Résistance des matériaux/Torseur des forces extérieures de gauche et torseur des sollicitations

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Définition de repérage de la coupure fictive

Soient $(E)$ le solide assimilé à une poutre et (${\overline {E}}$) l’ensemble extérieur à ($E$). $Ro=(O,{\vec {xo}},{\vec {yo}},{\vec {zo}})$ repère liée à ($E$), disposé de manière à ce que l’axe $(O;{\vec {xo}})$ par exemple, soit confondu avec la ligne moyenne.

Considérons $(P)$ le plan de coupe perpendiculaire à $(O;{\vec {xo}})$ et soit ($S$) la section droite de ($E$) ainsi définie. Soit G d'abscisse x, le centre de surface ($S$), ainsi OG = x.${\vec {xo}}$ définit la position de la section droite fictive ($S$).

La coupure fictive par le plan ($P$) partage la coupure ($E$) en deux tronçons ($E1$) et($E2$).

Définition du torseur de cohésion

Les actions mécaniques qu'exerce sur la section droite fictive sont des efforts intérieurs elles sont modélisées par un torseur appelé torseur de cohésion ${\begin{Bmatrix}Tcohesion\end{Bmatrix}}$ qui exprime ses éléments de réduction au point G.

${\begin{Bmatrix}Tcohesion\end{Bmatrix}}_{G}={\begin{Bmatrix}{\overrightarrow {\mathcal {R}}}\\{\overrightarrow {{\mathcal {M}}_{G}}}\end{Bmatrix}}_{G}={\begin{Bmatrix}T(E2/E1)\end{Bmatrix}}_{G}$

Interprétation : Supposons que le solide E ait été coupé en deux parties E1 et E2, et que ces deux éléments soient ensuite collés (liaison complète) les efforts intérieurs sont les efforts transmis par cette liaison fictive, et se calculent comme des actions de liaison, et traduisent l'équilibre de l'une ou l'autre partie.

Éléments de réduction du torseur des efforts de cohésion dans le repère de définition des sollicitations

Équilibre de la poutre (E)

La poutre (E) étant en équilibre, le principe fondamental de la statique (P.F.S.) s'écrit donc en G :

${\begin{Bmatrix}T({\overline {E}}/E)\end{Bmatrix}}_{G}={\begin{Bmatrix}{\vec {0}}\end{Bmatrix}}$ => ${\begin{Bmatrix}R({\overline {E}}/E)={\vec {0}}\\M_{G}({\overline {E}}/E)={\vec {0}}\end{Bmatrix}}$

Imaginons une coupure suivant une section (P) passant par G.

La coupure fictive (S) sépare la poutre (E) en deux parties (E1) et (E2), on peut donc écrire au point G :

${\begin{Bmatrix}T({\overline {E}}/E1)\end{Bmatrix}}_{G}+{\begin{Bmatrix}T({\overline {E}}/E2)\end{Bmatrix}}_{G}={\begin{Bmatrix}{\vec {0}}\end{Bmatrix}}$

Donc ${\overrightarrow {R}}({\overline {E}}/E1)+{\overrightarrow {R}}({\overline {E}}/E2)={\vec {0}}$

et ${\overrightarrow {M}}_{G}({\overline {E}}/E1)+{\overrightarrow {M}}_{G}({\overline {E}}/E2)={\vec {0}}$

Relation entre le torseur des efforts extérieurs et le torseur des efforts de cohésion, sur le tronçon de poutre isolé

Le torseur des efforts extérieurs ${\begin{Bmatrix}T({\overline {E}}/E)\end{Bmatrix}}_{G}$ peut-être décomposé de la façon suivante:

${\begin{Bmatrix}T({\overline {E}}/E)\end{Bmatrix}}_{G}={\begin{Bmatrix}T({\overline {E}}/E1)\end{Bmatrix}}_{G}+{\begin{Bmatrix}T({\overline {E}}/E2)\end{Bmatrix}}_{G}$

Il est alors possible d'isoler le tronçon de poutre (E1) qui est à l'équilibre sous l'action des efforts extérieurs et des efforts de cohésion de (E2) sur (E1) :

${\begin{Bmatrix}T({\overline {E}}/E1)\end{Bmatrix}}_{G}+{\begin{Bmatrix}T(E2/E1)\end{Bmatrix}}_{G}={\begin{Bmatrix}{\vec {0}}\end{Bmatrix}}$

Cette relation permet de déterminer les efforts de cohésion dans la poutre. Le résultat obtenu est identique si on isole le tronçon (E2) et que l’on utilise les relations précédemment établies:

${\begin{Bmatrix}T({\overline {E}}/E2)\end{Bmatrix}}_{G}+{\begin{Bmatrix}T(E1/E2)\end{Bmatrix}}_{G}=-{\begin{Bmatrix}T({\overline {E}}/E1)\end{Bmatrix}}_{G}-{\begin{Bmatrix}T(E2/E1)\end{Bmatrix}}_{G}=-({\begin{Bmatrix}T({\overline {E}}/E1)\end{Bmatrix}}_{G}+{\begin{Bmatrix}T(E2/E1)\end{Bmatrix}}_{G})={\begin{Bmatrix}{\vec {0}}\end{Bmatrix}}$

Repère de définition des sollicitations

Il est nécessaire de définir deux repères:

• un repère global $Ro=(O,{\vec {xo}},{\vec {yo}},{\vec {zo}})$ classiquement utilisé pour la définition du problème (chargement extérieur, orientation de la poutre...)
• un repère local $R=(G,{\vec {x}},{\vec {y}},{\vec {z}})$ utilisé pour écrire les efforts de cohésion et les contraintes dans une section

La construction du repère local pour une section (S) quelconque d'une poutre:

• La droite $(G{\vec {x}})$ est tangente à la ligne moyenne et le sens du vecteur ${\vec {x}}$ est le même que le sens de parcours de la poutre.
• La droite $(G{\vec {y}})$ est choisie suivant une direction principale de la section (par exemple un axe de symétrie)
• Le vecteur $({\vec {z}})$ est choisi tel que le trièdre $({\vec {x}},{\vec {y}},{\vec {z}})$ soit un trièdre direct

Dénomination des composantes des éléments de réduction du torseur des efforts de cohésion dans le repère R(G;x;y;z)

Dans le repère local, le torseur des efforts de cohésion peut-être écrit de la façon suivante:

${\begin{Bmatrix}Tcohesion\end{Bmatrix}}_{G}={\begin{Bmatrix}T(E2/E1)\end{Bmatrix}}_{G}={\begin{Bmatrix}{\overrightarrow {\mathcal {R}}}\\{\overrightarrow {{\mathcal {M}}_{G}}}\end{Bmatrix}}_{G}={\begin{Bmatrix}N\ {\vec {x}}+T_{y}\ {\vec {y}}+T_{z}\ {\vec {z}}\\M_{t}\ {\vec {x}}+M_{f_{y}}\ {\vec {y}}+M_{f_{z}}\ {\vec {z}}\end{Bmatrix}}_{G}$

avec:

• $N$ l'effort normal
• $T_{y}$ l'effort tranchant suivant ${\vec {y}}$
• $T_{z}$ l'effort tranchant suivant ${\vec {z}}$
• $M_{t}$ le moment de torsion
• $M_{f_{y}}$ le moment fléchissant suivant ${\vec {y}}$
• $M_{f_{z}}$ le moment fléchissant suivant ${\vec {z}}$

Démarche pour déterminer les efforts de cohésion

Cas des poutres (structures) isostatiques:

1. On isole la poutre (structure) et on applique le PFS afin de déterminer les torseurs des efforts extérieurs de liaisons en fonction des efforts extérieurs qui s'appliquent à la poutre.
2. On isole un tronçon de poutre et on applique le PFS à ce tronçon de poutre afin de déterminer les efforts de cohésion.