Rédaction mathématique/Inéquations

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Rappels sur les inéquations

Début d’un principe

Problème posé

Résoudre l'inéquation $(I)~:~3x+1\leq 4$ d'inconnue $x\in \mathbb {R}$.

Fin du principe

Le vocabulaire des inéquations est presque le même que celui des équations :

Inéquation à une inconnue

• Une inéquation est une inégalité mathématique entre des nombres, dont certains ne sont pas connus. Par exemple, l'inéquation (I) établit une inégalité entre 4 et « 3x + 1 », qu'on ne connaît pas.
• Le nombre qu'on ne connaît pas est noté avec une lettre, souvent x. x s’appelle l'inconnue de l'inéquation (I).
• Résoudre l'inéquation (I), c’est trouver tous les x pour lesquels l'inégalité fonctionne.
• L'ensemble de tous les x solutions de (I) est appelé ensemble des solutions de (I).
• L'ensemble dans lequel on doit chercher les solutions de (I), donné par l'énoncé, s’appelle le cadre de travail.

Rédaction

La manipulation des inéquations est déjà connue. Là encore, on cherche à écrire des liens logiques entre les équations. Comme dans le cas des équations, on utilisera le mot de liaison ssi.

La rédaction-type de la résolution d'une inéquation est exactement la même que pour une équation :

• Cadre de travail
• Preuve à l'aide de « ssi »
• Conclusion mise en valeur

Début d’un principe

Rédaction-type

Résoudre l'inéquation $(I)~:~3x^{2}+5x\leq x(3x-1)$ d'inconnue x.

Soit $x\in \mathbb {R}$ ${\begin{aligned}3x^{2}+5x\leq x(3x-1)&{\textrm {~ssi~}}3x^{2}+5\leq 3x^{2}-x\\&{\textrm {~ssi~}}5\leq -x\\&{\textrm {~ssi~}}x\leq -5\\\end{aligned}}$

Finalement, l’ensemble des solutions de l'inéquation (I) est $]-\infty ;-5]$.

Fin du principe

Multiplication et division

Début d’un théorème

Théorème

• Lorsqu'on multiplie ou divise les deux termes d'une inégalité par un terme strictement positif, le sens de l'inégalité est conservé.
• Lorsqu'on multiplie ou divise les deux termes d'une inégalité par un terme strictement négatif, le sens de l'inégalité est inversé.

Fin du théorème

Cette conséquence peut aboutir à une distinction de cas lors de la résolution d'une inéquation.

Début de l'exemple

Exemple

Résoudre l'inéquation $(I_{1})~:~x^{2}+3x\leq x+3$ d'inconnue x.

Soit $x\in \mathbb {R}$ ${\begin{aligned}x^{2}+3x\leq x+3&{\textrm {~ssi~}}x(x+3)\leq x+3\end{aligned}}$

Là, pour poursuivre la résolution, on a bien envie de simplifier par (x+3). Seulement : quel est le signe de x+3 ? Il peut être

• strictement positif ssi $x>-3$
• strictement négatif ssi $x<-3$
• nul ssi $x=-3$

Faisons donc 3 cas :

• Premier cas : $x>-3$

${\begin{aligned}x^{2}+3x\leq x+3&{\textrm {~ssi~}}x(x+3)\leq x+3\\&{\textrm {~ssi~}}x\leq 1{\textrm {~car~}}x+3>0\end{aligned}}$

Ce premier cas aboutit à $x^{2}+3x\leq x+3{\textrm {~ssi~}}{\begin{cases}x>-3\\x\leq 1\end{cases}}$, donc l’ensemble des solutions de ce premier cas est ${\mathcal {S}}=]-3;1]$

• Second cas : $x<-3$

${\begin{aligned}x^{2}+3x\leq x+3&{\textrm {~ssi~}}x(x+3)\leq x+3\\&{\textrm {~ssi~}}x\geq 1{\textrm {~car~}}x+3<0\end{aligned}}$

Ce second cas aboutit à $x^{2}+3x\leq x+3{\textrm {~ssi~}}{\begin{cases}x<-3\\x\geq 1\end{cases}}$, ce qui est impossible.

• Troisième cas : $x=-3$

$x^{2}+3x=(-3)^{2}+3\times (-3)=0$ $x+3=0$

Donc -3 est solution de $(I_{1})$

Comme les trois cas recouvrent tous les cas possibles, on n'a pas oublié de solutions potentielles.

Finalement, l’ensemble des solutions de $(I_{1})$ est $[-3;1]$

Fin de l'exemple

Début d’un principe

Éviter la division par un terme non constant

On s'aperçoit que cette rédaction est longue à mettre en œuvre. Au lieu de vouloir simplifier, ce qui nécessite une étude de signe pour savoir s'il faut changer ou non le signe de l'égalité, on choisit de mettre tous les termes du même côté et de factoriser, comme pour les égalités.

La résolution de l'inéquation se fait alors grâce au dressement d'un tableau de signes.

Fin du principe

Début de l'exemple

Exemple

Résoudre l'inéquation $(I_{1})~:~x^{2}+3x\leq x+3$ d'inconnue x.

Soit $x\in \mathbb {R}$ ${\begin{aligned}x^{2}+3x\leq x+3&{\textrm {~ssi~}}x(x+3)\leq x+3\\&{\textrm {~ssi~}}x(x+3)-(x+3)\leq 0\\&{\textrm {~ssi~}}(x-1)(x+3)\leq 0\\\end{aligned}}$

${\begin{array}{c|ccccccc|}x&-\infty &&-3&&1&&+\infty \\\hline {\textrm {Signe~de}}~(x-1)&&-&&-&0&+&\\\hline {\textrm {Signe~de}}~(x+3)&&-&0&+&&+&\\\hline {\textrm {Signe~de}}~(x+1)(x-3)&&+&0&-&0&+&\\\hline \end{array}}$

Il ne reste plus qu’à lire sur le tableau.

L'ensemble des solutions de I₁ est $[-3;\,1]$

Fin de l'exemple

Application d'une fonction

Début d’un principe

Application d'une fonction à une inégalité

Pour résoudre une inéquation, on ne peut parfois pas se contenter des opérations élémentaires +, -, ×... Il faut parfois avoir recours à des fonctions comme la racine carrée... On s'intéresse alors au passage d'une inégalité de la forme a ≤ b à une inégalité comparant ƒ(a) et ƒ(b). On ne peut cependant appliquer une fonction à une inégalité que sous certaines conditions.

• Premièrement, il faut que la fonction soit définie pour les deux membres de l'inégalité.

Il est impensable de vouloir appliquer directement la fonction racine carrée à l'inégalité $x^{2}\geq -3$

• Il est également indispensable que ƒ soit monotone entre a et b
  • Si ƒ est croissante entre a et b, le sens de l'inégalité est conservé.
  • Si ƒ est décroissante entre a et b, le sens de l'inégalité est inversé.

Les arguments de monotonie de ƒ et de définition doivent apparaître dans la rédaction.

Fin du principe

Début de l'exemple

Exemple où la monotonie n’est pas respectée

On cherche à résoudre l'inéquation $x^{2}\geq 1$ sur $\mathbb {R}$

Si on prend brutalement les racines carrées des deux termes sans faire plus attention, on aboutit à $x\geq 1$.

Or, tous les réels de l'intervalle $]-\infty ;-1]$ sont également solution !

Il faut donc veiller à la monotonie de la fonction sur les intervalles de travail.

Fin de l'exemple

Début de l'exemple

Exemple

Résoudre l'inéquation $(I_{2})~:~x^{2}\leq 1$ d'inconnue $x\in \mathbb {R} ^{+}$.

Soit $x\in \mathbb {R} ^{+}$ $x^{2}\leq 1{\textrm {~ssi~}}x\leq 1$ car la fonction racine carrée est croissante sur [0;1].

L'ensemble des solutions de I₂ est alors [0;1]

Résoudre l'inéquation $(I_{3})~:~x^{2}\leq 1$ d'inconnue $x\in \mathbb {R}$.

On aimerait bien prendre la racine carrée. Mais pour ce faire, il faut se placer sur des intervalles où la fonction racine carrée est monotone. On sait que la fonction racine carrée est :

• décroissante sur $\mathbb {R} ^{-}$
• croissante sur $\mathbb {R} ^{+}$

Premier temps : Soit $x\in \mathbb {R} ^{+}$ $x^{2}\leq 1{\textrm {~ssi~}}x\leq 1$ car la fonction racine carrée est croissante sur $R^{+}$, donc sur [0;1].

L'ensemble des solutions de I₃ appartenant à $\mathbb {R} ^{+}$ est alors [0;1].

Deuxième temps : Soit $x\in \mathbb {R} ^{-}$ $x^{2}\leq 1{\textrm {~ssi~}}x^{2}\leq (-1)^{2}{\textrm {~ssi~}}x\geq -1$ car la fonction racine carrée est décroissante sur $\mathbb {R} ^{-}$, donc sur [-1;0].

L'ensemble des solutions de I₃ appartenant à $\mathbb {R} ^{-}$ est alors [-1;0].

Dernier temps : On regroupe toutes les solutions.

L'ensemble des solutions de I₃ est alors $[0;1]\cup [-1;0]=[-1;1]$

Fin de l'exemple

Inéquations nécessitant une étude de signe

Début d’un principe

Résolution d'une inéquation par tableau de signes

Certaines inéquations nécessitent la factorisation complète de l'expression. On peut ensuite mener la résolution par étude du tableau de signes.

Fin du principe

Début de l'exemple

Exemple

1. Soit $x\in \mathbb {R}$. Développer $(x+1)(x-3)$
2. Résoudre l'inéquation $(I_{4})~:~x^{2}-2x+4\geq 7$ d'inconnue $x\in \mathbb {R}$.

• Question 1 : Pour tout $x\in \mathbb {R} ,~(x+1)(x-3)=x^{2}-2x-3$
• Question 2 : Soit $x\in \mathbb {R}$

${\begin{aligned}x^{2}-2x+4\geq 7&{\textrm {~ssi~}}x^{2}-2x-3\geq 0\\&=(x+1)(x-3)\geq 0\end{aligned}}$

À présent, il suffit de construire le tableau de signes de l’expression $(x+1)(x-3)$

${\begin{array}{c|ccccccc|}x&-\infty &&-1&&3&&+\infty \\\hline {\textrm {Signe~de}}~(x+1)&&-&0&+&&+&\\\hline {\textrm {Signe~de}}~(x-3)&&-&&-&0&+&\\\hline {\textrm {Signe~de}}~(x+1)(x-3)&&+&0&-&0&+&\\\hline \end{array}}$

Il ne reste plus qu’à lire sur le tableau.

L'ensemble des solutions de I₄ est $]-\infty ;-1]\cup [3;+\infty [$

Fin de l'exemple