Résolution d'équations différentielles simples/Équations sans second membre

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D'après le chapitre précédent, il nous suffit d'étudier des équations sans second membre, car en ajoutant une solution particulière à leurs solutions on les résoud complètement.

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Équations différentielles linéaires du premier ordre sans second membre

Une telle équation est de la forme : $f'(x)+af(x)=0$ Pour la résoudre, on utilise une démonstration pas très rigoureuse, mais qui s'avère pratique en physique. Elle consiste à utiliser la relation $df=f'(x)dx$ obtenue pendant le chapitre sur les différentielles. Les étapes du raisonnement sont les suivantes : ${\frac {df}{dx}}=-af(x)$

${\frac {df}{f}}=-adx$

$d(\ln f)=d(-ax)$ d’après les résultats qu'on avait obtenus sur la dérivée logarithmique.

$\ln f(x)=-ax+B$ après intégration (B est une constante d'intégration).

$\ln {\frac {f(x)}{C}}=-ax$ en ayant posé $B=\ln C$

Finalement, en appliquant la fonction exponentielle aux deux membres de cette dernière relation, on obtient la solution générale de l'équation différentielle du premier ordre :

$f(x)=C\,e^{(-ax)}$

où C est une constante que l’on peut déterminer si l’on connaît une certaine valeur de f (une condition initiale). On remarque donc que la solution est une exponentielle croissante ou décroissante. Ce résultat est très utilisé en physique car on rencontre souvent ce type d'équations.

Équations différentielles linéaires du second ordre sans second membre

Une telle équation est de la forme : $f''(x)+a\,f'(x)+bf(x)=0$ On ne démontrera pas le résultat suivant dans ce cours car il sera vu en cours de mathématiques : on admet que la solution de l'équation différentielle précédente s'écrit :

$f(x)=C_{1}\exp(r_{1}x)+C_{2}\exp(r_{2}x)$

où C₁ et C₂ sont des constantes, et r₁ et r₂ sont les solutions de l'équation du second degré $r^{2}+ar+b=0$ qui est appelée équation caractéristique.

Plusieurs possibilités apparaissent à ce stade : les racines r₁ et r₂ peuvent être des nombres réels ou des nombres complexes. Si ce sont des réels, on a deux exponentielles réelles. Mais si ce sont des complexes, alors il apparaîtra des termes du type $\exp(i\alpha x)$ qui sont clairement oscillants. On pourra donc voir apparaître des régimes d'oscillation, et même d'oscillation amortie.