Résolution d'équations différentielles simples/Exemples concrets

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Équation du premier ordre avec second membre constant

On prend l'exemple d’un parachutiste tombant à la verticale, qui, à un instant t = 0 ouvre son parachute alors qu’il avait une vitesse v(0). On suppose, pour simplifier le problème, que son parachute lui fait subir une force de frottement opposée à sa vitesse. On peut alors montrer en mécanique que l'équation différentielle que vérifie la vitesse v est : ${\frac {dv}{dt}}+av(t)=g$ où g (accélération de la pesanteur) et a (coefficient de frottement) sont des constantes. On cherche d’abord une solution particulière, notée v_p. Pour cela, on peut remarquer qu'en la supposant constante, le terme faisant intervenir sa dérivée est forcément nul (la dérivée d’une constante est nulle). Ainsi, il resterait a v_p = g ou encore v_p = g/a. On peut vérifier, en introduisant cette relation dans l'équation différentielle, que c’est effectivement une solution particulière : on la retient pour la suite.

Il nous faut maintenant calculer les solutions v₀ de l'équation sans second membre qui s'écrit : ${\frac {dv_{0}}{dt}}+av_{0}(t)=0$ Le paragraphe sur l'équation différentielle du premier ordre sans second membre nous donne directement la solution à cette équation : $v_{0}(t)=C\exp(-at)$ où C est une constante qu’il nous faudra déterminer.

Évolution de la vitesse du parachutiste en fonction du temps.

On sait alors que toute solution générale de l'équation de départ est la somme de la solution particulière et de la solution de l'équation sans second membre : $v(t)=v_{p}+v_{0}(t)={\frac {g}{a}}+C\exp(-at)$ Il nous reste à déterminer la constante C. Pour cela, on évalue l’expression précédente en t = 0 : $v(0)={\frac {g}{a}}+C\exp(0)={\frac {g}{a}}+C$ On a donc C = v(0) - g/a. D'où : $v(t)={\frac {g}{a}}+\left(v(0)-{\frac {g}{a}}\right)\exp(-at)$ Finalement, on s'aperçoit que la vitesse évolue de façon exponentielle depuis la vitesse initiale v(0) à une vitesse finale g/a. Donc au bout d’un moment, le parachutiste va être maintenu à une vitesse maximale, appelée vitesse limite.

Équation du premier ordre avec second membre oscillant

On considère un circuit électrique contenant une résistance R, un condensateur C et un « générateur basse fréquence » (amplitude E et fréquence $\omega$) associés en série. On obtient alors en électricité l'équation différentielle vérifiée par la charge q du condensateur : ${\frac {dq}{dt}}+{\frac {1}{RC}}q=E\cos(\omega t)$

Premièrement, on cherche la solution particulière q_p sous la forme $q_{p}=A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t)$. Pour déterminer A et B, on insère l’expression de q_p dans l'équation différentielle, ce qui donne : $\left(-A\omega +{\frac {B}{RC}}\right)\sin(\omega t)+\left(B\omega +{\frac {A}{RC}}\right)\cos(\omega t)={\frac {E}{R}}\cos(\omega t)$ Or cela est vrai quel que soit t. On choisit donc successivement deux valeurs différentes de t. En l’occurrence, les valeurs 0 et $\pi /2\omega$ nous donnent respectivement : $B\omega +{\frac {A}{RC}}={\frac {E}{R}}$ et $-A\omega +{\frac {B}{RC}}=0$ On en déduit, après quelques calculs, que $A={\frac {B}{RC\omega }}={\frac {CE}{1+R^{2}C^{2}\omega ^{2}}}$ Nous avons donc déterminé la solution particulière.

Évolution de la charge du condensateur en fonction du temps.

Deuxièmement on résout l'équation sans second membre qui s'écrit de la manière suivante : ${\frac {dq_{0}}{dt}}+{\frac {1}{RC}}q_{0}=0$ Le paragraphe sur les équations différentielles du premier ordre sans second membre nous donne directement la solution : $q_{0}(t)=\alpha \exp \left(-{\frac {t}{RC}}\right)$ On obtient finalement la solution de l'équation de départ en sommant q₀ et q_p : $q(t)={\frac {CE}{1+R^{2}C^{2}\omega ^{2}}}\left(\cos(\omega t)+RC\omega \sin(\omega t)+\alpha \exp \left(-{\frac {t}{RC}}\right)\right)$ Il ne reste plus qu’à déterminer la constante $\alpha$. Pour cela, on suppose connue la charge initiale q(0). Cela donne l’expression finale de q(t) : $q(t)={\frac {CE}{1+R^{2}C^{2}\omega ^{2}}}\left(\cos(\omega t)+RC\omega \sin(\omega t)-1\right)+q(0)\exp \left(-{\frac {t}{RC}}\right)$ Ainsi on remarque que la charge du condensateur va suivre, au bout d’un temps de l’ordre de R C, l'oscillation de la tension, avec toutefois un certain décalage.

Équation du second ordre avec second membre nul

On considère un atome formé d’un noyau supposé ponctuel et fixe, et d’un électron gravitant autour à une distance x(t). Cet électron est soumis à l'attraction du noyau (force de rappel élastique) et à un ralentissement (car il émet de la lumière en bougeant). On peut alors montrer que l'équation différentielle que vérifie x(t) est : ${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+a{\frac {dx}{dt}}+{\frac {b^{2}}{4}}x=0$ où a et b sont des constantes positives caractéristiques du ralentissement et de l'attraction respectivement.

Pour résoudre cette équation, on écrit l'équation caractéristique : $r^{2}+ar+b^{2}/4=0$. Ses solutions sont : $r_{1}={\frac {a}{2}}\left(-1+{\sqrt {1-b^{2}/a^{2}}}\right)$ et $r_{2}={\frac {a}{2}}\left(-1-{\sqrt {1-b^{2}/a^{2}}}\right)$ Les solutions de l'équation différentielle sont alors : $x(t)=C_{1}\exp(r_{1}t)+C_{2}\exp(r_{2}t)$

Évolution de la position de l'électron dans le régime d'oscillation amortie.

On ne va pas chercher à calculer les constantes C₁ et C₂ car le calcul est fastidieux et peu intéressant. À ce stade, on ne sait pas si r₁ et r₂ sont des nombres réels ou complexes. On distingue donc différents cas :

• Si $b\leq a$, alors r₁ et r₂ sont réels, et d’après leur expression, ils sont tous deux négatifs. Chaque exponentielle tend donc vers 0. Cette situation correspond au cas où l'électron se rapproche indéfiniment du noyau de façon monotone.
• Si b > a, alors r₁ et r₂ sont complexes. En séparant leur partie réelle et leur partie imaginaire, on obtient :

$x(t)=\exp \left(-{\frac {at}{2}}\right)\left(C_{1}\exp \left(i{\sqrt {b^{2}-a^{2}}}{\frac {t}{2}}\right)+C_{2}\exp \left(-i{\sqrt {b^{2}-a^{2}}}{\frac {t}{2}}\right)\right)$

On se place dans le cas où l'électron a, au départ, une vitesse nulle. On peut alors montrer en dérivant l'équation précédente que C₁ = - C₂. D'où la simplification :

$x(t)=2C_{1}\exp \left(-{\frac {at}{2}}\right)\cos \left(i{\sqrt {b^{2}-a^{2}}}{\frac {t}{2}}\right)$

Le terme avec le cosinus indique que l'électron effectue des oscillations. Le terme avec l'exponentielle impose au mouvement de tendre vers 0. Le mouvement global de l'électron est donc une oscillation amortie.

On retrouve ce type de mouvement dans de nombreux problèmes de physique. Il est important de se souvenir qu’il existe deux régimes : un amortissement simple, ou un amortissement avec oscillation.