Racine carrée/Devoir/Nombre d'or

Définition

On appelle nombre d'or le nombre réel noté : $\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$.

— Ⅰ —

Quelques calculs avec le nombre $\varphi$

1°  Donner avec la calculatrice une valeur approchée de $\varphi$ à $10^{-3}$ près.

2°  Donner avec la calculatrice une valeur approchée de $\varphi ^{2}$ à $10^{-3}$ près.

Conjecturer une relation entre $\varphi$ et son carré.

3°  Démontrer la relation : $\varphi ^{2}-\varphi =1$.

4°  a)  En utilisant la relation du 3°, démontrer que $\varphi ^{3}=1+2\varphi$.

b)  En déduire que $\varphi ^{4}=2+3\varphi$.

c)  En déduire de même une relation entre $\varphi ^{5}$ et $\varphi$.

Solution

1°  $\varphi \approx 1{,}618$.

2°  $\varphi ^{2}\approx 2{,}618\approx 1+\varphi$.

3°  $\varphi ^{2}-\varphi ={\frac {1+2{\sqrt {5}}+5}{4}}-{\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}={\frac {3+{\sqrt {5}}}{2}}-{\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}={\frac {3-1}{2}}=1$.

4°  a)  En remplaçant deux fois $\varphi ^{2}$ par $1+\varphi$, on obtient bien $\varphi ^{3}=\varphi \left(1+\varphi \right)=\varphi +\left(1+\varphi \right)=1+2\varphi$.

b)  De même, $\varphi ^{4}=\varphi \left(1+2\varphi \right)=\varphi +2\left(1+\varphi \right)=2+3\varphi$.

c)  De même, $\varphi ^{5}=\varphi \left(2+3\varphi \right)=2\varphi +3\left(1+\varphi \right)=3+5\varphi$.

Remarque : de même, si $\varphi ^{n}=a+b\varphi$ alors $\varphi ^{n+1}=b+(a+b)\varphi$. On en déduit que $\varphi ^{n}=F_{n-1}+F_{n}\varphi$, où $\left(F_{n}\right)$ est la suite de Fibonacci.

 

— Ⅱ —

Rectangles d'or

Définition

On appelle rectangle d'or un rectangle dont le quotient de la longueur par la largeur vaut $\varphi$.

Soit un rectangle d'or ABCD de largeur $AB=l$.

1°  Exprimer AD en fonction de $l$ et $\varphi$.

2°  On enlève à l'intérieur du rectangle ABCD le carré ABEF.

a)  Démontrer que ${\frac {EF}{FD}}={\frac {1}{\varphi -1}}$.

b)  En utilisant la relation établie dans la première partie, démontrer que $\varphi \left(\varphi -1\right)=1$.

c)  Que peut-on en déduire pour le rectangle ECDF ?

Solution

1°  $AD=l\varphi$.

2°  a)  ${\frac {EF}{FD}}={\frac {l}{AD-l}}={\frac {l}{l\varphi -l}}={\frac {1}{\varphi -1}}$.

b)  $\varphi \left(\varphi -1\right)=\varphi ^{2}-\varphi =1$.

c)  ${\frac {EF}{CD}}=\varphi$ donc le rectangle ECDF est d'or.

 

— Ⅲ —

Construction d'un rectangle d'or

Le petit rectangle de droite BPQC, et le grand rectangle APQD (formé en lui adjoignant le carré), sont d'or.

Cette construction serait due à Euclide (environ 300 av. J.-C.).

Soient un carré ABCD et I le milieu de [AB]. Le cercle de centre I passant par C coupe la demi-droite [AB) en P.

Démontrer que APQD et BPQC sont des rectangles d'or.

Solution

Soit $c$ la longueur d'un côté du carré. D'après le théorème de Pythagore, $IP=IC={\sqrt {c^{2}+{\frac {c^{2}}{4}}}}=c{\frac {\sqrt {5}}{2}}$ donc $AP={\frac {c}{2}}+c{\frac {\sqrt {5}}{2}}=c\varphi$, ce qui prouve que le rectangle APQD est d'or. D'après la partie Ⅱ, BPQC est donc aussi un rectangle d'or.