $x\in \mathbb {R}$
  • Le cadre de travail est $\mathbb {R}$, donc toutes les solutions qui sont dans $\mathbb {R}$ nous intéressent.
  • L'ensemble des solutions de (E₁) est alors $\{-1;1\}$.
• Résoudre l'équation $(E_{2})~:~x^{2}=1$ d'inconnue $x\in [0;+\infty [$
  • Le cadre de travail est $[0;+\infty [$, donc toutes les solutions qui sont dans $[0;+\infty [$ nous intéressent, mais pas les autres !.
  • L'ensemble des solutions de (E₂) est alors $\{1\}$.
  • -1 n’est pas solution de (E₂) car il n'est pas dans le cadre de travail.

Fin de l'exemple

Résolution élémentaire

Début d’un principe

Méthode de résolution n^o 1

Pour résoudre une équation, c'est-à-dire trouver l’ensemble des solutions de l'équation, on va manipuler l'égalité pour isoler le x d'un côté.

On trouvera alors x = le résultat cherché.

Fin du principe

Liens entre équations

On sait déjà manipuler les équations (passer les termes de l'autre côté...). On va maintenant chercher à rédiger la preuve, c'est-à-dire écrire des liens logiques entre les équations.

Début de l'exemple

Exemple

Quand on rédige il ne faut pas écrire : $x=3$ $x^{2}\,=9$

car on ne voit pas la structure du raisonnement. Il faut écrire $x=3$

Donc $x^{2}\,=9$

Fin de l'exemple

Mais le mot « donc » ne suffit pas pour rédiger la résolution d'une équation. En effet, résoudre une équation, c’est trouver toutes les solutions... et être sûr qu’il n'y en a pas d'autres !

Début de l'exemple

Exemple

Soit l'équation $(E_{1})~:~x^{2}=1$ d'inconnue $x\in \mathbb {R}$.

Quelqu'un de trop rapide pourrait dire « 1 est solution de (E₁), donc l’ensemble des solutions de (E₁) est {1} ».

C'est faux, car -1 est aussi solution...

Fin de l'exemple

On va donc introduire un nouveau lien logique : « si et seulement si ».

Définition

Si A et B sont deux équations mathématiques :

• A est vérifiée si et seulement si B est vérifiée signifie que :
  • Si A est vraie, alors B est vraie
  • Si A est fausse, alors B est fausse
• mais aussi, dans l'autre sens du raisonnement :
  • Si B est vraie, alors A est vraie
  • Si B est fausse, alors A est fausse.

On peut abréger « si et seulement si » en ssi.

Ce nouveau lien logique permet d'écrire la résolution d'une équation « en un seul coup ».

Début de l'exemple

Exemple

$(E_{1})~:~x^{2}=1{\textrm {~ssi~}}x\in \{-1,1\}$ permet d'écrire de manière condensée :

• Si $x\in \{-1,1\}$, alors $x^{2}=1$ : -1 et 1 sont solution de (E₁)
• Si $x^{2}=1$, alors forcément $x=1$ ou $x=-1$ : -1 et 1 sont bien les seules solutions de (E₁)

Fin de l'exemple

Rédaction

Enfin, c’est bien beau de manipuler des x mais qui est x ? La rédaction d'une preuve, avant même de commencer tout calcul, doit présenter tous les éléments qui vont servir à la preuve, comme x.

x est un élément du cadre de travail, donc la rédaction doit commencer par : Soit $x\in {\textrm {Cadre~de~travail}}$.

Ensuite, la manipulation des équations se fait en les articulant par des ssi.

À la fin de la manipulation, on obtient plusieurs valeurs possibles des x solutions de l'équation. il faut ensuite vérifier que les solutions potentielles sont dans le cadre de travail.

Enfin, il est très important de conclure avec une phrase qui répond à la question. Cette conclusion doit être mise en valeur (encadrée, soulignée, en une autre couleur...).

Début d’un principe

Rédaction-type

Résoudre l'équation $(E)~:~x^{2}+2x+1=4$ d'inconnue $x\in [0,+\infty [$

Soit $x\in [0,+\infty [$ ${\begin{aligned}(E)~:~x^{2}+2x+1=4&{\textrm {~ssi~}}(x+1)^{2}=4\\&{\textrm {~ssi~}}x+1=2{\textrm {~ou~}}x+1=-2\\&{\textrm {~ssi~}}x=1{\textrm {~ou~}}x=-3\end{aligned}}$

• $1\in [0,+\infty [$
• $-3\not \in [0,+\infty [$

Finalement, l’ensemble des solutions de l'équation (E) est {1}.

Fin du principe

Il faut bien comprendre que chaque étape de cette manière de présenter correspond à une étape du raisonnement qui peut se traduire en français :

Début d’un principe

Traduction

• On choisit un élément dans le cadre de travail, que l’on appelle x. Ce x est donc potentiellement une solution.
• x est solution de (E) ssi l'égalité $x^{2}+2x+1=4$ est vraie, ssi l'égalité $(x+1)^{2}=4$ est vraie .... ssi $x=1{\textrm {~ou~}}x=-3$.
• On vient de montrer que -1 et 3 sont solution de (E) et, inversement, que les seules solutions possibles de (E) sont -1 et 3. On vérifie maintenant, pour chaque solution trouvée, qu'elle appartient bien au cadre de travail.
• On conclut en écrivant l’ensemble des solutions final de l'équation (E).

Fin du principe

Début de l'exemple

Un problème physique

Un enfant farceur lâche une boule de neige du haut de la tour Eiffel à l'instant t=0. La hauteur h de la boule de neige à l'instant t est donnée par la fonction $h:t\mapsto 300-5t^{2}$.

Calculer au bout de combien de temps la boule s'écrase par terre.

• Mise en équation : La boule touche par terre à l'instant t tel que h(t)=0. On veut donc résoudre l'équation h(t) = 0 d'inconnue t.
• Cadre de travail : Il va de soi qu'on ne s'intéresse pas aux instants t < 0, qui correspondent pas à la mesure du temps de chute de la boule. Le cadre de travail est donc $[0,+\infty [$.
• Résolution de l'équation :

Soit $t\in [0,+\infty [$ : ${\begin{aligned}h(t)=0&{\textrm {~ssi~}}300-5t^{2}=0\\&{\textrm {~ssi~}}300=5t^{2}\\&{\textrm {~ssi~}}t^{2}=60\\&{\textrm {~ssi~}}t={\sqrt {60}}{\textrm {~ou~}}t=-{\sqrt {60}}\\&{\textrm {~ssi~}}t=2{\sqrt {15}}{\textrm {~ou~}}t=-2{\sqrt {15}}\\\end{aligned}}$

• $t=2{\sqrt {15}}\in [0,+\infty [$
• $t=-2{\sqrt {15}}\not \in [0,+\infty [$

Finalement; la boule touche le sol à l'instant $t=2{\sqrt {15}}~\mathrm {s} \approx 7,7\mathrm {s}$

Fin de l'exemple

Division

Il y a un point auquel il faut particulièrement prendre garde : c’est lorsqu'on divise par un terme susceptible de s'annuler. Cela peut parfois changer le cadre de travail !.

Début de l'exemple

Exemple

Résoudre les équations $(E_{1})~:~x^{2}=4$ et $(E_{2})~:~{\frac {4}{x^{2}}}=1$ d'inconnue x.

Quelle est la différence ? Le cadre de travail ! En effet :

• Dans le premier cas, le cadre de travail est $\mathbb {R}$ car l’expression peut être définie pour tout $x\in \mathbb {R}$.
• Dans le deuxième cas, le cadre de travail est $\mathbb {R} \backslash \{0\}$ car l’expression n'a absolument aucun sens pour $x=0$ !

Fin de l'exemple

Il faut donc être très vigilant à l’expression de départ, mais aussi à toutes les divisions que l’on sera amené à faire.

Début d’un principe

Principe

Il est essentiel, si ce n’est pas évident, de justifier que le terme par lequel on divise n’est pas nul.

S'il peut l'être, il faudra étudier ce cas à part.

Fin du principe

Début de l'exemple

Exemple

Résoudre l'équation $(E)~:~x^{3}+x=2x^{2}$ d'inconnue x.

Commençons la résolution normalement :

Soit $x\in \mathbb {R}$ : $x^{3}+x=2x^{2}{\textrm {~ssi~}}x(x^{2}+1)=x\times 2x$

Là, on est très tentés de simplifier par x. Mais avant de succomber à la tentation, il faut s'assurer que x est non nul. Or, on a pris un x quelconque dans $\mathbb {R}$, qui pourrait très bien être nul.

On est donc obligés de modifier le cadre de travail en excluant 0 pour le traiter « à côté ».

• 0 est solution de (E).
• Soit $x\in \mathbb {R} \backslash \{0\}$ :

${\begin{aligned}x^{3}+x=2x^{2}&{\textrm {~ssi~}}x(x^{2}+1)=x\times 2x\\&{\textrm {~ssi~}}x^{2}+1=2x{\textrm {~car~}}x\not =0\\&{\textrm {~ssi~}}x^{2}-2x+1=0\\&{\textrm {~ssi~}}(x-1)^{2}=0\\&{\textrm {~ssi~}}x=1\\\end{aligned}}$.

Finalement, l’ensemble des solutions de (E) est $\{0,1\}$.

Fin de l'exemple

Éviter la division par un terme qui peut s'annuler

Parfois, on peut éviter les difficultés de manipulation du cadre de travail en évitant, dans la mesure du possible bien sûr, de diviser par un terme qui peut s'annuler.

Début de l'exemple

Exemple

Reprenons l'exemple de l'équation $(E)~:~x^{3}+x=2x^{2}$ d'inconnue x.

Soit $x\in \mathbb {R}$ : $x^{3}+x=2x^{2}{\textrm {~ssi~}}x(x^{2}+1)=x\times 2x$

Tout à l’heure, on avait voulu simplifier par x. Cette fois-ci, pour éviter la division, on va passer le terme $2x^{2}$ de l'autre côté de l'égalité pour pouvoir le factoriser.

${\begin{aligned}x^{3}+x=2x^{2}&{\textrm {~ssi~}}x(x^{2}+1)=x\times 2x\\&{\textrm {~ssi~}}x(x^{2}+1)-x\times 2x=0\\&{\textrm {~ssi~}}x(x^{2}-2x+1)=0\\&{\textrm {~ssi~}}x(x-1)^{2}=0\\&{\textrm {~ssi~}}x=1~{\rm {ou}}~x=0\\\end{aligned}}$.

Finalement, l’ensemble des solutions de (E) est $\{0,1\}$.

On a ainsi fait d'une pierre deux coups :

• On a évité les problèmes de cadre de travail.
• On a directement les solutions.

Fin de l'exemple

Début d’un principe

Méthode de résolution n^o 2

Pour résoudre une équation polynomiale, on peut :

• Mettre tous les termes du même côté
• Chercher à factoriser le polynôme

En appliquant la règle « Un produit de facteurs est nul ssi au moins l'un des facteurs est nul » permet alors de trouver les solutions de l'équation.

Fin du principe

Systèmes d'équations

La rédaction est exactement la même pour les systèmes d'équations.

Début de l'exemple

Exemple

Résoudre le système d'équations $(S)~:~{\begin{cases}3x+y=5\\4x-y=9\end{cases}}$ d'inconnues $x\in \mathbb {R}$ et $y\in \mathbb {R}$.

Soient $x\in \mathbb {R}$ et $y\in \mathbb {R}$ : ${\begin{aligned}{\begin{cases}3x+y=5\\4x-y=9\end{cases}}&{\textrm {~ssi~}}{\begin{cases}y=5-3x\\4x-y=9\end{cases}}\\&{\textrm {~ssi~}}{\begin{cases}y=5-3x\\4x-5+3x=9\end{cases}}\\&{\textrm {~ssi~}}{\begin{cases}y=5-3x\\7x=14\end{cases}}\\&{\textrm {~ssi~}}{\begin{cases}y=-1\\x=2\end{cases}}\\\end{aligned}}$

Donc la solution de (S) est le couple $(x=2;y=-1)$

Fin de l'exemple