Approfondissement sur les suites numériques/Exercices/Récurrence linéaire d'ordre 2

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Approfondissement sur les suites numériques/Exercices/Récurrence linéaire d'ordre 2
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Exercice 1Modifier

Soient   et   les deux suites définies par :

  ;
 .

On note   l'ensemble des réels de la forme   avec  , et pour un tel nombre  , on note  .

  1. Vérifier que
     .
  2. Montrer qu'il existe trois nombres   tels que
     .
  3. Calculer   et  .
  4. Vérifier que
     .
  5. En déduire que
     .

Suite de FibonacciModifier

Wikipédia possède un article à propos de « Suite de Fibonacci ».

La suite de Fibonacci est une célèbre suite de nombres entiers, liés par la récurrence :   avec pour premiers termes  .

  1. Calculer les 10 premiers termes de cette suite.
  2. Proposer un algorithme qui calcule le n-ième terme de la suite. Évaluer son temps d'exécution.
  3. Calculer les racines du polynôme caractéristique associé : la plus grande est appelée nombre d'or et notée  . L'autre est notée  .
  4. Donner l’expression de   en fonction de n et des deux racines (cette formule est appelée formule de Binet).
  5. Quelle est la limite du rapport   ? Ce résultat est dû à Kepler.

Identités remarquablesModifier

Référence : Robert C. Johnson, « Fibonacci numbers and matrices », sur Université de Durham, , p. 40 (A.10).

Soient   et   deux éléments d'un corps commutatif K, avec  .

Montrer que si une suite   (à valeurs dans K) vérifie

 

alors, elle peut être étendue aux indices négatifs et reliée aux puissances d'une certaine matrice inversible   par :

 

et que pour   égale à   ou à toute autre suite vérifiant la même relation de récurrence   et pour tous entiers   et   :

 .
Remarques
En particulier, si   alors
  •   ;
  • en particulier,  .
Ceci s'applique par exemple à la suite de Fibonacci   (voir supra), qui vérifie donc :
  •   ;
  • en particulier,  .

Points communsModifier

Quelles sont les valeurs communes aux deux suites   et   définies par :

  •   ;
  •   ?